CC BY
18
/-0.96+ 1.881 0.361 0.4800 + 1.08^ = -0.34 + 0.441 0.03 + 0.091 -0.01 + 0.451 \-0.97 + 0.271 0.03 -0.1 + 1.171
к = 2,Ь = 2[1, Х(3[1) = (ЛУДО) + УХ(О)Л') = / 0.195 0.417 0.2554 \ = 0.3429 0.3995 0.2532 ; V—0.3107 -0.3916 -0.2101/ к = 3,г = 3ц, Х(4ц.) = (а\/Х(0) + \/Х(0= /0.5983 0.6528 0.2238 4 = 1.0401 1.1417 0.2416 ; V—0.5062 -0.4733 -0.1549/
к=4,Ь = 4ц, Х(5ц.) = (аУЖ0) + V= / 0.9591 1.1460 0.2440 \ = 1.0401 1.1417 0.2416 . V—0.5062 -0.5669 -0.1194/ Заключение.
Предложенный алгоритм решения линейного матричного разностного уравнения применяется в исследовании матричного разностного уравнения с малым шагом. Результаты работ также будут использованы при построении решений дискретных задач оптимального управления с малым шагом.
Литература
1. Иманалиев З. К. Об одном методе оптимального управления сингулярно возмущенными системами с минимальной энергией // Вестник КНУ им Ж. Баласагына. - Вып 3, серия 5, Бишкек, 2005. С. 25-30.
2. Иманалиев З. К., Аширбаев Б. Ы. Вывод одного из критериев управляемости сингулярно возмущенных систем оптимального управления // Известия КГТУ им И. Раззакова № 9, Бишкек, 2006. С. 5-10.
3. Иманалиев З. К., Аширбаев Б. Ы., Алымбаева Ж. А. Исследование разностной задачи оптимального управления с малым шагом для однопродуктовой модели экономики // В сборнике XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ - 2014. Институт проблем управления им.В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 5512-5519.
4. Иманалиев З. К., Аширбаев Б. Ы., Осмонканов А. М. Управление с минимальной энергией в дискретной задаче оптимального управления с малым шагом // Вестник КГУСТА, 2014. № 2. С. 138-141.
5. Иманалиев З. К., Баракова Ж. Т. Управление с минимальной энергией в системах со свободными конечными состояниями // Известия Волгоградского государственного технического университета, 2004. № 5. С. 103-104.
6. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. - Москва: Наука, 1973. С. 272.
Using the method of the additional argument for nonlinear partial integro-differential equations of the second order with many variables
Mamaziaeva E.
Применение метода дополнительного аргумента для нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка со многими переменными Мамазиаева Э. А.
Мамазиаева Эльмира Амановна /Mamaziaeva Elmira - старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Ошский технологический университет им. Адышева, г. Ош, Кыргызская Республика
Аннотация: начальная задача для операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка новым способом сведена к решению системы интегральных уравнений.
Abstract: the initial value problem for nonlinear partial operator-differential equations of the second order is reduced to solving of systems of integral equation.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение в частных производных, нелинейное уравнение, интегро-дифференциальное уравнение, метод дополнительного аргумента, задача Коши, принцип сжимающих отображений.
Keywords: partial differential equation, non-linear equation, integro-differential equation, method of additional argument, Cauchy problem, contracting mappings principle.
Введение.
Использование метода дополнительного аргумента дает возможность исследовать новые классы задач для уравнений в частных производных. Основная идея этого метода состоит в том, что исходная краевая задача путем введения дополнительной переменной сводится к системе интегральных уравнений, удобной для исследования. Отождествление переменных в решении такой системы дает решение исходной задачи.
Основы метода дополнительного аргумента систематически изложены в монографии М. И. Иманалиева [1].
С использованием основных идей метода дополнительного аргумента в [2, 3] были исследованы дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения в частных производных типа Кортевега -де Фриза, а также нелинейные волновые уравнения.
В работе [4] создана общая схема применения метода дополнительного аргумента для квазилинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка и показана применимость этой схемы для различных конкретных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков, а также возможность приближенного решения задач по этой схеме.
