Исследование решений операторно-дифференциальных уравнений в частных производных высшего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Аширбаева Айжаркын Жоробековна

д-р физ. -мат. наук, зав кафедрой прикладной математики Ошского технологического университета им. Адышева,

Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: aijarkyn. osh@mail. ru

Мамазиаева Эльмира Амановна

старший преподаватель кафедры прикладной математики Ошского технологического университета им. Адышева,

Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: [email protected]

^ СибАК

www.sibac.info

INVESTIGATION OF SOLUTIONS OF PARTIAL OPERATOR-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF DERIVED HIGH ORDER

Aizharkyn Ashirbaeva

doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of Department of Applied mathematics, Osh technological university named after the M. Adyshev,

Kyrgyzstan, Osh

Elmira Mamaziaeva

a senior lecturer Applied Mathematics, Osh technological university named after the M. Adyshev,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Предложена общая схема исследования нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка на основе метода дополнительного аргумента

ABSTRACT

A scheme to investigate nonlinear partial differential and integro-differential equations on the base of the method of additional argument is proposed.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение в частных производных, нелинейное уравнение, операторно-дифференциальное уравнение, метод дополнительного аргумента, принцип сжимающих отображений.

Keywords: partial differential equation, operator-differential equation, method of additional argument, contracting mappings principle.

Введение

В [1] рассмотрено решение нелинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента.

Основы метода дополнительного аргумента систематически изложены в монографии М.И. Иманалиева [2].

Постановка задачи.

Рассматривается нелинейное операторно-дифференциальное уравнение в частных производных вида:

Dm[—u(t,x)]Dn[u(t,x)]u(t,x) = F(t;u), (t,x) eG2(T) = [0,T]xR, (1)

д д

где: n,meN, TeR++ - некоторое заданное число, D[a] =--va—,

д t д x

F(t; u) — такой оператор, что при любой функции u возникает функция, зависящая только от t. Для строгости в определениях операторов будем записывать: функция каких переменных получается; на функцию скольких переменных действует оператор (по аналогии с записью интегралов); связанные переменные в этой функции. Например:

F(t;u(t,®:$=1 + u(t, A); G(t;u(s,$:s,$=f + u('Ä, А);

1 X

H(u(s,Q:s,Q = jju2(s,^)d^ds (если интеграл сходится).

0 0

В частности, если n=m=1, то операторно-дифференциальное уравнение (1) принимает вид (с краткой записью производных):

uff (t,x) = u\u(t,x)ux(t,x)] — ux(t,x)ut(t,x) + F(t;u(t,% : ¿¡).

Обозначим через Съ {к ~> - класс функций, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до к-го порядка. Рассмотрим уравнение (1) с начальными условиями:

и(0, х) = щ(х), д Х | ,=0 =фк (х), к = 1,2, ...п + т-1, (2) дt

где: заданные функции щ(х),ф(х) е С(п+т)(К), к = 1,... , п + т-1 такие что, для них выполняются следующие условия &\-и(1,х)]Оп\и(1,х)]и(1,х)\,=0 = 0, ] = 1,2,...,т -1 (3)

Пп\и((, х)]и(г, х)\,=0 = 0, (4)

Введем следующие обозначения

& \иЦ, х)]иЦ, х) | ,=0 = щ (х), ] = 1,2,...п -1. (5)

Представим основные этапы применения метода дополнительного аргумента в виде лемм. При этом будем пользоваться обозначением:

!

р(т, t, х; и) = х -1 ир^, t, х))&, (6)

т

(т, t, х) е 02 (Т) = {0 <т< t < Т, х е Я},

Исследуется решение задачи (1) - (5) в пространстве функций С(п+т)(С2 (Г)). Заметим, что для всякой функции и(1, х) е Сь (п+т\02 (Г)) имеет место соотношение u(t,x) еLip(L|x), поскольку производная ограничена. Основные результаты.

