Централизаторы элементов в группах автоморфизмов деревьев Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ЭЛЕМЕНТОВ

99

ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ЭЛЕМЕНТОВ В ГРУППАХ АВТОМОРФИЗМОВ ДЕРЕВЬЕВ

А. В. Рожков, Т. П. Филиппова

Челябинский государственный университет

В работе описываются конечно порожденные централизаторы в р-группе с нечетным р и группе почти без кручения. Ото является ответом на вопрос Леннокга о централизаторах в группах автоморфизмов деревьев. Ранее ответ на этот вопрос был известен только для 2-групны Григорчука.

Группы автоморфизмов деревьев (АТ-группы [1]) — один из наиболее доступных прямому изучению конструктивных примеров бернсайдовых групп. Среди АТ-групп наиболее изучены АТш-группы., где ш — произвольная последовательность простых чисел. Об АТ^-группах уже достаточно много известно. Найдены необходимые и достаточные условия их периодичности, описаны конечные подгруппы таких групп, абелевы подгруппы счетных АТШ-групп и т.д. Централизаторы элементов пока изучены детально только в 2-группе Григорчука [2], являющейся АТ^-группой над последовательностью и ~ ( 2 , 2 ,...). Следует отметить, что случай, когда в последовательности и встречается число 2,существенно отличается от случая последовательности и, состоящей только из нечетных простых чисел.

В данной работе рассматриваются примеры р-групп с нечетным р и группа почти без кручения. Для них дается полное описание централизаторов элементов, в частности, находится ответ на аналог вопроса Д. Леннокса [3] об описании конечно порожденных централизаторов элементов. В периодическом случае описание конечно порожденных цен грализэ.торов получилось, по-существу, то же самое, что и в [2]. В случае же группы почти без кручения появились существенные отличия. Хотя по-прежнему, как и в работе [2], сохранилось геометрическое описание конечно порожденных цетрализаторов элементов, существенно изменился их алгебраический вид. А именно, появились элементы, имеющие циклические централизаторы, в то время как в периодическом случае централизатор любого элемента содержал подгруппу, изоморфную некоторой срезке АТ-группы, в которой этот централизатор изучался.

В работе используется стандартный аппарат общей теории групп и общая схема доказательства из работы [2]

1. Основные соотношения

Рассмотрим бесконечное однородное р-дерево О, у которого начальная вершина помечена символом 0, а остальные вершины конечными последовательностями (кортежами) из {0,1,..., р— 1}. В дальнейшем мы не будем различать вершины и помечающие их кортежи. Пусть и и г; — вершины дерева Д будем

100

А. В РОЖКОВ, Т. П. ФИЛИППОВА

писать и < v, если кортеж и является началом кортежа v. Автоморфизм дерева D однозначно задается набором подстановок ребер, помещенных в вершинах дерева D.

Мы будем использовать следующие обозначения. Если v — вершина, то Dv

— поддерево с начальной вершиной v Деревья D и Д, естественным образом изоморфны. Пусть

id^ : D-+Dv

— указанный изоморфизм, который мы будем обозначать idw, если важна только длина п кортежа v. Указанный изоморфизм естественным образом задает изоморфизм

Aut D Aut А,

групп автоморфизмов деревьев, который мы будем обозначать теми же символами id<"> и id<n).

Если G < Aut D, V — некоторое подмножество вершин дерева D, то по определению

stG(\/) = nstG(w) , costG(V) = rp(sto(D \DV) || ю € V)

— стабилизатор и костабилизатор множества V соответственно. Нетрудно видеть, что coste (и) <1 ste(ü) и при и < v

< stG(u), coste(v) < coste(u).

Кроме того, при несравнимых и a v костабилизаторы cost(u) и cost(u) поэлементно перестановочны.

Пусть |t>| — длина кортежа г>; тогда по определению

ste('i) = nste(f), coste(n) = rp(costG(tj) || |v| — n)

У í.) «M» nji

Если x € st(u) , то сужение автоморфизма x на поддерево D„ будем обозначать X(v) и называть v — срезкой. Если х € st(n), то автоморфизм х однозначно определяется своими гьерезками, |t>| — п, и естественно отождествление

х = ( .. ,x(v), ..) о id(n), | v п.

