Научная статья на тему 'Нелокальная задача с интегральными условиями для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка'

Нелокальная задача с интегральными условиями для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
162
31
Поделиться
Ключевые слова
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА / ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ / ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / СЖИМАЮЩЕЕ ОТОБРАЖЕНИЕ / НЕПОДВИЖНАЯ ТОЧКА / ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ / NON-LOCAL PROBLEM / THE INTEGRAL CONDITIONS / INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION / A CONTRACTION MAPPING / FIXED POINT / A UNIQUE SOLUTION / THE RIEMANN FUNCTION / THE NORM OF THE OPERATOR

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Молдояров Уларбек Дуйшобекович

Методом интегральных уравнений и сжимающих отображений доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Молдояров Уларбек Дуйшобекович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The method of integral equations and contraction mapping proved the unique perm solvability of a nonlocal problem with integral conditions for a nonlinear partial differential equation of the third order.

Текст научной работы на тему «Нелокальная задача с интегральными условиями для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка»

соответствующей связности Cj( A m ,2) переходит в параллельную двумерную площадку.

4. Образы площадки Lp в точке Aе Sm,m+2<^Em+2, m=2s, при соответствующих аффинных отображениях

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А., Молдованова Е.А. Классификация Коши-Римана многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 2. - С. 5-9.

2. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А., Молдованова Е.А. Отображения Коши-Римана двумерных площадок касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320. - № 2. - С. 5-8.

3. Ивлев Е.Т. О многообразии в п-мерном проективном пространстве Р„ (т>2; я<т(т+1)) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8. - № 6.- С. 1307-1320.

связности Ср (А т,2) при каждом р=1^, т=2д, переходят в соответствующие точки. Если при фик-

(2) Р

сированном р кручение связности Ср (А т,2) равно нулю, то эта связность локально плоская.

4. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 146. - № 3. -С. 515-518.

5. Евтушек Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки. Сер. Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - Т. 9. - С. 3-246.

6. Ивлев Е.Т. О тангенциально-вырожденных расслоениях Ртп // Дифференциальная геометрия многообразия фигур: Межвуз. темат. сб. научн. трудов. - Калининград: Калининградский унт, 1982. - Вып. 15.- С. 32-37.

Поступила 02.12.2011 г.

УДК 517.956

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

У.Д. Молдояров

Ошский государственный университет, Кыргызстан E-mail: ular_osh@rambler.ru

Методом интегральных уравнений и сжимающих отображений доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка.

Ключевые слова:

Нелокальная задача, интегральные условия, интегро-дифференциальное уравнение, сжимающее отображение, неподвижная точка, однозначная разрешимость Key words:

Non-local problem, the integral conditions, integro-differential equation, a contraction mapping, fixed point, a unique solution, the Riemann function, the norm of the operator.

1. Постановка задачи. Нелокальные задачи с интегральными условиями возникают при исследовании физических явлений в случае, когда граница области протекания недоступна для непосредственных измерений. Например, математическое моделирование процессов распространения тепла [1, 2], процессы влагопереноса в капиллярно-пористых средах [3] приводятся к таким задачам. Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений с частными производными изучены в работах [4-6].

Рассмотрим уравнение

Цхк = Р(* У и , иу, и*. %) (1)

в области Б={(х, у): 0<х<1, 0<у<Н}, где /- заданная функция.

Уравнение (1) представляет собой канонический вид уравнения в частных производных

третьего порядка относительно старших производных по классификации работы [7], когда уравнение характеристик имеет один двукратный и один простой действительные характеристики.

Пусть Оп+" (Б) означает класс функций, имеющих непрерывные производные

Задач_а 1. Требуется найти решение u (x,y)eC(D)nC1+1(D) ур. (1), удовлетворяющее условиям

u(0,y) =Vi(yX 0 < y < К (I)

£

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ux(0,y) + jTl(x,y)U(x,y)dx = ^2(7), 0 <y < h, (3)

0

и(х,0) + |г2(х,у)и(х,у)йу =у(х), 0 <х<£, (4)

о

где ^(х,у), %(х,у), ^г(х,у), Т(х,у), Т2(х,у) - заданные функции.

В случае, когда Т1(х,у)=0, задача 1 изучена в работе [8].

