CC BY
8
^Г, СибАК
www.sibac.m1o
Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40), 2016г.
Список литературы:
1. Аширбаева А.Ж., Мамазиаева Э.А. Решение нелинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента // Вестник Кыргызско-Российского славянского университета. - Бишкек. - 2015. - Т. 15, Вып. 5. - С. 61-64.
2. Иманалиев М.И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными. - Бишкек: Илим, 1992. - 112 с.
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕКЛАССИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ
Молдояров Уларбек Дуйшобекович
ст. преподаватель кафедры ИТАС, Ошский государственный университет, Кыргызская Республика, г. Ош, E-mail: [email protected]
BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THIRD ORDER
WITH NONCLASSICAL BOUNDARY CONDITIONS
Ularbek Moldoyarov
senior lecture, Chair of Information Technolog y and Automatization System Osh State University,
Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
Методом сжатых отображений доказана разрешимость краевой задачи для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка с неклассическим граничным условием.
ABSTRACT
The method of contraction mapping proved the solvability of boundary value problem for nonlinear partial differential equations of the third order with nonclassical boundary condition.
^ Сийдк
Естественные и математические науки в современном мире №5 (40). 2016г._www.sibac.info
Ключевые слова: краевая задача, неклассическое граничное условие, нелинейное уравнение, принцип сжатых отображений, интегро-дифференциальное уравнение.
Keywords: boundary value problem, non-classical boundary condition, nonlinear equation, the contraction mapping principle, integraldifferential equation.
Краевые задачи с неклассическими граничными условиями для параболического уравнения с двумя независимыми переменными рассмотрены в работах [2; 3; 8]. Такого рода условия встречаются при изучении диффузии частиц в турбулентной плазме [2], в процессах распространения тепла в стержне, когда задана сумма тепловой энергии [3; 8]. Различные нелокальные задачи с интегральными краевыми условиями рассмотрены также в работах [1; 4-7].
В работе рассматривается краевая задача для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка с неклассическим граничным условием.
В области D = {(х, у): 0 < х < t, 0 < у < Щ рассмотрим уравнение
uxy У) = y,u(x, yX ux yX uy yX uxx yX uxy (x, y)X (1)
где: F - заданная функция.
Задача 1. Найти в D решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
J Т{х,у)и(х,y)dx = Е(у\ U(L V) = Ф(у1 о < V (2)
о
и(х, 0) = г(х), 0 < х < i, (3)
где: T(x,y), E(y), ф(y), т(x), %(y) - заданные функции.
Решение задачи 1 будем искать в классе функций U = {u(x,y): u(x, y) е е С1 (D) u^, uxy е C(D),uщ е C(D)}. Сделаем следующие предположения относительно заданных функций:
1) Х{у\ Е(у), ф{у) е Г'|0.//|. т(х) е ("¡О. С], 0 < z(y) < С ;
_ Х(у)
2) Т(х, v),Tv(х, v) е C(D), J (х-()Т(х, v)dx Ф 0 ;
^ СибАК
www.sibac.m1o
Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40), 2016г.
3) F(x,y,u,p,q,z,5) e C(DxR5) , max|F(x,y,u,p,q,z,s)| < H), R5 - пятимерное пространство переменных (u, p, q, z, s);
4)
\F(x, y, u, p, q, z, s) — F(x,y, u, p, q, z, s)| <
< L u — u| +| p — p| + |q — q| + |z — z| + |s — s I)
Z( 0)
5) J T(x, 0)r(x)dx = E(0) , r(0 = ф(0).
Нетрудно заметить, что задача (1) - (3) эквивалентна интегро-дифференциальному уравнению
i( x, y) = u0 (x, y) + j d^j T (x, 4)F (£,, ц, u, u^, uv , uirj )d-q + 0 0
x(y') y
+ j d^jT2(x,y,£)F(4,ц,u,u(,u4,u((,u(4)d^+ (4)
0 0
I v
+J d4 J r3 (x, v, 4)F(4,77,м, и., U4 Л.., U(4 )drj,
о 0
m0(X,V) = ®(X,V) + (X- 0
где:
x( y )
E(y)~ j T(s,yWs,y)ds j (s-C)T(s,y)ds
0 JL 0
Ф(х, v) = r(x) + ф{у) - r'(0)(x - 0 - r( 0,
x( y )
Tx( x,4) = x — 4,
x(y>
T2(x,y,&=(e-x) j (s-4)T(s,y)ds
X(y)
J (s-()T(s,y)ds
z<y)
r3(x.v.i)=i-i-(x-0 j (e-4)T(s,y)ds
z<y)
| (s - t)T(s, v)ds
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что функция u(x,y), определяемая из (4) удовлетворяет уравнению (1). Полагая y = 0 в (4) и учитывая условия согласования 5) имеем, что и(х,0) = /ig(x,0) = r(x). Полагая х=£ в (4) и с учетом равенства Т2{(',у,ч) = й,щ{(',у) = ф{у) имеем, что и{С^у) = ф{у). И наконец.