Чаще всего мы будем пользоваться им при п = 1, опуская в обозначении id индекс (1).

Условимся также, что в обозначениях стабилизаторов, костабилизаторов и централизаторов, если они рассматриваются во всей группе, мы будем опускать для краткости индекс, обозначающий группу.

Рассмотрим АТш-группу F — гр(с, /) над последовательностью ш = ( р, р,...),р> 2, г де / - ( /, с, с-1,..., с, г""1) о id. А также АТш-группу G = гр(а, д) над последовательностью и = ( 3, 3,...), где д = ( д, а, а) о id.

Автоморфизм с имеет единственную нетождественную подстановку ж = ( 0, 1, 2,..., р — 1), помещенную в начальную вершину дерева. Автоморфизм а имеет единственную нетождественную подстановку а = ( 0, 1, 2), помещенную также в начальную вершину дерева.

ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ЭЛЕМЕНТОВ

101

Из теоремы 1 [1] следует, что группа F является р-группой, а группа G непериодическая.

2. Основные леммы

Если X — подмножество группы Н, то Х° — нормальное замыкание множества X в группе G, т.е. наименьшая нормальная подгруппа, содержащая множество X.

Лемма 1, Пусть К — гр(ge"1 ,g~ic), тогда К — нормальная подгруппа индекса 3 в группе G. Подгруппа К не имеет кручения.

Доказательство Положим х = gc~x , у = д~1с.

Нормальность подгруппы К следует из следующих соотношений

хс = е-15гс-1с ~ = у~х, ус = с~1д~1сс = у~1х,

Xя ~ g~lgc~lg ~ г/"1, у9 ~ д~1д~1сд = ху~х.

Рассмотрим фактор-группу G/K. Ее элементами являются смежные классы К, дсК, дс К. Следовательно, ¡G . К| = 3.

Покажем, что подгруппа К не имеет кручения. Доказательство будем вести индукцией по длине слов в алфавите {х,у}. Базой индукции являются слова х и у. Они имеют бесконечный порядок. Рассмотрим подгруппу sttf(l) = гр(г3, у3, ту, ух) Имеем

х3 - (аз, зс~ 1 ) oíd, у3 = (у,х~1 ,у~хх) о

ху = (х,х 1) о id, ух :--. (у, 1, у"1 ) о id.

Если h $ st/f (1), то h, как слово в алфавите {а,д}, имеет сумму показателей степеней элементов с, не кратную 3. Поэтому h имеет бесконечный порядок

Если h g st#(l), то h = (h(o),h(iy h(2)) и все h(,j € A'oid Если хотя бы один из /г(,j ^ stxoid(l)> то, в силу предыдущего замечания, он имеет бесконечный порядок, значит, и h — элемент бесконечного порядка. В противном случае рассматриваем сужение à(t) на поддеревья и т.д Если h ф 1, то для некоторой вершины u h(u) 0 st/f0ld(n)(l), n = |u|. Лемма доказана.

Лемма 2. Имеют место равенства

F/F' ~ Zp х Zpt G/G' = ¿з x Z3.

Доказательство, a) Поскольку /р = <? = 1, то |F : F'¡ < p2. Покажем, что фактически имеет место равенство. Для этого рассмотрим фактор-группу F = F/ st(2) и в ней F' — образ коммутанта F'.

102

А В РОЖКОВ, Т П ФИЛИППОВА

В фактор-группе Р образом подгруппы в1(1) является абелева группа Ь, порожденная элементом / = (0,1,—1, , 1, — 1) и его циклическими сдвигами Нетрудно видеть, что Ь имеет порядок р'~1 и может быть порождена циклическими сдвшами элемента

(0,1,-1, ,1,-1) + (1,-1> ,1,-1,0) = (1,0, ,0,-1)

Таким образом, = рр~хр — рР Поскольку

Р7 = М]Р = ГиТ^гД ^2,2,-2)",

то легко проверяется, что |.Р'| = рР~2 Следовательно, F,| = р2 и первая формула доказана

