CC BY
61
2010 Теоретические основы прикладной дискретной математики №3(9)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.142
О ГРУППАХ АВТОМОРФИЗМОВ МАТРИЦ
В. Н. Егоров
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,
Институт проблем информационной безопасности, г. Москва, Россия
E-mail: [email protected]
В работе рассматриваются группы левых (правых) автоморфизмов матриц, а также группы автоморфизмов. Вид элементов матрицы не играет роли, поэтому рассматриваются квадратные матрицы над кольцом целых чисел. Вводится понятие квазиавтоморфизма матрицы и соответственно понятие группы квазиавтоморфизмов. Дано описание дважды транзитивных групп левых (правых) автоморфизмов в терминах блок-схем. Структурная теория циклических блок-схем использована для вычисления групп левых (правых) автоморфизмов и групп квазиавтоморфизмов циркулянтов. Прикладное значение этой задачи связано с описанием групп автоморфизмов графов и проблемой изоморфизма графов, а также с вопросами групповой эквивалентности дискретных функций.
Ключевые слова: группы автоморфизмов матриц, группы квазиавтоморфизмов матриц, циркулянты, блок-схемы.
Введение
При изучении свойств симметрии различных комбинаторных объектов — матриц, графов, блок-схем, дискретных функций и т. д. —естественным образом возникает понятие автоморфизма данного объекта и соответственно группы автоморфизмов. Вместе с тем оказывается, что для всех этих объектов существует удобное обобщение, а именно — группы автоморфизмов матриц.
При этом вводится понятие левых (правых) автоморфизмов. Кроме того, в работе [1] было введено понятие квазиавтоморфизма матрицы и соответственно группы квазиавтоморфизмов. Оно играет важную роль, например, при описании имприми-тивных групп автоморфизмов графов, в частности циркулянтов.
В данной работе рассматриваются группы левых (правых) автоморфизмов, а также группы автоморфизмов и группы квазиавтоморфизмов матриц. Учитывая, что при этом вид элементов матриц не играет роли, рассматриваются квадратные матрицы над кольцом целых чисел.
В п. 1 приводятся основные определения и обозначения. В п. 2 дано описание матриц, обладающих 2-транзитивными группами левых (правых) автоморфизмов, с помощью матриц инциденций симметричных блок-схем. Получено описание циркулянтов размера n х n при простом n ^ 97 с 2-транзитивной группой левых (правых) автоморфизмов.
В п. 3 изучаются группы квазиавтоморфизмов матриц. Известно [2], что группа автоморфизмов матрицы A является 2-транзитивной тогда и только тогда, когда она
совпадает с симмметрической группой Бп. В то же время известны примеры таких матриц А, что группа левых (правых) автоморфизмов является 2-транзитивной, но не совпадает с £п. В теореме 5 доказано, что если п четно или свободно от квадратов и при этом группа квазаиавтоморфизмов циркулянта 2-транзитивна, то она совпадает с £п, а циркулянт имеет простой вид.
1. Основные определения и обозначения
Обозначим: N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел; (п,т) —наибольший общий делитель чисел п и т; Мп^) —множество целочисленных матриц размера п х п; (0)п, 1п, /п — соответственно нулевая, единичная матрица и матрица из единиц; |А| —определитель матрицы А; А* — транспонированная матрица; Бп — симметрическая группа подстановок множества вычетов по модулю п; д(г) и д(М) —соответственно образы элемента г € Z/nZ и подмножества М С Z/nZ под действием подстановки д Е Бп; д — подстановочная матрица, соответствующая подстановке д Е 5п; АА^(п) — аффинная группа подстановок, т. е. множество таких подстановок д, что д(г) = (£г + V)(шоёп), где г, £, V € Z/nZ, причем (£, п) = 1; Сг — стабилизатор точки г в группе С С £п.
Определение 1. Пусть А € Мп^), Х,у € $п и выполняется матричное равенство
ХА = Ау. (1)
Тогда подстановки х и у называются соответственно левым и правым автоморфизмами матрицы А. Множество ЬС(А) всех левых автоморфизмов, очевидно, образует группу. Аналогично определяется группа ЯС(А) всех правых автоморфизмов матрицы А. Если выполняется равенство
ХА = АХ, (2)
то подстановка называется автоморфизмом матрицы А. Группу автоморфизмов матрицы А будем обозначать С(А). Матрицы А и В называются эквивалентными, если существуют такие х, у Е 5п, что ХА = Ву.
