Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со многими переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ / PHYSICS AND MATHEMATICS

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.69.031 Аширбаева А.Ж.1, Мамбетов Ж.И.2

1ORCID: 0000-0001-7706-0608, Доктор физико-математических наук, 2ORCID: 0000-0003-4455-5887, Старший преподаватель, 1,2Ошский технологический университет имени академика М.М. Адышева, г. Ош, Кыргызская Республика РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Аннотация

Исследование системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, методом характеристик, сводится к исследованию нелинейной системы интегральных уравнений, где всегда присутствует суперпозиция неизвестных функций. И найдя решение в характеристических переменных, для получения решения исходной задачи требуется перейти от характеристических переменных к исходным переменным. Последняя задача во многих случаях бывает настолько сложной, что её не решают, а принимают допустимость обратного преобразования переменных в качестве условия.

Целью данной работы является исследование решений системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со многими переменными методом дополнительного аргумента, при помощи которого рассмотренная система уравнений приводится к системам интегральных уравнений. При этом в системе интегральных уравнений не присутствует суперпозиция неизвестных функций. Доказательство существования решения системы интегральных уравнений проводится с более строгим способом записи операторов в функциональных пространствах с использованием принципа «сжимающих отображений» для операторов запаздывающего типа.

Ключевые слова: уравнение в частных производных, система уравнений, начальные условия, дополнительный аргумент, оператор запаздывающего типа, принцип сжимающих отображений.

Ashirbaeva A.Zh.1, Mambetov Zh.I.2

1ORCID: 0000-0001-7706-0608, PhD in Physics and Mathematics, 2ORCID: 0000-0003-4455-5887, Senior Lecturer, 1,2Osh Technological University named after academician M. Adyshev, Osh, Kyrgyz Republic SOLUTION OF SYSTEM OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PRIVATE FIRST ORDER WITH

MULTIPLE VARIABLES

Abstract

The investigation of a system of first-order nonlinear partial differential equations by the method of characteristics reduces to the study of a nonlinear system of integral equations, where a superposition of unknown functions is always present. After finding a solution in the characteristic variables, in order to obtain the solution of the original problem, it is required to go from the characteristic variables to the original variables. The latter problem in many cases is so complex that it is unsolvable, but accept the possibility of inverse transformation of variables as a condition.

The aim of this paper is to investigate solutions of a system of nonlinear differential equations in first-order partial derivatives with many variable methods by an additional argument, by means of which the system of equations considered is reduced to systems of integral equations. In this case, the superposition of unknown functions is not present in the system of integral equations. The existence of a solution of integral equations system is proved with a more rigorous method of writing operators in function spaces using the principle of "contracting mappings" for operators of a retarded type.

Keywords: partial differential equation, system of equations, initial conditions, additional argument, delayed type operator, the principle of contracting mappings.

Введение

В настоящее время метод дополнительного аргумента (м.д.а.) развивается для систем нелинейных уравнений в частных производных (в.ч.п.) [4, С. 410-414], [5, С. 17-23] [10, С. 111-115]. М.И. Иманалиев в своей работе «Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными» [1, С. 55-100] c использованием разработанного м.д.а., на основе принципа «сжимающих отображений» различные нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных (д.у. в ч.п.) с начальными условиями на оси были сведены к интегральным уравнениям (и.у.), и найдены достаточные условия существования и единственности в некоторых областях.

Аксиоматические основы этого метода были выявлены в работе П.С. Панкова, Т.М. Иманалиева [2, С. 30-34], где также введены соответствующие новые понятия и определения. Показано, что в м.д.а. основным является то, что дифференциальные операторы с частными производными являются в некотором смысле перестановочными с интегральными операторами, что было названо кратко «квазикоммутативностью».

М.д.а. применяется и для численного решения начальных задач для нелинейных д.у. в ч.п., при этом он имеет преимущества перед методами, использующими фиксированные сетки (не производится численное дифференцирование) и перед методами типа метода характеристик (расчет ведется не вдоль ломаных, а вдоль прямых). Кроме того, этот метод, как использующий результаты для и.у., более удобен для получения гарантированных результатов [8, С. 164].