б)Так как д3 — а3 = 1, то \0 С\ < 9 Покажем, что имеет место равенство Для этого рассмотрим фактор-группу С — С/ 2) и в ней С — образ коммутанта С

В фактор-группе С образом подгруппы 1) является абелева группа М, порожденная элементом д — (0,1,1) и его циклическими сдвигами Рассуждая как в предыдущем пункте, получим, что = 81 Поскольку

& = = (-1,1,о)с,

то |0'| = 9 и ¡О С| = 9 Лемма доказана

ЛЕММА 3 Имеют место следующие равенства

а) со— Р' 0п = |и|,

б) С081о(и)(„) = К' О 1с1(п), п = |«| для любой вершины и

Доказательство а) Так как группа ¥ - гр(б,/) = гр(/с~\/с), то

¥' = [Г^Ж

Поскольку х - [//с,//с2] = ([/с-1,/с], 1, , 1) О 1(1 € созЦи), то 2.(о)^(1) = ¥' Следовательно, совЦм) > (^',1, ,1) и со&1(1) > (¥', ,¥') Очевидно, сов^ы) < = гр(/, /с, , /с" ) Поскольку произвольный элемент фак гор-группы в1;(1 )/(¥', , ¥') имеет вид

(с^1/"1,^2/"2, ,с"»/в') 01(1, (1)

где

= - а,_2 + + (—1)'«1 - а,+1 + а,+2 - + (-1)'~1аг, 1 < 1 < р, то в ней не существует элементов вида (*, 1, , 1) и утверждение а) доказано

ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ЭЛЕМЕНТОВ

103

б)Поскольку

[9,а}- (9~la, a~lg, 1) о id, [<Г\а2] = ( ga~l, 1, ад'1) о id, то положив

Я = [ [д,а],[д~\а2 } ] = {{д~ха,да 1 ], 1,1) о id е cost(w),

получим STfo)^'1' = К' Следовательно,

costG<(t¿) > (А", 1,1), co&tG'(l) > (л"> К', к')

Поскольку произвольный элемент фаьтор-i руппы g'/ (к' х к' у к') имеет вид

то в ней не существует элементов вида (*, 1,1) Таким образом, мы получили, что costG'(«)(u) = К' Но из леммы 2 следует, что костабилизатор коммутанта g' совпадает с костабилизатором всей группы g Лемма доказана

3. Централизаторы элементов

Пусть L — подпрямая степень группы Я, те каждый элемент / 6 L имеет вид (/1, ,/р), /,€#,1 = 1, ,р Подгруппу элементов группы L с одинаковыми координатами назовем диагональю г руппы L и обозначим diag L

Лемма 4 Пусть L — подпрямая степень группы Н,

пр,(L nix х 1 х Я х 1 х х 1) = М <3 Я, i — 1, р,

где пр, — проекция на i й множи гель Тогда

diagL = rp(diag(AÍ х х M),diag(L/(M х х М))),

где черта означав!, что из каждого смежного класса I (М х х М) выбирается один представитель, имеющий равные координаты

Дока1ательство очевидно

Теорема 1 Централизаторы корневых порождающих в группах f и g имеют вид

СУ(с) = гр(г, diagcost(l), (/, , /) о id), Ca((i) = гр(а, diag cost(l), (a2g, a2g, a2g) о id)

104

А В. РОЖКОВ, Т. П. ФИЛИППОВА

Доказательство, а) Очевидно, что С(с) = гр(с, diagst(l)). В силу леммы 4 diagst(l) = rp(diagcost(l), diag(st(l)/ cost(l))). Произвольный элемент фактор-группы st( 1)/ cost(l) имеет вид (1). Значит,

diäg(st(l)/cost(l)) = {(/,...,/) о id}, б) Аналогично Сс(с) = гр(а, diagst(l)). В силу леммы 4

diagst(l) = rp(diag cost(l), diag(st(l)/ cost(i)). Так как произвольный элемент фактор-группы st(1)/ cost(l) имеет вид (aa?+aigai, аа1+азда\ аа,+п*даз) о id, то diag(st(l)/ cost(l)) — {(а2д, а2д, а2д) oíd}. Теорема доказана. Лемма 5. Пусть Н — группа, L <3 Н, х $ L. Тогда

Сн(х) = гр (С'ь(х).Сн/ф1)),

где черта означает, что из каждого смежного класса уН, централизующего смежный класс хН. выбирается единственный представитель (если он существует), централизующий элемент х.

