CC BY
37
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АТ-ГРУППЫ НАД ЦИКЛИЧЕСКИМИ ГРУППАМИ *
А.В. Рожков
Указаны условия, необходимые для периодичности АТ-групп над последовательностью абелевых групп. Приведены достаточные условия периодичности в этом же классе АТ-групп. В случае циклических групп дан критерий периодичности.
Ключевые слова: АТ-группа, направляющий путь, действие группы на множестве.
1. Введение
Конструкция бернсайдовых групп, доступных прямому изучению, реализованная в виде АТ-групп [1], давно доказала свою полезность при решении проблем в теории групп и алгебре. С помощью АТ-групп удалось передоказать почти все результаты, полученные ранее только с использованием конструкции Е.С.Голода [2], а также много новых. Однако класс АТ-групп включает не только периодические группы, более того, периодичность — достаточно редкое свойство этих групп.
До настоящего времени практически все примеры, подвергнутые детальному изучению, принадлежали классу так называемых АТш-групп, где ш — последовательность простых чисел. Речь идет о базовом конструктивном элементе, который является циклической группой простого порядка. Циклические группы простого порядка имеют очень понятное строение. Их самое полезное для теории АТ-групп свойство состоит в том, что они порождаются любым своим неединичным элементом и естественным образом могут быть доопределены до поля. Это дает возможность рассматривать для АТш-группы сопровождающие векторные пространства над конечными полями и применять всю мощь линейной алгебры. Для АТш-групп необходимые и достаточные условия периодичности были установлены в момент введения самой конструкции [1].
Однако уже в случае АТ-группы над последовательностью циклических групп непростого порядка никаких общих теорем о периодичности до сих пор не доказано. Более того, до настоящего времени в литературе только упоминалась вторая 2-группа Григорчука (над последовательностью
*Поддержано грантами РФФИ (р2001Урал №01-01-96404) и Минобразования (Л»Е 00-1.0-150).
2^4,2^4,но сама группа не исследовалась), а также отдельные примеры использовались для решения конкретных проблем [4].
В данной работе решен вопрос о периодичности регулярных АТ-групп над последовательностью циклических групп для случая, когда все направляющие пути продольных порождающих являются почти равными. Случаи примарных порядков и порядков, не содержащих квадратов, разобраны отдельно ввиду их важности для приложений.
В работе используются стандартные обозначения общей теории групп [5] и обозначения теории АТ-групп [3].
2. Основные определения
Пусть А = (А\, Аъ, ■ ■ ■) — последовательность множеств, каждое из которых содержит не менее двух элементов. Наборы а = (а\,... ,ап),щ € .Аз, будем называть кортежами длины п, обозначая длину кортежа а через |а|. Множество Т всех кортежей превратим в дерево (сферически однородное), объявив кортежи вершинами и соединяя ребрами только вершины и = (щ,..., ип) и V = («1,..., «„+1), гг € М, помечая построенное ребро
символом «„+1 € ип+\. Наглядно дерево Т изображено на рисунке:
В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений: и, V, го — вершины дерева Т, а — бесконечные пути в дереве Т. Далее,
ип, 7в — п-е члены соответствующих кортежей; = [А\,_А„)] ищ = («1, ...,«„); 7[„] = (71, ...,7„); Т(и) — поддерево с начальной вершиной и.
Всякий автоморфизм / дерева Т, фиксирующий начальную вершину, однозначно задается набором подстановок ребер дерева Т: f = {,1'(и)\и € Т}, где f(u) — подстановка множества А|и|+1, размещенная в вершине и. Подстановку f(u) будем называть и-ш или п-й сопровождающей подстановкой автоморфизма /, п = \и\ . Автоморфизм / дерева Т называется корневым, если /(0) — единственная нетождественная сопровождающая подстановка автоморфизма /. Пусть 7 — некоторый путь в дереве Т. Автоморфизм / дерева Т называется продольным, с направляющим путем 7, если из /(и) ф 1 следует, что и = (7[„]а„+1) для некоторого п € N и ап+1 € Ап+1, причем ап+1 ф 7^+1.
