CC BY
48
соответствующей связности Cj( A m ,2) переходит в параллельную двумерную площадку.
4. Образы площадки Lp в точке Aе Sm,m+2<^Em+2, m=2s, при соответствующих аффинных отображениях
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А., Молдованова Е.А. Классификация Коши-Римана многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 2. - С. 5-9.
2. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А., Молдованова Е.А. Отображения Коши-Римана двумерных площадок касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320. - № 2. - С. 5-8.
3. Ивлев Е.Т. О многообразии в п-мерном проективном пространстве Р„ (т>2; я<т(т+1)) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8. - № 6.- С. 1307-1320.
связности Ср (А т,2) при каждом р=1^, т=2д, переходят в соответствующие точки. Если при фик-
(2) Р
сированном р кручение связности Ср (А т,2) равно нулю, то эта связность локально плоская.
4. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 146. - № 3. -С. 515-518.
5. Евтушек Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки. Сер. Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - Т. 9. - С. 3-246.
6. Ивлев Е.Т. О тангенциально-вырожденных расслоениях Ртп // Дифференциальная геометрия многообразия фигур: Межвуз. темат. сб. научн. трудов. - Калининград: Калининградский унт, 1982. - Вып. 15.- С. 32-37.
Поступила 02.12.2011 г.
УДК 517.956
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
У.Д. Молдояров
Ошский государственный университет, Кыргызстан E-mail: ular_osh@rambler.ru
Методом интегральных уравнений и сжимающих отображений доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка.
Ключевые слова:
Нелокальная задача, интегральные условия, интегро-дифференциальное уравнение, сжимающее отображение, неподвижная точка, однозначная разрешимость Key words:
Non-local problem, the integral conditions, integro-differential equation, a contraction mapping, fixed point, a unique solution, the Riemann function, the norm of the operator.
1. Постановка задачи. Нелокальные задачи с интегральными условиями возникают при исследовании физических явлений в случае, когда граница области протекания недоступна для непосредственных измерений. Например, математическое моделирование процессов распространения тепла [1, 2], процессы влагопереноса в капиллярно-пористых средах [3] приводятся к таким задачам. Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений с частными производными изучены в работах [4-6].
Рассмотрим уравнение
Цхк = Р(* У и , иу, и*. %) (1)
в области Б={(х, у): 0<х<1, 0<у<Н}, где /- заданная функция.
Уравнение (1) представляет собой канонический вид уравнения в частных производных
третьего порядка относительно старших производных по классификации работы [7], когда уравнение характеристик имеет один двукратный и один простой действительные характеристики.
Пусть Оп+" (Б) означает класс функций, имеющих непрерывные производные
Задач_а 1. Требуется найти решение u (x,y)eC(D)nC1+1(D) ур. (1), удовлетворяющее условиям
u(0,y) =Vi(yX 0 < y < К (I)
£
Ux(0,y) + jTl(x,y)U(x,y)dx = ^2(7), 0 <y < h, (3)
0
и(х,0) + |г2(х,у)и(х,у)йу =у(х), 0 <х<£, (4)
о
где ^(х,у), %(х,у), ^г(х,у), Т(х,у), Т2(х,у) - заданные функции.
В случае, когда Т1(х,у)=0, задача 1 изучена в работе [8].
Пусть выполняются условия:
1) ^.(у)еС[0,АН/=1,2), 1^(х)еС2[0,/];
2) Г,(х,7) е С(П)(, = 1,2,) Т(х,7) е С0+'(П),
72 (х, 7) е С2+0(П); к
3) ^1(0) + |Г2(0,уШу)ёу=^(0);
0
4) Р(х,у, и, р, д, г, 5) е С(П хЯ5),
тах |Р(х, у, и, р, д, г, 5) < Н,
Е5 - пятимерное пространство переменных (ы,р,д,г,з);
5) |р(х, у, и, р, д, г, 5) - Р(х, у, и, р, д, г, 5) | <
< ь(и - и| +1 р - р + |д - д| + |г - г| +|я - 51).
