CC BY
13
с
СибАК
Естественные и математические науки в современном мире www.sibacmlo_N°5(40). 2016г.
6. Pagani C.D. On the parabolic equation sign(x)\ x \p uy — ua = 0 a related one // Ann. mat. pure ed apple. Ser. Quarto. - 1974. T. 10. - P. 333-399.
7. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Sos. - 1977. V. 63. № 1. - P. 77-81.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Саадалов Толонбай Ысманович
ст. преподаватель кафедры информатики Ошского технологического университета М.М. Адышева,
Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: saadtol_68@mail. ru
BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF CONJUGATION FOR PSEUDOPARABOLIC AND HYPERBOLIC FOURTH ORDER EQUATIONS
Tolonbai Saadalov
senior Lecturer of information Department of Osh Technological University named after M.M. Adyshev,
Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
Доказано существование и единственности решения задачи для псевдопараболического и гиперболического уравнений четвертого порядка, когда условия склеивания задается на не характеристической линии.
ABSTRACT
Proved the existence end uniqueness of the solutions of the problems for pseudoparabolic and hyperbolic equations of fourth order when the conditions of conjugation are not set on the characteristic line.
Ключевые слова: задачи сопряжения, псевдопараболические и гиперболические уравнения, уравнение Фредгольма.
\(f СибАК
Естественные и математи ческие науки в современном мире у^У №5 (40). 2016г._www.sibac.info
Keywords: problems of conjugation, pseudoparabolic and hyperbolic equations, Fredholm equations.
1. Постановка задачи. Пусть D означает квадрат, ограниченной отрезками характеристических прямых у = 0, х = L у = С, х = 0, где < - произвольное положительное число.
Через D = D i (x < y) и D2 — D i (x > y) обозначим подобласти области D , для которых прямая y — x является общей границей.
В области D рассмотрим уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами вида
uxxyy + Сu — 0 (x, У) е Di, (1)
uxxy + С2u — 0 (^ У) е D2 ' (2)
где: c, С ~const.
Отметим, что уравнение (1) является каноническим видом уравнения гиперболического типа относительно старшего коэффициента, обладающее двумя двукратными действительными характеристиками, а уравнение (2) - каноническим видом уравнения гиперболического типа относительно старшего коэффициента, имеющее две действительные характеристики, один из которых трехкратный, а другой - однократный [3]. Уравнение (2) часто называют псевдопараболическим [4; 6; 7].
Пусть Cn+m означает класс функций, обладающее непрерывными производными вида dr+s / dxrdys (r = 0,1,...,n;s = 0,1,...,m).
Задача 1. Требуется найти функцию u(x,y) , удовлетворяющее следующим условиям:
1) u(x,y) e C(D)^[C2+2(D)^C3+1(D2)];
2) удовлетворяет области D уравнению (1);
3) удовлетворяет области D2 уравнению (2);
4) краевым условиям
ту) = ФШ »,(0,у) = ф2(у), 0 < v < I, (3)
иух{(-Л>) = фъ(у), 0<y<t, (4)
и{х,0) = ц/{х), 0<х< а, (5)
5) условиям сопряжения
^^^ СибАК Естественные и математические науки в современном мире www.sLbac.mt о_№ 5 (40), 2016г
и(у - о, V) = и(у + О, V), их (V - О, V) = их (V + О, у), О <у< С,
иху (.V - О, V) = иху (.V + О, V), «п>, (у - О, V) = ихху (у + 0,у),0<у< С, (6)
где: фф (г = 1, 3), - заданные функции, удовлетворяющие условиям
</>! е С2 [О, С\,фъ е. С1 [О, <?], 1//е С2 [О, <?], (О) =,//'> (0) (/ = 0.1). ¿(О)=у"(0.
Отметим, что в задаче 1 на линии у = х заданы три условия сопряжения. Такие задачи мало исследованы [2], хотя они часто используются при математическом моделировании в ряде прикладных задачах [1; 5].
Для решения задачи 1 введем следующие обозначения
„(V, V) = Т(у\ их(V, V) = 1 '(.V), иху(V, V) = м(у1
ихху(у~у) = х(у)~ ®<у<(
где: т(у), у(у), /(у), %(у) - неизвестные функции.
2. Представление решения задачи в области Д . Рассмотрим следующие вспомогательные задачи.