Пусть выполняются условия:

1) ^.(у)еС[0,АН/=1,2), 1^(х)еС2[0,/];

2) Г,(х,7) е С(П)(, = 1,2,) Т(х,7) е С0+'(П),

72 (х, 7) е С2+0(П); к

3) ^1(0) + |Г2(0,уШу)ёу=^(0);

0

4) Р(х,у, и, р, д, г, 5) е С(П хЯ5),

тах |Р(х, у, и, р, д, г, 5) < Н,

Е5 - пятимерное пространство переменных (ы,р,д,г,з);

5) |р(х, у, и, р, д, г, 5) - Р(х, у, и, р, д, г, 5) | <

< ь(и - и| +1 р - р + |д - д| + |г - г| +|я - 51).

2. Сведение задачи 1 к системе интегральных уравнений. Введем обозначение

к

т(х) = ^ (х) - 172 (х, у)и(х, у)йу,

0

£

ё(у) = %(у)- IТ1(х у)и(х у)йх.

0

Тогда решение ур. (1), удовлетворяющее условию (2) и условиям

«х(0,у)=^(у), 0<у<И, и(х,0)=т(х), 0<х</, представимо в виде

и(Лу = т(х) +^1(у) -^1(0) + [ё(у) -ё(0)] х =

х у

= I 1и(х,£) Р(4,П, и, и, ил, иЙ, и(л) йп,

0 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где и(х,£)=х-£ - функция Римана.

Отсюда, подставляя значения т(х) и g (у), получаем интегро-дифференциальное уравнение

£

и(х, у) = Ф(х, у - Iх71(£, .у)и(^, у)й% -

0

к

-172(х,п)и(х,п)йп -

0

£ к

-1I х71(^,0)г2(^,п)и(^,п)йп +

0 0

х у

+ 1 й£ 1^(х,^) Р (<4,П, и, и{, и, иЙ, и{1) )йп, (5)

где

ф( X 7) =^(х) + Фі( 7)-

£

-Фі(0) + [^2(.у) - ^2(0)] X + | хШ,0¥(О

Чтобы получить замкнутую систему уравнений из (5) найдем производные

£

их (X У) = Фх (X >0 - |Т1(4, 7)и(4, >’)

0

к к

-1Т2х(х,п)и(х,п)йп - |Т,(х,пК(х,П)йп +

0 0

£ к

+1й4 |Ті(^,0)Т2(^,п)и(^,п)йп +

0 0

X У

+ 1 IР(4,п, и, и(, ип, ий,и(п )йп; (6)

0 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

£

иу(x, >0 = ф у(х у) -1хТіу (4, уМ^ у) й4 -

0

£

-1 ,у)иу (4, у) й^ +

0

х

+ !$(х,4)Р(4, у, и(4, у), и(, иу, иЙ, и(у)й4; (7)

0

к

ихх (X, у) = Фхх (X, у) - 1Т2хх (X, п)и(X, п)йп -

0

к к

-21т2х(хпК(x, п)йп -1т2(x, п)ихх(X, п)йп +

0 0

у

+1р (x,п, и (x,п), их, и^ ихх, ихп)йп; (8)

0

£

иху (X, >’) = Фху (X, у) - IТ1у (4, у)и(4, у)й4 -

0

£

-1Т1(4, ,у)иу (4, у)й4 +

0

+1Р (4, у и(4, у), и 4, и у, и44, и{ у )й4. (9)

0

Таким образом, решение задачи 1 сведено к решению систему уравнений (5)-(9).

3. Решение системы уравнений методом сжимающих отображений. С этой целю систему уравнений запишем в виде

Я=А$, (10)

где g=(g1,g2,gi,g^,g5) - вектор-функция с компонентами gl=u(x,y), gг=ux(x,y), gз=uy(x,y), g<гuJx,y), g5=uxy(x,y), а оператор А=(Л1,А2,у1},А4,А5) определяется на множестве функций §=є С(Б) и его компоненты определяются с помощью равенствами (5)-(9):

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

£ £

4ё = ё0І + IКпё1(4, у)й4 + IКі2g3(4, у )й4 +

0 0

к к

+ 1 К, 3 ё1( х,п)йп + |К 4 ё 2(х,п)йп +

0 0

к к

+ 1 К,5 ёз(х,п)йп + 1К,6 ё4(х,п) йп +

X

+ JKi7F4, у gj (4 , y\ g2, g3 , g4, g5 )d^ +

0

y

+ JK,8F(x,n, gl (x,n), g2, gз, g4, g5)dn +

0

£ h

J d4 JK 9 gl(4,n)dn +

0 0

xy

+ Jd^ J Ki0F (4,П gl, g 2 , g 3, g 4 , g 5 )dn, (11)

