CC BY
15
Естественные и математические науки в современном мире
№ 5 (40), 2016г_
6. Напсо А.Ф., Канчукоев В.З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения // Владикавказский математический журнал. - 2002. Т. 4. Вып. 2. - С. 44-49.
7. Пулькина Л.С., Климова Е.Н. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебаний струны // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. третьей всерос. научн. конф. Ч. З: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2006. - С. 192-195.
8. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. - 1963. T. 21, № 2. - P. 155-160.
^ СибАК
www.sibac.info
О ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Молдояров Уларбек Дуйшобекович
ст. преподаватель кафедры ИТАС, Ошский государственный университет, Кыргызская Республика, г. Ош, E-mail: [email protected]
ABOUT THE CONJUGATION PROBLEM FOR PSEUDOPOROBOLIC THIRD ORDER EQUATION
Ularbek Moldoyarov
senior lecture, Chair of Information Technology and Automatization System Osh State University,
Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
Методом функции Грина и Римана доказана разрешимость задачи сопряжения для псевдопараболических уравнений третьего порядка, когда линия изменения типа уравнений является характеристической линией.
^Г, СибАК
www.sibac.m1o
Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40), 2016г.
ABSTRACT
The methods of Green and Riemann functions proved the solution of the conjugation problem for a pseudoparabolic third order equations, when the line of changing the type of equations is the characteristic line.
Ключевые слова: задача сопряжения, краевые условия, функции Римана и Грина, псевдопараболические уравнения, уравнение Вольтерра.
Keywords: Conjugation problem, boundary conditions, pseudoparabolic equations and Volterra equation.
1. Постановка задачи. В области D, ограниченная линиями
х=-?2(И2 >0), у = О, х = %(у\ 0<y<h,y = h, где %(у) -монотонно невозрастающая кривая, причем
ХФ)= > tyrXO7) = О < ^з — • Рассмотрим задачу сопряжения для уравнений
L1(u) = uxxy - x"uyy = 0,(x y) е D1 , (1)
Ь2 (u) = u^ + a(x,y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0, (x,y) e D2, (2)
где: D = Dn (x > 0),D2 = Dn (x < 0),p = const > - 1.
Пусть Cn+m означает класс функций, имеющих производные dr+s / dxrdys (r = 0, 1,...,n; s = 0, 1,...,m). Относительно коэффициентов и заданных функций предполагаем следующее
a e C(D) n C1+0 (D), b e C(D~2) n C0+1 (D2 ), c e C(D~2),
1
Z(y) e C[0. h] r^ C1 (0. h), Vv e [0. h]:C3< Z(y) < i,, Z(y) < 0.
Уравнения вида (1) и (2) часто называются псевдопараболическими по характеру свойств решений [6; 7]. Вырождающиеся параболические уравнения вида (1) рассмотрены в работах [1; 2; 6]. Частные случаи уравнений вида (1) и (2) встречаются при изучении поглощения почвенной влаги растениями [3].
Задача 1. Найти функцию u(x, y) e C(D) n Cl(D) n \C1+l(D)^C2(D)^ ^iC2+1(D2)], удовлетворяющую уравнения (1) и (2) в областях D и D соответственно краевым условиям
Естественные и математические науки в современном мире № 5 (40), 2016г_
^ Сийдк
m\nv.sibac.info
и(-е2,у) = ф1(у), о<y<h
uv (х, О) = у/2 (х), О < х < .
(4)
(5)
и начальному условию
и(х,0) = \уъ(х), -С2 < х< О, (6)
где: - заданные гладкие функции, причем
щ еС2[0, fj, у/2 е С1 [О, fj, ц/ъ еС1 [—¿2,0], ф,&Cl[0,h]{i =1,2) щ (0) = щ (0), фг (0) = щ (-С 2), ^ (f,) = ф2 (0).
Введем следующие обозначения
м, (-0, у) = м, (+0, y) = v( у), 0 < у < А, (8)
где т(у), у(у) - пока неизвестные функции.
