О разрешимости задачи сопряжения для одного класса уравнения составного и гиперболического типов четвертого порядка на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

В силу того, что сумма нетеровых и компактных операторов нетеровы, то вместе с уравнениями (8), (11) и (13) и уравнения (4), Кги + Ки = f,K2u + Ки = f являются нетеровыми.

Итак, комплексное интегральное уравнение третьего рода (4) эквивалентно и к сингулярному интегральному уравнению с ядром Гильберта и к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши в том смысле, что все три названные уравнения одновременно нётеровы.

Теорема доказана.

Список литературы:

1. Бараталиев К.Б. К теории интегральных уравнений третьего рода. Бишкек: Изд. «Учкун», 2004. - 160 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевая задача. - М.: Физматгиз, 1958.

3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1962.

4. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. - М.: 1979. -493 с.

5. Рогожин В.С., Расланбеков С.Н. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода. Дифф. уравнения, - 1978, 14. № 2. С. 514-521. Р. 48-57.

6. Bart G.R. Three Theorems on Third-Khid Linear integral Euations. J. Math.Anal.Appl. - 1981.Vol. 79.

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЯ СОСТАВНОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

Бекмаматов Замирбек Молдошович

ст. преподаватель кафедры математики и информационных технологий Баткенского государственного университета, Кыргызская Республика, г. Баткен E-mail: zbekmamatov@mail. ru

ON SOLVING PROBLEMS OF CONJUGATION

FOR ONE FORM OF EQUATIONS OF COMPOUND AND HYPERBOLIC TYPES OF FOURTH ORDER ON PLANE

Zamirbek Bekmamatov

senior lecturer department of Mathematics and information technology Batken State University, Kyrgyzstan, Batken

АННОТАЦИЯ

Методами теории уравнений смешанного и смешанно-составного типов установлена однозначная разрешимость задачи сопряжения для одного класса уравнения составного и гиперболического типов четвертого порядка на плоскости.

ABSTRACT

By the methods of the theory of equations of mixed and mixed-composite type the unique solvability of the conjugation problem for a class of equations of hyperbolic and composite fourth order on plane has been established.

Ключевые слова: задачи сопряжения, краевые условия, условия сопряжения, составные и гиперболические уравнения, функции Грина и Римана, уравнение Вольтерра, уравнение Фредгольма.

Keywords: problems of conjugation, edge condition, condition of conjugation, function of Green and Riemann, equation of Volterra, equation of Fredholm.

1. Постановка задачи. Пусть Д - односвязная область, ограниченная простой Жордановой дугой Г, лежащей в полуплоскости y > 0 и опирающейся на ось Ox в точках A 1,0) и Б0 (1,0), а также отрезком AB оси Ox. Предположим, что кривая Г униформна относительно оси Oy, точка N(0, p) этой кривой является единственной максимально удалённой от оси Ox, что части AN и B0N дуги Г униформны относительно отрезка ON оси Oy, где O - начало координат. Обозначим через Д - область, ограниченную линиями AA : x = —1, АБ : У = —h, ББ : x = 1, h > 0, p > 0 . Ck+m (D) - класс функций, имеющие непрерывные

^^^^ СибАК Естественные и математические науки в современном мире уту?.яЬаст1о_№5(40). 2016г.

производные к - го и т - го порядков по х и по у соответственно в области Д , где Д = Д и Д. В работе рассматривается

Задача М. Найти функцию и( х, у) е С1 (О) п С2 (О) п [С4+0 (Д) и иС2+2 (Д) и С1+3 (Д)], удовлетворяющую в области Д уравнению

и + и = 0, (1)

хххх ххуу > V '

и краевым условиям

и(0,у) = /(у), их(0,у) = /2(у), 0 <у <р, (2) их| Г = Л^Х (3)

а также удовлетворяющую в области Д уравнению

ихууу + Си = 0 (4)

и краевым условиям

и(-1, у) = ф(у), - Ъ < у < 0 , (5)

и(х, -Ъ) = щ (х), и (х, -Ъ) = щ (х), -1 < х < 1, (6)

где: /1, /2, /3,ф, Щ,Щ2 - заданные функции, удовлетворяющие следующим условиям гладкости и условиям согласования:

ф(у) е С3 [-Ъ, 0], /1 (у) е С2 (ОМ), / (у) е С1 (ОМ), /з(5) е С2(Г), щ(х) е С3 [-1,1] , щ(х) е С2 [-1,1], (7) /з(А) = ф(А), ф(-Ъ) = щ(-1), ф'( - Ъ) =щ2(-1).

5 - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки А0, с -вещественное число.