2. Сведение задачи 1 к системе интегральных уравнений. Введем обозначение
к
т(х) = ^ (х) - 172 (х, у)и(х, у)йу,
0
£
ё(у) = %(у)- IТ1(х у)и(х у)йх.
0
Тогда решение ур. (1), удовлетворяющее условию (2) и условиям
«х(0,у)=^(у), 0<у<И, и(х,0)=т(х), 0<х</, представимо в виде
и(Лу = т(х) +^1(у) -^1(0) + [ё(у) -ё(0)] х =
х у
= I 1и(х,£) Р(4,П, и, и, ил, иЙ, и(л) йп,
0 0
где и(х,£)=х-£ - функция Римана.
Отсюда, подставляя значения т(х) и g (у), получаем интегро-дифференциальное уравнение
£
и(х, у) = Ф(х, у - Iх71(£, .у)и(^, у)й% -
0
к
-172(х,п)и(х,п)йп -
0
£ к
-1I х71(^,0)г2(^,п)и(^,п)йп +
0 0
х у
+ 1 й£ 1^(х,^) Р (<4,П, и, и{, и, иЙ, и{1) )йп, (5)
где
ф( X 7) =^(х) + Фі( 7)-
£
-Фі(0) + [^2(.у) - ^2(0)] X + | хШ,0¥(О
Чтобы получить замкнутую систему уравнений из (5) найдем производные
£
их (X У) = Фх (X >0 - |Т1(4, 7)и(4, >’)
0
к к
-1Т2х(х,п)и(х,п)йп - |Т,(х,пК(х,П)йп +
0 0
£ к
+1й4 |Ті(^,0)Т2(^,п)и(^,п)йп +
0 0
X У
+ 1 IР(4,п, и, и(, ип, ий,и(п )йп; (6)
0 0
£
иу(x, >0 = ф у(х у) -1хТіу (4, уМ^ у) й4 -
0
£
-1 ,у)иу (4, у) й^ +
0
х
+ !$(х,4)Р(4, у, и(4, у), и(, иу, иЙ, и(у)й4; (7)
0
к
ихх (X, у) = Фхх (X, у) - 1Т2хх (X, п)и(X, п)йп -
0
к к
-21т2х(хпК(x, п)йп -1т2(x, п)ихх(X, п)йп +
0 0
у
+1р (x,п, и (x,п), их, и^ ихх, ихп)йп; (8)
0
£
иху (X, >’) = Фху (X, у) - IТ1у (4, у)и(4, у)й4 -
0
£
-1Т1(4, ,у)иу (4, у)й4 +
0
+1Р (4, у и(4, у), и 4, и у, и44, и{ у )й4. (9)
0
Таким образом, решение задачи 1 сведено к решению систему уравнений (5)-(9).
3. Решение системы уравнений методом сжимающих отображений. С этой целю систему уравнений запишем в виде
Я=А$, (10)
где g=(g1,g2,gi,g^,g5) - вектор-функция с компонентами gl=u(x,y), gг=ux(x,y), gз=uy(x,y), g<гuJx,y), g5=uxy(x,y), а оператор А=(Л1,А2,у1},А4,А5) определяется на множестве функций §=є С(Б) и его компоненты определяются с помощью равенствами (5)-(9):
£ £
4ё = ё0І + IКпё1(4, у)й4 + IКі2g3(4, у )й4 +
0 0
к к
+ 1 К, 3 ё1( х,п)йп + |К 4 ё 2(х,п)йп +
0 0
к к
+ 1 К,5 ёз(х,п)йп + 1К,6 ё4(х,п) йп +
X
+ JKi7F4, у gj (4 , y\ g2, g3 , g4, g5 )d^ +
0
y
+ JK,8F(x,n, gl (x,n), g2, gз, g4, g5)dn +
0
£ h
J d4 JK 9 gl(4,n)dn +
0 0
xy
+ Jd^ J Ki0F (4,П gl, g 2 , g 3, g 4 , g 5 )dn, (11)
0 0
где Kn=-xTi(^,y), Ki2^0, Ku=-72(x,n), KM=0, Ku=0 K^0, Kn=0, Ki8=0, Ki9=-x7K4,0) 72(4,n), Kw=u(4,n) K2i=-Ti(4,y), K22=0, K23=- 72x(x,n), K24=-72(x,n) K^0, KK=0, K27-0, K^0, K29=Ti(4,0) 72(4,n), K20=i
K3i x7iy(4,y), K32 x7i(4,y), K33=K34=0, K35=K36=0
K37=u(x,4), K38=K39=K30=0, K4i=K42=0, ^43 T2xx(x,n)
^4=-272x(x,n), ^5=0, K,6=-72(x,n), K,7^0, K^i
K^0, K40=0, K5i=-7iy(4,y), K52=-Ti(4,y)
^3^54^55=^0, K57=i, K^0, K^K^, а #0^(x,y), ^02=Фx(x,y), &3=Фу(^у), ^04=Фxx(x,y), ^05=Фxy(x,y), компоненты вектора g0=(g0i,g02,g03,g04,g05). Норму g определим равенством
||g|| = max max(g,(x, j)).