В данной работе на основе метода дополнительного аргумента производятся исследования решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка со многими переменными.
Постановка задачи.
Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение вида:
= a\t, x) ¿ ^М) + b(t, x, u)± MiX) + F(t, x; u), (1)
8t2 ¡,j=i 8x. 8x. i=i 8x.
•j i j i
(t,x) e Gn+i(T) = [0,T]x Rn,
где
F (t, x;u) = f (t, x, u(t, x), I (t;u(s, x): s)),
t
I(t; u(s, x): s) = JK(t, s)u(s, x)ds.
0
с начальными условиями
8 ku
—- = u. (x), k = 0,1, x e Rn. (2)
8t t=0
Воспользуемся обозначениями:
C - класс функций, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до к-го порядка,
Lip(N\uM\v,---) - класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменной u с коэффициентом N, по переменной v с коэффициентомM,...;
8 n 8
Dn [ю] = — + со^-,
8t k=i 8xk
(t, x) = Dn [(-i)1 a(t, x)]u(t, x), (3)
g (t, x, u) = —— [b(t, x, u) + (-1)"' D [(-!)i+1 a(t, x)]a(t, x)], i = 1,2, ' a(t, x) "
f (t, x, u) = (-1)+' D [(-1)'+' a(t, x)]g (t, x, u), i = 1,2,
Г (t, x, u) = (-1)(t,xu), i = 1,2.
du
Теорема. Пусть Щ (x) g Cb^) (R ), k = 0,1, a(t, x) g C(2 (G^ (T)),
f (tt, X, Щ,, I ) g Q(2) (G+! (T) x R2 ) п ¿/p(Z| щ , i ), K (t, g C(G),
è(t,x,u) g Q (Gn+l(T) x R) и вместе со своими производными удовлетворяют условию Липшица по u.
Тогда существует такое T * > 0, что задача (1), (2) имеет единственное решение в
Cb (2)(G+>(T *)).
Доказательство.
Лемма 1. Задача (1)-(2) эквивалентна системе интегральных уравнений
t
u(t, x) = Щ (pi (0, t, x) + (s, pt (s.t.x))ds (4)
0
1 1 1 t St(t, x) = ~(t(pt(00, t, x)) + (-1У+1-g,(t, x,u)u + (-1)' -Jg,(s,pt,u(s,pt))x
2 2 2 о
1 t 1 t
x ^(s, pt )ds - - Jf ( s, pt, u(^ p ' ))u (s, pt )ds - - J r(s, p ', u(^ p ' ))u(s, p ') x (5)
2o 2o
t
x&j (s, pt )ds + J F (s, pt ; u (s, pt ))ds, ', j = 1,2; j,
0
где
[2^ (t, x) + (-1)' g (t, x, u)u(t, x)] i=0 = ( (x) i = 1,2, (6)
p (s, t, x) = ( p!(s, t, x),...,p". (s, t, x)), i = 1,2 - решения соответствующих систем интегральных уравнений:
t
pJj (s,t,x) = xy + (-1)Jа(т,p.(t,t,x))dz, i = 1,2, j = 1,...,n,
s
(s, t, x) g Q;(T) = {(s, t,x)|0 < s < t < T, x g };
Доказательство. Пусть u(t, x), $ (t, x), i = 1,2 - решение системы интегральных уравнений (4), (5). Непосредственным дифференцированием из (4), (5) имеем:
Dn [(-1) a(t, x)]u(t, x) = 3. (t, x), (7) D [(-1)'+1 a(t, x)}9 (t, x) = (-1)'+11 g, (t, x, u)3j (tt, x) + (-1)' 1 g, (t, x, u)& (t, x) + (8) + F (t, x; u), ', j = 1,2; j.
Подставляя (7) в (8), получаем уравнению (1).
Таким образом, мы доказали, что система уравнений (4), (5) удовлетворяет уравнению (1). Система уравнений (4), (5) удовлетворяет и начальному условию (2).