Пусть ¥ — некоторое множество корневых и продольных автоморфиз-
мов дерева Т. Группа О = gr(F) называется АТ-группой с каноническим порождающим множеством Р, если группа подстановок П„ = gr(/(г^)|/ € .Р, \и\ = п) транзитивна на множестве Ап+\ для любого п € N.
Отображение (и) : А^Т —> А^Т(П), заданное правилом / = {/(у)\у € Т} •-> /(и) = {/(«)(«) = € Т(п}}, называется и-срезкой автоморфиз-
ма /. Пусть О — АТ-группа над деревом Т. Рассмотрим и-срезку, то есть подгруппы < О, стабилизирующую поддерево Т(иу Тогда она тоже
будет АТ-группой над деревом Т(пуп = |и|, называется п-срезкой группы О и обозначается .
Назовем автоморфизм / дерева Т регулярным, если все его сопровождающие подстановки f(u) являются элементами (правого) регулярного представления группы А|и|+1. Если О — АТ-группа над последовательностью групп X и при этом все сопровождающие подстановки всех ее порождающих являются элементами регулярного представления соответствующих групп из последовательности X, то она называется регулярной АТ-группой или просто АТХ-группой. В частности, когда последовательность X состоит из циклических групп простых порядков и эти порядки образуют последовательность ш, то тогда регулярная АТ-группа называется АТш-группой.
Следует отметить, что до настоящего времени интенсивно изучались лишь АТш-группы.
3. Слабо периодические группы
Если АТ-группа О периодическая, то, очевидно, и все ее п-срезки тоже периодические, так же как и все сопровождающие группы подстановок П„, п € N.
Пусть X — последовательность периодических абелевых групп, периоды которых ограничены в совокупности. Пусть О = gr(С, И) — АТХ-группа над последовательностью X, где С и I) соответственно множество корневых и продольных порождающих.
Пусть 1)7 — подгруппа, порожденная всеми продольными порождающими группы О, имеющими направляющий путь 7. Очевидно, любая такая подгруппа будет периодической (при наших предположениях относительно последовательности X).
Так как изучать периодичность нужно сразу во всех п-срезках АТ-группы, не теряя общности, можем считать, что если направляющие пути двух продольных автоморфизмов почти равны (т.е. равны за исключением лишь конечного числа членов), то они просто равны.
Назовем АТ-группу слабо периодической, если все произведения д,с, (], € -07, с € ^(С), имеют конечный порядок во всех п-срезках груп-
пы О.
Слабая периодичность кажется свойством очень далеким от периодичности. Тем не менее для АТ-групп это условие весьма сильное и часто влечет вложение в АТ-группу любой конечной р-группы (где р зависит от последовательности, над которой АТ-группа построена).
Теорема 1. Пусть О — АТХ-группа над последовательностью периодических абелевых групп, периоды которых ограничены в совокупности. Пусть все направляющие пути всех продольных порождающих группы О попарно равны. Тогда группа О будет периодической тогда и только тогда, когда она будет слабо периодической.
Доказательство. А) Необходимость условия очевидна. Докажем достаточность. Так как продольные порождающие образуют абелеву группу gr(D), то каждый элемент х группы О можно записать как произведение вида
х = Ь]_ё-[Ь2....Ьпёп, к € gr(C),di € gr(D), г = 1, 2,п.
Поскольку речь идет о периодичности элемента X, то, с точностью до сопряжения, можем считать, что Ъ\ ф 1 ,Ьп ф 1. Число 2п назовем слоговой длиной элемента х, а число п — продольной длиной. Доказательство достаточности проведем сразу во всех срезках группы О индукцией по продольной длине.
Б) База индукции — слова продольной длины 1. Корневые порождающие имеют конечный порядок в силу периодичности групп из последовательности X, продольные — в силу того, что периоды всех этих групп ограничены в совокупности. Все остальные слова продольной длины 1 имеют конечный порядок по условию теоремы. Пусть во всех срезках все слова продольной длины меньше т имеют конечный порядок и слово х — продольную длину, равную т.
В) Докажем, что найдется некоторая степень элемента х, чьи проекции на поддеревья имеют продольную длину, меньшую чем т. Тогда, по предположению индукции, все его проекции периодические и, значит, сам элемент х имеет конечный порядок.