Все перечисленные группы неоднократно рассматривались ранее (см., например, [1-7]). Заметим, что для произвольной матрицы А Е Мп^) всегда существует
матрица А; Е Мп^) с неотрицательными элементами, такая, что все перечисленные
группы идентичны для матриц А и А;. В силу сделанного замечания далее будем рассматривать матрицы с неотрицательными элементами. Отметим некоторые простые, но важные соотношения, непосредственно вытекающие из (1) и (2):
С(А) С ЬС(А) п ЯС(А); (3.1)
ЬС(А) С С(АА*); ЯС(А) С С(А*А); (3.2)
ЯС(А) = ЬС(А*). (3.3)
Включения (3.1) и (3.3) очевидны. Для доказательства (3.2) заметим, что если ХА = Ау, то Х-1Ау = А. Транспонируя, получим А* = у-1А*Х, следовательно, Х-1АА*Х = АА* или ХАА* = АА*Х.
Хорошо известно [2], что если А Е Мп^) и С(А) является 2-транзитивной группой,
то
А = Й1/п + ^п, Й1, Е Z,
и поэтому С(А) = 5п. Задача же описания матриц, обладающих 2-транзитивными группами левых (правых) автоморфизмов, представляется гораздо более сложной и в настоящее время далека от завершения. Интересные и глубокие результаты в этом направлении получены Фейтом [4, 5], который рассматривал блок-схемы с 2-транзитивными группами автоморфизмов.
Приведем формулировку теоремы, принадлежащей Бернсайду [8, с. 29], которая потребуется в дальнейшем.
Теорема 1. Пусть р — простое, а С С — транзитивная группа подстановок. Тогда С либо 2-транзитивна, либо изоморфна некоторой собственной подгруппе Aff(p).
2. 2-транзитивные группы автоморфизмов
Покажем, что любая матрица А Е Мп^), обладающая 2-транзитивной группой левых автоморфизмов, может быть представлена через матрицу инциденций некоторой симметричной блок-схемы, за исключением вырожденного случая, когда все строки матрицы равны между собой. Предварительно докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть А, В — ненулевые (0,1)-матрицы из Мп^), такие, что
А*А = а^/п + й2Зп, «1 = 0; (4)
ВА* = 61/п + ^2 Зп, (5)
тогда А*А = АА* и В Е {А, Зп — А, Зп}.
Доказательство. Умножая обе части равенства (5) справа на А, получим
ВА*А = 61А + 62ЗпА.
Отсюда, учитывая (4), имеем
«1В + «2ВЗп = 61А + 62 ЗпА. (6)
Покажем, что ЗпА = ^1Зп, а ВЗп = ^2Зп. Действительно, из (4) вытекает, что число
единиц в г-й строке матрицы А* постоянно и равно а1 + а2, следовательно, то же самое
верно и для столбцов матрицы А, поэтому ЗпА = ^1 Зп, где ^1 = а1+а2. Далее, умножая обе части равенства (5) справа на Зп, получим
ВА* Зп = 61 Зп + 62 З2 = (61 + п^2) Зп.
Но А*Зп = (ЗпА)* = ^1Зп, поэтому
(«1 + «2)ВЗп = (61 + пб2) Зп,
т. е. ВЗп = ^2Зп, где ^2 = (61 + п62)/(й1 + Й2).
Теперь равенство (6) можно переписать в виде
61А — а^В = ^эЗп. (7)
Пусть 61 = 0, тогда а1В = —^3Зп, а а1 = 0, следовательно, В = (—^з/«1)Зп = Зп, поскольку В — ненулевая (0,1)-матрица.
Пусть 61 = 0. Рассмотрим матрицы АУВ, А&В (дизъюнкция и конъюнкция берутся поэлементно). Из (7) непосредственно следует, что если ^3 = 0, то А = В. Рассмотрим поэтому случай ^3 = 0. Из (7) получаем А V В = Зп. Если А&В = (0)п, то, очевидно, В = Зп — А. Если же А&В = (0)п и А = В, то из (7) можно заключить, что должно выполняться одно из равенств 61 = ^3 или —а1 = ^3, причем 61 — а1 = ^3. Однако это при а1 = 0, 61 = 0 невозможно. ■
Теорема 2. Пусть А Є Мга^) и ¿С(А) — 2-транзитивная группа подстановок. Тогда либо
где — матрица инттиденттий симметричной блок-схемы и ЬС(А) = ЬС(^П), либо все строки матрицы А равны и ЬС(А) = £п.