Доказательство очевидно.

Теорема 2 Централизаторы продольных порождающих в группах F и G имеют вид

rF(f) ■= гр (Л х П С», С» < cost(u), G(u\u) = Cf?'otd{c о id),

u€U

U = {(0_v_01),(0_>^_0 2),. .ДО^р) || ra G -V},

71 П П

CG{g) = rp(fl<) x JJ C(v), G'(v) < cost(v), C{v)[b) = CV'o»d(« o id),

ugV

V'= {(0^01), (^02),(0^03) II n e A'}.

ti n n

Доказательство, а) Покажем, что верно первое равенство. Очевидно, СИЯ < St(l). В силу леммы 5

= rp(CVost(l)(A Cstfl)/ costCl)(/ • COSt(l))).

Если x = (x\,... ,xp) £ cost(l) и X* — x, то

xi £ CFi0id(f o id); X'¿, ■ ■ ■, Xp e CF<0id{c O id).

Найдем централизатор C(f) вне подгруппы cost(l). В этом случае предполагаем, что с элементом / перестановочен элемент из фактор-группы st(l)/ cost(l), имеющий вид (1). Но в этом случае a2 = ...ap ~ 0 и мы получим сам элемент /. Таким образом, C(f) = гр(/) х Ccost( i) (/) ■

ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ЭЛЕМЕНТОВ

105

б)Докажем равенство для централизатора Са{д)- Если х = {х\,х2,х%) 6 cost(l) и хя — х, то

€ CK'oid(.9 о id); € CK'oid(aoid).

Используя лемму 5 и рассуждения, как в пункте а), получим С(д) = гр(<?) х Ccost(i)(д). Теорема доказана.

4. Конечно порожденные централизаторы

Для ведения доказательств по индукции на множестве слов от порождающих групп F и G введем некоторый частичный порядок.

Рассмотрим слова в алфавите {ct,/J} и {ак,у'}, где i,j ф 0{mod р), к,} ф 0(mod 3). Длиной d{x) слова х назовем число входящих в его запись слогов с\р И ак,д'.

Положим, что х < у, если выполнено одно из двух условий:

1) d(x) < d(yy,

2) d(x) — d(y), но сумма показателей степеней с или а в записи слова х равна нулю.

Элемент х 6 G назовем атомом, если длина координат элемента х3 равна d(x) и при дальнейшем возведении в степень длина не уменьшается.

Пусть х — слово описанного вчда, той же буквой ж обозначается и элемент группы F или G, задаваемый словом х. Переходя от слова х или его степеней к координатам, мы получим слова, меньшие в смысле введенного порядка (исключая, очевидно, атомы).

Лемма 6. Пусть L < F,x £ L. Тогда централизатор элемента х в подгруппе L имеет вид

гр(а.-, (6, fc^1, б371^2,. ,.,bXiX* **-') || 6 6 С(х\х2 •. • хр)) П L при

Х=(Х\,...,Хр)-С,

гр(0, (6Ь . ..Ьр) || 6, € C(x,),i = 1,... ,р)Г\Ь при х - (xu...,xp), причем 9 — [в 1,.. ,9р) - с в некоторых случаях, когда все xt попарно сопряжены, в остальных случаях 0=1.

Доказательство. Пусть х = (жь..., хр) -с, у = (iji,..., ур) е С(х)\ тогда у = (Уи---,УР) = х~хух - (х~ хурхр,х^у\хх,. ..^x'^yp-ixp^x). Следовательно, получаем у2 = х^хухх ь у3 = x2xx~xyixxx2>. ■, уР = x'ix ■ ■ -x^yixi .. .xp„lt [j/b^i • • •xp] = 1- И обратно, если эти соотношения выполнены, то г и у перестановочны. Этим доказана первая формула.