Пусть х = у • с,у € 8^1),с = Ъ]Ь2--Ъп € gr(C'), где б1;(1) — подгруппа группы О — стабилизирующая все вершины дерева Т длины 1. Слово у запишем в виде у = ё^1 ■ ё^1^2 • ••• • ёьг1ь'2'"ьп. Так как каждое произведение ё° дает на координатах только один продольный порождающий, суммарная продольная длина всех координат элемента у не превосходит числа т. Поэтому, если с = 1, т.е. х = у € б1;(1), то периодичность элемента х очевидна.
Г) Пусть с ф 1, ск = 1, к € М, — порядок элемента с. Рассмотрим к-ю степень элемента х :
хк = {ус)к=уу-с-у-г -...-у-^-1.
Не теряя общности, можем считать, что направляющие пути всех продольных порождающих равны (0,0,...) — последовательности нейтральных элементов групп Хх,Х2,... Кроме того, напомним [4], что если — п-срезка группы О, то = gr(Сп, -Оп), где gr(C'n) = Хп, п € N.
Пусть одна их координат элемента хк имеет продольную длину т. Сопрягая, если необходимо, некоторым корневым автоморфизмом из gr(C'), можем считать, что это элемент х\, находящийся на поддереве Т(0) , начальной вершиной которого является нейтральный элемент группы Х\. Так как сопряжения элементом с перемещают вершину (0) по вершинам, принадлежащим подгруппе gr(c), то неуменынение слоговой длины произойдет лишь в том случае, когда все сомножители в записи элемента у имеют вид где Ь € gr(c).
Обратим внимание, что координаты, находящиеся в вершинах из подгруппы gr(c), будут сопряженными между собой, а все остальные координаты имеют нулевую продольную длину.
Д) Теперь рассмотрим элемент х\ € @(1)- Запишем его в виде х\ = У1С1, ух € б1;(1), с\ € gr(C'l). Прежде всего, в силу вида элемента х и абелевости сопровождающей группы подстановок X2 (которой принадлежит элемент С1), имеем равенство
П
С\ = п п <^г(Ь), где с1{(Ь) — сопровождающая подстановка.
г=1 5egr(c)
Если положить <1 = ПГ=1 т0 получится, что произведение {йс)к индуцирует на поддереве Т(0) элемент ё^С1, где еЦ) — сужение продольного автоморфизма (], на поддерево Т^у Кроме того, из предположения, что продольная длина элемента х\ равна продольной длине исходного элемента х, мы получаем, что произведение всех продольных порождающих, входящих в запись элемента х\, в точности равна й^у
Е) Если с\ = 1, то х\ € st(l) и уже его координаты имеют продольную длину меньше т, следовательно, по предположению индукции периодичность элемента х\, а вместе с ним и элемента х очевидна.
Если с\ ф 1, то мы поступаем с элементом х\ так, как в пункте Г) поступили с элементом х. В силу замечания в конце пункта Д) (по поводу произведения продольных порождающих в записи элемента х\) мы видим следующее. Неуменынение продольной длины вновь возникающих элементов Ж1,Ж2, ••• параллельно последовательному возведению в степень элемента йс. Таким образом, если процесс возведения в степень элемента х никогда не даст 1, то и произведение йс тоже окажется бесконечного порядка, что противоречит слабой периодичности группы О. □
Однако, в общем случае, когда есть продольные порождающие, у которых направляющие пути не являются почти равными, условие слабой периодичности оказывается недостаточным для обычной периодичности. Соответствующий пример приведен в работе [6].
Спрямлением продольного автоморфизма й, с направляющим путем 7, вдоль пути г] в АТ-группе О называется последовательное сопряжение продольного автоморфизма с?*1*2••• при помощи элементов 1п € О таких, что гп € з^7[„_1]), (7„)г„ = %,п € N.
Если О = gr(С, .0) — АТ-группа, 7 — некоторый путь, то пусть (?7 = &т{С,01) — группа, спрямленная вдоль пути 7.
Теорема 2. Пусть О — АТХ-группа над последовательностью периодических абелевых групп, периоды которых ограничены в совокупности. Пусть 7 — некоторый путь. Если спрямленная группа (?7 периодическая, то исходная, группа О тоже будет периодической.