Построена общая схема м.д.а. при исследовании широкого класса начальных задач для нелинейных операторно-дифференциальных уравнений (о.-д.у.) с композицией дифференциальных операторов любого порядка [9, С. 12-24]. Показана применимость этой схемы для различных конкретных типов уравнений, второго, третьего, четвертого, а также произвольного порядка [9, С. 52-76], в конце обобщается для уравнений со многими пространственными переменными

[9, С. 91-123]. Для отдельных примеров получены решения в виде сходящихся рядов, также в случае, когда метод характеристик, как показано, применить невозможно [9, С. 59-61]. Предложенная схема реализована в виде компьютерной программы, произведены расчеты, показывающие возможности превосходства м.д.а. [3, С. 37-40].

Используя м.д.а. исследованы д.у. в ч.п. и и.-д.у. в ч.п. типа Кортевега-де Фриза, а также нелинейные волновые д.у. в ч.п. [6, С. 543-546], [7, С. 17-19].

Постановка задачи

В данной работе рассматривается следующая система нелинейных д.у. в ч.п.:

ды (г, х,.., х ) „ , „ды. (г, х,.., х ) , /1ч

' х; ' п) + Ъ,..,хп) ', п) = У((,х1,..,хп,ы1(Г,х1,..,хп),ы2(Г,х1,..,хп),...,ып(1,х1,..,хп)), С1)

/-Ч, Z_i k V У 1 ■> n' >s

dt k=i oxk

/'=1,2,...,n, (t,x,..,xn) eGn+l(T) = [0,T]xRn,

с начальными условиями

« (0,xr,..,xn) = фг ), /=1,2,.,n, (x1,..,Xn) e Rn, (2)

где через $(t, X,-, Xn), /=1,2,...,n обозначены любые неизвестные функции: ux(t, х,.., xn \ u2(t, xn un (t, ^ xn)

Для определенности возьмем 3i (t, X,.., Xn ) = ии+1_ i (t, X,.., Xn ), /=1,2,.. ,,n

М.И. Иманалиев, С.Н. Алексеенко в работе [10, С. 111-115] рассматривали случай $ (t, X,.., Xn ) = U (t, x,.., Xn ), /=1,2,..., n.

Используем следующие обозначения:

a ,...,a * ~

' ' - класс функции, определенных, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до порядка а по j-му аргументу, j=1,...,l, на некотором подмножестве Q евклидова пространства R', где мульти индекс (0,...,0) будем опускать [4, С. 410].

Lip( и, М\ v,...) - класс функции, удовлетворяющих условию Липшица по переменной U с коэффициентом N,

по переменной v с коэффициентомМ,в случае функции одной переменной индекс будем опускать [9, С. 11].

Для удобства ссылок приведем известные результаты. Мы сформулируем их применительно к множествам банаховых пространств, как они будут использоваться в настоящей работе.

Лемма 1 (следствие принципа сжимающих отображений Банаха)

Если оператор A в шаре S={x:||x||< 2r} банахова пространства удовлетворяет условию ||Ax-Ay||< ^||x-y||, и ||A(0)||<r, то он имеет в этом множестве точно одну неподвижную точку.

Лемма 2

Если для банахова пространства B оператор J:C([0,T]—B)—C([0,T—B) в любом шаре S={u:||u||C([0,T]-B)<r0 =const} удовлетворяет условию Липшица типа запаздывания:

(Vte[0,T])(|| Jui(t) - Ju2(t)||B < LS t|| ui- u2||C([0t]-B) ), LS=const и зависит только от выбора шара S, то операторное уравнение u = Ju при достаточно малом T* имеет решение в C([0,T*]— B).

Доказательство

Положим Г0 = 2||J(0)||b и T* = min {T,1/(2Ls)}.

Тогда в силу Леммы 1 решение в шаре существует.