11 11 l<i<5 (x,y)eD -
В силу свойств заданных функций (i, 2) заключаем, что
3M > 0 V(x, у) е D : ||g0|| < M.
Пусть оператор A осуществляет отображение шара S (go, M) = {g :|| g - g 0II < M}.
Тогда
Vg e S(go,M):||g||< 2M.
В силу свойств заданных функций (i)-(4) также заключаем, что
3T > 0 V(x,у) е D: max |Kj< T, T = const, i = 1,5, j = 0,9.
Пусть выполняется условие
Q(£, h) = T(2£ + 4h + £h) ^2 + 5L + Hj< i. (i2)
Покажем, что при выполнении условия (i2) оператор A осуществляет сжатое отображение шара S(g0,M) в себя. Пусть geS(g0,M). Тогда из (ii) следует, что Age C(D) и, кроме того, справедливо неравенство
£
|A,g - g 0i| < J] Kil\|gl(4, У ^ d 4 +
0
£ h
+ Л Ki2\|g 3 (4, У) Щ + JK-sl |gl(x,n) dn +
0 0 h h
+ Л K 4 11 g 2 (x,V)\ dn+ Л Ki5 I |g 3 (X, n)\dn +
0 0
h
- Л Ki6 II g 4 (x,^| dn +
+ ЛК, ^ |F (4, •У, gl(4, У^ g 2, gз, g 4, g5^ d 4'
0
y
+ Л K8 11F (X,n, gl (X, n), g 2, g3 , g 4, g 5 ) | dn-
0
£ h
+ J d4\\ Ki^l |gl(4,n) Hn +
0 0
xy
+ jd4 Л Ki»l |F (4,n, gl, g 2 , g 3, g 4 , g 5 ) | dn <
< T (2 M + H )(2£ + 4 h + £h).
Тогда
|| Ag - g„ || = max max |A,g - g0, | <
l<i<5 (x,y)eD
< T (2M + H )(2£ + 4h + £h) =
= T ^2 + Hj (2£ + 4h + £h) < Q(£, h)M.
Отсюда заключаем, что при выполнении условия (i2) имеет место неравенство
|| Ag - g< Q(£, h)M < M.
Это означает, что оператор A отображает шар в себя, т. е. AgeS(g0,M). Теперь покажем, что оператор A при выполнении условия (i2) является сжимающим отображением. Пусть g(i)=(gi(i),g2(i),g3(i),g4(i),g5(i)), g'2)=(gi(2),g2(2),g3(2),g4(2),g5(2)) произвольные два вектора, принадлежащие шару S (g0,M). Тогда из условия (5) следует, что Vg(i), g:2)6S(g0,M):
F(x, у gl(l), gf, g®, g4l}, g5l)) - < -F(x,у, gl(2),g22), g(2),g42), g52)) " <L]T|g,(l) -gP|< 5L|g(l) -g(2)|. i=l
Используя это условие из (ii) получим
Ц-g(l) - A,g(2^ < T(2£ + 4h + £h)(l + 5L^|g(l) -g(2) ||, i = l,5.