Лемма 1. Для р(т,t,х;и) справедливо тождество

р(т, I, р({, в, х; и); и) = р(т, в, х; и), (7)

(т, ^в, х) е 0з (Т) = {0 < т < t <в< Т, х е Яп},

Доказательство. Из (7) имеем следующее:

t

р(т, I, р(*, в, х; и); и) = р(}, в, х; и) — |и^, рt, в, х; и); u))ds,

т

в

р(т, в, х; и) = х — | ир^, в, х; u))ds,

т

Обозначим ц(т, х; и) = | р(т, р(},в, х; и); и) - р(т,в, х; и)\. Тогда имеем:

в

\р(т, р(}, в, х;и);и) — р(т, в, х;и)\ < х — |ир^, в, х;и))с1я —

t

* в и^, р^, р(*, в, х; и); и))& — х +1и^, р^, в, х; и))& |=

т т

!

= | (ир^,р(*,в, х;и);и)) — ир^в, х;и))& <

т

!

<1 Цр(* ,р(*, в,х;и);и) — р(я, в,х;V)

т

Переписываем эту оценку в виде

!

ц(т,*,в, х; и) < |Ьц(8, *,в, х; и)Ж. (8)

т

Из интегрального неравенства (8) для неотрицательной функции, в котором переменные *,в,х играют роль параметров, вытекает тождество

х; и) = 0

и справедливость (7).

Введя обозначение у(т, х) = и(т, р(т, х; и)) в (6) имеем

р(т, х; V) = х — | v(s, х)Ж,

(9)

т

^ СибАК

Если имеет место равенство

Б^, Г, х)]у{т, Г, х) = 0, (10)

то из (9) вытекает соотношение

Б^, Г, х)]р(т, Г, х; V) = 0 . (11)

Будем использовать стандартное обозначение метода дополнительного аргумента:

t

р(т, t, х; v(s, t, х) : s) = х -1 v(s, t, х)Ж,

т

Введем оператор

п-1 ^

Л^, х;v(s,a, х): s,a>) = Ущ (р(0, t, х; v(s, t, х): s)) —+

к!

+} -Р) п- 1 (р;ЛттЛ:т^)йр, (12)

0 (п-1)!

1 (Г, и(?, &) : = | \ ' ^(*; и&) : £)сЪ.

0 (т -1)!

Лемма 2. Если имеют место равенства (10),

у(т,I,х) = Л(т,р(т,I,х;у(я,I,х): s)^;v(s,a,х): s,m) (13) и(1, х) = уЦ, г, х), (14)

то функция и(1,х) является решением задачи (1) - (5), и наоборот. Доказательство. Обозначая через

г^, х;и) = & \и^, х^и^, х),

запишем уравнение (1) в виде

Бт \-и^, хх; и) = F(V, и) . (15)

Введем функции

(*, х; и) = Щ—и(х^гЦ, х; и),

(*, х; и) = Щ[—и(*, (*, х;и), г = 2,...т — 1.

Тогда уравнение (14) принимает вид:

Щ-иЦ, х)]1т—1^, х; и) = ГЦ; и). (16)

Уравнение (16) с условиями (2) - (5) с помощью метода дополнительного аргумента сводится к решению интегро-дифференциального уравнения

*

¡Ц,х;и) = |Г(я;и)Ся . (171)

0

В самом деле, дифференцируя уравнение (171), получаем уравнение (16).

Полагая * = 0 в (171), получаем гт_ ¡(0, х; и) = 0.

Если функция 2т_2Ц,х;и) - решение уравнения

2т-г($, х;и) =| (* — я)Г(я; и)Ся , (172)

0

то она является решением задачи (17х), (2), (3), (4), (5).

Дифференцируя уравнение (172) по ( и по х, получаем справедливость интегро-дифференциального уравнения (171).

Продолжая этот процесс, предположим, что

1 (Л — Я\т—2

г, (*, х; и) = -Г (я; и)Ся

I (т — 2)! ( )

является решением следующего уравнения:

* Ц &}т—3

г (*, х; и) = -Г (я; и)Ся.

{ (т — 3)! ( )

^ СибАК

www.sibac.info

Покажем, что функция

1 \т-1

г(1, х; и) = [ ———— Г (я; и)ск 3 (т — 1М

о (т-1)!

удовлетворяет интегральному уравнению

(17т)

1 (Л — я}™-2

2, (1, х; и) = -Г (я; и)&

о (т-2)! ( )

и начальным условиям (2) - (5).

В этом можем убедиться, дифференцируя (17щ) по t и х.