0
x y
^ Сийдк
Естественные и математические науки в современном мире №5 (40). 2016г._www.sibac.info
умножим на Т(х, у) обе части уравнения (4) и интегрируем полученное равенство от 0 до %(у). Тогда слагаемые, содержащие функцию Р, взаимно уничтожаются. Если учесть, что
ж( у)
| Т(х, у)и0 (х, у)ёх = Е(у), то в правой части равенства остается,
0
лишь Е(у). Тем самым доказывается выполнение первого условия (2). Найдя производные и, иу, иа, иху из (4) имеем
х у
их(х,у) = и0х(х,у) + |Р(¡V,и,и(,и^,и^+
0 0
Х(. у ) у
+ I Т2х (х , У, (V, и, и^^ V и' Ц , и1;Л (5)
0 0
( V
+1с) ь I Тъх (*- V, ь )Р(ь - V' и-- и г, - )<3'77-0 0
х
и у (х, у) = щ у (х, у) + | Т (х, ¡) Р (¡, у, и, и4, и у, ии ¡у +
0
у)
+ I Т2(х,у,%)Р(%,у,и,и(,иу,ии4у+
+1 тз (X, К с )Р( с, V, м, и(, иу ,и„, и »„ )(}д, (6)
0
у ) у
+ I Т2у (х, у, ¡) Р (¡, V, и, иил и^, +
0 0
г V
, у, ¡)Р (¡, V, и, и4, или44, и^ёц,
0 0
у
ихх (х у) = и0хх ^ у) + | Р(x,V, и их , %, ихх , ихщ)ёЧ, (7)
0
Естественные и математические науки в современном мире www.sibac.mto_№ 5 (40), 2016г
х
и^(х,у) = и0ху(х,у) + | Р(4,у,и,Ы4,иу,и44,ы(у4 +
0
у)
+ I Т2х(х,у, 4)Р(4,у,и,и4,иу,и и(у)Л4 +
0
^ 4 )Р(4 , ^ u, и4, иу, и44, и4у + (8)
0
у ) у
+ I Л4Iт2ху (хy, 4)Р(4,V,u,и4, ил,и44, и4^4 + 0 0
г V
+1с) 41 Т3*У П'Ч'Ч 4' и„ -и44 -
0 0
Введем вектор функцию g(x, у) = (ёг, g2, ё3, g4, gs), где ё = и(х У), g2 = их(х,у\ёз = иу(х,у\ g4 = ихх(хуХ §5 = иху(ху)
и оператор А = (А, А, А, А, А), компоненты которого определяется следующим образом
х
Аё = ёо, + I К1 Р ( 4, y, gl, g2, g3, g4, ё5)Л 4 + 0
V
+| К,2 Р (х,Л, ё^ §2 , ёз, §4 , +
0
х( у)
+ I К,3 р (4, y, ё^ g2, g3, g4, Я5)Л4 +
О
+}К,А V.8„82,Яз(9) 0
ху
+| ё 4 I Р (4,v, ё^ §2, ёз, g4, ё,№ + 0 0
у) у
+ I Л 4 I К6 Р (4,v, ё^ §2, ё^ g4, §5^4 +
00
Г V _
' =1-5.