Тогда
IIAg(l) - Ag(2)||<T(2£ + 4h + £h)(l + 5L)\\g(l) -g(2^|<
: Q(£, h)||j
(l)
T(2)
Так как, в силу неравенства (12) 0(£,Н)<1, то оператор А осуществляет сжатое отображение шара в себя. Тогда в силу теоремы С. Бана-
ха [9] в шаре S(g0,M) существует, и притом только одна, неподвижная точка отображения, т. е. существует только одно решение ур. (10). Решая это уравнение, например, методом последовательных приближений, ^1)=^1(1)^2(1)^3(1)^4(1)^5(1)) можно однозначно определить все компоненты вектора g и тем самым определить решение задачи 1 в области Б и установить, что построенное решение принадлежит классу С2+1(Б). Таким образом, доказана Теорема. Если выполняются условия (1)-(5) и (12), то система уравнений (5)-(9) определяет в области Б*={(х,у):0<х<Г,0<у<А*} единственное решение задачи 1, принадлежащее классу .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. - i963. - V. 2i. -P. i55-i60.
2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. - i977. - Т. i3. - № 2. - С. 294-304.
3. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференциальные уравнения. - i982. - Т. i8. - № i. - С. 72-8i.
4. Жестков С.В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Украинский математический журнал. - i990. - Т. 42.
- №i. - С. i32-i35.
5. Пулькина Л.С. Смешенная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Математические заметки.
- 2003. - Т. 74. - Вып. 3. - С. 435-445.
6. Бейлина Н.В. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. - 2008. - № 2 (61). - С. 22-28.
7. Джураев Т.Д., Попелек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференциальные уравнения. - 1991. -Т. 27. - № 10. - С. 1734-1745.
8. Сопуев А., Молдояров У.Д. Нелокальные краевые задачи для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка // Матер. Междунар. юбилейной научной конф., по-свящ. 15-летию образования КРСУ. - Бишкек: КРСУ, 2008. -С. 188-192.
9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 с.
Поступила 10.11.2011 г.
УДК 519.63
РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ДЛЯ АНАЛИЗА РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
В.П. Зимин
Томский политехнический университет E-mail: zimin@ido.tpu.ru
Предложено развитие метода фазовой плоскости для анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. Такой анализ необходим на этапах алгоритмизации нелинейных краевых задач и верификации моделей. Обоснован выбор фазовых плоскостей для анализа решений краевой задачи о распределении параметров низкотемпературной плазмы термоэмиссионного преобразователя.
Ключевые слова:
Краевая задача, метод фазовой плоскости, низкотемпературная плазма, термоэмиссионный преобразователь энергии.
Key words:
Boundary value problem, method of phase plane, low-temperature plasma, thermionic converter.
Введение
Первая фаза вычислительного эксперимента (ВЭ) состоит из нескольких этапов: создание и исследование модели; её алгоритмизация; программирование алгоритма; сравнение модельных и экспериментальных результатов - верификации модели [1]. Эффективность исследования и алгоритмизации модели зависит от выбора адекватных математических методов её анализа. Например, на этапе алгоритмизации традиционно применяют один из математических методов, который позволяет построить алгоритм преобразования непрерывной модели в дискретную, пригодную для анализа на ПЭВМ. Вместе с тем, на первых двух этапах ВЭ важным является определение области допустимых решений модели, выявление и изучение общих характерных свойств этих решений, которые необходимо учитывать при алгоритмизации.
Кроме этого, остается окончательно не решенной проблема выбора критериев сравнения модельных и экспериментальных результатов на этапе верификации модели. Этот этап ВЭ существен-
ным образом влияет как на фазу калибровки модели, так и на фазу прогноза: он должен давать направление модификации модели и определять обоснованность экстраполяции результатов моделирования.
Все это вместе взятое требует поиска новых и развитие имеющихся методов анализа математических моделей. Для анализа решений задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на разных этапах ВЭ широко применяется метод фазовой плоскости [2-7]. Данная статья посвящена развитию метода фазовой плоскости, его применению к анализу решений краевой задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП).
Применение метода фазовой плоскости для краевых задач систем дифференциальных уравнений с частными производными
Понятия фазового пространства, связанных с ним структур, а также метод фазовой плоскости могут быть расширены и применены для краевой
