CC BY
14
3. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. - Ташкент: Фан, 1979. - 236 с.
4. Bekmamatov Z. Cauchi problem for a composite type fourth order equation, V Congress of the TURKIC WORLD MATHEMATICIANS, Kyrgyzstan, "Issyk-Kul Aurora", 5-7 June. - 2014.
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ГДЕ ВЫРОЖДАЕТСЯ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА С ОСОБЫМ РЕШЕНИЕМ
Омуров Таалайбек Дардайылович
д-р физ-мат. наук, проф. Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек Е-mail: omurovtd@mail. ru
Джумагулов Кубат Рыспекович
аспирант, ст. преподаватель Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: [email protected]
Омуров Максат Таалайбекович
аспирант, преподаватель Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек
REGULARIZATION OF INVERSE PROBLEMS, WHERE DEGENERATES VOLTERRA EQUATION OF THE FIRST KIND WITH A SPECIAL SOLUTION
Taalaibek Omurov
doctor of science, professor of Kyrgyz national university named after J. Balasagun,
Kyrgyzstan, Bishkek
Kubat Dzhumagulov
post-graduate student of Kyrgyz national university named after J. Balasagyn,
Kyrgyzstan, Bishkek
Maksat Omurov
post-graduate student of Kyrgyz national university named after J. Balasagyn,
Kyrgyzstan, Bishkek
АННОТАЦИЯ
Под влиянием широкого класса обратных задач в области математической физики, быстрыми темпами развивается новая теория интегральных уравнений, связанная с уравнениями первого и третьего рода. При этом для доказательства теории устойчивости решений для указанных уравнений были разработаны регуляризационные методы решений в определенных пространствах. В данной работе сделано обобщение результатов исследований интегрального уравнения типа Вольтерра первого рода для обратной задачи с интегральной зависимостью, а также построено особое решение этих задач.
ABSTRACT
Under the influence of a broad class of inverse problems in mathematical physics, rapidly developing a new theory of integral equations, the equations associated with the first and the third kind. In this case to prove the theory of stability of solutions of these equations have been developed regularization methods for making in certain areas. In this paper, a generalization of the results of research done Volterra integral equation of the first kind for the inverse problem with integral dependence, and built a special solution of these problems.
Ключевые слова: Обратная задача; особое решение; регуляризация; условная корректность; вырожденное уравнение; специальное пространство.
Keywords: The inverse problem; a special solution; regularization; conditional correctness; the degenerate equation; a special space.
Введение
Многие ученые исследовали отдельные вопросы теории интегральных уравнений первого рода, связанные с обратными задачами математической физики [1; 2; 4; 5; 6; 9; 11; 12]. Весомое место в исследованиях занимают обратные задачи, где особое решение
^ СибАК
www.sibac.info
имеет уравнение первого рода [3; 8; 10]. Поэтому, в настоящей работе изучена обратная задача, где вырождается условно-корректное интегральное уравнение Вольтерра первого рода в [8]: 21 ( /)0). Пусть дана нагруженная обратная задача Гурса [7]
п
и, + и, + тТР2 (X, г,) = г (X, г), (1)
I=1
Г У(х,0) = т(х),Ух£[0,Ь],
1^(0,0 = 0,УЬ 6 [0,Т]; т(0) = 0= [0,Ь] X [0,Г]. ( )
и(х,г = ,0 ) = я (х), (С1 [0,Ь] э я(X)), (3)
ф) = ¡0Х(х - з)Уо(5)гРШ5, С[0, Ъ] Э Го(*) > 0, (4)
где неизвестными функциями являются
(и (х, г) е С1'1(П); \ф) е г2(0, Ь)), а
С (Б) э /(х,,), С[0,Г] э Р(г), у0 (х), я(х) - заданные функции, причем 0 < р < 1
I. Пусть новая функция V (х, у) определяется по правилу
и + и = V, У(х,,) е Б, х (5)
=тх+т, Ух е [0,Ь]; V е С0,1(Б).