Доказательство. Пусть матрица А содержит равные строки, тогда в силу 2-транзитивности ЬС(А) пара равных строк и и>2 может быть с помощью подстановок из ЯС(А) преобразована в любую пару строк матрицы А. Отсюда непосредственно следует, что все строки матрицы А попарно равны и поэтому ЬС(А) = £п.
Пусть все строки матрицы А попарно различны. Не теряя общности, можно считать, что все элементы матрицы А являются ненулевыми, в противном случае вместо А можно рассмотреть матрицу А = А + сЗга,с = 0, поскольку очевидно, что
Обозначим через V число различных элементов матрицы А. Тогда матрицу А можно представить в виде
где Аг — (0,1) матрица, аг = о = 0, Аг&А^ = (0)п при г = ^', г, ] = 1,... , V. Заметим сразу, что из (8) следует ЬС(А) С С(АгА*), г,] = 1,... , V. Отсюда, в частности, получаем АгЗп = ггЗп, поскольку в силу транзитивности группы ЬС(А), а следовательно и группы ЬС(Аг), количество единиц в строках матрицы Аг постоянно. Кроме того, ЬС(А) С С(АгА*), г, = 1,... , V. Доказательство этого факта аналогично доказательству включения (3.2). Таким образом, группы С(АгА*) являются 2-транзитивными, и поэтому для некоторых Гг, , Л^ имеют место равенства
где = Лгг. Поскольку матрица А не содержит равных строк, существует такое 1 ^ г ^ V, что Гг — = 0, откуда следует, что
На основании последнего равенства, пользуясь (9), можно заключить, что при сделанных предположениях в (8) найдутся матрицы Аг и А^-, удовлетворяющие условиям леммы 1, такие, что Аг&А^ = (0)п. Но тогда в силу леммы 1 А^- = Зп — Аг, т. е. Аг V А^- = Зп и матрицу А можно представить в виде А = а1^п + а2Зп, где ^ — (0,1)-матрица, а1 = 0. Кроме того, как уже было отмечено выше, матрица А должна удовлетворять соотношениям
А — Яі^П + а2 Зга, Яі = 0,
ЬС(А) = £С(А).
А — Яі Аі + Я2А2 + ... + А^,
(8)
(9)
При і = ] из (9) получаем
АіА* = (г і — Зі)/„ + 5гЗ„,
|АіАі 1 = (гі + 5і(п — 1))(гі — 5і)П і = 0
Но тогда и |Аі| = 0, поэтому [9, стр. 146]
АіАІ = АІ Аі.
АА* — аі /га + а2 Зга, АЗга — (аі + а2) Зга.
Отсюда нетрудно показать, что матрица ^п должна удовлетворять соотношениям
КК — (к Л)1п + ЛЗn, ^гаЗп — кЗп.
В этом случае [9, теорема 10.2.3] ^п есть матрица инциденций симметричной блок-схемы с параметрами п, к, Л, удовлетворяющими соотношению
к(к — 1) = Л(п — 1). (10)
Равенство ЬС(А) = ЬС(^п) выполняется в силу того, что ЗпХ = уЗп для любых
х у Е 5п. ®
Полученное условие является необходимым условием 2-транзитивности группы левых автоморфизмов. Что же касается достаточного условия, то эта задача представляется гораздо более сложной, поскольку в настоящее время полностью не решен вопрос даже о существовании нетривиальных симметричных блок-схем, т. е. блок-схем, для которых к — Л Е {0,1}. Наиболее важная теорема существования нетривиальных симметричных блок-схем принадлежит Бруку, Райзеру и Човла. Приведем её формулировку.
Теорема 3 [9, теорема 10.3.1]. Для существования нетривиальной симметричной (п, к, Л)-блок-схемы необходимы условия:
— если п чётно, то к — Л = х2, х Е N
— если п нечётно, то существуют целые х,у,г, не все равные 0, удовлетворяющие уравнению
х = (к — Л)у + (—1) ^ Лг2.
Сейчас сформулируем и докажем теорему, анонсированную в [1], которая является дополнением к теореме 3.
Теорема 4. При п = 2р, 2р2, 4р, рт + 1, где р — простое число, существуют только тривиальные блок-схемы.