Таким образом, введя функции хк(1,х;и), к = 1,...,т -1, из (15) вывели (17щ).

Обратно, применяя т раз оператор Б[-и] для уравнения (17т), получаем справедливость (15), (2), (3), (4),(5).

Теперь из (17щ) выведем (13). Для этого введем дополнительные функции:

9 (1, х; и) = Щи(1, х)]иЦ, х), 9(1, х;и) = Б[и(1, х)]9\ (1, х; и), I = 2,...п-1.

Тогда уравнение (17т) принимает вид:

1 /, \т-1

Б[и(1,х)]9 ,(1,х;и)= [^— и)ск=1 (1;и) . (18) о (т-1)!

Уравнение (18) с условиями (2)-(5) с помощью метода дополнительного аргумента сводится к решению интегрального уравнения

1

9п_ 1 (1,х;и) = \п_1(р(0,1,х;у)) + |I(р;и)йр . (190

о

В самом деле, дифференцируя (19а), получаем

В[и(1, х)]9п_г (1, х; и) = \п_г (р(0, г, х; у))0[и(1, х)]р(0,1, х;у) +1 (1; и).

В силу (11) доказано выполнение (18). Полагая t=0 в (19х), получаем виЧ (0, х; и) = (х).

Если функция 9п_2 (г, х; и) - решение уравнения

вп_2 (г, х; и) = у/п_2 (р(0, г, х; у)) + гщ-1 (р(0, г, х; у)) +1 (г- р)1 (р; и)йр,

0

(192)

то она является решением уравнения (191) с условиями (2) - (5). Дифференцируя (192) по t и по х, получаем

Ци(г, х)]вп_ 2 (г, х; и) = (щ'п_ 2 (р(0, г, х; у)) + (р(0, г, х; у))) X

г

хЩи(г, х)] р(0, г, х; у) + уп_х (р(0, г, х; у)) +11 (р; и)й р.

В силу (11) доказана справедливость (191). Продолжая этот процесс, предположим, что

п_ 1 1к_1 г (Г _ "

вх(г,х;и) = Xщ(р(0,г,х;у))-—- + \(, р' I(р;и)йр (19п_1) к=1 (к-1)! 0 (п_2)!

является решением следующего уравнения:

' (*- р)п

в

п I ~ г (/ _ р)

(г, х; и) = X щ (р(0, г, х; у)) +1 ( р I(р; и)йр.

(к 2)! 0 (п 3) !

Покажем, что уравнение (13) удовлетворяет интегральному уравнению (19п-1) и начальным условиям (2) - (5). Из (13) имеем

п_ 1 гк

Б[и(г, х)]и(г, х) = Хщ'к (р(0, г, х; у))—0[и(г, х)] р(0, г, х; у) + к=0 к!

п_ 1 ^г (/ _ р)"

+Х Щ (р(0, г, х; уУ)~7, ттг +1 1 р и^р.

к=1 (к-1)! 0 (п-2)!

Следовательно, в силу (11) доказано выполнение (19п-1).

0

В (14) при t=0 имеем: и(0,х) = \ (х).

Таким образом, введя функции 9к(1,х;и), к = 1,...,п-1, из (1) вывели (14).

Обратно, применяя п раз оператор Б[и] для уравнения (14), получаем справедливость (17т), (2), (3),(4). Лемма доказана.

—( п+т)

Лемма 3. Функция у(т, 1, х) е Сь (Т)), являющаяся при 0< t < T решением интегрального уравнения (13), будет удовлетворять (10), а функция и(1, х), определенная согласно (14), удовлетворяет (11).

—( п+т)

Доказательство. Пусть у(т, 1, х) е Сь (02 (Т*)) обращает интегральное уравнение (13) в тождество. Непосредственным дифференцированием из (13) выводится тождество

п-1 1 тк

со(т, 1,х) = V \П(р(0,1,х;у))Г®(я, 1,х)Ж— , к=о о к!

где:

со(т, 1, х) = 0\уЦ, 1, х)]у(т, 1, х).

Из тождества следует равенство со(т, 1, х) = о. Отсюда следует (9).

Полагая т=t в (3), из Леммы 2 получаем (11). Лемма доказана.