Тогда из (5) следует
X
и = | е"(х-,)сЪ = (Лу)(х,,). (6)
0
Поэтому, учитывая (5) и (6) из (1) получим уравнение
п
V, +№ )£[( лу)(х,)]2 = / (х, г),
(7)
и (х,,) = | еч хV (', г1 с = (ллV)(х, г1).
0
Следовательно, имеем
' п
к = г(х) + г(х) + |{-д,)х[(а2к)(х, + /(х,,)}, (8)
0 '=1
Уравнение (8) содержит две неизвестные функции (V, г), поэтому на основе (3) из (8) следует
'о п
g (х) =г(х) + г( х) + |{-А7)Х[(Л2К)(х, ')]2 + /(х,,)}й, (9)
о '=1
Или
I Го (¿•М^ + | (X - 5)^0 (¿^(¿^ = ^(х),
о о
'о "
■ ^(х) = g(х))]2 + /(х,,)}, (10)
о '=1
'о п
Г (х) + г( х) = g (х)-\{-Р(Л)^[(А2Г)(х, ',)]2 + / (X,,)},
о '=1
Значит, (8) преобразуется к виду
'о п
V = g (X)-|{-А,)Х[(А2К)( х, ^ )]2 +
о '=1
'п
+/(х,,)}^,+| {-№^[(ау)(х, ' )]2 + (11)
о '=1
+/(х,,)}й, = { ВК )( х, ' ),
где (11) является уравнением типа Вольтерра второго рода по переменной х е [о, Ь]. Поэтому при выполнении условий
^ СибАК
www.sibac.info
^ СибАК
www.SLbac.mt о
ьв < 1,
(12)
<В : ^ (К) ^ Sr V), Бг (V0) = {V е Сод (Б): ¡V - ^ | < г,У(х, г) е Б}, оператор В допускает выполнение принципа Банаха, а это возможно, так как /3(г) - малая функция. Тогда уравнение (11)
разрешимо в пространстве С01 (Б). Следовательно, уравнение (11) построим на основе метода Пикара:
решение
V = ВГ
(13)
V - нулевое приближение, которое может быть выбрано произвольно из £ При этом на основе выводов метода Пикара
получим, что последовательность функции V }0 сходится к решению уравнения (11) в смысле С01 (Б), так как
V+1 -я < )п+1 г —-—0.
(14)
Из полученных результатов следует, что функция и(х, г) определяется единственным образом на основе (6) в пространстве
С1Л(Б).
Замечание 1. Если т(х) была бы известная функция, то следовало бы, что (1), (2) есть прямая задача Гурса. Тогда это задача была бы корректно поставленная в пространстве С1'1 (Б).
Замечание 2. Пусть т(х) неизвестная функция в обычном смысле. Тогда (1), (2), (3) - обратная задача Гурса. В этом случае, функцию т(х) определили бы из уравнения (10), т. е.
Тх (х) + т( х) = О0( х), (т(0) = 0),
го п
о0(х) = я(х)-¡{-т^А V)(х, г, )]2 + / (х,л)}ал.
После выводов (14), на основе (6) получим единственную функцию и е С1Д(П). Следовательно, правая часть уравнения тх(х) + т(х) = С0(х) из (10)* - известная функция, в силу этих выводов определим функцию г(х) по правилу
X
г(х) = | е"(х-5)С0 (¿)с5 . (15)
о
А это означает что обратная задача Гурса (1) - (3) корректно поставлена в пространстве С1'1 (П), (здесь не учитывается (4)).
Замечание 3. В нашем случае функция г(х) задается в виде (4).
Поэтому задача (1) - (4) называется обратной задачи типа Гурса с интегральной зависимостью. Причем в интегральной части (4) содержится неизвестная функция ^(х) е 22 (о, Ь), где 22 (о, Ь) -
специальное пространство [3], содержащее все элементы ¿2(0,Ъ), а также обобщенные функции, сосредоточенные в начале координат по х с условием, если есть пробная функция g(0)=0, то ^^>=0.