Доказательство. Пусть параметры п,к,Л удовлетворяют (10). Не теряя общности, можно положить к ^ [п/2], поскольку всегда можно перейти к блок-схеме — дополнению. Кроме того, будем считать Л = 0, иначе из (10) следует к — Л Е {0,1}. Разберем случаи.
а) п = рт + 1.
Из (10) следует, что к(к — 1) = Лр. Поскольку (к, к — 1) = 1, то либо рт|(к — 1), либо рт|к, и к ^ рт при Л = 0, т. е. к ^ п — 1, а это противоречит предположению, что к ^ [п/2].
С помощью (10) нетрудно показать, что при п = 2, 8 существуют только тривиальные симметричные блок-схемы, поэтому будем предполагать, что р — нечётное простое число.
б) п = 2р.
Перепишем (10) в виде
к2 — (к — Л) = Лп. (11)
По теореме 2 имеем к — Л = х2, где х Е N. Из (11) получим к2 — х2 = (к — х)(к+х) = 2Лр. Если х = 0, то отсюда получаем к — х<р и к + х< 2р. Но тогда к + х = р, поскольку р — простое, а (к — х)(к + х) делится на р. Отсюда к — х = 2Л. Однако из равенств к — х = 2Л, к + х = р следует 2к = 2Л + р, что невозможно, поскольку р — нечётное.
с) п = 2р2.
В этом случае имеем равенства к — Л = х2 и (к — х)(к + х) = 2Лр2. Как и выше, к — х<р2, к + х< 2р2. Предположим, что к + х делится на р2, тогда к + х = р2. Отсюда к — х = 2Л, к + х = р2, т. е. 2к = 2Л + р2, что невозможно, поскольку р2 —нечётное. Остаётся рассмотреть случай к — х = ^1р, к + х = ^2р. При этом к и х делятся на р, следовательно, Л также делится на р. Однако 2Л = ^1 ^2, а (^1 ^2,р) = 1. Противоречие.
^) п = 4р.
Аналогично «6» и «с» к — Л = х2, (к — х)(к + х) = 4Лр, к — х < 2р. Пусть к — х делится на р, тогда к — х = р, к + х = 4Л. В этом случае 2к = 4Л + р, что невозможно, поскольку р — нечётное. Пусть к + х делится на р. Предположим, что к + х = ер, где 5 — нечётное. Тогда к — х = г — чётное число, следовательно, 2к = г + ер, что невозможно, так как г + 5р — нечётное число. Остаётся рассмотреть случай к + х = 2р. При этом к — х = 2Л, т. е. к — Л = Л + х = х2. Отсюда Л = х2 — х и к — х(х — 1) = х2 или к + х = 2х2. Последнее равенство, однако, противоречит тому, что к + х = 2р, где р — простое. ■
Из теорем 2, 3 и 4 получаем
Следствие 1. Пусть А Е Мп^), п = 2р, 2р2,4р,рт + 1 или противоречит условиям теоремы 3 и пусть ЬС(А) — 2-транзитивная группа подстановок. Тогда А = Й1^ + а2Зп, д Е ¿п, и ¿С(А) = ¿п,.
Доказательство. Действительно, по теореме 2 А = а/1^п+02Зп, где К, — матрица симметричной блок-схемы. По теоремам 3 и 4, в свою очередь, ^п = ^1 д + г>2Зп , где д — подстановочная матрица. Тогда А = а^д + (02 + ^2)Зп и ЬС(А) = ¿С(д) = ¿п. ■
Приведём важный результат, принадлежащий Фейту, относительно циклических блок-схем. Это симметричные блок-схемы, матрицы инциденций которых являются циркулянтами, т. е. имеют вид
с0 с1 ... Сп— 1
Сп—1 с0 ... сп—2 (12)
с1 с2 . . . с0
В дальнейшем множество циркулянтов размерности п х п с элементами из Z будем обозначать СМп^).
В нашей терминологии изоморфизм блок-схем означает эквивалентность матриц инциденций, а группа автоморфизмов блок-схемы есть группа левых автоморфизмов матрицы инциденций.
Обозначим чрез Дт(д) блок-схему Зингера [9, с. 179] с параметрами
п = (д”‘+1 — 1)/(д — 1), к = (д™ — 1)/(д — 1), Л = (дт—1 — 1)/(д — 1),
где д = рг, р — простое, а через Н(11) — циклическую блок-схему с параметрами (11, 5, 2), матрица инциденций которой имеет вид (12) при
п = 11, с0 = с1 = с2 = с4 = с7 = 1, с3 = с5 = с6 = с8 = с9 = с10 = °.