0 0

где Kn=-xTi(^,y), Ki2^0, Ku=-72(x,n), KM=0, Ku=0 K^0, Kn=0, Ki8=0, Ki9=-x7K4,0) 72(4,n), Kw=u(4,n) K2i=-Ti(4,y), K22=0, K23=- 72x(x,n), K24=-72(x,n) K^0, KK=0, K27-0, K^0, K29=Ti(4,0) 72(4,n), K20=i

K3i x7iy(4,y), K32 x7i(4,y), K33=K34=0, K35=K36=0

K37=u(x,4), K38=K39=K30=0, K4i=K42=0, ^43 T2xx(x,n)

^4=-272x(x,n), ^5=0, K,6=-72(x,n), K,7^0, K^i

K^0, K40=0, K5i=-7iy(4,y), K52=-Ti(4,y)

^3^54^55=^0, K57=i, K^0, K^K^, а #0^(x,y), ^02=Фx(x,y), &3=Фу(^у), ^04=Фxx(x,y), ^05=Фxy(x,y), компоненты вектора g0=(g0i,g02,g03,g04,g05). Норму g определим равенством

||g|| = max max(g,(x, j)).

11 11 l<i<5 (x,y)eD -

В силу свойств заданных функций (i, 2) заключаем, что

3M > 0 V(x, у) е D : ||g0|| < M.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть оператор A осуществляет отображение шара S (go, M) = {g :|| g - g 0II < M}.

Тогда

Vg e S(go,M):||g||< 2M.

В силу свойств заданных функций (i)-(4) также заключаем, что

3T > 0 V(x,у) е D: max |Kj< T, T = const, i = 1,5, j = 0,9.

Пусть выполняется условие

Q(£, h) = T(2£ + 4h + £h) ^2 + 5L + Hj< i. (i2)

Покажем, что при выполнении условия (i2) оператор A осуществляет сжатое отображение шара S(g0,M) в себя. Пусть geS(g0,M). Тогда из (ii) следует, что Age C(D) и, кроме того, справедливо неравенство

£

|A,g - g 0i| < J] Kil\|gl(4, У ^ d 4 +

0

£ h

+ Л Ki2\|g 3 (4, У) Щ + JK-sl |gl(x,n) dn +

0 0 h h

+ Л K 4 11 g 2 (x,V)\ dn+ Л Ki5 I |g 3 (X, n)\dn +

0 0

h

- Л Ki6 II g 4 (x,^| dn +

+ ЛК, ^ |F (4, •У, gl(4, У^ g 2, gз, g 4, g5^ d 4'

0

y

+ Л K8 11F (X,n, gl (X, n), g 2, g3 , g 4, g 5 ) | dn-

0

£ h

+ J d4\\ Ki^l |gl(4,n) Hn +

0 0

xy

+ jd4 Л Ki»l |F (4,n, gl, g 2 , g 3, g 4 , g 5 ) | dn <

< T (2 M + H )(2£ + 4 h + £h).

Тогда

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|| Ag - g„ || = max max |A,g - g0, | <

l<i<5 (x,y)eD

< T (2M + H )(2£ + 4h + £h) =

= T ^2 + Hj (2£ + 4h + £h) < Q(£, h)M.

Отсюда заключаем, что при выполнении условия (i2) имеет место неравенство

|| Ag - g< Q(£, h)M < M.

Это означает, что оператор A отображает шар в себя, т. е. AgeS(g0,M). Теперь покажем, что оператор A при выполнении условия (i2) является сжимающим отображением. Пусть g(i)=(gi(i),g2(i),g3(i),g4(i),g5(i)), g'2)=(gi(2),g2(2),g3(2),g4(2),g5(2)) произвольные два вектора, принадлежащие шару S (g0,M). Тогда из условия (5) следует, что Vg(i), g:2)6S(g0,M):

F(x, у gl(l), gf, g®, g4l}, g5l)) - < -F(x,у, gl(2),g22), g(2),g42), g52)) " <L]T|g,(l) -gP|< 5L|g(l) -g(2)|. i=l

Используя это условие из (ii) получим

Ц-g(l) - A,g(2^ < T(2£ + 4h + £h)(l + 5L^|g(l) -g(2) ||, i = l,5.

