Ат-группы над последовательностью абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

АТ ГРУППЫ НАД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Е.Л. Первова*

Челябинский государственный университет

Изучаются свойства одной АТ-группы над последовательностью нециклических АТ-групп, в частности, строение ее костабилизаторов и ее плотность во всей группе автоморфизмов бинарного дерева.

Ключевые слова: АТ-группа, костабилизатор, плотность.

В работе исследуется группа Григорчука О, построенная в [1]. Одним из удобных способов задания этой группы является ее задание в виде группы автоморфизмов бесконечного корневого дерева Т. Это дерево имеет выделенную корневую вершину 0 валентности четыре, а все остальные вершины имеют валентность пять. Если V — любая другая вершина дерева Т, то минимальное число ребер пути, соединяющего V с корневой вершиной, называется длиной вершины V.

Если и — вершина дерева Г, то через Ти обозначим максимальное однородное корневое поддерево с выделенной вершиной и, не содержащее вершину 0. Существует естественное отображение подобия между деревом Ти и деревом Г, которое позволяет рассматривать любой автоморфизм дерева Ти как автоморфизм дерева Т.

Приведем необходимые определения. Группа О порождается двумя автоморфизмами бесконечного дерева: с и Автоморфизм с циклически переставляет ребра, выходящие из корневой вершины. Автоморфизм (I оставляет на месте вершины длины 1, поэтому его можно сопоставить с совокупностью его сужений на поддеревья, порожденных этими вершинами. В силу упомянутого выше подобия между деревом Т и его поддеревьями эти сужения можно рассматривать как элементы группы С. Более точно, рассмотрим совокупность элементов группы О, оставляющих на месте вершины длины 1, которые составляют подгруппу, обозначаемую в дальнейшем з!(1). Элементам этой подгруппы ставятся в соответствие их сужения на поддеревья, что индуцирует вложение группы з1(1) в прямое произведение Сг X Сг X Сг X Ст. Имея в виду образ при этом гомоморфизме, будем писать х = (ж1, Ж2, ®з, ха) при х £ в!;(1) (порядок вершин фиксирован). При этом порождающий автоморфизм задается равенством

(I = (с, 1, с, 6?) .

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 96-15-99017).

Подгруппа, определенная равенством

st(ra) = P| st(-w) ,

\и\=П

называется конгруэнц-подгруппой группы G уровня п. Для данной вершины и дерева Т пересечение стабилизаторов всех вершин v, не принадлежащих поддереву Ти, называется коспгабилизапгором вершины и и обозначается cost(-w). При этом

cost(ra) = ^cost(-w) |и| = , cost(ra) <| st(ra) <| G.

Основные результаты содержатся в нижеследующих четырех леммах. ЛЕММА 1. Группа G является 2-группой.

Доказательство. Длиной слова х в порождающих с, d, представляющего элемент группы, будем называть число вхождений порождающего d в слово: если х = caid^1 ■ ■ ■ ca™damcarn+1, где а2,..., ат, /3i,..., /Зт G {±1, 2}, ai,am+i G {0, ±1,2}, то длина д(х) = т. Длиной элемента называется минимум длин представляющих его слов. Индукцией по длине элемента х докажем, что его порядок есть степень двойки.

Пусть д{х) = 1. Тогда х сопряжен с элементом вида cad13 при некоторых а и (3. Если а = 0, то очевидно, что \х\ = 4 или 2. Теперь, поскольку

(cd13)4 = (PdPc?, dfjc2i\ cV) ,

(с“ V)4 = (Л2*5, cW, cW, c2^) ,

достаточно показать, что порядок элемента c2d@ есть степень двойки. Но (c2d^)4 = (1, d2^, 1, d2^) , поэтому его порядок равен либо нулю, либо двум. Пусть теперь д(х) = п > 1.

1) если х G st(1), х = (æi, х2, хз, Х4), то д{х{) < д(х), и так как порядок | ж | равен максимуму порядков |жг|, то можно воспользоваться предположением индукции;

2) пусть dd(x) = 0(mod2), х = с^1 (æi, x2l Ж3, Х4) . Тогда ж4 равен

либо

(Ж2Ж3Ж4Ж1, Х3Х4Х1^2, Х4Х1Х2Х3, Х1Х2Х3Х4) ,

либо

(Ж4Ж3Ж2Ж1,Х1Х4Х3Х2,Х2Х1Х4Х3, Х3Х2Х1Х4).