Естественные и математические науки в современном мире № 5 (40), 2016г_
Здесь
Кл = 0, Ка = 0, Ка = 0, К14 = 0(1 = 12), К15 = Т(х,£), К16 = Т2(х,уЦ К17 = Т3( х, у,а К25 = 1, К26 = Т2х (х, у,£), Кг1 = = Т3х(х,у,аК31 = Т(х,?), К32 = 0,
К33 = Тг{х,у,£), Кзл = Тз(х,у,£), Кз5 = = 0, Кз6 = Тгу Кз7 = Тзух,у,£), К41 = 0, К42 = 1, К4з = 0, К44 = 0, К45 = = 0, К46 = 0, К47 = 0, К5! = I, К52 = 0,
К5з = Т2х (х, у,&, К54 = Тзх (х, у,&, К55 = = 0, К56 = Т2 у (х, у,£), К57 = Тзху (х, у,£),
§01 = и0(ху\ §02 = и0х(ху1 §0з =
= и0у (х у1 §04 = и0хх (х у1 §05 = и0ху (X У)-
Тогда система уравнений (4)-(8) запишется в виде одного векторного уравнения
§ = А§ . (10)
Покажем, что для этого уравнения в области В имеет место принцип сжатых отображений. Пусть оператор А осуществляет
сжатое отображение шара 5 (§о,М) = |§ :||§ - §о||< М}, где М некоторое заданное число, в себя.
Норму § определим равенством |Ы| = тах тах I§ (х, у)\. Пусть
11 11 1<1<5 (х, у)еВ 1
тах К < N . Для элементов §, принадлежащих шару 5 (§ ,М)
•=1,5, ]=1,7'
имеет место оценка <||+ М = К. Пусть § е 5 (§,М) . Тогда А§ е С (В) и, кроме того, для всех (х, у)е В справедливы неравенства | Д £ - g0i | < с/./ = 1.5, где ([ = N11 {3 С + 3 № + А). Отсюда следует, что ||А § - § 11 < д . Поэтому, если
д < М , (11)
^ Сийдк
www.sibac.info
^Г, СибАК
м'и'и \sibacinto
Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40). 2016г.
то Уё е (&,M) имеем ||А ё - & 1| < M. Следовательно Аё е 5 (&,М) . Это означает, что при выполнении условия (11) оператор А отображает шар 5 (&,М) в себя.
Пусть Уё(1), ё'2' е 5 (ё0,М). Тогда используя условия 4) из (9)
получаем \А ,.£(1)-А ,ё'2)| < ¿|ё(1) -£(2)||, где ^ = Ш&С + ЗеИ + И).
Следовательно ||А ё(1) - Аё (2)|| < Л||ё(1) - ё (2)||. Отсюда заключаем, что если
Л < 1 (12)
то, оператор А в силу (11), (12) осуществляет сжатое отображение шара 5 (ё0,М) в себя. Тогда в силу теоремы С. Банаха в шаре
5 (ё0,М) существует и притом только одна неподвижная точка отображения, т.е. существует только одно решение уравнения (10).
Определив в шаре 5 (§ ,М) решение уравнения (10) методом
последовательных приближений, мы однозначно построим решение системы уравнений (4) - (8), и тем самым решение задачи 1.
Теорема. Если выполняются условия 1) - 5) и (11), (12), то задача 1 имеет единственное решение, принадлежащее классу и .
Список литературы:
1. Жестков С.В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Украинский математический журнал. - 1990. Т. 42, № 1. - С. 132-135.
2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим граничным условием // Дифференциальные уравнения. - 1977. Т. 13, № 2. - С. 294-304.
3. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журнал выч. матем. и матем. физики. - 1064, Т. 4. № 6. - С. 1006-1024.
4. Карсанова Ж.Т., Нахушева Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка // Владикавказский математический журнал. - 2002. Т. 4. Вып. 2. - С. 31-37.
5. Керефов А.А., Плотникова Е.В. Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка // Владикавказский математический журнал. - 2002. Т. 4. Вып. 2. - С. 51-60.
Естественные и математические науки в современном мире
№ 5 (40), 2016г_
6. Напсо А.Ф., Канчукоев В.З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения // Владикавказский математический журнал. - 2002. Т. 4. Вып. 2. - С. 44-49.
7. Пулькина Л.С., Климова Е.Н. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебаний струны // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. третьей всерос. научн. конф. Ч. З: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2006. - С. 192-195.
8. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. - 1963. T. 21, № 2. - P. 155-160.
^ СибАК
www.sibac.info
О ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Молдояров Уларбек Дуйшобекович
ст. преподаватель кафедры ИТАС, Ошский государственный университет, Кыргызская Республика, г. Ош, E-mail: [email protected]
ABOUT THE CONJUGATION PROBLEM FOR PSEUDOPOROBOLIC THIRD ORDER EQUATION
Ularbek Moldoyarov
senior lecture, Chair of Information Technology and Automatization System Osh State University,
Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
Методом функции Грина и Римана доказана разрешимость задачи сопряжения для псевдопараболических уравнений третьего порядка, когда линия изменения типа уравнений является характеристической линией.