Задача 2. Требуется найти из класса С(Д ) п С2+2(Д1) решение уравнения (1), удовлетворяющее уравнению (1) и условиям (8).
Задача 3. Требуется найти из класса С(Д) п С3+1(Д2) решение уравнения (2) и условиям (8).
Имеет место следующие теоремы.
Теорема 1. Если т (у) е С2 [О, С], г (у) е С1 [О, (], ¡л (у) е С1 [О, П-% (у) е е С[0, С], тогда существует единственное решение задачи 2 и это решение представимо в виде
и(х, у) = т(у) - ](х,у; £)т(£) + ^ (х,у; ) +
х ( '
+3Дх,у££)/(£) + 3(х,у££)х(£Ш, (х,у) £ Д +» I—ллпг"
где: 3(х, у£,Л) = (£-х)2п+1(Л-у)2п+1 .
Ц~0[(2п +1)!]2
^ Сийдк
Естественные и математические науки в современном мире
№_5 (40), 2016г_mvw.sibac.infо
Теорема 2. Если т (у) е С1 [0. С]. V (у) е С2 [0, С|. ¡л (у) е С1 [0, % (у) е е С[0, , тогда существует единственное решение задачи 3, которое представимо в виде
^ .«У>-^„^{.т,) + г,(,(»и) + (10)
+w{ (х, у;{, { )р({ ) + м>(х, у; {, { )^({ )]С{, (х, у) е Б,
где: н<х,у; {,,) = ({ — х)3«+2(,— у)и.
и=0«1(3« + 2)!
3. Сведение задачи к решению системы интегральных уравнений. Применяя первое условие (3) из (9) получим
у
) + | [Я, (у, { )т{ ) +1
0
+ Я,з( у, { )М({ ) + Я14( у, { )х( {)]С {,
Т( у) = Ф (у) + ] [Я 11 (у, { Ж{ ) + Я12 (у, { )м( {)С{ -
(11)
где: Яп(у, {) = 3, (0, у; {, {), Ип(у, {) = 3,{ (0, у; {, {), ЯузСу, {) = 3,(0, у; { , {), Ии(у, {) = 3(0, у; {, {).
Дифференцировав (9) по х имеем
у
их (х, у) = [3,{х (х, у; {, { )т({ ) + 3{{ х (х, у; {, { )м({ ) +
х
+3,х(х,у; { , {)М({) + 3Х(х,у; {, { )%({)]й{ + м(х), (х,у) е Д.
(12)
При получении (12) мы использовали следующие свойства 3(х, у; х, х) = 0, 3, (х, у; х, х) = 0, 3, { (х, у; х, х) = 1. Далее, воспользо -вавшись вторым условием (3) из (12) приходим к соотношению
—} (0, у; {, {)т({ ) + 3{(х (0, у; {, { )м( {) + 0 (13) +3,х (0, у; { , { )м( { ) + 3Х (0, у; {, {)Х( {)]С { + м(0) = ф, (у).
Естественные и математические науки в современном мире www.sibac.mto_№ 5 (40), 2016г
Отсюда, дифференцированием (13) по у получаем
у
/(у) = Ф', (у) +1 [Н31 (у, £)Т(£) + Н32 (у, £)у(£)й£ +Н33 (у,
о
(14)
где: Н31(у£) = 3^ (0, у£,£), Нш(у£) = 3^у (00, у£,£),
Н33( у,£) = 3ЩУ (0, у£,£).
После двукратного дифференцирования (10) по х, имеем
у
ихх(х у) = -{(х у; £ £)т£)+(х у; £ £)у(£) +
х
(х,у;£)/(£) + wxx(х,у;£)х(£Ш + Лх) -/(х), (х,у) е В,,
(15)
Применяя условие (4) из (15) будем иметь
Х(у) = с2((-у)г(у) + ф[(у) +1| (£',у;£-^((,у,£).•(£) -
V
^ У> £ ь )+>%( с, У £
(16)
Здесь мы использовали следующие равенства: ^ (х, у; х, х) = 1,
п,х(х,у;х,х) = -I н'1г(х,у:х,х) = I ии('.у;у.у) = 1.
Из (11) и (16) получим
1(У) = Ф4(у) + }[я41(у.с)г(с) + я42(у.с)г(с)^ +
о
+Я43 (у. С ) + Я44 (у. с )№,
\с2((-у)Ни(ус),0<С<у
(17)
¡С2((-У)Н12(УС),0<С<У ' ^ : »•....«>(•'-.»—г)- у <.