Теорема

Пусть для /=1,2,..,,n функции X,...,X) e C1(Rn),

0,1,...J,1,...J

f (t,X1,..., Xn,«1,«2,...,Un) e C ™ (Gn+1 (T) XRn).

Тогда существует такое 0 < T < T, явно определяемое на основе исходных данных, что задача (1), (2) имеет единственное ограниченное во всей области Gn+1(T)=[0,T] XRn решение, которое совпадает при s=t с решением системы и.у.

©

(s,t,X^xn) = ф(X-1©п+!(^t,X^xn)dv,...,xn t,x^xn)dv) +

t

+1 /' (рх-¡®п+1 х >..., хп №,..., хп(У, г, х,..., хп №,а>х (р, г, х,..., хп ),....,&„ )йр,

0 р р

(3)

Доказательство

Представим основные этапы доказательства теоремы в виде лемм. Лемма 3

11,...,1

В классе С 7раз(Сл+1 (Г*)) задача (1), (2) с р(5,1,х,...,X) - определяемых из

s

ф, (5, t, X ) , , х / хх

-^- = «п+1-, (5, Л(5, ^ Х1,---,Хп Р (5, t, Х1,---,Хп )), (4)

р,t,Х1,...,хп) = X,, 0 < 5 < t, 1 = 1,2,...,п, эквивалентна системе и.у.

и х1,---,хп ) = Фг (Л(0, t, х1,...,хп Х-Р (0, t, х1,---,хп )) +

г

!г (У,Рl(У, ^ Хп Х--Рп (Х Х1,•••, Хп X Щ^Х Рl,•••, Р„ (Х Рl,•••, Р„ ))йУ (5)

0

г

Р (5 г, ^ •••, Х ) = Х- - |ип+1-г (у, Рl(у, ^ •••, ХпX •••, Рп(у, ^ •••, Хп))йУ (6)

Доказательство леммы 3

Из (4) следует (6) и следующие равенства

диг (5 Рl(s, г, Хп ),•••, Рп (5 t, Хп)) = диг (5 Р1( 5 ^ xl,•••, х ),•••, Рп(5 г, xl,•••, Хп)) +

д5 д/

-п N NN ди (5, Р (5,г,Х ,•••,Хи),•••, Р(5,г, Х ,•••,Хи))

^^-к (5, Р1(5, г, Х,,-, Хп ),•••, Рп (5, г, Х^-, Хп)) г ( , Р1( , , ^ , "Л , Рп ( , , 1, , п)), к=1 дХк 1=1,2,...,п.

На основании последнего соотношения из (1) имеем

- (5 рС^ t, • • , Хп X • • • , Рп ) = ф ( Х1 -{ Un+1(у, Рl(у, t, Х1^ • • , Хп X • • , Рп (у, t, ^ • • • , Хп ))dу, • • • , Хп

0

t

«1У, Р1У, t, х1,...,хп),.., Рп (у, t, х1,...,хп ^у) +

+ 1(у, Рl(у, {, х1,...,хп\...Рп (у, ^ х1,...,хп ),U1У, Рl,.., Рп X",«п (Х Рl,.., Рп )йУ

0

(7)

которое при 5=/ совпадает с (5). С другой стороны, из (5) дляр,{5Лх1,...,х„) следует

др.(5,¡,х,..., х )) А , х др.(5,г, х,..., х ) „ . /Сх

Р,( , ,^ , п)) +1 «п+1-кУх!,..., хп) Р( , Iх 1, , п) = 0, р (г,I,х,..., хп) = х, / = 1,2,..,п. (8)

д1 к=1 дхк

Определяя из (5) частные производные по t и хк, к=1,... п с учетом (8) получаем (1). Лемма 4

т-т ■ ! Л, С (5, г, Х ,• • • , Х ) = и (5, Р (5, г, Х ,• • • , Х ), • • • , V (5, г, Х ,• • • , Х ))

Пусть для 1=1,...п функции А ' ' ' п' А '' ' 1 ' пЬ ' ' ^ ' ^^, где «(t,х,...,х)

