Единственность решения задачи сопряжения для уравнений в частных производных третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

^Г, СибАК

www.sibac.m1o

Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40), 2016г.

СЕКЦИЯ

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ»

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Аркабаев Нуркасым Кылычбекович

старший преподаватель кафедры «Программирования» Ошского государственного университета, Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: nurkasym@gmail. com

UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF THE CONJUGATION PROBLEM FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE THIRD ORDER

Nurkasym Arkabaev

senior lecturer chair of "Programming" Osh state university,

Kyrgyzystan, Osh

АННОТАЦИЯ

Доказана теорема единственности решения задачи сопряжения для уравнений в частных производных третьего порядка с характеристической линией, принадлежащих к разным типам.

ABSTRACT

The theorem of uniqueness of the solution of the conjugation problem for partial differential equations of the third order with characteristic lines belonging to different types.

Естественные и математические науки в современном мире № 5 (40), 2016г_

Ключевые слова: краевые задачи; характеристика; сопряжения; окрестность; уравнения; краевые условия; однородные условия; однородная задача; тривиальное решение.

Keywords: boundary value problems; characteristic; conjugation; neighborhood; equation; boundary conditions; similar conditions; homogeneous problem; trivial solution.

В работе рассмотрим задачу сопряжения для уравнений вида

L(u) = uxy + a(x,yK + b(x,y)Uy + c(x,y)u = 0, (x,y) e Dl (1)

L2(u) = Uxxx " Uyy = 0(ХУ) e (2)

где: Dx = {(x, v) :0 < x < f.O < у < J\},

D2 = {(x, v): 0 < x < l-h2 < у < 0}, ij\j%>0 , a D = Dl иД .

Пусть Cn+m означает класс функций, имеющие производные dr+s / dxrcys (r = 0,1,...,n; s = 0,1,...,m).

Уравнения (1) и (2) по классификации работы [2] принадлежат разным типам. Прямая y = 0 является характеристикой одновременно для уравнений (1) и (2).

Краевые задачи как для уравнения (1), так и для уравнения (2), в отдельности, рассматривались в работах [1; 5; 7].

К таким задачам приводятся математические модели ряда задач механики сплошных сред, физики и техники, параметры которых резко отличаются в окрестности линии сопряжения [3; 4; 6].

ЗАДАЧА 1. Найти в области D функцию u(x, y) e C(D) n C1 (D) n n[C2+1 (Д) ^ C3+2 (D2)], удовлетворяющую уравнению (1) в области D , а в области D - уравнению (2), а также же краевым условиям:

и(0,у) = ф (v). u(Ly) = ф2(у). 0 < v < \. (3)

г<о,у) = х(у), и(.е,у) = Хг(у),щ((,у) = хШ -К ^у^0 (4)

и(х, -!%) = у/{х), 0<х<(!

где: ф(y) (i = 1,2), % (y) (j = 1,3) заданные функции, причем

ф, (y) e C1 [0, h ] (i = 1, 2), % (y) e C1 [-й2, 0] (j = 1,3),

^ Сийдк

www.sibac.info

СибАК Естественные и математические науки в современном мире www.sLbac.mt о_№ 5 (40), 2016г

4)(0) ='(0) (г = 1,2; к = 0,1). (6)

Отметим, что из постановки задачи 1 вытекает следующие условия сопряжения на линии у = 0 :

и{х, +0) = и{х, -0) (х, +0) = иу (х, -0), 0 < х < С . (7)

Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагаем следующее условие

а(х, у) е С(Ц ) п, С1+0 Щ ), Ь(х, у) е С(Ц ) п, С0+1Щ ), с(х, у) е С(Ц )

. (8)

Используя условия сопряжения (7) введем обозначения

и(х, ± 0) = г(х), (х, +0) = 1 '(х), 0 < х < С , (9)

где: т(х), у(х) пока неизвестные функции.