Доказательство. Прежде всего отметим, поскольку спрямленные подгруппы для разных направляющих путей не просто изоморфны, а подобны как группы подстановок на множестве вершин дерева Т, то можем считать, что 7 — произвольный путь.
Проверим, что условие слабой периодичности спрямленной группы является достаточным для периодичности исходной группы О. Доказательство, так же как и в предыдущей теореме, проведем индукцией по продольной длине элемента х € О. База индукции дана по условию теоремы.
Пусть х — контрпример минимально возможной продольной длины т. Пусть, как и выше, х = у • с, у € б1;(1), с € gr(C'), |с| = к. При возведении элемента х в степень к хотя бы одна из координат имеет бесконечный порядок. Более того, в силу минимальности продольной длины элемента х именно эта координата, обозначим ее х\, должна иметь продольную длину т. Аналогично, в силу бесконечности порядка элемента х\ = п\С\, |сх | = к\, И {х1Сх)к1 имеет некоторую координату Х2 = У2С2, |С21 = продольной длины т и т.д. При этом, естественно, с\ ф 1,С2 ф 1,..., так как иначе продольная длина следующей координаты уменьшится.
Пусть 71,72,... — символы, помечающие соответствующие координаты. Положим 7 = (71,72,...). Пусть д, равно произведению всех спрямленных вдоль 7 продольных порождающих, входящих в запись элемента х. Так же, как и при доказательстве теоремы 1, убеждаемся, что последовательному возведению в степени элементов х, XI,... соответствует
возведение в эти же степени элемента йс и его последовательных проекций на поддеревья Т(71),Т(7172),... В случае если первая цепочка бесконечна, то
бесконечный порядок имеет и элемент йс, что противоречит условию теоремы. □
Предположение, что слабая периодичность исходной группы влечет ее периодичность, неверно.
Пример 1. Рассмотрим АТХ-группу О = ^(с, /, К) над последовательностью 2^4,2^4,где с — корневой, а f,h — продольные порождающие
/ = (д,с, 1,с_1),5 = (/, с, 1,1), к = (1,1, с, 0,1 = (с, 1, с-1, Л).
Тогда группа (? является слабо периодической, но не периодической.
Доказательство. Слабая периодичность следует из того, что порядки всех произведений /с, /с2, дс, дс2, Лс, Лс2,1с, 1с? не превосходят 8.
Проверим, что произведение fhc имеет бесконечный порядок. В самом деле, т.к. //г = (д, с, с, с^11), то
(/И4 = /М/Л)с3(/Л,)с2(/Л,)с = (д • с -с - с-Н, *, *, *) = (дс1, *, *, *),
где все остальные координаты сопряжены с первой. Так как произведения дс1 и 1дс = (с/, 1, с-1, К)с сопряжены и (1дс)4 = (с/ • с - с-1 • Л,*,*,*) = (cfh, *, *, *), то бесконечность порядка элемента fhc очевидна. □
4. АТ-группы над циклическими группами
Наша задача — это нахождение условий слабой периодичности в случае, когда АТХ-группа построена над последовательностью из циклических групп.
Вначале изучим некоторые важные частные случаи.
4.1. Группа примарного порядка
Рассмотрим АТХ-группу над последовательностью X = {Ърк,Ърк,...
..., Ърк,...) циклических групп примарных порядков рк. При к = 1 получается уже хорошо изученный случай АТш-групп, поэтому считаем, что к > 1.
Пусть О = gr(с, (],) — АТ-группа, где с — корневой порождающий, (], — продольный. Поскольку мы будем искать условия слабой периодичности, то можем считать, что группа О порождается одним продольным порождающим с направляющим путем (0,0,0,...) из нейтральных элементов группы Ъп.
По определению продольного порождающего он имеет вид
где Уг(й,п) € ЪрП, а — соответственно продольный и корневой по-
рождающие п-срезки Сг(п) группы О.
При возведении элемента вида в степень рк~в содержать про-
дольный порождающий д,(п+1) в качестве сомножителя будут только координаты, номера которых принадлежат аддитивной подгруппе gr(ps) = {0,р5, 2рв,..., (рк^в — 1)р5}- При этом у всех координат среди сомножителей будет только один сомножитель, равный продольному порождающему (],(п+1), и его степень будет равна 1. В то же время сумма показателей степеней всех вхождений корневого порождающего будет равна
х = п + 1).
i£gr(ps)
Поскольку для дальнейшего важна только аддитивная подгруппа, порожденная элементом х, то пусть gr(ж) = gr(v(s,n + 1)).