являются решениями задачи (1), (2), а р (5^,х , . ,х ) - решениями задачи (4) и они удовлетворяют системе и.у. (3), и

со (5 г Х Х )

наоборот, если функции ' ' п' являющиеся решениями системы и.у. (3), непрерывно дифференцируемы

по всем своим аргументам, то в пределах некоторого интервала изменения переменной 1, определяемого на основе с (5 г Х Х )

исходных данных, ' ' 1''"' п' при 8=1 ,будет удовлетворять системе д.у. в ч.п. (1) и начальному условию (2). Доказательство леммы 4

р (5 г Х Х ) г = 1 2 п Пусть функции«(^х,...,Х), ' ' ' являются решениями задач (1), (2) и (4). В силу

леммы 3 они удовлетворяют равенствам (7) и (6). Подставив Рг(5^Х1' ^'Х«) , г 1 ,2 ,• •,п из (6) в (7), получим систему и.у.

г

и(5, р(5,г,х,•••,х„),•••, р) = Ф(Х - [и______

г Рl(5, t, xl,•••, Хп Х-. Рп ) = Ф( Х1 -{ Un+1(у, Рl(у, t, Х1,•••, Хп ),••, Рп (у, t, Х1,•••, Хп ))dу,•••, Хп -

0

t

Иl(у, Рl(у, ^ х1,...,хп ),.., Рп (у, ^ х1,...,хп )^у) +

0

5 г

+| /г (РЛ -{ Un+1(У, Рl(у, t, Х1,•••, Хп ),••, Рп (У, t, Х1,•••, Хп ))dу,•••, Хп -

0 Р

г

| U1(у, Р!^ t, Х1,•••, Хп ),••, Рп ^ t, Х1,•••, Хп U1(у, Рl(у, t, Х1,•••, Хп ),••, Рп (у, г, Х1,•••, Хп ),•••Un )dу

Р

а(5,1,х,...,X) = ыi(5, п(5,1,х,...,X),..., А(5,1,х,■■■,хи)) Обозначив А ' ' 1 ' п' А '' ' 1 ' пЬ ' ' 1 ' приходим к (3).

Напротив, пусть непрерывно дифференцируемые функции а (я^, X ), i = 1,2,...п обращают систему и.у. (3) в тождество.

^ (5,1, X,,..., хп ) ^^Ы,1! + £ (1, X,,..., хп )д »'(5, хп ),

Обозначим к= к 1=1,2,„.,п.

Непосредственным дифференцированием из (3) выводится тождество

п I

wi (s, t, х1,...,Хп) = ¡К(уt, х1,...,хп

г=1 0

5 п 1 5 п

-¡Е Л № (у, 1, X,..., хп )ёуёр + ^ /хЖ„ (р, 1, х,,..., хп )йр

О г=1 р О г=1

На основании этого тождества определяется интервал изменения аргумента 1, в котором W=0. Кроме этого, из (3)

да' = г

Л '

вытекает, что д5 . С учетом отмеченных фактов, подставляя а(t,t,х,...Х„) = Щ(t,х1 ,...х„), i = 1,2,..,п в (1) и

/^ч ^« а(1,1,х,...,X), ' = ,,2,..,п

(2), убеждаемся, что на всем интервале изменения 1, на котором W=0, " > 1 ' удовлетворяют

начальной задаче (1), (2).

Лемма 5

* >

Существует такое Т 0, что система и.у. (3) имеет единственное решение, принадлежащее

1,1,...,1,1,...д

С ^ ^ ([0,Г] X [0,Г] X Я2п). Доказательство леммы 5

Записываем систему и.у. (3) в виде одного (векторного) равенства0 = Л0,:где 0 = (0,02,...,0п) - вектор-

функция от переменных (£, t, X, Х2 ,...Хп ), с компонентами-искомыми функциями 01=а(5,1, х, X,..., X),