Теорема 5 [5]. Пусть Д — циклическая (п, к, Л) блок-схема с 2-транзитивной
группой автоморфизмов, к ^ 50 и Д не изоморфна Н(11) или Дт(д) при любых т и д. Тогда (п, к, Л) есть либо (109, 28, 7), либо (133, 22, 8).
Сейчас на основании теоремы 5 получим описание циркулянтов из С'Мп^) с 2-транзитивной группой левых автоморфизмов при простом п ^ 97.
Таблица значений параметра п блок-схемы (д) при различных т и д имеет вид
2 3 4 5 7 8 9 11
2 7 13 21 31 57 73 91 *
3 15 40 85 * * * * *
4 31 * * * * * * *
5 63 * * * * * * *
6 * * * * * * * *
Значком * отмечены значения параметра n, превосходящие 97. Анализируя данную таблицу, видим, что при простом n < 97 либо m = 2, либо m = 4, q = 2. При m = 2 имеем Л = (q — 1)/(q — 1) = 1, а при m = 4 — q = 2 и (n, k, Л) = (31, 15, 7), поэтому на основании теорем 2 и 5 имеет место
Следствие 2. Пусть C G CMn(Z), n — простое, n ^ 97 и LG(C) — 2-транзитив-ная группа подстановок. Тогда
C = CiVn + C2Jra,
где Vn — матрица инциденций симметричной блок-схемы с параметрами
(n, k, 1), (11, 5, 2), (31, 15, 7).
3. Группы квазиавтоморфизмов матриц
В [1] введена некоторая специальная подгруппа группы LG(A) матрицы A, которая называется группой квазиавтоморфизмов матрицы и обозначается Q(A). Группы квазиавтоморфизмов имеют ряд интересных свойств, причём в некоторых случаях строение групп G(A) и LG(A) матрицы A существенно зависит от строения группы квазиавтоморфизмов некоторой ее подматрицы.
Определение 2. Группой квазиавтоморфизмов матрицы A G Mn(Z) называется подгруппа группы LG(A) вида
Q(A) = {x G LG(A)|3y G LG(A) : x-1 Ay = A}.
Нетрудно видеть, что указанное множество является группой. Кроме того, очевидно, что
G(A) Ç Q(A) Ç LG(A).
Ниже будет показано, что эти включения могут быть строгими.
Лемма 2. Пусть A G Mn(Z), тогда Q(A) Ç LG(A2).
Доказательство. Пусть x G Q(A). Тогда x-1Ay = A, y-1Az = A, где x,y G G LG(A), z G RG(A). Перемножая эти равенства, получаем x-1A2z = A2, т. е. x G G LG(A2). ■
В п. 2 были рассмотрены условия, при которых группы G(A) и LG(A) являются 2-транзитивными. При этом оказывается, что обязательно G(A) = Sn, а относительно группы левых автоморфизмов известны примеры матриц A, таких, что LG(A) 2-транзитивна, но не совпадает с Sn. Таковыми являются, например, матрицы инци-денций зингеровских блок-схем. В связи с этим представляет интерес вопрос о том,
какие 2-транзитивные группы подстановок могут встречаться среди групп Я (А) и какой вид имеют соответствующие матрицы. Рассмотрим этот вопрос для циркулянтов.
Отметим некоторые простые, но важные свойства циркулянтов, которые потребуются в дальнейшем:
3) СМп^) является коммутативным кольцом;
4) если С — периодический циркулянт периода ^, т. е. последовательность с0, с1,... , сп—1 является периодической периода ^, то С* обладает тем же свойством;
5) если найдётся такая подстановка х Е ¿п,х = еп, что хС = С или Сх = С, то С — периодический циркулянт;
6) если С является матрицей инциденций симметричной блок-схемы и Д(С) = {г|с =1}, то Д(С) —разностное множество.
Для доказательства п. 1-4 представим С в виде многочлена от матрицы дп с коэффициентами из Z, т. е.
где д(х) = с0 + сп—1х + • • • + с1хп—1, что доказывает свойства 1 и 2. Свойство 3 также легко следует из (13).
Пусть с0, с1,... , сп—1 —периодическая последовательность периода ^, тогда, как нетрудно видеть, последовательность с0, сп—1,... , с1 также обладает этим свойством. Из равенства (14) теперь следует свойство 4.