2. Соотношения, полученные из области Д. Продифференцировав уравнение (1) по у будем иметь
ихх ~ хРиу =Ю(Х), (9)
где: - известная функция.
Рассмотрим следующую смешанную задачу: найти в области Д решения уравнения (9), удовлетворяющие краевые условия
их (0,у) = 1IV), и(х(у), у) = Ф х(у), 0 < у < И, н(х,0) = у1(х), 0<х<
Решение задачи (9), (10) через функции Грина представимо в виде [4]
СибАК Естественные и математические науки в современном мире www.sLbac.mt о_№ 5 (40), 2016г
Ч J
и(х, V) = J ZpG2 (Х, V; С, 0)1//; (С- JG2 (х, v; 0, jj)y(jj)dij-
о о
y y х(л)
-fG2((x,y;z(v),v№(v)dv-fdv f G2(x,
о о о
где:
G2 (x уЛ,п) = Ui(x yA,n)- w(x y; ^ v),
U2(x, y-A,v) =
1/ ( q/ q/ \
q(y -v)
q1(y — Л)
V J
w(x, у; Е,, л) - является решением следующей сопряженной задачи
(х у; £ л) \4=о = 0, х у; £ л) \4=Х(Л)=
= U2 (x, у; %(л), л), у; % , л) \ч=у = 0. При x = 0 из (11) получаем соотношение между и у(у):
xq +(q
e q (y-v), q = p + 2,
r(y) = -rf v(v) v + i w(о, y; о, v)y(v)dv + То (y),
о (y -v) q о (12)
(12)
fi V
гДе: foM = \G2i{0,y хШлЖл)^! ~
^0У
о о
y z(v)
-f 02^°:,y;Z(V),V)<fii(V)dV-f dv f .
о о о
3. Соотношение между r(y) и из области D2. Составим тождество Лагранжа
(u) -uL2(S) = {&uv + \&Sn + a&\u}s-\&sus -b&u\ (13)
гДе К (¿) - -¿ж - (а&) е —(Ь&)л + с& .
Пусть М(х, у) произвольная точка области Б2 . Осуществляя
интегрирование тождества (13) по области
^ СибАК
Естественные и математические науки в современном мире №5 (40). 2016г._www.sibac.info
Д* = {(¿,г): х < £ < 0,0 < г < у} и учитывая свойства функции Римана 3(х, у;£,г), имеем представление
и(х,у) = (х,у;0,у)т(у) -3(х,у;0,у)у(у) -
у
3 (х, у; 0, г)+а(0, у)&( х, у; о, гЖгУг + (14)
о
у
+| 3 (х, у; о, +щ (х, у),
о
где:
иа (х, у) = 3( (х, у; х, 0)^3 (х) + 3( х.у; 0,0)у\ (0) - 3( (х.у; 0,0)уъ (0) -
х
-/ 3 (х, у; ¿,0) + Ь(£, 0)3( х, у; 0)^г (£)ё£.
0
Функцией Римана назовем решение уравнения
Ь'2(3) = 0, (¿,г) е Д* , (15)
удовлетворяющее условия
З(х, у ¿,г)\^=х = 0, 3 (х, у;^,г)\^=х = 1 0 <г< х (16) 3(х, у;£,г)\л=у =а( х, у;£), х <£< ° (17)
причем 0)(х,у ;£) является решением следующей задачи Коши:
(х, у;£, у) + Ь(£, у)3(х, у;£, у) = 0, х < £ < 0, 3(х, у;£, у)^ = 0,3е (х, у;£, у)^ = 1. (18)
Очевидно, что решение задачи (18) существует и в единственном виде. Разрешимость этой задачи эквивалентно сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода
3(х, у;£, у) = £- х +\? (¿1 - £)Ь(£, у)3(х, у; ¿1, у)й£ . (19)
■¡у
^Г, СибАК
м'и'и '.яЬаагШо
Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40). 2016г.
Решение интегрального уравнения (19) через резольвента представим в виде
3(х,у£,у) = £-х + Я(х,¿1 )(£ -х)й£,
где Я(х,£1) -ядро резольвента (£-£)Ь(£,у).
