CC BY
42
13. Джураев Т. Д., Сопуев А. Об одной пространственной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. - 1981. - Т. 17. -№: 1. - С. 50-57.
14. Моисеев Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37. - № 11. - С. 1565-1567.
15. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38. - №10. - С. 1412-1417.
16. Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного типа. - М.: Физматлит, 2014. -
301 с.
17. Уринов А. К., Нишонова Ш. Т. Задача с интегральными условиями для эллиптико-параболического уравнения // Мат. заметки. - 2017. - Т. 102. - № 1. - С. 81-95.
18. Рузиев М. Х. О краевой задаче для одного класса уравнений смешанного типа в неограниченной области // Мат. заметки. - 2012. - Т. 92. - №1. - С. 74-83.
19. Сопуев А., Джураев Дж. Т. Краевые задачи для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 6. - С. 10091015.
20. Юлдашев Т. К. Смешанное дифференциальное уравнение типа Буссинеска // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. - 2016. - № 2(33). - С. 13-26.
21. Юлдашев Т. К. Об одном смешанном дифференциальном уравнении четвертого порядка // Изв. ИМИ УдГУ. - 2016. - Т. 47. - № 1. - С. 119-128.
22. Юлдашев Т. К., Багрова А. В. Нелокальная задача для смешанного дифференциального уравнения четвертого порядка в трехмерной области // Журнал СВМО. - 2016. - Т. 18. - № 3. - С. 70-79.
23. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. - М.: МГУ, 1988. - 150 с.
24. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. - Ташкент: Фан, 1997. - 165 с.
25. Юлдашев Т. К. О разрешимости одной краевой задачи для дифференциального уравнения типа Буссинеска // Дифференц. уравнения. - 2018. - Т. 54. - №10. - С. 14111419.
26. Юлдашев Т. К. Об одной нелокальной краевой задаче для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. - 2018. - Т. 54. - № 12. - С. 1687-1694.
УДК 517. 956.6
Б01 10.24411/2409-3203-2018-11681
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ КУБИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ
Юлдашев Турсун Камалдинович
к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет науки и технологии Красноярск, Россия
Аннотация: Рассмотрены вопросы обобщенной разрешимости смешанной задачи для линейного интегро-дифференциального уравнения с псевдопараболическим
оператором кубической степени и вырожденным ядром. Использован метод Фурье, основанный на разделение переменных. Получена счетная система интегральных уравнений. Установлен критерий однозначной разрешимости поставленной задачи. При доказательстве однозначной разрешимости счетной системы применены: метод последовательных приближений и метод интегральных неравенств.
Ключевые слова: Смешанная задача, интегро-дифференциальное уравнение, уравнение высшего порядка, метод Фурье, обобщенная разрешимости.
MIXED PROBLEM FOR AN INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH PSEUDOPARABOLIC OPERATOR OF CUBIC DEGREE
Tursun K. Yuldashev
PhD, Associate professor of the Higher Mathematics Department, Siberian State University of Sciences and Technology Krasnoyarsk, Russia
Abstract: The problems of the generalized solvability of a mixed problem for a linear integro-differential equation with a pseudoparabolic operator of cubic degree and a degenerate kernel are considered. The Fourier method based on the separation of variables is used. A countable system of integral equations is obtained. The criterion for the unique solvability of the problem is established. In proving the unique solvability of a countable system the following methods were applied: the method of successive approximations and the method of integral inequalities.
Key words: Mixed problem, integro-differential equation, higher order equation, Fourier method, generalized solvability.
Задачи, с которыми сталкиваются в механике сплошных сред, часто оказываются начальными и краевыми. Смешанные задачи в теории упругости возникают при расчете различных деталей машин и элементов конструкций, находящихся во взаимодействии, при расчете фундаментов и оснований сооружений. Смешанными задачами также являются многие задачи концентрации напряжений в окрестности всевозможных трещин, инородных включений, подкрепляющих стрингеров и накладок [1]. Много смешанных задач и в гидродинамике. Это и нелинейные задачи теории крыла и глиссирования, теория струйных течений, теории качки корабля и удара тел о поверхность жидкости, фильтрации, теории взрыва, ряд задач гидроупругости.