Тогда в силу (6) имеем следующие условия согласования

(10)

г(0) = фх (0) = Хх (0), г'(0 = Жз (0), т = ф, (0) = (0), Х1(-1Ь) = ¥(0), =

,,(0) = ф[{0) = ¿(0). 1 СО = ф'_{0) = (0). (11)

Переходя к пределу при у ^ +0 в уравнении (1) имеем

1-"(х) + <7(х,0)г'(х)+й(х,0)1'(х) + с(х,0)г(х) = 0, 0<х<е. (12)

Докажем единственность решения задачи 1. Имеет место ТЕОРЕМА. Если выполняются условия (5), (6), (8), (10), (11) и

Ухе [0,С]:с(х, 0)^0, (13)

УхеГО.Л : < о ^ (14)

с(х,0)

\/х е [0, : Ь{х,!г1) < 0, 1

У(х, у) Ъу (х, у) - 2с(х, у) > 0 А ^15 ^

^ Сийдк

Естественные и математические науки в современном мире №5 (40). 2016г._www.sibac.info

то задача 1 имеет единственное решение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим задачу с однородными условиями

и(0, у) = 0, и{ (% у) = 0, 0 < у (16)

и(0,у) = 0, и(£,у) = 0, их(С,у) = 0, -1% <у< 0, (17) и(х,-Ь2) = 0, 0 < х < С ,

при этом условия согласования (10), (11) примут вид

г(0) = 0 , г((?) = 0, г'(0 = 0 , (18)

1'(0) = 0, 1/(0 = 0. (19)

Интегрируя тождество

иЬ2(ы) = ^ ииа - -

по области D1 и используя формулу Грина имеем

-—и2 | — (ии ) + и2 = 0

2 х ^ V у>у у

| ииуёх + | ии^ ——и\ | ф + Ц иdxdy = 0 . (20)

ао, V 2 / о.

Вычисляя значения криволинейного интеграла по границе области 02 из (17) с учетом (14) получим

|г(х)г(х)с/х = — | н2(0,у)<^ + ^и\(х-У)с1хс1у > 0 . (21)

0 2 —л2 о2

С другой стороны, в силу условия (13) из (14) и (15), (16) будем иметь

[ Г(х)1 '(х)с1х = [1 ~Ь{-Х'0) 1 -2 (х)с1х < 0 . (22)

о о с( х,0)

^^^^ СибАК Естественные и математические науки в современном мире пщ'М'.яЬааМо_№5(40). 2016г.

Из (21) и (22) получаем равенство

1 0

1 J и1 (0, y)dy + JJ и2у (x, y)dxdy = 0 :

2 и

из которого имеем

Уу е ,0]: их(0,у) = 0, У(х,у) е Д : и(х, у) = 0 . Тогда в области Д приходим к следующей однородной задаче:

А 00 = 0- (23)

и(0,у) = 0, u{ty) = 0, 0 < у < \, (24)

и(х,0) = 0 , 0<х< С .

Интегрируя тождество

uL (и) = | ии +1 au2 | -1 (и2 - Ъи2) +1 (2c - a - b ) и2 = 0

iw ^ ^ 2 ^ 2У x 'y 2V x y'

по области Д и учитывая (24) имеем

j^ji2XxJ\)-b(xJ\)u2(xJ\)~^dx +1|(<7v +bv -2с) u'dxdy = 0 . (25)

0 d2

При выполнении условия (15) из (25) получим

Vx е [0, С]: u{xj\) = 0, их (хД) = 0, V(x,y) e D : u(x, y) = 0 .

Отсюда, в силу непрерывности u(x, y) в D2 следует, что

Vu(x, y) e D : u(x, y) = 0 .

Это означает, что однородная задача (23), (24) имеет только тривиальное решение. Следовательно, решение задачи 1 единственно.

Естественные и математические науки в современном мире

№ 5 (40), 2016г_

Теорема доказана.

Список литературы:

1. Абдиназаров С. Краевые задачи для уравнений с кратными характеристиками: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. -Ташкент, 1992. - 27 с.

2. Джураев Т.Д., Попёлок Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференц. уравнения. - 1991. Т. 27. № 10. - С. 1734-1745.

3. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1990. - 208 с.

4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.

5. Хошимов А.Р. Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областях. Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Ташкент, 1995. - 94 с.

6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 624 с.

7. Шхануков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Нальчик, 1985. -225 с.

^ СибАК

www.sibac.info

НОРМАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПО НЕТЕРУ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Бараталиев Керим Бараталиевич

д-р физ.-мат. наук, доц. КНУ им. Ж. Баласагына, Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: baratalievk@mail. ru

Темиров Бекжан Кайыпбекович

д-р физ-мат. наук, Кыргызского Национального Университета

им. Ж. Баласагына, Кыргызская Республика, г. Бишкек Е-mail: bekjant@mail.ru

Талантбеков Аскар Талантбекович

аспирант, преподаватель Кыргызского национального университета

им. Ж. Баласагына, Кыргызская Республика, г. Бишкек