А это означает, что обратная задача (1) - (4) может быть не устойчивой в этом классе за счет функции у(х) , хотя функция
и ( х, ') определяется единственным образом в См(П).
Утверждение 1. Так как и е С1'1 (П), то на основе теоремы
вложения К. Фридрихса [13] функция и (х,') оценима в ¿2(П),
(обратно нет).
II. В этом пункте, для изучения регуляризируемости обратной задачи (1) - (4) введем множество вида
¿2(/)0) = {(х./)е/): С/, IIх, С/,, IIх1 е ¿2 (/));
^(х) е 22 (о,Ь)}, П0 = (о,Ь) х [о,Т]
и в этом множестве докажем условную устойчивость изучаемой задачи. С этой целью, сначала рассмотрим регуляризируемости уравнения Вольтерра первого рода вида (см. (10)):
^ Сийдк
www.sibac.info
www.sibac.into
Г0ГоШШ5 = Р(х)-Нгр, F(x) Е C[0,b];F(x) > а0 > 0, \F(x) — F(s)| < Lf f*(h(s)ds, (s < x;0 < LF = const), Hip = f* K(x,s)^(s)ds;K(x,s) = (x — s)y0(s), \K(x,s) — K(x,s)\ < LK fx h(s)ds,(x <x;0<LK = const),
LxP = f*Yo(s)ip(s)ds + Hxp.
(16)
Пусть
(E(x) = A(x)F(x) + y0(x), (0 < Л(х) Е L1(0,b];E(x) > m > 0), I (G^)(s) = e(s)(L^j)(s).
(17)
Тогда (16) преобразуем к виду
= ]~E(s)y(s)ds-¡Л(s)(Gу)(s)ds + (И у)(x) = F(x) . (18)
Введем возмущенную систему
Ws (x) + (Фу.)(x) = F(x),
W (0) = - F (0)
(19)
и решение будем представлять в виде
^Е(х) = v(x) = ^Е(х) +-П(х,е), v(0) = 0; f£(0) = 0;П(0,е) = F(0).
(20)
где: (0,1)э е - малый параметр. Следовательно, имеем
V
s
^ СибАК
т\пу.яЬас.т{о
I Е(5)и (5) =В [и] + ^ (X),
о
^ (х) = ^(х) - ^(о); ^ (X) е С[о,Ь], ^ (о) = о,
X
(х) - ^ (•) < ^ |К!)С •, (• < х), 1 х
П( х, г) = — | Е(5)П ( 5, г) + ^ (о),
е о
1 х 1 1
#е (X) = - -1Е(•)£ (5)С5 + - (В[и + #е + - П] - В [и]) (X)- и (X),
X
В[^е] = |Я( • )( Ог)( • ) - И¥,.
(21)
Пусть R(х,s,e) - резольвента ядра (—Е(•)), причем
е
Я( х, 5, е) = -1Ж ( х, 5, е)Е (•), е
. X
—|е(У)Д' 1 х
Ж(х, 5, г) = е е' , (5 < х) ; | Ж(х, 5,е)|< ехр(— |Е(5')Су').
е 5
(22)
Отметим, что уравнения
| е(5)и( 5 ) Ж =В [и] + ^ ( х)
(23)
имеет решение в классе непрерывных функций С[0,Ь], причем регуляризируемо в этом классе [8; 9], т. е. + ^)жF(s)v5(s)ds = В [у5] + £1(х), когда имеют место
о
о
СибАК Естественные и математические науки в современном мире www.sibacmlo_N°5(40). 2016г.