Теперь рассмотрим общую ситуацию возведения в степень рк~в эле-
Г)8 Г)*
мента с, ч. Как и выше, продольный порождающий будут содержать \П) \П)
только координаты, чьи номера принадлежат подгруппе gr(ps). Но сумма степеней продольного порождающего будет равна р1, а корневого
х = р1 • п + 1).
*£ёГ(р8)
Для слабой периодичности группы О необходимо, чтобы во всех срезках группы О все элементы вида
*>)**(£)’п е е {°’ К2- •••’* “ Х} (Х)
имели конечный порядок. Поскольку при возведении в степень слоговая длина координат исходного элемента не возрастает, то для этого достаточно, чтобы она на некотором шаге уменьшилась. Это, в свою очередь, означает, что сумма степеней корневого порождающего должна стать равной нулю по модулю рк. В силу того, что произведение элементов АТ-группы дает сумму показателей корневого порождающего, а возведение его в степень равносильно умножению на соответствующее число (в нашем случае на р*), в дальнейшем удобно работать в мультипликативной полугруппе {0,1 ,р,р2, ...,рк^1} кольца Ърк.
Но мы будем придерживаться аддитивной формы записи и поэтому используем изоморфную ей аддитивную полугруппу К = {0,1, 2,..., к} со следующей операцией:
Г г + 7, если г + 7 < к
% (Т) о = <
у к — в противном случае.
Теперь мы введем основной объект нашего изучения матрицы Л/. I (г {0,1, ...,к — 1}. Каждая матрица Л/ имеет размер к х оо и состоит из элементов полугруппы К. Основной является матрица Л = Ло, ее элементы обозначим символами Ау, 'I € {0,1,к — 1}, j € N. Элемент матрицы Л/ с индексом 7,^ равен Ау ф £, где Ау — элемент матрицы Л.
Процесс последовательного возведения элементов (1) в степени равносилен следующему движению в матрице Л/ (назовем его питью). Находясь в точке с координатами в, п матрицы Л/, перемещаемся в точку, номер строки которой равен \3^п, а номер столбца п + 1. Таким образом мы двигаемся вправо до тех пор, пока нам не встретится символ к и движение станет невозможным, поскольку строки с таким номером нет.
В силу предыдущего группа О будет слабо периодической тогда и только тогда, когда все нити во всех матрицах Л/. I € {0,1, ...,к — 1}, конечны.
Выясним, при каких ограничениях на матрицы Л/ это возможно. Очевидное необходимое условие состоит в том, что среди элементов матрицы Л (а значит, и среди элементов всех матриц Л<) должно быть бесконечное число элементов к. Однако столь же очевидно, что это условие не является достаточным.
Очевидным достаточным условием для матрицы Л (а значит, и для всех матриц Л<) является наличие бесконечного числа столбцов, состоящих целиком из символов к, или же, более общо, наличие бесконечного числа «^ор-столбцов.
Столбец ] называется я^р-столбцом, если Л5^ = к, в £ Б, для некоторого непустого подмножества Б С {0,1,...,к — 1}; и Лу_1 £ 5,1 £
Понятно, что столбец из символов к всегда является яЬор^столбцом. Следует отметить, что яЬор^столбец матрицы Л вовсе не обязательно является яЬор^столбцом матрицы > 0. Например, уже при к = 2 сле-
В то же время достаточное условие, при котором весь столбец состоит из символов к, остается верным и для всех матриц > 1.
Теперь укажем необходимое и достаточное условие для того, чтобы все нити в матрице Л были конечны.
Каждой матрице Л с конечными нитями мы взаимно однозначным образом поставим в соответствие ориентированный граф Т. Его вершины задаются в виде двумерного массива
{0,1,..., к — 1}.
дующий фрагмент
матрицы Л является яЬор^столбцом, чего не
скажешь об этом же фрагменте
При этом ребро соединяет пары вершин (левая вершина начальная) только тогда, когда в матрице Л имеет место равенство Ау = .