Для доказательства свойства 5 достаточно заметить, что равенство хС = С выполняется при х = еп в том и только в том случае, если в С имеются равные строки, что равносильно периодичности С. Аналогично при Сх = С в С есть равные столбцы, т. е. в С* есть равные строки, поэтому можно воспользоваться свойством 4.
Свойство 6 непосредственно следует из определений циркулянта, блок-схемы и разностного множества.
Теорема 6. Пусть С Е СМп^), а п четно или свободно от квадратов, и пусть Я(С) — 2-транзитивная группа подстановок. Тогда С = с1дп + с2Зп, 0 ^ в ^ п — 1, и
Предварительно докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 3. Пусть С Е СМп^) и является (0,1)-матрицей, |Д(С)| = к и первая строка матрицы С2 имеет вид а0, а1,... , ап—1. Тогда
a) при п = 2т + 1 среди элементов а0, а1,... , ап—1 ровно к нечётных;
b) если, кроме того, матрица С есть матрица инциденций симметричной блок-схемы с параметрами (п, к, Л), то при п = 2т все элементы а0, а3,..., ап—1 — чётные, а среди элементов а0, а2,... , ап—2 ровно к — Л нечётных.
Доказательство. а) По условию леммы
1) (<п>С С(С);
2) С * Е СМп^);
(13)
(14)
Я(С) = ¿п.
С = С + дп2 + ••• + е,
где {в1, в2, . . . , 5&} = Д(С). Нетрудно видеть, что
С2 = ¿п*1 + д*2 + • • • + + Я, Я = 2 • Е ¿п^', 1 ^ г,3 ^ к.
Матрица Q, очевидно, содержит только чётные элементы, поэтому рассмотрим матрицу
С = «Л1 + ?,'2 + ••• + «!'*. (15)
Если n = 2m +1, то (2, n) = 1 и из сравнения 2sj = 2sj(mod n) получаем sj = Sj(mod n). Отсюда следует, что С' является (0,1)-матрицей из CMn(Z) и |Д(С')| = k, т. е. утверждение «а» доказано.
b) Пусть n = 2m и С есть матрица инттиденттий симметричной блок-схемы, а первая строка матрицы С' имеет вид а0, а3,... , а^_^ Из (15) следует, что все элементы а1, а;3,... , а4-1 равны 0, поскольку 2sj есть чётное число по модулю n, следовательно, все элементы a1, a3,... , an-1 чётны. На основании свойства 6 Д(С) является разностным множеством с параметрами (n, k, А). Пусть si,sj G Д(С) и sj — Sj = m(modn), тогда, очевидно, Sj — sj = —m(mod n) = m(mod n). Из последнего соотношения следует, что А чётно и что существует ровно А/2 пар {sg, sn}, таких, что £ < п и Sg — Sn = m(modn). Но тогда 2sg = 2sn(modn) и поэтому А/2 элементов среди а0, а;2,... , а4-2 равны 2, k — А элементов равны 1, а остальные — нули. ■
Перейдём к доказательству теоремы 6.
Доказательство. По условию Q(C) — 2-транзитивная группа подстановок, следовательно, LG(C) также 2-транзитивна, поскольку Q(C) С LG(C). Отсюда на основании теоремы 2 получаем С = c1(7 + c2 Jn, где С — матрица инттиденттий симметричной блок-схемы. Поскольку С, Jn G CMn(Z), то (7 также лежит в CMn(Z) (свойство 3). Кроме того, нетрудно видеть, что Q(C) = Q(G'), и если теорема верна для матрицы С то она верна и для матрицы С и наоборот. Поэтому далее будем считать, что С — матрица инциденций симметричной блок-схемы с параметрами (n, k, А).
Рассмотрим матрицу С2. По лемме 2 ф(С) С ЬС(С2), поэтому ЬС(С2) — 2-транзитивная группа подстановок. На основании теоремы 2 получаем С2 = с1С' + +c2Jn, где С' — матрица инциденций симметричной блок-схемы, причём по свойству 3 С' G CMra(Z).
Пусть первые строки матриц С2 и С' имеют соответственно вид а0, а1,... , an-1 и а0, а1,... , аЛ-1. Рассмотрим отдельно два случая:
a) n = 2m.