В первом случае все срезки элемента ж4 сопряжены с элементом Х1Х2Х3Х4, а во втором — с элементом Х4Х3Х2Х1. Но

$c(æiæ2æ3æ4) = dc(x4XsX2Xi) = 2 dd(x) = 0(mod4),

и поэтому оба этих элемента лежат в з!;(1). С другой стороны,

д{х4ХзХ2Х\) < 0(ж), д(х1Х2ХзХ4) < 0(ж).

Поэтому предположение индукции выполняется для срезок этих элементов. Так как \х\ равен либо 4|Ж1Ж2Ж3Ж4|, либо 4\х4ХзХ2Х\\, то \х\ есть степень двойки;

3) пусть х = с2(ж 1,ж2,жз, Ж4). Тогда х2 = (Ж3Ж1, Ж4Ж2, х\Хз, Ж2Ж4). За-

пишем х в виде х = с2и(б?, (Iе, ¿с , ¿с ). Сумму показателей при с1 в слове V обозначим 04 (ж), при 6?с - 01 (ж), при (Г2 - 02 (ж) И при 6?с 1 — 03(ж).

Пусть теперь 0(жзж1) = 0(ж). Из этого, в частности, следует, что 02 (ж) = 04 (ж) = 0. Но 0с(жзж1) = 2(02 (ж) + 0(ж)) = 0. Кроме ТОГО, 0(Ж4Ж2) = 0. Поэтому |Ж4Ж21 = 4,2,0, и Ж3Ж1 6 з!;(1). Как и выше, используем предположение индукции для срезок элемента Ж3Ж1.

Случай, когда 0(ж4жг) = 0(ж), разбирается аналогично. Если же 0(жзж1) < 0(ж), 0(ж4жг) < 0(ж), то можно сразу воспользоваться предпо-

ложением индукции;

4) пусть ж = с±(ж1, Ж2, жз, Ж4), 0<г(ж) = 1(тос12). Тогда, как и ранее, либо все срезки его четвертой степени сопряжены С Ж1Ж2Ж3Ж4, либо с Ж4Ж3Ж2Ж1. В случае, когда 0(ж1Ж2ЖзЖ4) < 0(ж), воспользуемся предположением индукции, а в случае, когда 0(ж1Ж2ЖзЖ4) = 0(ж), заметим, что 0С(Ж1Ж2Ж3Ж4) = 20^(ж) = 0(тос12), и в силу 3) получаем, что порядок |ж!Ж2ЖзЖ4| есть степень двойки. Для случая Ж4Ж3Ж2Ж1 рассуждения идентичны.

Так как все случаи рассмотрены, то Сг — 2-группа.

Пусть С = [0,0\, 73 — третий член нижнего центрального ряда группы О.

ЛЕММА 2. С'/тз = ЪА.

Доказательство. Заметим сначала, что С/С = Ъ4 X как это следует из алгоритма нахождения определяющих соотношений (см., например, [3]). Покажем теперь, что \С : 73) = 4 и С/уз =

Из равенств

— 1 9

[[<г,<гс ],(1С ] = (1,1, [[с,с/], с], 1), (1)

[[с1, (1е 1],с1]= (1,1, [[с, с1\, с], [[с1, с],с1]) (2)

следует, что 73 > (73 X 73 X 73 X 73). С другой стороны,

7з = {[[¿, с], с], [[¿, с], ¿\}С. Имеем [[¿, с], с] = (б?-1сб?-1с, с_2й, с2, с-1б?с-1), [[¿, с], с1] = ([б?, с], 1, 1, [с, ¿]) И [б?, с] = (с_16?, С, с-1, 6?с).

Пусть H = (c)G'x (с)G' X (c)G'x (c)G'. Рассмотрим фактор-группы 7з • Н/Н и G' • Н/ Н. Первая из этих фактор-групп как подгруппа модуля Z4 X Z4 X Z4 X Z4 порождена циклическими сдвигами вектора (2,1, 0,1), а вторая — сдвигами вектора (1, 0, 0,1). Легко убедиться, что \d, с]2 (( 73.