Конечность нитей в матрице А равносильна тому, что граф Т является объединением конечных корневых деревьев. Корневое дерево — это частично упорядоченное множество, имеющее наибольший элемент (корень) и являющееся деревом.
Обратно, рассмотрим массив точек Т размера к х N и произвольно разобьем его в объединение конечных корневых деревьев, причем ребра могут соединять только вершины из соседних столбцов и больший элемент всегда находится правее.
Матрица А по графу Т восстанавливается однозначно. В точках, соответствующих корням деревьев, мы помещаем символы к, а далее по индукции. Если мы находимся в точке с координатами (*,,?) и она соединена в дереве с точкой с координатами (гЛ,^ — 1), то в этой точке помещаем символ 'I.
Таким образом, нами установлена следующая теорема.
Теорема 3. АТХ-группа над последовательностью циклических групп порядка рк с одним продольным порождающим будет слабо периодической тогда и только тогда, когда ориентированный граф Т<; построенный по матрице Л/ является объединением, конечных корневых деревьев для, всех чисел I = 0,1,..., к — 1 .
Для полной характеризации слабо периодических групп над последовательностью примарных циклических групп достаточно выяснить связь графа Т, построенного по матрице Л, с аналогичным графом Т^, построенным по матрице Л/. I € {1, 2,..., к — 1}.
К сожалению, матрица Л однозначно задает все остальные матрицы Л/, но связь графа Т с графом при к > 2 пока остается не поддающейся исследованию.
При к = 1, т.е. в случае АТш-групп, ответ выглядит наиболее просто. Матрица Л состоит из одной строки, и конечность нитей означает, что в ней бесконечное число раз встречается символ 2. На языке графа Т это означает, что он является объединением конечных цепей. Никаких матриц At нет.
При к = 2 ответ также несложен. Необходимым и достаточным условием слабой периодичности АТХ-группы является требование, чтобы граф Т, начиная с некоторого места, не состоял из двухэлементных корневых деревьев, у которых корень расположен в верхней строке исходного массива размера 2 х N.
4.2. Группа, порядок которой свободен от квадратов
Следующий наш пример — регулярная АТХ-группа над последовательностью циклических групп, порядки которых не делятся на квадрат простого числа. Данная ситуация в некотором смысле двойственна рассмотренной выше:
где д = Р1Р2—Рт в свою очередь элементы Р1,Р2, ■■;Рп, п > 1, — попарно различные нечетные простые числа.
Рассмотрим коммутативную полугруппу делителей числа д с операцией, обозначенной символом ф (число д будем считать нулем этой полугруппы). В качестве порождающих возьмем числа рг,р2, ■■■,Рп и кроме коммутативности наложим соотношения Р1 ® Р1 = Р1,^ < г < п, (предполагается, конечно, что 0 ф pi = о, 1 < i < п).
Дальнейшие рассмотрения полностью совпадают со случаем примар-ной группы. Отличие состоит в том, что операция ф сложения элементов полугруппы и, соответственно, матриц Л теперь будет такой, как это записано в предыдущем абзаце. А вместо возведения продольного порождающего В степени р1 МЫ ДОЛЖНЫ будем ВОЗВОДИТЬ его В степени р^р^.-.рц, 1,1,1 < *2,-:Ч <п,1 <п.
Формулировка теоремы о слабой периодичности АТХ-группы О над группой, чей порядок свободен от квадратов, дословно совпадает с формулировкой теоремы 3.
4.3. Общий случай
Теперь рассмотрим произвольную циклическую группу Ъп и АТХ-группу над последовательностью Ъп, Zn,...
В этом случае множество подгрупп группы Ъп совпадает со множеством делителей числа п. На множестве делителей числа п введем операцию 5 Ф £ = gcd(s • Ь,п) — наибольший общий делитель обычного произведения чисел 5-1 и числа п. При этом удобно число п заменять на 0, в полном соответствии с тем, как вычисления ведутся в группе Ъп. Следовательно, 5ф0 = 0.
При нахождении условий периодичности группы О нам придется рассматривать всевозможные произведения вида (1*^ • Су-р где .3,1 - делители числа п, ] = 0,1,...
X — (Тд, Та,
д, гид, ..., гид
Ъф...)