Применяя к матрице С лемму 3, видим, что элементы a1, a3,... , an-1 все чётные, а среди элементов а0, a2,... , an-2 ровно k — А нечётных. Выбирая подходящие c1 и c2, можно добиться того, что aj = 1 в том и только в том случае, когда aj — нечётный элемент. Таким образом, Д(С') = {s1, s2, ... , s^-a}, где все Sj являются чётными вычетами по модулю n. При k — А > 1 это множество, как нетрудно видеть, не может быть разностным, поскольку его элементы порождают только чётные разности, однако оно обязано им быть, так как С' G СМЛ^) (свойство 6). Отсюда k — А G {0,1}, т. е. С является матрицей инциденций тривиальной циклической блок-схемы, и поэтому существуют такие c1 и c2, что С = с1«Л + c2 Jn, 0 ^ s ^ n — 1.
b) Пусть n свободно от квадратов и нечётно. Применяя к матрице С' лемму 3, получаем, что среди элементов a0, a1,... , an-1 ровно k нечётных. Как и выше, можно считать, что aj = 1 в том и только в том случае, если aj — нечётный элемент. Отсюда следует, что Д(С') есть разностное множество с параметрами (n, k, А). Вернёмся к равенству С2 = с1С' + c2 Jn. Поскольку все элементы матрицы С2 неотрицательны, то с2 > 0. Сравнивая модули собственных значений матриц С2 и с1С' + c2Jn [9, с. 145], получаем
k2 = c1k + c2n; (16.1)
к — Л = |с^л/ к — Л. (16.2)
Пусть с1 ^ 0. Если с1 = 0, то из (16.2) следует к — Л = 0, т. е. параметры к и Л — тривиальные. Если же с1 > 0, то
с1 = /к — Л. (17)
Вместе с (16.1) это даёт к2 = к^/к — Л + с2п, или
к(к — /к — Л) = с2п. (18)
Можно считать, что к = 0, к — Vк — Л = 0, поскольку в противном случае параметры к и Л тривиальные. Пусть d = (к,п). Положим к = ^х,п = ^у. В этом случае из (10) следует, что Л делится на d. Заметим, что d свободно от квадратов, поскольку п свободно от квадратов, а к — Л на основании (16) является полным квадратом, следовательно, к — Л делится на d2. Отсюда Vк — Л делится на d и поэтому к — л/к — Л делится на d. Положим к — Vк — Л = dz. Из (3.6) теперь имеем
dxdz = с^у, (19)
причём (у, d) = 1, поскольку п свободно от квадратов. Но тогда с2 делится на d. Положим с2 = dv. Подставляя это выражение в (19), получаем dxdz = dvdy, или хг = ^у. Но (х,у) = 1, следовательно, V делится на х. Отсюда с2 делится на к, т. е. С2 ^ к.
Перепишем (11) в виде
(к — /к — Л )(к + /к + Л) = Лп. (20)
Сравнивая (17) и (19), видим, что Л ^ с2 ^ к. Но, с другой стороны, из определения блок-схемы Л ^ к. Поэтому Л = к, т. е. параметры к и Л тривиальные.
Пусть с1 < 0. Рассуждая аналогичным образом, получим с1 = — Vк — Л, к(к + +v/k—Л) = с2п. Применяя те же рассуждения, что и выше, получим, что с2 делится на к. Но к + Vк — Л ^ 2к, поэтому либо с2 = к, либо к = п. Если к = п, то Л = к, т. е. параметры к и Л тривиальные, поэтому рассмотрим случай с2 = к. При этом к + Vк + Л = п, и из (20) следует к — Vк — Л = Л. Но, очевидно, к — (к — Л) = Л, поэтому к — Л = Vк — Л, а это возможно, только если к — Л е{0, 1}. Таким образом, при всех случаях параметры к и Л являются тривиальными. Поэтому существуют такие с1 и с2, что
С = С1дп + С2 Зп, 0 ^ в ^ п — 1,
и теорема доказана. ■
При простом п справедливы более общие утверждения.
Теорема 7. Пусть п — простое число, С Е СМп^) и Aff(n) С ЬС(С). Тогда
С = с1дп + с2 Зп.