Лемма 4. Если 1) оператор F - непрерывный по первой переменной;

2) он удовлетворяет условию Липшица: существует такое Ь>0, что для любого ^< T

11 Г(1; их (1,4): 4) - Г(1; и2 (1, 4): 4) \\о2 „ < Ь Ци^Г, х) - и2 (1, х) Н^ ^*,

— (п+т+1)

3) \ (х) е Сь [Л], к = о..п-1, то уравнение (13) при

достаточно малом ^ имеет решение в С((Т*)).

Доказательство. Перепишем уравнение (13) в виде

у(т, 1,х) = У(т, 1;у(я,а,х): я,®), (20)

где: У(т, 1;у(я,а,х): я,со) = А(т,р(т, 1,х;у(я, 1,х): я);у(я,а,х): я,со).

Имеем при t <T*<T:

J (j t;0)| =| A(t, p(j, t, x;0);0) =

n-1 fk 'it — ri\n~1 p i r> — c\m-1

<| X щ (p(0,', x;0)| +J |J F(s;0)ds |<

k=0 k! 0 (n-1)! J0 (m-1)!

n-1 Л .m+n

< Ell щ ||л - + IIF(t;0) ||[0,' < n0(T*),

k=0 k! (n-1)!m!

n—1 c<k c<m+n

где: &o(S) = EU Щ H. 77 +1| F(t,0) ||[о,т], n, ,■ k=o k! (n — 1)!m!

Далее, при j<t <T*<T:

J(j,t; vi(s,w,x): s,w)-J(jt;vi(s,w,x): s,w)^ = A(J p(r,t,x;vi(s,t,x):s);vi(s,w,x):s,w)--A(j p(j,t,x;v2(s,t,x):s);v2(s,w,x): s,wX n-1 fk

^E^k(p(0,',x;v(s,',x): s))- щ(p(0,',x; v2(s,', x): s)) | — + k=0 k!

+ | i'-p) I(f v j j x) :j)dp-I(P;v(j,T,x):т)dp|<

J (n-1)! 1 J (n-1)! 1

n-1 ' ' fk

<EHWk ' || • l J vi(s,', x)ds -J v2 (s,', x)ds | — +

k=0 о 0 k!

' /j._ \n-1 p /j_ xm-1

+J V PL J (' _m | F(s;V1 (s,s,x)) -F(s;v2(s,s,x)) ^s dp < 0 (n 1)! 0 (m 1) !

n-1 fk ' (t — p n-1 pm

<(E|| щ ' || *T, +J V PL f dp)L || v,(w,s,x)-v2(w,s,x) (') <

k=0 k! J0 (n-1)! m! 2

n -1 rj-ik rj-im+n-1

< 'СЕЩ '|| • TT+7-TT,—; )|l v1(w x)-v2W s, x)||G2W <

k=0 k! (n-1)!m! 2

<T*ц 11 v1 ^s,x)-^^s,x)UG2(T*),

где:

rj-ik rj-,m+n-1

-+-

t=i k k! (n-1)!m!

Таким образом, условия Леммы 4 выполняются и получаем, что уравнение (13) имеет решение в пространстве функций с нормой не более 2По(Т*).

Лемма доказана.

Лемма 5. Если выполняются условия Леммы 4, то решение уравнения (13) при достаточно малых t имеет непрерывные производные по всем переменным.

Доказательство. Формально дифференцируя (13) по x и обозначая V3(т,t,x) = vx (тХх), получаем

( ' V

V(т,',х) = (р(0,',х;у(я, ',х): я) 1 (р,т,х)йр

(21) к!

Как и в доказательстве Леммы 4, доказываем, что это уравнение имеет непрерывное решение при достаточно малых t. Тогда интегрированием получаем, что функция

х

V(т,t,x)=v(т,t,0)+ |V(т, , (22)

0

где: v(тt,x) - решение уравнения (13), также удовлетворяет (13), и,

следовательно, совпадает с v(тt,x). Из (22) следует

дифференцируемость v(т,t,x) по х.