Пусть
єФ)
Положим Лг^+1 — делитель числа п такой, что имеет место равенство подгрупп gr(x(s,j + 1)) = gr(ЛгJj+l).
При возведении элементов в степень естественным образом возникает матрица Л = (Лу), % — собственные делители числа п, ] € N. Сами элементы матрицы Л принадлежат множеству всех делителей числа п, т.е. не исключен и случай делителя, равного п.
Процесс возведения в степень элемента вида (<%)су))”^ равносилен движению по элементам матрицы Л по следующему алгоритму.
После возведения элемента • сг^ в степень п/'1 мы попадаем на место элемента Лу+1. (Обратим внимание, что до возведения исходного элемента в степень мы могли быть вне матрицы, т.е. сам исходный элемент в нашей матрице может и отсутствовать!) После возведения в подходящую степень получившегося элемента мы переходим в столбец // + 2. а номер строки равен А^^+\ и т.д. Путь будет конечным, если на каком-то шаге мы получим элемент, равный п (поскольку у нас нет строки с номером п).
При возведении в степень элементов У нас получится матрица
= А ф I. Как и выше, по матрице Л строится ориентированный граф Т и итоговая теорема приобретает следующий вид.
Теорема 4. АТХ-группа над последовательностью циклических групп порядка п с одним, продольным, порождающим, будет слабо периодической тогда и только тогда, когда ориентированный граф Т<; построенный, по матрице Л /. является объединением, конечных корневых деревьев для, всех чисел 1, являющихся делителям,и, числа, п.
Пусть АТХ-группа задана над последовательностью циклических групп порядков П1,П2,... и N — их наименьшее общее кратное. В этом случае аналогом матрицы Л будет последовательность столбцов, перенумерованных числами 2,3,... При этом ]-т столбец содержит столько элементов, СКОЛЬКО собственных делителей имеет ЧИСЛО Пу, а его элементами являются делители числа . Операция сложения ф в каждом столбце j будет своя: sфjt = gcd(s • £, п^), где 5 взят из з~го столбца и поэтому является делителем числа а I — делитель числа N.
Аналогично строятся последовательности Л/, где I — делитель числа N. Последовательность Л/ получается из Л применением к j-мy столбцу и столбцу соответствующего размера, состоящему из символов £, поэлементной операции Фj,j = 2, 3,...
Теорема 5. АТХ-группа О над последовательностью циклических, групп, ограниченных в совокупности порядков П1,П2,... с одним, продольным, порождающим, будет слабо периодической тогда и только тогда, когда ориентированный граф ТI, построенный, по последователен,ост,и, столбцов Л /.
является объединением конечных корневых деревьев для всех чисел t, являющихся делителям,и наименьшего общего кратного чисел пі,П2, •••
ATX-группа G над последовательностью циклических групп ограниченных в совокупности порядков щ, П2, ••• будет слабо периодической тогда и только тогда, когда ориентированный граф Т, построенный по последовательности столбцов A(d), является объединением, конечных корневых деревьев для, всех d из подгруппы, D7 продольных порождающих, имеющих направляющий путь 7 для любого 7.
При, этом матрицы, Л(d) имеют следующее описание. Выбираем базис /, ...,д подгруппы, D7; пусть Л(/), ...,А(д) — соответствующие им последовательности столбцов. Если
d = /‘(Л.../9), Ш t(g) є Zj то A(d) = t(f) ф Л(/) ф ... ф t(g) Ф Л(5).
Список литературы
1. Рожков А.В. К теории групп алешинского типа // Мат. заметки. 1986. Т.40, № 5. С. 589-572.
2. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах // Изв.
АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, 2. С. 273-276.
3. Рожков А.В. АТ-группы: Учеб. пособие. Челябинск, 1998. 84 с.
4. Рожков А.В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев // Ал-
гебра и логика. 1998. Т. 37, № 5. С. 568-605.
5. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 4-е изд. М.: Физ.-
мат. лит., 1996. 280 с.
6. Рожков А.В., Денисова Ю.Ю. Периодическая АТ-группа над группой Клейна// Вести. Челяб. ун-та. Сер. 3. 2003. 1. С. 34-51.
Челябинский государственный университет [email protected], www.kb.csu.ru