Доказательство. Пусть г — примитивный элемент поля Z/nZ, а д Е АА^(п) — подстановка, соответствующая элементу г, т.е. д(х) = гx(modп). Группа Aff(n) при простом п 2-транзитивна, поэтому по теореме 2 можно считать, что С — матрица ин-циденций симметричной блок-схемы, следовательно, |С| = 0 [9, с. 144]. По условию д Е ЬС(С), т. е. д—1Сд/ = С, причём цикловые структуры подстановок д и д/ совпадают [11, с. 22]. Подстановка д в силу примитивности элемента г имеет цикловую структуру [1(1), (п — 1)(1)]. Такую же структуру имеет и подстановка д/. Из равенства д—1Сд/ = С получаем, что матрица С содержит столбец вида (01... 1)* или (10... 0)*. ■
Теорема 8. Пусть n — простое число, C G CMn(Z), C = cii^, + c2Jn. Тогда
Q(C) = LG(C) П Aff(n),
и либо Q(C) = G(C), либо G(C) = (¿n).
Доказательство. Пусть H = LG(C) П Aff(n), x G H и X -1Cy = C. Рассмотрим подстановки z1 = x-1tnx и z2 = y-1tny. Нетрудно видеть, что z-1 Cz2 = C. Но z1 = ¿П, поскольку x G Aff(n), а Aff(n) является нормализатором группы (tn). На основании свойства 5 получаем, что y-1 tny = ¿П (в противном случае матрица C имеет равные столбцы, т. е. C = cJn, так как n простое). Но тогда нетрудно показать, что y = xtm, т. е. y G H, поскольку (¿n) С H. Отсюда по определению группы Q(C) получаем H С Q(C). С другой стороны, по теореме 6 Q(C) при данных предположениях не является 2-транзитивной, поэтому по теореме 1 Q(C) С Aff(n). Отсюда Q(C) = H.
Как отмечено выше, Aff0(n) = (g), следовательно, Q0(C) = (gk), G0(C) = (gkm) для некоторых натуральных k и m, поскольку
Go(C) С Qo(C) С Affo(n).
Если m =1, то g = g, т.е. G(C) = Q(C) = (tn,gk). Пусть (gkm) С (g). Имеем
равенство
Cg' = C.
(21)
При этом, как мы уже показали выше, д/ = д*¿п. Из (21) получаем д *тСд/т = С. Но
-.km
д'“"" Е С(С), поэтому д—^тСд = С. Сравнивая последние два равенства, по свойству 5
получаем д/т = дкт, или (дк¿п)т = д*т. Но тогда подстановки дк¿п и дкт перестановочны, следовательно, их коммутатор [дк¿п, д^т] равен еп. Отсюда по свойству сложных коммутаторов
[д* ¿п,д"т] = д ,д"т][д" ,д^^,д*т] = [¿п,д*т] = еп.
Последнее равенство верно, только если I = 0(mod п) либо дкт = еп. В первом случае д/ = дк, т. е. Go(C) = (дк), что противоречит нашему предположению. Во втором случае Go(C) = (еп), т.е. G(C) = (¿п). ■
Пример 1. Пусть С — матрица инциденций зингеровской блок-схемы с параметрами (7, 3, 1), т. е.
1011000 0101100 0010110 С = 0 0 0 1 0 1 1
1000101
1 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1
В этом случае LG(C) 2-транзитивна, ф(С) = (¿7, д2), где д(х) = 3x(mod7), G(C) =
= (¿7). Таким образом, G(C) С ф(С) С LG(c).
ЛИТЕРАТУРА
1. Егоров В. Н., Марков А. И. О гипотезе Адама для графов с циркулянтными матрицами смежности вершин // ДАН СССР. 1979. Т. 249. №3. С. 529-532.
2. Давыдов Э. Г. О симметрии графов // Вопросы кибернетики. М., 1973. С. 26-49.
3. Chao C. On groups and graphs // TMAS. 1965. V. 118. No. 6. P. 488-497.
4. Feit W. Automorphisms of symmetric balanced incomplete block designs // Math. Z. 1970. No. 118. P. 40-49.
5. Feit W. On symmetric balanced incomplete block designs with doubly transitive automorphism groups // J. Combin. Theory. 1973. V. 14. No. 2. P. 221-247.
6. Huang Q., Meng J. On the isomorphism and automorphism groups of circulants // Grafs Combin. 1996. V. 12. P. 179-187.
7. Тараканов В. Е. Группы автоморфизмов циркулянтов и присоединенные матрицы графов // Математические заметки. 1999. Т. 65. Вып.3. С. 402-411.
8. Wielandt H. Finite permutation groups. New York; London: Academic Press, 1964.
9. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
10. Adam A. Research problem 2-10 // J. Combin. Theory. 1967. V. 2. P. 393.
11. Dembowski P. Finite geometries. Berlin and New York: Springer Verlag, 1968.