Пусть теперь х = (xi}...,xp). Если у = (yi,...,yP) € С(х), то у = 0/1, • ■ ■ >Ур)- х-хух ~ (xïxyixu. ,.,х-хурхр). Поэтому у,- £ C(xt), i = 1,. ..,р.

Если у = (у\,..., ур) с £ С(х), то как и при доказательстве первой формулы, из равенства х = у~хху следует, что xi,...,xp сопряжены. Пусть поэтому элемент х = (х\, ж^1,..., х*~1 ).

106

А. В. РОЖКОВ, Т. П. ФИЛИППОВА

Определим элемент в = (6>i,..., вр) ■ с такой, что в~1хв = х. Пусть х\ G cost(ti), тогда <$, — любые элементы из группы Я. Из равенства х = в~ххв следует, что

ép_l0p, Mf1, 61М2 • • €C(xj)

Возьмем £ъ • • ■ >Ép G C{x 1), тогда

0 = ,^fcfc, • • ■, , V-I'^P) • c- (2)

Элемент 0 не всегда существует в рассматриваемых группах F и G. Приведем пример, подтверждающий это, для группы F. Пусть х.\ - [/, ср-1], 6, — сг. Имеем

Сг(1)([/, с""1]) = гр(С(/-1с), С(с~2),..., С(с~2), С(е/))

Очевидно, что С/-(1)([/, ср_13) < st^(1)(l). Так как единственный элемент из фактор-группы st(l)/cost(l), перестановочный с [/, cp_l] — это смежный класс, его содержащий, то Cf(1){[/,с?"~1]) < costf(1)(l).

Следовательно, в формуле (2) все G cost,f(1)(l) и получаем элемент в = (сх\, СХ2, .. •, сжр_1, с1~рхр)-с, где хг G costf(1) (1), но такого элемента 0 в группе F не существует Теорема доказана.

Следствие. Данная лемма при р — 3 верна и для группы G.

Автоморфизм х дерева D имеет высоту п, если при движении вдоль любого бесконечного пути в дереве D (двигаемся без возвращений) нетождественная подстановка либо не встретится вовсе, либо встретится первый раз в некоторой вершине v, |и| < п. И число п с этим свойством минимальное. В силу этого определения порождающие сия имеют высоту 1, а порождающие / и g не имеют конечной высоты. Такие элементы называются элементами с бесконечной высотой. Тождественный автоморфизм имеет высоту 0.

ТЕОРЕМА 3 Пусть X G G -- атом, тогда С(х) = гр(ж).

Доказательство. Пусть х — атом, тогда х — (xi, ж2, *з) • с, х3 = (х\Х2Х3,Х2ХзХ1,гзХ)Х2), где Х1Х2Х3 — атом. По лемме 6

ОД = гр(х, (6,6", б"*3) || Ь G ОД*а®з)) П G.

Так как Х\Х2ХЭ st( 1 ), то С(х) — гр(ж, Cst(n){x)).

Покажем, что гр(ж, Cst(„)(a;)) = гр(ж). Пусть у G С(х) и у G st(fc) \ st(k + 1), п > m > к. Поскольку С(х) = гр(ж, Cst(„)(a;)) = гр(ж,Cst(m)(x)), то найдутся

такие сп G Cst(„)(x) и cm G Cst(m)(i), что y - ж3* • cn, y = a;3* • cm. Так как x перестановочен с элементами из Cst(„)(a;), то с„ = cm. Пусть m стремится к бесконечности, тогда сп G fl^Lm st(m) = {1} и cn = 1. Следовательно, любой у из С(ж) является степенью элемента х Что и требовалось доказать

Теорема 4. Пусть х — элемент группы F или G. Централизатор С(х) элемента х конечно порожден тогда и только тогда, когда все его степени имеют конечную высоту.

ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ЭЛЕМЕНТОВ

107

Доказательство проведем для группы F) в случае группы С рассуждения аналогичны. Единственное отличие в том, что в С существуют атомы, но этот случай рассмотрен в теореме 3. Достаточность докажем индукнией по частичному порядку. При х — 1 все очевидно. Пусть х — с. Степени элемента х имеют высоту 1. Из теоремы 1 следует, что централизатор элемента х конечно порожден.

а) Пусть х — (х\,..., хр) ■ с; тогда в силу леммы 6

С(х) = гф,{Ь,Ьх\ЬТ1*\...,ЬХ1Х> ЬбС(ц...1р))ПР

Так как хр = (х\...хр,х2■ . хрх\,. .., хрх\ .. . хр_х) имеет по предположению конечную высоту, то, в частности, х\ .. ,хр имеет конечную высоту. С другой стороны, хх ... хр < х, и, значит, по предположению индукции централизатор С(х 1 .. ,хр) конечно порожден. Поскольку стабилизатор 81(1) имеет конечный индекс в прямом произведении (Р х ■ ■ ■ х Р) о 1с1, то и централизатор С(х) конечно порожден.

б) Пусть х = (»1,..., Хр); тогда в силу леммы 6

С(х) = гР(в,Л) I е <?(*,).* = 1.• • ■ ,р)пр-

Очевидно, элементы х, имеют конечную высоту. Кроме того, хг < х,

..,)>, поэтому по предположению индукции централизаторы С(хг) конечно порождены, а значит, конечно порожден и централизатор С(х). Достаточность доказана.

Необходимость также докажем индукцией по частичному порядку, но применять ее будем к элементам, хотя бы одна степень которых имеет бесконечную высоту. Базой индукции здесь является теорема 2.

в) Пусть х — (х),... ,хр) ■ с; тогда элемент х имеет высоту 1 и, значит, бесконечную высоту имеет некоторая степень элемента х\.. Так как х\ .. ,хр < х, то по предположению индукции централизатор С(х\.. ,хр) бесконечно порожден. Следовательно, бесконечно порожден и централизатор С(х). (Обоснование такое же, как в п. а.)

г) Пусть х — (х-1,.. ,хр) и все хг сопряжены. Поскольку хг < х, г = 1,... ,ри какой-то из х, имеет некоторую степень бесконечной высоты, то в силу сопряженности х, централизаторы С(ж,-),1- = 1,...р бесконечно порождены. Тогда бесконечно порождены и пересечения 6'(ж,) П соз^(1)(и), г — 1,. .р. Следовательно, бесконечно порождено пересечение

С(х) П С08^(1) 2 Оок^О X ... X Сро^р)-

Так как совЦ!) имеет в группе Р конечный индекс, то бесконечно порожден и сам централизатор С(х).

д) Пусть ж = (ц, • • ■ хр) и х, не сопряжены, тогда имеет место включение С(х) < бЩ), и дальнейшее очевидно. Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть х 6 Ее ли х имеет порядок р и высоту 1, то он сопряжен с корневым порождающим с.

108

А. В. РОЖКОВ, Т П. ФИЛИППОВА

Доказательство. Так как ^ — р-группа, то с точностью до возведения в степень 2,3 ... или р — 1 можем считать,что х — ..., хр) с. По предположению хр = 1, отсюда хр = хр\ . ..х^1. Таким образом,

х = (х1,х2....,хр^1,х~11 .. .г^1) • с. (3)

Произвольный элемент подгруппы 1) имеет вид

х = (с^Г^х1,с^Пх2, ,Л/а'Хр), (4)

где

=<*,_!-а,_2 + + ("1)'а1 - а,+1 + а,+2 - • ■ + (-1)!_1ар

их, £ совЦ!), г = 1,..., р.

Чтобы элемент г: имел вид (3), необходимо и достаточно, чтобы

отсюда следует, что «1 + «о +.. . + вр =0 Значит, элементы группы Р порядка р и высоты 1 имеют вид

(с^Пхис">Пх2,. .,с-*>Г'хр)-с, (5)

где 7, = /3, + (-])'(«! + «2 + ■ • + «р), г, € совЦ!), г = 1,. . ,р При этом произведение координат элемента х равно 1.