Из (15) - (18) для функции Римана получаем интегральное уравнение
3(х,у;£,г) =£-х-\((£-£1)Ь(£1гЛ)3(х,-
* , х 1 (20) -£ Г \-а(£1- (£-£1 )с(£1 гЯ 3( х у; ¿1, г .
Лемма 1. Если
У(х, у) е Д : Ь(х, у) < 0, (21)
То
У(х, у) е Д лУ^е [х, 0]: 3(х, у) х > 0. (22) Из (22) вытекает неравенство
¥у е [0,/?]: 3{С2,уЛу) > С2 > 0. (23)
Используя второе условие (4) из (14), имеем
3(-С^у; 0. уМу) = Г (-£,. у; 0. ШЛ^Л +
(24)
где g0(у) = п0(-С2,у)-ф2(у).
Если учесть неравенство (23), то уравнение (24) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и ее обращение относительно имеет вид
у(у) = Б(у)т(у) + Ци (у, фтгфг + у0 (у), (25)
^ Сийдк
Естественные и математические науки в современном мире
№_5 (40), 2016г_mvw.sibac.infо
где
■ 9{-(2,уЛу) ' ¿(-С2,у;0,у) 3(—С2,7];0,7]) '
„, , А(-СКО,77) 77:0,77) Я(У.77) =--1—- • +—-7)' ' ^-^..кО.у) ¿>(-¿3,77; 0,77) 1 ' '
^ ^.т^О.т^) Л
4. Сведение задачи к интегральному уравнению. Из (12) и (25) получим
г (у) = -V\Уу{уВ_г^1 +£ у (у г гУсггг+т (у), (26)
где:
g (у) = ч0 У) -{(
(У-V)
1-1/ q
-а (00, у,0,ф
Vo0v)dv-
Так, разрешимость задачи 1 эквивалентно редуцировалась к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода (26) имеющее слабое ядро, которое допускает единственное непрерывное решение.
Таким образом, доказана нижеследующая теорема.
Теорема. Если выполняются условия (3), (7) и (21), то решение задачи 1 существует и единственно.
Список литературы:
1. Базалий Б.В., Дегтярёв С.П. Первая краевая задача для вырождающихся параболических уравнений // Нелин. граничн. задачи. - 1991. Вып. З. -С. 6-13.
2. Исянгильдин А.Х. Краевые задачи нелокальными условиями сопряжения для дифференциальных уравнений смешанного типа: автереф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Уфа, 1996. - 11 с.
3. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
4. Сопуев А. Краевые задачи для уравнений четвертого порядка и уравнений смешанного типа // Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Бишкек, 1996. -249 с.
5. Colton D. Pseudo parabolic equations in One Space variable // J. Differential Equations. - 1972. № 12. - P. 559-565.
с
СибАК
Естественные и математические науки в современном мире www.sibacmlo_N°5(40). 2016г.
6. Pagani C.D. On the parabolic equation sign(x)\ x \p uy - u^ = 0 a related one // Ann. mat. pure ed apple. Ser. Quarto. - 1974. T. 10. - P. 333-399.
7. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Sos. - 1977. V. 63. № 1. - P. 77-81.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Саадалов Толонбай Ысманович
ст. преподаватель кафедры информатики Ошского технологического университета М.М. Адышева,
Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: saadtol_68@mail. ru
BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF CONJUGATION FOR PSEUDOPARABOLIC AND HYPERBOLIC FOURTH ORDER EQUATIONS
Tolonbai Saadalov
senior Lecturer of information Department of Osh Technological University named after M.M. Adyshev,
Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
Доказано существование и единственности решения задачи для псевдопараболического и гиперболического уравнений четвертого порядка, когда условия склеивания задается на не характеристической линии.
ABSTRACT
Proved the existence end uniqueness of the solutions of the problems for pseudoparabolic and hyperbolic equations of fourth order when the conditions of conjugation are not set on the characteristic line.
Ключевые слова: задачи сопряжения, псевдопараболические и гиперболические уравнения, уравнение Фредгольма.