Покажем, что \d, с]4 G 73- Так как [d, с]4 = ((c~ld)4,1,1, (de)4),

(c~ld)4 = [d,cf(mod73), (de)4 = [d, c]2(mod73), a 73 > (73X73X73X73),

то \d, c]4 = ([d, c]2,1,1, [c, d]2) (mod 73). A так как

([d, с]2,1,1, [c, d]2)[[d, c], d]2 = ([d,c]4,1,1,1), то [d, c]4 = ([d,c]4,1,1,1).

С другой стороны, [[d, c], c]4 = ([c, d]4,1,1,1), откуда [d, c]4 G 73.

Остается только заметить, что, так как G' = [d,c]G, то факторгруппа G'/73 — циклическая, образующим которой служит смежный класс [d, с]73.

ЛЕММА 3. Для любой вершины и, \и\ = п, cost (и) и = 73.

Доказательство. С одной стороны, из равенств (1)-(2) следует, что

cost(l)(„) > 73. С другой стороны, в фактор-группе

st(l)(G' X G" X G" X G')/{G' X G" x G' x G') любой элемент имеет вид (daica2+ai ,da2eai+as ,da3ea2+ai ,daicai+a3 ).

Поэтому cost(l)(„) < G1.

Заметим, что cost(l) <73 — это фактически было доказано выше. Покажем, что 73П (G' xG' xG' X G;)/(73 X 73 X 73 X 73) порождается циклическими сдвигами вектора (1,0,0, —1). Для этого достаточно показать, что [[d, с], c]G П (G' xG'xG'x G1)/(73 X 73 X 73 X 73) порождается циклическими сдвигами этого вектора. Эта последняя фактор-группа порождается образами элементов [[[d, с], с], dc \, i = 0,1, 2, 3. Непосредственной проверкой получаем, что образ элемента, соответствующего i = 1, равен ( — 1,0, 0,1), а образы всех других элементов являются суммой циклических сдвигов этого вектора.

Отсюда cost(l)(„) = 73. Но так как 73 > (73 X 73 X 73 X 73), то и вообще cost(ra)(u) = 73.

ЛЕММА 4. Плотность группы G в общей группе автоморфизмов бинарного дерева равна

ß(G) = lim lo84|g:»<WI=l,

v ’ п->с*э (4n_l)/3 4

Доказательство. Как следует из определения, для вычисления плотности нужно найти индексы |G : st(n)|. Очевидно, что |G : st( 1) | = 4. Чтобы найти индекс |G : st(2) |, рассмотрим фактор-группу st(l)/st(2). Она изоморфна подгруппе модуля Z4 X Z4 X Z4 X Z4, порожденной векторами

(1, 0,1, 0) и (0,1, 0,1). Ее порядок равен 16, поэтому

|G : st(2)| = |G : st(l)||st(l) : st(2)| = 43 .

Заметим без доказательства, что st(ra) < 73 при п > 3. Действительно, нужно рассмотреть подгруппу X = (G1 X G' X G' X G') П G и доказать, что она содержится в 73. Из равенства st(3) = (st(2) Xst(2) xst(2) xst(2))flG и включения st(2) < G' следует, что st(3) < X, поэтому и st(3) < 73.

Мы получаем, что при п > 4 st(ra) = (st(п — 1) X st(n — 1) X st(n — 1) X st(n — 1)). Отсюда следует формула

|G : st(ra) | = |G : cost(l)|^-^^-p^.

Как мы уже знаем, |G : 731 = 43. Итак, имеем равенство

|G : st(ra) | = |G : cost(l) |1+4+-+4П~4 j4„_3).

Остается доказать равенства |G : cost(l)| = 47 и |G : st(3)| = 47. Эта проверка в общем аналогична проводимой для вычисления индекса st(2). Поэтому получаем равенство

4п~1—5

\G : st(n)| = 4 з .

Теперь утверждение леммы доказывается простым вычислением.

Список литературы

1. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах// Функц. анализ и его прил. 1980. Т. 14, № 1. С. 53 - 54.

2. Рожков А.В. АТ-группы: Учеб. пособие. Челябинск, 1998.

3. Grigorchuk R.I. On the system of defining relations and the Schur multiplier of periodic groups generated by finite automata // Proceedings of Groups St Andrews 1997 in Bath. LMS Lecture Note Series. 1999. Vol. 260. P. 290 - 317.

SUMMARY

We study the costabilizers and the density of one AT-group over a sequence of abelian groups.