Из постановки задачи М, как следствие, вытекают следующие условия сопряжения:

и(х, +0) = и(х, -0) = т(х), и (х, +0) = и (х, -0) = х),

' (8)

иуу (х, +0) = и у (х, -0) = ¡л(х), -1 < х < 1,

где: т(х), у(х), /(х) - пока неизвестные функции.

Уравнения (1) и (4) являются уравнениями составного и гиперболического типов соответственно. Некоторые классы уравнений составного и гиперболического типов четвертого порядка рассмотрены в [1; 4]. В настоящей работе для решения задачи М используются методы теорий уравнений смешанного типа [2] и смешанно-составного типа [3]. При решении задачи М сперва решаются вспомогательные задачи, а после находим функции т(х), у(х), /(х) .

Рассмотрим следующие вспомогательные задачи.

Задача 1. Найти функцию и(х,у) е С1(Д)п[С4+0(Д)^С2+2(Д)], удовлетворяющую в области Д уравнению (1), краевым условиям (2), (3)и условию

и (х, +0) = т'( х), -1 < х < 1. (9)

Задача 2. Найти функцию и(х, у) е С(Д) п С1+3(Д), удовлетворяющую в области Д уравнению (4), краевым условиям (5), (6) и условию

и(х, -0) = т(х), -1 < х < 1. (10)

При исследовании задачи 1 воспользуемся представлением любого регулярного решения уравнения (1) в области Д в виде

и(х, у) = щ(х, у) + хЛ(у) + а(у), (11)

где: и (х, у) произвольная гармоническая функция в области Д , а Л(у) и а(у) произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции в области Д .

Произвольные функции Л(у) и со(у) без ограничения общности могут быть подчинены условиям

2(0) = ®(0) = 2(М) = ®(М) = 0 . (12)

2. Исследование задачи 1. Однородная задача 1 редуцируется

к задаче нахождения регулярного в области Д решения \(х, у) уравнения

\ + \ =2(у) , (13)

удовлетворяющего условиям

\\Г =-2(у), \АВо = 0, \ОМ =-2(у), (14)

где:

\= их. (15)

Функция \(х, у) положительного максимума и отрицательного минимума в Д может достигать лишь на открытых частях АМ и Б0М дуги Г. Однако, так как \(0, у) = -Л(у) при 0 < у < р, то эти же экстремальные значения должны повторяться и внутри области Д на открытом отрезке ОЖ , что невозможно. Следовательно, \(х,у) = 0 и стало быть, Л(у) = 0 в области Д . Отсюда следует единственность решения задачи 1.

Для доказательства существования решения задачи 1 ограничимся, когда Г совпадает с полуокружностью х2 + у2 = 1, у > 0.

В силу (2), (3) и (11) для функции \(х, у) получим краевые условия

\Г = /з-2[у(5)], \ОМ = /2(у), \^Б0 = Т'(х), 0 < у < 1 . (16)

Следуя методу работы [3], решение уравнения (13), удовлетворяющее условиям (16), запишем в явном виде

* х, у)= Гх,у) (я-М т (§ дц-д-° зф

+[ (д0_ О-!

Г ^ д^ дц ёц

г (дО дО-Е ц-П —

Л(ц)-ц, (17)

где:

0(^,ц; х, у) =

2л

- функция Грина,

г,2 = (х - #)2 + (у - ц)2, г2 = (х - #)2 + (у + ц)2 Гз2 = (х-#)2 + (у-ц)2,

\2 . — _ — _

2 , у = 2 Г Г

Г4 = (х-#)2 + (у + ц)2 ; х =—, у = ^ Г2 = х2 + у2.

где:

Учитывая (11), из второго условия (16) имеем

*0,у) + Л(у) = /2(у), 0 < у < 1,

и0х =*(0, у).

(18)

Далее, подставляя формулу (17) в условие (18) для нахождения неизвестной функции Л(у) получим интегральное уравнение Фредгольма

Л( у) + Г К (у,ц)Л(ц)-ц = Р (у),

где:

К (у, ц) =

4уц(у2 -1)

Р (у) = /2 (у) - у Г11 - 777ГТ\'(<)- -ЛЛ^ + у 1+¡у )

(1 + у2)2 -4уV]'

у (1 - у )

(19)

1(1 - /) + 4 уУ

0

^^^^ СибАК Естественные и математические науки в современном мире уту?.яЬаст1о_№5(40). 2016г.

Нетрудно показать, что однородное интегральное уравнение соответствующее уравнению (19), не имеет отличных от нуля решений. Правая часть уравнения (19) при / (() = т'(0 = / (у) = 0 равно нулю, и функция удовлетворяющая уравнению (13) и условия задачи, не достигает отличного от нуля экстремума на А В . Кроме того, / = / = 0, функция \(х, у) не достигает положительного максимума и отрицательного минимума на дуге Г, так как \=-Л[у(^)], \\ОЛ,= -Л(у). Следовательно, \(х,у) = 0 в области Д, отсюда следует, что Л(у) = 0 .