Формально дифференцируя (22) по / и обозначая V2(т,t,x)= VI

(тХ,х), получаем

д ' — р(т,',х;у(р,',х) : р) =-у(',',х)йр— 1У2(р,',х)йр,

д' 3

т

V(т,х) = У2(т,х;У2(т,х):т,') = у '(р(0,х;у(я,х): я) х

'

<(—у(',', х)йр — | V (р,', х^р)

0

Л-1

п-1 'к

+Е(Ук(р(0,', х;у(я,',х) : я)-—- '(р(0,', х;у(я,',х): я) х (23) к=1 (к — 1)!

+

0

\п-2

(~у((, Х^р + 1У2 (Р, *, х^р) —) +

2

0

| (п -1)(* -р)

(п -1)!

-I(р;у(т,т, х): т)йр, п > 1,

0, п = 1.

Как и в доказательстве Леммы 4, доказываем, что это уравнение имеет непрерывное решение при достаточно малых t. Тогда интегрированием получаем, что функция

¥(т^,х)=х+ ( V (т, з, x)ds

(24)

удовлетворяет (13), и, следовательно, совпадает с у(т^х). Из (24) следует дифференцируемость у(тХх) по t.

Из (6) видно, что правая часть (13) при заданной непрерывной функции у(тАх) дифференцируема по т. Отсюда следует дифференцируемость у(тХ,х) по т.

Лемма доказана.

Продолжая этот процесс, получаем справедливость соотношений

~~(п+т) „ —(п+т) _

у(т, х) е Съ (<32 (Т*)), и($, х) е Съ (02 (Т*)) для п > 2.

х

г

Таким образом, по индукции, из Леммы 5 следует Лемма 6. При наличии производных соответствующего порядка у всех функций <ро(х), щ(х) функция у(тХ,х) имеет производные такого же порядка.

Из доказанных лемм следует

Теорема. Если выполняются условия Леммы 4, то задача (1) - (5) имеет решение в пространстве функций Сь (п+т)(02 (Т *)) для

достаточно малого Т*<Т.

Пример. Рассмотрим частный случай уравнения (1), где оператор ¥$;и) взят в виде функции, п=т=1:

иа (*, х) = и [иЦ, х)ых х)] - и (*, х)и (*, х) + /Ц)

^ СибАК

с начальными условиями

ди(0, х)/ дг =-х, и(0, х) = х.

Рассматриваемая задача методом дополнительного аргумента сводится к интегральному уравнению

г

и(г, х) = р(0, г, х; V) + ( (г - р)/р)Ср , (т, г, х) е 02 (Т). (*)

0

Используя (20), из интегрального уравнения (*) имеем

т

v(т, г, х) = р(0, г, х; V) + ( (т- р)/(р)Ср .

0

Отсюда получаем интегральное уравнение

г т

v(т,г,х) = х-("v(р,г,х))Ср + ^(т-р)/(р)Ср.

о о

Интегрируя по т от 0 до t, имеем:

г г г 5

( v(р,г,х)йр = г(х-(v(р,г,х)Ср) + ( ((з-р)/(р)йрсЬ.

0 0 0 0

Находим

г г 5 у

(v(р,г,х*)Ср = [гх- ( ((5--р)/(р)СрСз]-—.

0 0 0 1 +г

Следовательно, решение поставленной задачи имеет вид:

(г, х) = -х— -1- ( ((5 - у)/{у)СуЖ + ((г - У)/(у)ау. 1 + г 1+г{ I {

г 5

и

Список литературы:

1. Аширбаева А.Ж., Мамазиаева Э.А. Решение нелинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента // Вестник Кыргызско-Российского славянского университета. - Бишкек. - 2015. - Т. 15, Вып. 5. - С. 61-64.

2. Иманалиев М.И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными. - Бишкек: Илим, 1992. - 112 с.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕКЛАССИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

Молдояров Уларбек Дуйшобекович

ст. преподаватель кафедры ИТАС, Ошский государственный университет, Кыргызская Республика, г. Ош, E-mail: [email protected]

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THIRD ORDER

WITH NONCLASSICAL BOUNDARY CONDITIONS

Ularbek Moldoyarov

senior lecture, Chair of Information Technolog y and Automatization System Osh State University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Методом сжатых отображений доказана разрешимость краевой задачи для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка с неклассическим граничным условием.

ABSTRACT

The method of contraction mapping proved the solvability of boundary value problem for nonlinear partial differential equations of the third order with nonclassical boundary condition.