Теперь покажем, что решение задачи (1)-(2) является решением системы интегральных уравнений (4), (5) т. е. решение задачи (1)-(2) сводим к решению системы интегральных уравнений (4)-(5). Для этого запишем уравнение (1) в виде
D [(-1)!+1 a(t, x](23 (t, x) + (-1)' g. (t, x, u))u) = (-1)' g. (t, x, u)3t (t, x) - f (t, x, u)u -
- r (t, x,u)u(t, хЩ (t, x) + 2F(t, x;u), i, j = 1,2; i ф j. (9)
Действительно из (9) имеем:
2Dn [(- l)i+1 a(t, х)]Щ (t, x) - r (t, x, и)Щ (t, x)u(t, x) - f (t, x, u)u(t, x) + + (-1)' g. (t, x, u)3j (t, x) = (-1)' g. (t, x, u)$. (t, x) - f (t, x, u)u(t, x) -- r (t, x, uЩ (t, x)u(t, x) + 2F(t, x; u), i, j = 1,2; i ф j.
Отсюда
2D[ [(-1У+1 a(t, x)$ (t, x) = (-1У+1 g (t, x,uЩ (t, x) + (-1) g (t, x,u)3 (t, x) + 2F(t, x;u), (10)
i, j = 1,2; i Ф j.
Для (10), принимая во внимание обозначения (3), получаем:
2
^ - a 'M L ^ + (-1)' Ï ^D, [(-ra(t, x)]a(t, x)
et i,j=1 ex. ox. i=1 ex.
' j '
\i+1
= (-1) g г (t, x, u)D [(-1) a(t, x)]u(t, x) + (-1)' g. (t, x, u) x
x D [(-1) a(t, x)]u(t, x) + 2F(t, x; u), i = 1,2.
2
Отсюда
,2
^ - а £ + (-1)' о, [(-г*, хши х
от ', ]=1 -х-х '=1 -X
' ] '
= 2(Ь(г, х, и) +(-1)г Вп [(-1)г+1 а(г, х)]а(г, х))£ ди(,Х + 2F(г, х; и),
" 1=1 дх
г = 1,2.
Таким образом, мы показали, что из (9) получается уравнение (1). Введем обозначение , Х\ и) = 2$ X) + (— 1) X, и))и.
Уравнение (9) с условиями (2) с помощью метода дополнительного аргумента сводится к решению интегро-дифференциального уравнения
z (t, x,'; u) = Р( pi(0, t, x)) +(-1)i i g( S pi, u( S pi))Щ & pi)ds -
0
t t - j fi(^ p,, u(s, p, ))u(s, pi )ds - j r (s, pt, u(s, pt ))u(s, pi Щ (s, pt )ds + (11)
0
t
+ 2j F(5, р.;и(5, р.))Ж, г, 7' = 1,2; г Ф ].
0
В самом деле, дифференцируя (11), получаем (9). Полагая ? = 0 в (11), получаем (6). Из (11) следует (5).
Из обозначения (3) методом дополнительного получаем (4). Лемма доказана.
0
Лемма 2. Существует такое Т' > 0 , что система интегральных уравнений (4), (5) имеет единственное решение. Доказательство.
Запишем систему интегральных уравнений (4)-(5) в виде:
0 — АО, (12)
где 0 — (д, д , д ) - вектор-функция переменных (^, х) , д1 = и(, х) ,
02—^(1, х), 03—32(1, х),
А — (Ах, А2 , А ) определяются равенствами:
А 0 — и0 (р (0, х) + |д рг / —1,2 (13)
0
1 1 ] 1
А,0 =1Ъ (p t (0,1, X)) + (-1)'+1 - g, (1, X, 0 + (-1У - j gt (s, p.,, 0 (s, p t))0 (s, p,.)ds 2 2 20 11 1 j f,. (s, p ,, 01 (s, p t ))01 (s, p t )ds - - j r,, (s, pt ,0-(s, p , ))01 (s, p , )dj (s, p t )ds +
(14)
. 1 1 2 о 2 0
+ | Р(Р/ Р/ 7, ] — 1,2 /V }.