Найдем элемент х' £ Р такой, что сх = а1. Пусть х' элемент вида (4). где символы х,, а,, (3% заменены на х[, /?,'. Пусть х\ — 1, тогда

с*' =(Г<с-№'2Г>х'2,. .,(х'рГ1Г<с-^+в,1П)-с

Чтобы найти коэффициенты а[, рассмотрим равенство сх = х по модулю со&Ц1). Получим «2 — л 1 + «11 «з = а^+см+аг, • •,<*£ = + «1 + «2 + - ■ -+ар-1 Так как а\ — произвольный элемент,то возьмем л', = —«ь тогда а'2 = 0,

«3 - «2,-• • .«Р = «2 + «3 + + Ор-1

Таким образом, равенство сх = х при переходе к координатам дает систему, которая очевидными преобразованиями приводится к виду

х'2 - жь

Подстановка значений х[ в последнее уравнение системы показывает, что оно является следствием предыдущих. Следовательно, искомый х' всегда существует. Теорема доказана

следствие. Данная теорема при р — 3 верна и для группы С.

Теорема 6. Элементы группы Р, все степени которых имеют конечную высоту, исчерпываются элементами порядка х и высоты 1.

ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ЭЛЕМЕНТОВ

109

Доказательство. Покажем, что высота элемента не может быть 2 и более. Пусть х — (a?i,..., Xi, 1,..., 1), где i — 1,...,р их3 имеют высоту 1, j — 1,..., i.

По теореме 4 элементы х, сопряжены с порождающим с, то есть х, = с1' — с[с, í,], г = 1,... ,р. Таким образом,

* - ■ • - ,с[сЛ], 1,..1) G 1, -, 1) cost(l).

Но в фактор-группе st( 1)/ cost(l) нет элементов вида (с,..., с, 1,..., 1), где

ie{i,...,p}.

Далее доказательство проводим индукцией по высоте п. Пусть х - (xi,..., Хр) элемент высоты п > 2, тогда какой-то х, — элемент высоты п - 1, что противоречит предположению индукции. Следовательно, высота элемента не может быть 2 и более. Теорема доказана.

Следствие. Централизатор элемента х группы F конечно порожден тогда и только тогда, когда элемент х сопряжен с порождающим с группы F.

Теорема 7. Пусть х € G не сопряжен с продольным порождающим д, тогда все его степени имеют конечную высоту.

Доказательство. Так как в группе G подгруппа А* не имеет кручения, то элементы конечного порядка исчерпываются элементами вида cd, gd, d £ G Первые имеют конечную высоту, вторые — бесконечную. Все остальные элементы имеют бесконечный порядок.

Итак, пусть х — элемент бесконечного порядка. Индукцией по частичному порядку докажем, что все элементы бесконечного порядка и их степени имеют конечную высоту. База индукции х — g ■ с

а) Пусть х = (а?!, х2, £з) ■ с — элемент высоты 1. Поскольку он бесконечного порядка, то х3 = (xix2x3, Х2Х3Х1, тзХ]Х2) — имеет бесконечный порядок. В смысле частичного порядка х\х2хз < х, тогда по предположению индукции х\х2х3 имеет конечную высоту.

б) Пусть х = (xi,x2,xs) — элемент бесконечного порядка. Тогда хотя бы один из х, имеет бесконечный порядок, а координаты конечного порядка равны 1. Поскольку хг < х, то по предположению индукции все его степени имеют конечную высоту. Теорема доказана.

Следствие. Централизатор элемента х группы G конечно порожден тогда и только тогда, когда элемент х не сопряжен с порождающим g группы G.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Рожков A.B. К теории групп алешинского типа // Мат. заметки. 1986. Т. 40, № 5. С. 572-589.

[2] Рожков А.В Централизаторы элементов в одной группе автоморфиз-

мов деревьев // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. Т. 57, № б. С. 82-105.

но

А. Г. РУБИН

[3] LENNOX J.С Nilpotent extensibility and centrahzers m infinite 2-groups // Rend Circ. mat Palermo Ser. 2 1990. V 39, № 2B. P 209-219