02=а (5,1, X, X '■■■' X ), •••, 0п=®п (5,1, X, Х2,..., Хп ) , а компоненты оператора Л = (Л, Л,■■■, Л) определены равенствами:

i t А0 = Фг (X1 -j0»-l(V> t' Xl'-' Xn )dV' -' X„ ~S0l(V't' X1'-' Xn )dV) +

0 0

t t

+{ f, (P' X1 -j#n+l(V't' X1'-' Xn )dV'■■■' Xn -S01(V't' X1'-' Xn )dVA(P't' X1'-' Xn )A' -'en )dP' i=l,2,...,n 0 p p

Имеем при t<T <T

\AA<U\l АЛо^ t <4>T) где Oo(S) * S

Далее, при 5 < t < T* < T :

\Afil - Afi2\ <T"Ц-Цб»1 -02\,

n

где Ц= (£ (Lj +М^Т + NjT2)' ФХХ-- Xn) e Lip(Lj Xj ),

j=1

L > 0 - const, i' j = 1,1,..., n.

f (t,x1,...,xn,Ui,u2,...,un) e Lip(Mt\Xj ,NV\UJ),Mj > 0-cont, NtJ > 0-const,

i^j=1,2,.,n.

Таким образом, условия Леммы 2 выполнены и мы заключаем, что уравнение (3) имеет решение в пространстве функций с нормой, не превышающей 2Q0(T ). Доказательство теоремы проведено.

Заключение

Получены достаточные условия существования и единственности решения начальной задачи для системы нелинейных д.у. в ч.п. первого порядка со многими переменными. Полученные результаты свидетельствуют о том, что м.д. а. применяется и для решения системы нелинейных д.у. в ч.п. Приведенную схему применения м.д.а. для решения системы нелинейных д.у. в ч.п. можно использовать при решении системы нелинейных уравнений других классов.

Список литературы / References

1. Иманалиев М.И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными / М.И. Иманалиев. - Бишкек: Илим, 1992. - 112 с.

s

2. Панков П.С. Квазикоммутативность дифференциальных операторов и ее приложение к обоснованию метода дополнительного аргумента / П.С. Панков, Т.М. Иманалиев // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, Выпуск. 28. - Бишкек: Илим, 1999. - С. 30 - 34.

3. Аширбаева А.Ж. Приближенное решение начальной задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента / А.Ж. Аширбаева // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 2014. - Выпуск. 46. - С. 37 - 40.

4. Иманалиев М.И. К теории нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема/ М.И. Иманалиев, С.Н. Алексеенко // Доклады Российской АН. - 1992. - Т. 323. - № 3. - С. 410 - 414.

5. Иманалиев М.И. К теории почти солитонных решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных типа Кортевега-де Фриза четвертого порядка / М.И. Иманалиев, Т.М. Иманалиев, У.М. Иманалиев // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 2003. - Выпуск 32. - С.17 - 23.

6. Иманалиев М.И. К теории нелинейных уравнений с дифференциальным оператором типа полной производной по времени / М.И. Иманалиев, С.Н. Алексеенко // Доклады Российской АН. - 1993. - Т. 329. - № 5. - С. 543 - 546.

7. Иманалиев М.И. К теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа Кортевега - де Фриза / М.И. Иманалиев, П.С. Панков, Т.М. Иманалиев // Доклады Российской АН. - 1995. - Т. 342. - № 1. - С.17 - 19.

8. Панков П.С. Приближенное решение начальной задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных методом дополнительного аргумента / П.С.Панков, Т.М. Иманалиев, Г.М. Кененбаева // Юбилейная научная конференция, посвященная 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана: Тезис, доклады - Алматы, 1995. - С. 164.

9. Аширбаева А.Ж. Решение нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка методом дополнительного аргумента. - Бишкек: Илим, 2013. - 134 с.