С0 = maxue-u = е-1; 1 = f™ е-^udu,
u>0 0
lYo(x)l IKx)I < C1E(x), 0 < C1 = const,
a1 = f*y0(s)ds; d = (2 + e 1)q1; ||v(x)||c <r1,0 < r1 = const,
J1 = f0 u = (2 + e 1S)41; Н"(Л)НС < ' 1, 0 < '1
41 = m-1bLk + C1(2r1 + r2)(1b2LK + |K(x)||c,
M0 = тах Шх) - F1(s)/I<p(x) - p(s)l\; T0 = (e-1 + 2^.
s,xe[0,b]
(24)
Поэтому, нет необходимости повторять результаты работ [8; 9]. Далее, относительно функции П(x, s) из (21) следует
П( x,s) = exp(-1JE (s)ds)F (0), x) = jE(s)ds),
s 0 0 (25)
|П(x,s)| < |F(0)|exp(-- cp(x)),
Значит, главным фактором изучения системы (21) остается функция^(x). Для этого, на основе (22), (21) получим
x
^ x
1 x --Je(j') ds' Г 1 1
£(x) = - —ie гs E(s)\(B[u + is+ -П]-B[t>])(s)-№ + £ + -П]-s 0 [ s s
J --iE(s')ds' -B[u])(x)-s(u(s)-u(x)) }ds + -e s0
s
{(B[u + ^s+1П] - B[t>])( x) -
s
-su( x)} = I£B+A(u,s),
x
A(l>, s) = -W (x, 0, s)u( x) + - i W (x, s, s)E(s)(u ( s ) - u( x))ds.
Введем обозначение:
^ СибАК
Естественные и математические науки в современном мире
№_5 (40), 2016г_mvw.sibac.infо
, 1
\\A(v,e)\\c < 3es1-e\\v(x)\\c + ш„(£в),(0 < в < 1),
->ое-1У 0; ^1
Ео = (£ое-1У°; Ei = \F(0)\, 200 = f0XWs)T?°ds; а3(х) = f0XYo(s)(^(s))-P°ds,(2 < fa, E2 = E^[\a3(x)\cLK(E1(me)-1 + 2br1) + (E1 + 2r1)\a1(x)\], Ез=Ео[Ык\\а2(х)\\с + 2\\а2(х)\\с], to1 = feW Е C[0,b]: ^00! <r2= const,Vx Е [0,b]}.
(27)
Тогда оценивая (26) и учитывая
g0 = (2 + ')[E3sp-1 + q]<1, (0 <s<s0< 1), (28)
получим
Us (x)\\c <(- - qo Г +H|C)= M- (s) . (29)
Правая часть неравенства (29) стремится к нулю при е^0 равномерно на [0,b] и функция (x) определяется единственным
образом в С[0, Ь].
Поэтому, из полученных результатов следует, что уравнение (19) имеет единственное решение у/е (x), представимое в виде (20), причем
это решение при е^0 сходится к x) на (0,b]:
- x)
+
\¥е (х) -и(х)| < I\Щх, е)\ +(х)||с < F(0)|е '' ^ +(1 - д0)-'(Е2ер-1 + ||А(и,е)||с )■
При е^0 правая часть стремится к нулю, когда x е (0, Ь], следовательно
\ (х) ^ и(х) , а при x=0: \ (0) =1F(0).
Замечание 4. Из неравенства (30) видно, что если x е (0,Ь], то при е^0: \(х)^о(х), и эта сходимость считается
^^^^ СибАК Естественные и математические науки в современном мире уту?.яЬаст1о_№5(40). 2016г.
неравномерной, так как в случае x=0 имеет особенность вида
\( 0) =1F (0). Поэтому регуляризирующие системы дают
е
приближенное решение уравнения (19) в смысле 22 (0, Ь). Утверждение 2. Если ср(х) Р е ¿'(0, Ь), то
а)||П(х,е)||2, < Со е 2 , Со = Е (ТДАе"А 2-«°)
Ь
2 <р0, Т = (5)
22
б) \ув{ х)-о( х) < [22 ТЩ (е) + -Г (С,е 2 )2 ]2 =
8
1
= (22ТЩ2 (е) + 22С1еР0-2)2 в)||(Ф\)(х) - ^ (х)|[2 < М2(е), когда - ^<А0?)и Щ (е),М2 (е), А ^ 0 при е ^ 0.