СибАК
Естественные и математи ческие науки в современном мире
№_5 (40), 2016г_mvw.sibac.infо
с2{(-у)нп{У,г\о<г<у, с2{1-у)н14{у,г\о<г<у,
НлЛУ^ | -м>хху{С,у,£,£),у<£<С
Ф4(у)=с2(^-уМ(у) + ^(у). Из (5) и (10) получим соотношение
у
) + ! [Я, (у, { )Г( { ) +1
0
+Я23 (у, { )М({) + Я24 (у, {М{ )]С{,
м(у) = /(у) + ] [Я21 (у, { Ж { ) + Я22 (у, { )м( {)С{ -
(18)
где: Я21(у{) = —м>, (у,0;{,{), Я22(у{) = —^ (у,0;{,{),
Я23 (у, {) = — ^ (у, 0; {, {), Я24 (у, { ) = —^ (у, 0; {, {). Итак, задачу 1 свели системе уравнений (11), (14), (17), (18). Эту систему запишем в виде
4 С _
8,(У) = / = 1.4. (19)
] =1 0
где: (у) = г(у), £2(у) = м(у), £з(у) = ^(у), ^у) = х(у) ■
р (у) = Ф (у), Рг (у) = '/(у), Рз (у) = Ф2 (у), л (у) = ф4 (у),
\Иц(у,{), 0<{<у,
Пусть
[0, у < С < С,
Гя,,(у,с),0<с<у;
¡2 О''' I п
[О, у < С < С,
[О, у < С < С,
К,.4 (у,{) =\ ,4(у,{Л { у I = 1,4.
'4 [0, у<£<£,
М(< 1, (20)
СибАК Естественные и математические науки в современном мире www.sibacmlo_N°5U0i. 2016г.
где: М = тах ■ V тах | К:, (у. с) | [ . Тогда система уравнений (19)
0</<4 \~^0<у,(<1: 4 ' ' I
имеет единственное решение, и это решение через резольвенту можно представить в виде
4 ' _
j=1 0
где:
Яи (у, = X Л""1 ) (У, #), К® (у, - Ки (у, #), у = 1,4 ,
"=1
К™ (у, С) = | [С (у, К™ С) + (у, *) К™ С) + 0
+к« (у, 5) Ку1(5, #)+К« (у, 5) к4п7 1 (5, #)] у = 1,4," = 2, з,... Имеет место
Теорема 3. Решение задачи 1 существует и единственно, если выполняются условия (7) и (20).
2
Пример 1. Пусть Ф1 (у) = у2, ^(у) = еу, Фз(у) = у-, \у(х) = х. Тогда, решение задачи имеет вид
u( x, y) =
xey + y2 + ХУ - —, (x, y) e D, 6 24
6 24 (22)
y ^ ,,2 ХУ3 , xV , y4
xey + y + + , (x,y) e D.
6 4 12 2
Нетрудно проверить, что (22) удовлетворяет всем условиям задачи 1.
Список литературы:
1. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - М.: Наука, 1980. - 688 с.
2. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. - Ташкент: Фан, 1986. - 220 с.
Естественные и математические науки в современном мире
№ 5 (40). 2016г_
3. Джураев Т.Д., Сопуев А.К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент: Фан, 2000 - 144 с.
4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.
6. Colton D. Pseudo parabolic equations in One Space variable // J. Differential Equations. - 1972. № 12. - P. 559-565.
7. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Sos. - 1977. V. 63. № 1. - P. 77-81.
^ СибАК
www.sibac.info
ДВУХСКОРОСТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БОЛЬЦМАНА-МАКСВЕЛЛА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
Омуров Таалайбек Дардайылович
д-р физ-мат. наук, проф. Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: omurovtd@mail. ru
Туганбаев Марат Мансурович
канд. физ. -мат. наук, доц. Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек
Талантбеков Аскар Талантбекович
аспирант, преподаватель Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: [email protected]
TWO-SPEED CONTACT PROBLEM BOLTZMANN-MAXWELL WITH A SMALL PARAMETER
Taalaibek Omurov
doctor of science, professor of Kyrgyz National University named after J. Balasagun,
Kyrgyzstan, Bishkek