Тогда

IIAg(l) - Ag(2)||<T(2£ + 4h + £h)(l + 5L)\\g(l) -g(2^|<

: Q(£, h)||j

(l)

T(2)

Так как, в силу неравенства (12) 0(£,Н)<1, то оператор А осуществляет сжатое отображение шара в себя. Тогда в силу теоремы С. Бана-

ха [9] в шаре S(g0,M) существует, и притом только одна, неподвижная точка отображения, т. е. существует только одно решение ур. (10). Решая это уравнение, например, методом последовательных приближений, ^1)=^1(1)^2(1)^3(1)^4(1)^5(1)) можно однозначно определить все компоненты вектора g и тем самым определить решение задачи 1 в области Б и установить, что построенное решение принадлежит классу С2+1(Б). Таким образом, доказана Теорема. Если выполняются условия (1)-(5) и (12), то система уравнений (5)-(9) определяет в области Б*={(х,у):0<х<Г,0<у<А*} единственное решение задачи 1, принадлежащее классу .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. - i963. - V. 2i. -P. i55-i60.

2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. - i977. - Т. i3. - № 2. - С. 294-304.

3. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференциальные уравнения. - i982. - Т. i8. - № i. - С. 72-8i.

4. Жестков С.В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Украинский математический журнал. - i990. - Т. 42.

- №i. - С. i32-i35.

5. Пулькина Л.С. Смешенная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Математические заметки.

- 2003. - Т. 74. - Вып. 3. - С. 435-445.

6. Бейлина Н.В. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. - 2008. - № 2 (61). - С. 22-28.

7. Джураев Т.Д., Попелек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференциальные уравнения. - 1991. -Т. 27. - № 10. - С. 1734-1745.

8. Сопуев А., Молдояров У.Д. Нелокальные краевые задачи для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка // Матер. Междунар. юбилейной научной конф., по-свящ. 15-летию образования КРСУ. - Бишкек: КРСУ, 2008. -С. 188-192.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 с.

Поступила 10.11.2011 г.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

УДК 519.63

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ДЛЯ АНАЛИЗА РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

В.П. Зимин

Томский политехнический университет E-mail: zimin@ido.tpu.ru

Предложено развитие метода фазовой плоскости для анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. Такой анализ необходим на этапах алгоритмизации нелинейных краевых задач и верификации моделей. Обоснован выбор фазовых плоскостей для анализа решений краевой задачи о распределении параметров низкотемпературной плазмы термоэмиссионного преобразователя.

Ключевые слова:

Краевая задача, метод фазовой плоскости, низкотемпературная плазма, термоэмиссионный преобразователь энергии.

Key words:

Boundary value problem, method of phase plane, low-temperature plasma, thermionic converter.

Введение

Первая фаза вычислительного эксперимента (ВЭ) состоит из нескольких этапов: создание и исследование модели; её алгоритмизация; программирование алгоритма; сравнение модельных и экспериментальных результатов - верификации модели [1]. Эффективность исследования и алгоритмизации модели зависит от выбора адекватных математических методов её анализа. Например, на этапе алгоритмизации традиционно применяют один из математических методов, который позволяет построить алгоритм преобразования непрерывной модели в дискретную, пригодную для анализа на ПЭВМ. Вместе с тем, на первых двух этапах ВЭ важным является определение области допустимых решений модели, выявление и изучение общих характерных свойств этих решений, которые необходимо учитывать при алгоритмизации.

Кроме этого, остается окончательно не решенной проблема выбора критериев сравнения модельных и экспериментальных результатов на этапе верификации модели. Этот этап ВЭ существен-

ным образом влияет как на фазу калибровки модели, так и на фазу прогноза: он должен давать направление модификации модели и определять обоснованность экстраполяции результатов моделирования.

Все это вместе взятое требует поиска новых и развитие имеющихся методов анализа математических моделей. Для анализа решений задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на разных этапах ВЭ широко применяется метод фазовой плоскости [2-7]. Данная статья посвящена развитию метода фазовой плоскости, его применению к анализу решений краевой задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП).

Применение метода фазовой плоскости для краевых задач систем дифференциальных уравнений с частными производными

Понятия фазового пространства, связанных с ним структур, а также метод фазовой плоскости могут быть расширены и применены для краевой