Отметим, что для регуляризируемости задачи (1)-(4) ввели Т.1 (1)и). В условиях утверждения 1 имеем, что функция I Ух, и решение (11) и U(x,0) можем определить из (4), с учетом (10), т. е.
и (х,0) = г(х) = | е-(х-5)[Я (5)-1 < )]2 +
0 0 '=1 х <0 п
т5 (х) = | е-(х-(5) -1 {-Р(л)^[(А2У5 )(5, < )]2 +
0 0 '=1
(31)
при этом существуют 8з (х), V (х, <):
(° - 8(Т <5,
\у8- У\\г <А1(5)-
Поэтому требуя:
0
х
СибАК
Естественные и математи ческие науки в современном мире
№_5 (40), 2016г_mvw.sibac.infо
( |т(г)-т®Н2<л2(г),
< ° (32)
[\\Г1(Х,8)-Т$\2<А3(8),(1 = 0,1)
получим:
\\и(1)(х,0) — и(1)(х,0)\\ь2 < &*(е,8),(1 = 0,1) (33)
где:
У1 (х, б) = | (х - ^^^^ 72 (х, б) = | Го, 0 <
0 0 8, А] (8), (] = 1,2,3) — достаточно малые величины,
Д4 =Д2 +Дз,
b x 1 b x 1
у* = max[(J J ||у0 (s)f dsdx)2, (J J11( x - s)y0 (s)||2 dsdx)'2 2, 0 0 0 0 1
А+у*(|\\ -4 + (у^-2У) = Д *(s>s).
Теорема 1. При условиях утверждений 1, 2 и формулы (33) обратная задача (1) - (4) регуляризируема в Z1 ( /)0) в обобщенном смысле.
Заключение.
В настоящей работе была изучена обратная задача с интегральной зависимостью, где вырождается условно-корректное уравнение Вольтерра первого рода. На основе метода регуляризации доказана единственность и условная устойчивость решения обратной
задачи в Z2 (7)0) в обобщенном смысле. Полученные результаты могут применяться и к задачам более сложной структуры, которые встречаются в теории математической физики.
Список литературы:
1. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода: теория и численные методы. - Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, -1999. - 193 с.
2. Бухгейм А.Л. Уравнение Вольтерра и обратные задачи. - Новосибирск, 1983. - 207 с.
3. Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. - Фрунзе: Илим, 1981. - 144 с.
4. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. - 1963. - Т. 61, № 2. - С. 211-223.
5. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады АН СССР - 1959. - Т. 127, № 1. - С. 31-33.
6. Магницкий Н.А. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Вестник МГУ. Вычисл. мат и киберн. - 1978. - № 1. - С. 91-96.
7. Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифферен-циальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференциальные уравнения. - 1979. -Т. 9, № 1. - C. 96-105.
8. Омуров Т.Д. Методы регуляризации интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода. - Бишкек: Илим, 2003. - 162 с.
9. Омуров Т.Д., Рыспаев А.О., Омуров М.Т. Обратные задачи в приложениях математической физики. - КНУ им. Ж. Баласагына. - Б.: 2014. -192 с.
10. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода // Доклады АН СССР. - 1971. - Т. 197, № 3. - С. 531-534.
11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, - 1986. -287 с.
12. Тихонов А.Н., Гончарский А.В, Степанов В.В. Обратные задачи обработки фотоизображений // Некорректные задачи естествознания. -Сборник научных трудов. - М.: изд.-во Моск. ун-та, 1987. - С. 185-195.
13. Треногин В.А. Функциональный анализ. - Москва: Наука, 1980. - 496 с.