0
Покажем, что уравнение (12) имеет в области Сп+Х(Т) при Т < Т * единственное,
удовлетворяющее неравенству Ю- 00|| — М, где
непрерывное решение,
— тах тах \ \0.1, г —1,2,3 г
0—1—3 (г,х)еС2(Т)*■' г| '
Из (13), (14) имеем:
\А0- u0| < KT,
л0-1ъ
1
kt
<1 (1 + t )a k + — (д + у k) +1f т = Q, (t),
где
(t, x, u)| < a = const, |f (t, x, u)\ < Д = const |r (t, x, u)| < yt = const, i = 1,2
<
1001| + m = k,
M
Обозначим через ^ — , Т. — положительные корни уравнения О. (^) — М, / — 1,2.
К
Справедливы следующие оценки
Ад1 — АЮ2| — Т| Ю1 — 0 АЮ1 — Аг02 — ©г (Т) 01 — 0
i = 1,2,
где
©i (t) = 1 (a + lk) + t (lk+a + m к+д + кК + 2yt k+2L))+ ^||K|
t2
2
g (t, x, u) - g (t, x, u2) < L - u2 |, L > 0, L - const, i = 1,2 (t,x,u) - f(t,x,u)| < M\ux - u2|, M > 0, M - const, i = 1,2. |r (t, x, u ) - r (t, x, u) < K - u2 |, K > 0, K - const, i = 1,2.
Положительные корни уравнений @г (T) = 1, i = 1,2 обозначим через T , T. Отсюда следует, что оператор Л приT < T* = min{T , ^ ,T, T, T}
осуществляет
сжатое отображение шара 5*($0, M) на себя. Следовательно, по принципу сжимающих
отображений система уравнений (4), (5) имеет одно и только одно решение. Теорема доказана.
Литература
1. Иманалиев М. И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными [Текст] / М. И. Иманалиев. - Бишкек: Илим, 1992. С. 112.
2. Иманалиев М. И. К теории нелинейных уравнений с дифференциальным оператором типа полной производной по времени [Текст] / М. И. Иманалиев, С. Н. Алексеенко // Доклады Российской АН. -1993. Т. 329. № 5. С. 543-546.
3. Иманалиев М. И. К теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа Кортевега - де Фриза [Текст] / М. И. Иманалиев, П. С. Панков, Т. М. Иманалиев // Доклады Российской АН. 1995. Т. 342. № 1. С. 17-19.
4. Аширбаева А. Ж. Решение нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка методом дополнительного аргумента [Текст] / А. Ж. Аширбаева. - Бишкек: Илим, 2013. С. 134.
On the question of the Unified Field Romanenko V. К вопросу о Едином поле Романенко В. А.
Романенко Владимир Алексеевич / Romanenko Vladimir - ведущий инженер-конструктор, Нижнесергинский метизно-металлургический завод, г. Ревда
Аннотация: изложена концепция Единого поля. Приводятся математические выкладки, доказывающие его существование и проявления в другом времени.
Abstract: the concept of a unified field. Are mathematical calculations to prove its existence and manifestation in another time.
Ключевые слова: единое поле, бозон, масса вакуумных частиц, хронолиния, энергетические уровни. Keywords: one field, boson, mass particle vacuum, chronology, energy levels.
1. Введение.
В статье речь пойдёт о Едином поле. Как известно, создать Единую теорию поля мечтал ещё Эйнштейн. Под ней он понимал объединение двух тогда известных полей - электромагнитного и гравитационного. Более 30 лет он потратил на разработку такой теории, но не добился успеха. Оба типа сил удалось объединить на базе 5-мерного пространства в модели Калуцы-Клейна в 1921-1926 гг. В настоящее время на базе многомерной обобщённой модели Калуцы-Клейна стараются построить теорию суперобъединения, включающую в себя все четыре известные силы. Известна также теория супергравитации, в которой ставится задача объединения элементарных частиц и гравитации.
Разрабатываемые теории не решают вопроса о происхождении внутренних и пространственно-временных свойств полей и частиц. Связано это с ограниченными знаниями о временных связях изучаемых объектов.