Обращая интегральное уравнение (19), получаем

1 1

Л(у) = Г (у)--1Г (у, Шл, (20)

п 0

где: Г1( у,л) - резольвента ядра К (у,л). Подставляя (20) в формулу (17) для функции \(х, у) будем иметь

х, у)=| ^^ тд °(%л; х,+

^ дл £ дп

+|д ^х, у)р (л)^л-|д х,у) 11 Гl(л(s),Лl)F(Лl)dЛl

Ни V ЛИ ТГ

г дп ^ дп

11

ds, (21)

где: п - внутренняя нормаль дуги Г. Определив \(х,у), из (15) найдем решение задачи 1 в области Д .

3. Соотношение, полученное из области Д. Обозначим

ихх + иуу = 2(х, у), (х, у) е Д. (22)

Тогда из уравнения (1) для функции г(х, у) получим уравнение

Естественные и математические науки в современном мире №5 (40). 2016г._www.sibac.info

общее решение которого дается формулой 2(х, у) = хЛ' (у) + фщ (у),

где: Л(у), со(у) = /2(у) - функции, определенные в задаче 1.

Переходя к пределу в (22) при у ^ 0 будем иметь соотношение, полученное из области Д :

т\х) + /(х) = хЛ " (0) + ®"(0) = г(х,0), -1 < х < 1. (23)

Уравнение (23) относительно т(х), при краевых условиях

т(Л) = /з(А,), т(В) = /з(В0), (24)

перепишем в виде

Т( х) = 1(х,0) -/(х) (25)

и будем рассматривать правую часть как известную функцию. Решая уравнение (25) относительно т(х), при краевых условиях (24), будем иметь

1

т(х) = а(х) + Г 0( х, г)/(г)-г, (26)

где:

а(х) = /з (Л) + (/ (В) - /з (Л)) + Г 0(х, г) 2($, 0)—г,

-1

-1 < х < г,

0( х, г) =

2

(х+1)(г -1)

2 - функция Грина.

(г +1)( х -1)

( )( ), г < х < 1,

2

4. Представление решения задачи Гурса. Рассмотрим задачу Гурса: найти решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям:

^^^^ СибАК Естественные и математические науки в современном мире уту?.яЬаст1о_№5(40). 2016г.

и(х, -0) = т(х), uy (х, -0) = у(х), и (х, -0) = /л(х), -1 < х < 1. После интегрирования уравнение (4) по х и по у соответственно, будем иметь

х х у

u(x, у) = Uo (х, у) + л | (у - л)1 и(4, л)Л (27)

2 0 0

где:

1

u0 (x, у) = Г(х) + у^(х) +- у М(х) + ф0 0 Ф0 (у) = Ф(у) - Ф(0) - Ф'(0) • у -1 у2ф"(0), Л = -с.

Методом последовательных приближений найдем явное решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода (26) и представим в виде ряда

х у

и( х, у) = ц (х, у) + с| V (х, у; лК 0, л)л (28)

0 0

где:

(-1)п сп

V(х, у; л) = У—-— • (х - £)" • (у - п)3и+1 - резольвента ядра

п=0 п!(3п + 2)!

1 7

2( у -л)2.

Легко проверить, что функция V (х, у;^,л) удовлетворяет следующим условиям

V(х,у;£л) = 0 , V (х,у;£л) = 0 , Vyy (х,у;£л) = 1, (29) 1 ,

V(х,у;х,л) =-(у-л) , V(x,у;х,л) = у-л , ^(x,у;х,л) = 1.

Подставляя значения и0 (х, у) в (28) и, выделяя неизвестные функции, будем иметь

^ Сийдк

Естественные и математические науки в современном мире

№_5 (40), 2016г_mvw.sibac.infо

1 ^

и(х, у) = Ф(х, у) + т(х) + уу(х) + - у2 /(х) + Г Н (х, у, 4)т(4)-4 +

2 0

+Г Н 2 (х, у, 4М4)-4 +Г Н (х, у, 4)/(4)-4,

0 0

(30)

где:

х у

Ф( х, у) = Ф0 (у) - сГ V (х, у; 4, ц)Фо (ц)-ц,

0 0

у у

Н (х, у, 4) = -сГ V(х, у; 4, ц)-ц, Н2 (х, у, 4) = V(х, у; 4, ц)ц-ц,

0

Нз( х, у, 4) = - - Г V (х, у;4,ц)ц2-ц .