10. Иманалиев М.И. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема / М.И. Иманалиев, С.Н. Алексеенко // Доклады АН. - 1992. - Т. 325. - № 6. - С.1111 - 1115.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Imanaliev M.I. Nelinejnye integro-differencial'nye uravnenija s chastnymi proizvodnymi [Nonlinear integraldifferential equations with partial derivatives] / M.I. Imanaliev. - Bishkek: Ilim, 1992. - 112 p. [in Russian]

2. Pankov P.S. Kvazikommutativnost' differencial'nyh operatorov i ee prilozhenie k obosnovaniju metoda dopolnitel'nogo argumenta [Quasicommutativity of differential operators and its application to the justification of the method of an additional argument] / P.S. Pankov, T.M. Imanaliev // Investigations on integral-differential equations. Issue. 28. - Bishkek: Ilim, 1999. -P. 30 - 34. [in Russian]

3. Ashirbaeva A.Zh. Priblizhennoe reshenie nachal'noj zadachi dlja nelinejnyh differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh vtorogo porjadka metodom dopolnitel'nogo argumenta [Approximate solution of the initial value problem for nonlinear partial differential equations of the second order by the method of an additional argument] / A.Zh. Ashirbaeva // nvestigations on integral-differential equations. - Bishkek: Ilim, 2014. - Issue. 46. - P. 37 - 40. [in Russian]

4. Imanaliev M.I. K teorii nelinejnyh integro-differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh tipa Uizema [On the theory of nonlinear integral-differential partial differential equations of Whitham type]/ M.I. Imanaliev, S.N. Alekseenko // Reports of the Russian Academy of Sciences. - 1992. - V. 323. - No.3. - P. 410 - 414. [in Russian]

5. Imanaliev M.I. K teorii pochti solitonnyh reshenij nelinejnogo differencial'nogo uravnenija v chastnyh proizvodnyh tipa Kortevega-de Friza chetvertogo porjadka [To the theory of almost soliton solutions of a nonlinear partial differential equation of the fourth-order Korteweg-de Vries type] / M.I. Imanaliev, T.M. Imanaliev, U.M. Imanaliev // Investigations on integraldifferential equations. - Bishkek: Ilim, 2003. - Issue 32. - P.17 - 23. [in Russian]

6. Imanaliev M.I. K teorii nelinejnyh uravnenij s differencial'nym operatorom tipa polnoj proizvodnoj po vremeni [On the theory of nonlinear equations with a differential operator of the type of the total time derivative] / M.I. Imanaliev, S.N. Alekseenko // Reports of the Russian Academy of Sciences. - 1993. - V. 329. - No.5. - P. 543 - 546. [in Russian]

7. Imanaliev M.I. K teorii nelinejnyh differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh tipa Kortevega - de Friza [On the theory of nonlinear partial differential equations of the Korteweg-de Vries type] / M.I. Imanaliev, P.S. Pankov, T.M. Imanaliev // Reports of the Russian Academy of Sciences. - 1995. - V. 342. - No. 1. - P.17 - 19. [in Russian]

8. Pankov P.S. Priblizhennoe reshenie nachal'noj zadachi dlja nelinejnyh differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh metodom dopolnitel'nogo argumenta [Approximate solution of the initial value problem for nonlinear partial differential equations by the method of an additional argument] / P.S.Pankov, T.M. Imanaliev, G.M. Kenenbaeva // Anniversary scientific conference dedicated to the 50th anniversary of the development of mathematics in the Academy of Sciences of Kazakhstan: Abstract, reports. - Almaty, 1995. - P. 164. [in Russian]

9. Ashirbaeva A.Zh. Reshenie nelinejnyh differencial'nyh i integro-differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh vysokogo porjadka metodom dopolnitel'nogo argumenta [Solution of nonlinear differential and integral-differential partial differential equations of high order by the method of an additional argument]. - Bishkek: Ilim, 2013. - 134 p. [in Russian]

10. Imanaliev M.I. K teorii sistem nelinejnyh integro-differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh tipa Uizema [On the theory of systems of nonlinear integral-differential partial differential equations of Whitham type] / M.I. Imanaliev, S.N. Alekseenko // Reports of the Academy of Sciences. - 1992. - V. 325. - № 6. - P.1111 - 1115. [in Russian]