В работах [2 , 3] изучены смешанные задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка параболического и гиперболического типов. В работах [4, 5] изучены смешанные задачи для нелинейных дифференциальных уравнений. Интегро-дифференциальные уравнения в частных производных при других условиях рассматривались в [6-12].
В прямоугольной области О рассматривается уравнение
1. Постановка задачи
с начальными
а1 -1
и (t,x),í=0 =Фi(x), —— U (t,x),í=0 =Фj (x), j = 2,3 (2)
а tj
и граничными условиями Бенара
а 2(6m-1)
U (t, x)| x=0 = Uxx (t, x) x=0 = •• • = ^ 2(6 m-1) U (t, x)| x=0 =
а 2(6m-1)
= U (t, x)\ x=/ = Uxx (t, x)| x=/ = ••• = ^ 2(6 m-1) U (t, x) x=/ = 0 (3)
где ф j (x) б С12m+1 (q i), Ф j (x)| x=0 = Ф" (x) x=0 =
= • • • = Ф f m-2) (x) x=0 = ф j (x)\ x= Ф" (x) x=/ = • • • = ф j12 m-2) (x) x=/ = 0 , j = Ü ,
k
K(t,s) = Xa¿ (t)bi (s), ai (t),bi (s) e С(QT), a (t) e С(QT),
i=1
Ц — действительный спектральный параметр, Q = Q t xQ i , Q t = [ 0, T ], Q / = [ 0, l ], 0<l <да,0<T <да , m — фиксированное натуральное число. Здесь предполагается, что
система функций a¿ (t), i = 1, k, и система функций bt (s), i = 1, k, являются линейно независимыми.
Воспользуемся методом ряда Фурье разделения переменных, основанным на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде
да
U (t, x) = Х иг (t) а i (x), (4)
i =1
¡2 .
где функции & i (x) = J — sin X ix определены как собственные функции спектральной ti 2
задачи У(x) + X2 а(x) = 0, а(0) = а(l) = 0, 0 <X и образуют полную систему
ортонормированных функций (x) в L2 (Q¡), а Лг = — — соответствующие
i=1 l
собственные значения.
Определение. Функция U (t, x) eW23 (Q) называется обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3), если она удовлетворяет интегральному тождеству
T l
№u (t, y)
0 0
^3 Q 4 m+3 q 8 m+3
— Ф + 3—.-+ 3—.-Ф +
а t3 а t3 а y4 m а t3 а y8 m
а 12 m+3 а 4 m+2 ^8 m+2
+--Ф + 3 -Ф + 6-Ф +
а t3 а y12 m а t2 а y4 m а t2 а y8 m
q 12 m+2 q 8 m+1 ^12 m+1 ^12 m
+ 3 —o-^Ф + 3-^Ф + 3-^Ф+—^Ф
а t2 а y12 m а t а y8 m а t а y12 m а y12 m
F ф!> dydt =
í Ф 1( y)
^2 m+2 ^8 m+2
Ф + 3 —--— Ф + 3---— Ф +
а t2 а t2 а y4 m а t2 а y8 m
^12 m+2 ^4 m+1 ^8 m+1
+--Ф + 3 -Ф + 6-Ф +
а t2 а y12 m а t а y4 m а t а y8 m
+ 3
а
12 т+1
n8 т
\ 12 т
а г а у
12т
Ф + 3
ау
8т
Ф+3
ау
12т
Ф
dy -
|ф 2 (У)
+ -
а
0
12 т+1
а ^ . а
—Ф + 3
а г
4 т+1
а г а у
4т
Ф + 3
а
г=0
8 т+1
а г а у
8т
ф+
а г а у
12т
Ф + 3
а
4 т
ау
4т
Ф + 6
а
8т
12т
ау
8т
Ф + 3
ау
12т
Ф
d у +
г=0
+
|ф 3( у)
1 4 т
Ф + 3
а у
4т
Ф + 3
а
8т
112 т
ау
8т
Ф + -
ау
12т
Ф
dy
г=0
для любой функции Ф (г, х) е С 3'12т (о), подчиненной следующим условиям
ф (г, ху х=0 =ф хх (г, х^ х=0 =... =
а 2(6т-1)
а х2(6 т-1)
Ф (г,х)| х=0 =
а 2(6т-1)
= Ф (г, х^ х=1 =Ф хх (г, х) х=/ =... = ^ 2(6 т-1) Ф (г, х) х=/ =
/
,• г^, л 7 ,• г аФ (г, у) , / а2 Ф (г, у), л 11Ш Г Ф(г,у)dy = 11Ш Г-^^dy = 11Ш Г-dy =0,
г^Т^ г ^Т^ а г г^Т^ а г2
где
^ Ф =
к (г, 5) и (5, х) ds +а (г) и (г, х)
Ф (г, х).
2. Счетная система интегральных уравнений
В интегральном тождестве учтем разложение (4). Тогда, в силу того, что
Ф (г, х) = И (г) 9, (х) е С 3'12 т (О) и функции $ , (х) образуют полную систему ортонормированных функций в (Ог ), из определения обобщенного решения смешанной задачи (1)-(3) следует, что
т г
Г И (г) [< (г) + 3 Х4 т< (г) + 3 Х8 т< (г) + Х12 ти'Г (г) + 3 Х4 т< (г) +
+ 6х8т< (г) + 3 хг(г) + 3 Х8ти (г) + 3 Х^ти\ (г)+и, (г) -т '
■ц|к(г,5)и1 (5)ds-а(г)и1 (г) dг = 0.
12 т
8 т ,
12т
(5)
Так как и, (г) имеют обобщенные производные третьего порядка по г в смысле Соболева на отрезке о Т и И (г) ^ 0 для всех г еО Т, то из (5) следует
< (г) + 3 Х4 (г) + 3 Х8т< (г) + Х^2 (г) + 3 х4 (г) + + 6Х8ти\ (г) + 3Х12т и] (г) + 3Х8т и\ (г)+3Х1,2т и\ (г) + и,(г) =
Т
= ц | к (г, 5) и (5) ds + а (г) и (г). (6)
0
С учетом вырожденности ядра уравнение (6) перепишем в следующем виде
0
0
0
0
(l + Х4гm ) — + Х4гm V 1 ' dt 1
T k
и. (г) = 1.[Еа7 (г) Ъ7 и. ds + а(г)и. (г)• (7)
0 7=1
Решая счетную систему (7) методом вариации произвольных постоянных, с помощью обозначения
т
с^ =| Ъ] (8) иг (8) ds (8)
из (7) получаем
ui (t) = (Cu + С2 it + C3it2 )exp {- e lit}+
+
iZ aj(s) cji+a (s) ui(s)
j=1
P(t,s)ds , t eQr,
(9)
где
р.(г,8) = .ехр{-е(г-8)},0<е 1 < 1, е3ог =(1+А4;)3.
е о. е о I
Для определения коэффициентов С (7 = 1,п) в (9) воспользуемся условиями
и(0) = ф 1., и\ (0) = ф2., и'; (0) = ф 3. •
Тогда из (9) получаем следующую счетную систему линейных интегральных уравнений (ССЛИУ)
к * г
(10)
(t) = w, (t) + cji j Pi (t, s) aj (s ) ds +j Pi (t, s) a (s) ui (s) ds, j=i 0 0
где w(t) = Z ф
t
k-1 3
¿=1 (к -1)! рк 1 (7 - к)! Подстановка выражения (10) в (8) дает систему из счетных систем алгебраических уравнений (СССАУ)
Ze j
j-k
t
j-k
• exp {-e ilt}
где
k —
Cj + Aj Л iC л! = БЛ , j = 1'k Л=1
Aj л= -j bj (s) j Pi (s, Q) a л (Q ) d Q ds,
(11)
Bjt (ui) = j bj (s)
w (s) + jP, (s,Q)a(Q)u, (Q)dQ
ds, j = 1, k
(12)
СССАУ (11) однозначно разрешима при любых конечных Bj., если выполняется следующее условие
1 + 1 A11i I A |A21i 1 + |A22! . . . IA2ki
A i (I) =
* 0.
(13)
1 Ак 1. 1 Ак 2. • • • 1 + 1 Акк. Определители А. (1) в (13) есть многочлены относительно |1 степени не выше к • Каждая из счетной системы уравнений А. (1) = 0 имеет не более к различных корней. Эти
3
0
t
0
0
0
0
0
корни являются собственными числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1). Через Л обозначим множество корней счетной системы алгебраических уравнений А, (ц) = 0. Ясно, что это множество имеет счетное число элементов. При других значениях це(-да;да)\Л условие (13) выполняется. Следовательно, для таких значений Ц система (11) имеет единственное решение при любой конечной правой части. Тогда решения СССАУ (11) записываются в виде
сл =
aj (ц, ui) a i (ц)
, j = 1, k ,
где A ц (Ц, ui) =
1+ цaw ... ц^i(j_i)i вЦ (ui) ц\j+i)i ... цaiki цa21i ... цa2(j_1)i b2i (ui ) цa2(j+1)i ... цa2ki
ЦAkli ... ЦAk(j_i)i Bki (ui) ЦAk(j+1)i ... 1+ ЦA
kki
(14)
(15)
] = 1, к.
Среди элементов определителей А ji (ц, и,) находятся Б]1. В свою очередь, в
составе находятся неизвестные функции и, (г). Подставляя (14) в (10), имеем
следующую ССЛИУ
u,
к A (Ц , u.) (t) = 3 (t;ut) - Wi (t) + Ц£ Gjt (t) +
j=1 A i (Ц) t
+ J P (t, s) a (s) ut (s) d s,
(16)
где (г) = | Р, (г, 5) ау (5) ds.
0
3. Однозначная разрешимость ССЛИУ (16) Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: 1). Числовые последовательности , j = Г^й, такие, что
W
(t )||
В 2(T) ' 1
= у 1 <да;
2). Спектральный параметр Ц такой что
1
A (Ц)
= Ро <да; Aj(ц,У 1)
< да;
3). Р = У 2 у з
где
1 + Р о У 2 МЁР 2 j| |A j (ц)
j=1
В 2 (T)
< 1,
у 2 = m
Ё^г <да,о<M = const < да, у з = max J| a (s) |d
• ' " teQ t
i=1 0 0 i
s < да,
Р 2j = max J a j (s) |ds < да , В j = J b j (s)ds, j = 1, k,
о
i
2
i
2
да
0
0
0
Aj i (|) =
1 + | a11i ... 1 a1( j-1) i B1 1 a1(j+1) i ... 1 a1ki 1 a21i ... 1a 2( j-1) i B 2 1a 2( j+1) i ... 1a2 ki
1 Ак 1г ••• 1 Ак (7-1) I Вк 1 Ак (7+1) I ••• 1 + 1 АккI
Тогда ССЛИУ (16) имеет единственное решение в пространстве В 2 (Т) •
Доказательство. Применяем метод сжимающих отображений. При этом последовательные приближения определим следующим образом:
u0(t) = Wj (t), t eQr ,
и ;+1(г) = 3 (г; и ; ), т = 0,1,2,3,_, г еОГ • В силу первого условия теоремы, из (17) видно, что справедлива оценка
u 0(t)
hi W (t )|| b
= y 1.
(17)
(18)
В 2(Т) " ^ 'ЛВ 2 (Т)
Для оценки по норме первой разности из (17) с помощью неравенства Коши Буняковского получаем оценку
u 1(t) -u 0(t)
B 2 (T)
ФИ
j=1
A, (|, w (t))
+
Y J P (t, s)|| в
A (|)
t
ja (s) d
B 2 (T)
\Gi (t)|| +
j B (T )
1В 2 (т)
В силу постановки задачи и условий теоремы, справедливы оценки
|| Р (г, 5)||„ ,< М
B 2 (T) t
\
да |
z = y 2 <да> 0 < w = comt <да, i=1 e 0 i
ja (s) ds
0
< max f|a(s) |ds = y3 < да,
teQ -
A j (|, w (t))
A (|)
<
B 2 (T)
A j (|, Y1)
<
Gj (t)
A (|)
<1P (t, s)||
A t (|, Y1)
A (|)
= P 1j <да,
b 2 (t)
b 2 (t)
j a j (s) ds
<
<Y 2 max j a, (s) ds = y 2 P 2 ; <да.
teQ t ¿' 71 7
Подставляя эти оценки в (19), получим
u 1(t) - u 0(t) <
B 2 (T )
Y 2
||ZP 1j P2j +Y1Y3 j=1
u 2(t) - u 1(t^_<p 0 Y 2I P 2 j Aj (|, u1)-Aj (|, u 0)
j=1
B 2 (T)
B 2 (T)
+
+ y 2 y 3
u 1(t) -u 0(t)
B 2 (T)
(19)
(20)
С учетом предыдущих оценок по норме для второй разности получим оценку
(21)
0
с
1
2
2
0
с
Для разности Аji (ц,и1)-Аи (ц,и0) из (15) с учетом (12) справедлива оценка по
норме
где
А (ц,и1)-А . (ц,и0)
В 2 (Т)
<у 2 у 3
и 1( г) - и (г)
В 2 (Т )
Аjl (ц) =
1 + ц Ли ц а211
цАю-1)1 в1 цА ц А 2( 1 -1)' В 2 ц А
1( 1+1)' 2( 1 +1)'
|А 1 (ц) II
ц а1к'
ц а2 к'
В 2 (Т )
(22)
ц Ак 11
В} = { Ъ} (5) ds, 1 = 1, к.
цА
к (1 -1)' В к
Вк цА
к (1+1)'
1 + ц А
кк1
Подстановка (22) в (21) и учет (20) при этом дает
и 2(г) - и 1(г)
<
РУ 2
В 2 (Т )
к
<р
и 1( г) - и 0(г)
<
В 2 (Т )
|ц|УР 11Р 21 +у 1 у
1=1
< да,
(23)
где Р = У 2 У 3
1+ Р0У2 |ц|ЁР21 А1 (ц)
1=1
В 2 (Т )
Теперь для произвольного натурального числа Т, подобно (23) получаем
и х+1( г) - иТ (г)
В 2 (Т )
<Р
их (г) - и х_1(г)
В 2 (Т)
(24)
В силу последнего условия теоремы, из оценки (24) следует, что оператор в правой части (16) является сжимающим. Из оценок (18), (20), (23) и (24) заключаем, что для оператора в правой части (16) существует единственная неподвижная точка.
Следовательно, в пространстве В 2(Т ) ССЛИУ (16) имеет единственное решение и (г) е В2(Т).
4. Сходимость ряда Фурье
Подстановка ^ЛИУ (16) в ряд Фурье (4) дает формальное решение смешанной задачи (1)-(3)
и (г, х) = у
' =1
* А п (ц, и') wi (г) + цУ (г) +
'() цу1 А, (ц) 11 ()
+
г
Г Р (г, 5) а (5) щ (5) ds
$ I (х)
(25)
Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Если и (г) е В 2(Т) является
единственным решением ССЛИУ (16), то (25) будет обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3).
Доказательство. Рассмотрим последовательность функционалов:
т /
Ум = т иИ (г, у)
0 0
а г
Ф+3
а
4 т+3
а г3 а у4 т
Ф + 3
а
8 т+3
а г3 а у8 т
ф+
0
3
0
112 т+3
+ 3
+
а
а г3 а у12 т
Ф + 3
а
4 т+2
а г2 а у4 т
ф+6
а
8 т+2
а г2 а у8 т
ф+
12 т+2
, 2 я ..12т
Ф + 3
а
8 т+1
а г а у
8т
Ф + 3
а
12 т +1
а г2 а у
Т
ц Г к (г, з)ии (5, у) ds+а (г)ии (г, у)
Ф+
а
12т
Ф
а г а у12т а у12т ФI dydг -
|ф N (у)
а -
а г ■
Ф + 3
а
4 т+2
а г2 а у4 т
Ф + 3
а
8 т+2
а г2 а у8 т
ф+
512 т+2
+ -
2 а,.12т
а г2 а у
Ф + 3
а
4 т+1
аг а у
4т
Ф + 6
а
8 т+1
аг а у
8т
Ф +
+3
а
12 т +1
8т
12т
а г а у
12т
Ф+3
ау
8т
Ф+3
ау
12т
Ф
dy +
г=0
+
|ф N ( у)
+-
а
0
12 т+1
агау
/
12т
Ф + 3
а ^ . а
—Ф + 3 —
а г
а4
4 т+1
ау
4т
Ф + 6
агау
а8
4т
Ф + 3
а
8 т+1
аг а у
8т
Ф +
12т
ау
8 т
Ф + 3
ау
12т
/ф N ( у)
Ф + 3
а
4 т
ау4т а уьт ау
Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (26) и учитывая условия теоремы и начальные условия
и, (0) = ф 1', и\ (0) = ф2' , и' (0) = ф3',
получаем:
Ф + 3
а
8 т
.8 т
Ф +
а
12 т
. 12 т
Ф
Ф
d у -
г=0
dy.
г=0
(26)
N
= /1 ф 1(у)-Уф 11 $'(у)
0 V '
а
1=1 12т+2
а2
а г ■
Ф + 3
а
4 т+2
а г2 а у4 т
Ф + 3
а
8 т+2
а г2 а у8 т
ф+
+
а г2 а у12 т
Ф + 3
а
4 т +1
аг а у
4т
ф+6
а
8 т +1
+3
а
12 т +1
8т
аг а у
12т
Ф+3
ау
8т
Ф+3
а
аг а у
12 т
Ф
8т
Ф +
12т
/ Г N
-|1 ф 2 (у)-уф 2' $ ' (у)
2
0 V '=1
\ 12 т+1
а л . а
—Ф+3
а г
ау
4 т+1
dy -
г=0
5 8 т+1
ага у
4т
Ф + 3
аг а у
8т
Ф+
+-
а1
а г а у
N
12т
Ф + 3
а
4 т
ау
\
4т
Ф + 6
а
8 т
12т
ау
8т
Ф + 3
ау
12т
Ф
d у +
+ П ф 3(у)-Уф 31 $I(у)
0 V '=1
i=1
Т /
Ф + 3
а
4 т
ау
4т
Ф + 3
а
8 т
а у8т а у
Ф +
а
г=0
12 т
12 т
Ф
dy +
г=0
Т
+ И Ф (г, у) Ык (г, 5)и (5, у) ds + а (г) и (г, у)
0 0 1 0
0
0
N
"I
i=1
T
(y)dydt. (27)
^jK(t,s)Un (s,У) ds + a (t~)Un(t,y)
_ о _
Очевидно, что интегралы в (27) стремятся к нулю при N ^да, так как Ф 7 (x )е L 2 (Q 7), j = 1,3, и U (t, x)e L 2(Q). Отсюда ясно, что lim VN = 0. Это и
j N ^-да
доказывает теорему.
Список литературы:
1. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. - М.: Наука, 1986. - 336 с.
2. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // УМН. - 1960. - Т. 15. - № 2. - С. 97-154.
3. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. - М.: МГУ, 1992. - 111 с.
4. Вагабов А. И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т. 32. - № 1. - С. 90-100.
5. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при параболическом операторе // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. - 2011. - Т. 51. - № 9. - С. 1703-1711.
6. Аширбаева А. Ж. Применение метода дополнительного аргумента к нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям гиперболического типа высшего порядка // Исследов. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2004. - Вып. 33. - С. 8387.
7. Булатов М. В., Чистякова Е. В. Об одном семействе вырожденных интегро-дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2011. - Т. 51. -№ 9. - С. 1665-1673.
8. Зарипов С. К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной точкой в ядре // Вестник ТомГУ. Математика и механика. -2017. - №46. - С. 24-36.
9. Зарипов С. К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре // Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 21. - №2. -С.236-248.
10. Иманалиев М. И., Алексеенко С. Н. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Доклады РАН. -1992. - Том 325. - № 6. - С. 1111-1115.
11. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. - 2012. - Т. 52. - №1. - С. 112-123.
12. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. - 2017. - Т. 53. - №1. - С. 101-110.
♦