5. Соотношение, полученное из области Д. Чтобы найти соотношения между функциями т(х), у(х) и /(х) подставляя (30) в краевые условия (6) получим соотношения, полученные из области Д:

1

г(.т) - Ы-(X) + -/г2М-г) = (X) -1\Н1 {х, -1Ч, с)г(с) + Я2 (х, -1г, 4). '(4) +

2 о

+н(х, -А,4)/(4)] -4, -1 < х < 1,

(31)

х

У(Х) - Иц(х) = Т2 (х) - {[н1у (х. -И, 4)г(4) + Н2у (х. -И, 4)1'(4) +

0

(32)

+Нз у (х, -Й, 4/(4)] -4, -1 < х < 1, где:

(х) = (х) - Ф(х\ -Л) Т2 (х) = Т2 (х) - Фу (х\ -Л,).

Обращая Вольтерровскую часть уравнения (32) относительно у(х), получим соотношение

0

0

^^^ СибАК Естественные и математические науки в современном мире www.sibac.mto_№ 5 (40), 2016г

г(х) = ИМ(х) + } [я, (х, с)г(С) + Я (*, #)/*(#) ] + ¥(*), 0

-1 < х < 1, (33)

где:

я, (х. с) = -Н1у (х. . с) -1 Л, (х. /) • Н1у (/. -к 4) А,

ь X

я3 (х. с) = -Я, (х. -л. с) -1 Л, (х. /) • Я, -Л. ОА,

Т(х) = Т2 (х) +1^ (х, ОТ2 (1)Л, ^ (х, 1) - резольвента ядра

0

Ну (х, -И,$).

Исключив ^(х) из (31) и (33), будем иметь

м х) = -2 г( х) + } [ М (х, $)т($) + N2 (х, $)М$)] ^^ + М0 (х), И 0

-1 < х < 1, (34)

где:

1 1

И1{х4)=—\-}11 ■Й1 (х, с) + Я1 (х, —Л, ч) + [ Я, (х, —Л, /)Я1 (/, с) А и Л

$

х

1

N. (х, С) = — Г -Л • Я3 (х, с) + Я3 (х, -Л, с) + [ Н. (х- ~>\, О Я, (/, с )сй,

- и \- 3

И2 й2

1 х

^ (х) = — [ф (х, -И) - Т (х) - ИТ(х) +1Н (х, -И,

0

Отсюда, методом исключения из (26) и (34) получим интегральное уравнение

х 1

М(х) = 1 М2(х$)^($)а$ + \^(х^М&^ + а^х) , (35)

0 -1

где: ах (х) - вполне определенная функция.

Обращая Волтерровскую часть уравнения (35) относительно U(x), будем иметь интегральное уравнение Фредгольма второго рода

i

u( x) = Uo (x) + j N (x, 4)u(4)d4, (36)

-1

где:

N(x, 4) = N3 (x, 4) (x, 4)N (4, t)dt, Uo (x) = «1 (x) +j2 (x, 4)« (4)d(4),

0 0

R (x,t) - резольвента ядра N2 (x,4). Если выполняется условие

2max|N(x,4)| < 1, (37)

-1< x,4<1

тогда уравнение (36) имеет единственное решение. 6. Решение задачи М в области Д . Определив u(x) из (36) и подставляя её значение в (26) будем знать т(x). После этого из (33) найдем v(x), и тем самым решение задачи 2, а решение задачи М в области D1 определяется по формуле

x

u(x, у) ={5(4, y)d4 + f1( y), (38)

0

где: 5(x,y) дается формулой (17). Таким образом доказана

Теорема. Если выполняются условия (7) и (37), то решение задачи М существует, оно единственно и определяется в областях Д и D по формулам (38) и (30) соответственно.

Список литературы:

1. Бабаев С., Бекмаматов З.М. Межд. научная конф. посвященная к 80-летию акад. Джураева А.Д., 3-4 декабря 2012 г., г. Душанбе.

2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. -164 с.

3. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. - Ташкент: Фан, 1979. - 236 с.

4. Bekmamatov Z. Cauchi problem for a composite type fourth order equation, V Congress of the TURKIC WORLD MATHEMATICIANS, Kyrgyzstan, "Issyk-Kul Aurora", 5-7 June. - 2014.

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ГДЕ ВЫРОЖДАЕТСЯ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА С ОСОБЫМ РЕШЕНИЕМ

Омуров Таалайбек Дардайылович

д-р физ-мат. наук, проф. Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек Е-mail: omurovtd@mail. ru

Джумагулов Кубат Рыспекович

аспирант, ст. преподаватель Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: [email protected]

Омуров Максат Таалайбекович

аспирант, преподаватель Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек

REGULARIZATION OF INVERSE PROBLEMS, WHERE DEGENERATES VOLTERRA EQUATION OF THE FIRST KIND WITH A SPECIAL SOLUTION

Taalaibek Omurov

doctor of science, professor of Kyrgyz national university named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek