РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ТРЕТЬЕГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517.968.22

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 103

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ТРЕТЬЕГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Каракеев Таалайбек Тултемирович, д.ф.-м.н., профессор,

ttkarakeev@gmail. com Эсенаманова Гулжан Кубановна, ст. преподаватель,

gggg gggg [email protected] Кыргызский Национальный Университет им. Ж.Баласагына

Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация. В работе исследованы вопросы регуляризации нелинейных двумерных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода в пространстве непрерывных функций. Обоснован метод регуляризации лаврентьевского типа, доказана сходимость регуляризованного решения к точному решению по равномерной метрике и единственность решения уравнения в пространстве непрерывных функций.

Ключевые слова: регуляризация, уравнение Вольтерра, равномерная сходимость, малый параметр.

эки кез карандысыз eзгeРYлмeлYY Y4YH4Y тYРдeгY

ВОЛЬТЕРРАНЫН СЫЗЫКТУУ ЭМЕС ИНТЕГРАЛДЫК ТЕЦДЕМЕЛЕРИН

РЕГУЛЯРДОО

Каракеев Таалайбек Тултемирович, ф.-м.и.д., профессор,

ttkarakeev@gmail. com Эсенаманова Гулжан Кубановна, ага окутуучу, gggg gggg [email protected]

Ж.Баласагын атындагы Кыргызулуттукуниверситети

Бишкек, Кыргыз Республикасы

Аннотация. Макалада эки квз карандысыз взгврYлмвЛYY YЧYнчY тYрдвгY Вольтерранын сызыктуу эмес интегралдык тецдемелерин YзгYлтYксYз функциялар мейкиндигинде регулярдоо маселеси изилденет. Лаврентьевдик типтеги метод негизделген, регулярдалган чыгарылыштын так чыгарылышка бир калыпта жыйналуусу жана тецдеменин чыгарылышынын YзгYлтYксYз функциялар мейкиндигинде жалгыздыгы далилденген.

Ачкыч свздвр: регулярдоо, Вольтерранын тецдемелери, бир калыпта жыйналуу, кичи параметр.

REGULARIZATION OF NONLINEAR VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS THE THIRD KIND WITH TWO INDEPENDENT VARIABLES

Karakeev Тааlаibек Ти^емигоуи^, Dr Sc, professor,

[email protected] Esenаmаnоvа Gujn Кubаnоvnа, teacher, gggg gggg [email protected] Kyrgyz National University J. Balasagyn Bishkek, Kyrgyz Republic

Abstract. In this work, questions of regularization of nonlinear two-dimensional Volterra integral equations of the third kind in the space of continuous functions are studied. The method of regularization of the Lavrentiev type is substantiated, the convergence of the regularized solution to the exact solution with respect to the uniform metric and the uniqueness of the solution of the equation in the space of continuous functions are proved.

Key words: regularization, Volterra equation, uniform convergence, small parameter.

В работах [1-3, 10] исследованы вопросы регуляризируемости интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. В [1,5-8] одним из существенных условий для построения регуляризированных уравнений, которые обладают свойством вольтерровости и относятся к методам лаврентьевского типа [9, C.49] является свойство монотонности известной функциир(х) при искомой функции вне интеграла. Целью данного исследования является изучение возможности распространение метода регуляризации лаврентьевского типа на случай интегральных уравнений Вольтерра третьего рода с двумя независимыми

переменными и оператором умножения на непрерывную функцию р(х, у), которая является неубывающей либо невозрастающей по х функцией при всех у из заданного отрезка. Рассмотрим линейное интегральное уравнение Вольтерра третьего рода

p (х, y) u (х, y) +j^ (x, y, s ) u (s, y) ds + jjQ0 (x, У, s,t,u (s,t)) dzds = g (х, y ), (1)

0 0 0

где известные функции p(x, у), K(x, у, s), Q0(х, у, s, т, и), д(х, у) подчиняются условиям: K(x,y,s) G C(D0),K(x,y,x) >0,D0 = {(x,y,s)/0 < s < x <b,0 < у < с}; G(x,y) > d1> 0, G(x,y) = C0p(x,y) + K(x,y,x), 0 < d1,C0 = const; Q0(x, y, s, т. u) G C(D1 x R), D1 = {(x, y,s,r)/ 0 < s < x < b, 0 <т <y <c}, Q0(x,y,x,T,u) = 0,д(х,у), p(x,y) G C(D),D = [0,b] x [0,c].

Пусть I-тождественный оператор, J- оператор Волтерра: Jv = f* v(s,y)ds. Действуя оператором I + C0J на уравнение (1) получим уравнение вида

х

p (х, y) u (х, y) +jG (s, y) u (s, y) ds =

0

х х y

= jL (х, y, s) u (s, y) ds + jjQ (х, y, s,t, u ( s,t)) dTds + f (х, y),

0 0 0

где

L(x,y, s) = K(s,y,s) - K(x,y, s) - Co f*K(v,y, s)dv,

(2)

д(х,у,5,т,и(5,т)) = -до(х,у,5,т) - Со ¡*Qo(v,y,s,т,u(s,т))dv, !(х,у) = д(х,у) + Cоf*g(s,y)ds.

Рассмотрим уравнение с малым параметром е из интервала (0,1)

X X

(е + р (х, у)) иЕ (х, у) + ¡О (у) иЕ (у) ds = |Ь (х, у, 5)иЕ (у) ds +

0 0

ху

+¡¡2 (х, у, 5,г, ие (5, г)) dтds + еи (0, у) + / (х, у ).

0 0

Воспользуемся резольвентой

(3)

i сх /_ г

£ + р(х,у)6Х^ ( J S + p(v,y)

G(v,y)dv

G(s,y)

ядра G(s,y)/(e + p(x,y))) и, уравнение (3) приведем к следующему эквивалентному виду

i \ 1 } Г }G(v,у)dv^ G(s,у) \\

u(х,y) = -,Wv Jexpl-L+^ 77777^1 jL (syv)x

£ + p (x, y )j ^ js + p (v, y )Js+ p (s y)

х S У

(v, y) dv - jL (х, y, v)ue (v, y) dv + jjQ (s, y, v, t, us (v, t))dTdv

uE (v, y)dv-jL (х, y, v)uE (v, y)dv + jjQ (s, y, v, t, u

0 0 0 хУ ] 1

jjQ (х, У, v, t, us (v, t))dTdv + f (s, y) - f (х, y) Lds +---- x

0 0 J s+p (х,y)

f х G(v y)dv^ iх ху

exp| -jg vy) ^ (х,У,s^ue(s,y^ds + jjQ^х,у^,t,ue(s,t))dTds + f (хУ)

>•'// I 0 00

Лемма 1. Пусть для всех 0 < б < х < Ь, 0 < т < у < с функция р(х,у) неотрицательна и удовлетворяет неравенству

х х У

0 0 0 где с1, с2, с3 - постоянные, с1 > 0,с2 > 0, с3 > 0. Тогда

р(х,у) < С1ехр(х(С2 + с3у)).

Пусть выполняются следующие условия

д) д(0,у) = р(0,у) = 0, р(х,у) >0, Vx Е (0,Ь]^у е [0, с], р(х,у) -неубывающая по х функция в области Б;

ж) М1 = СоЬк+ЬК1, Ьк = Ыр(К(х,у,5)\х), 1К1 = Ыр(Кх(х,у,5)\х), \Qoix, и) -до(Х,5,Ш) -до(У,5,и) +^о(У,5,^)\ <Ьд(Х-у)\и-ш\.

Для оператора (НЕи)(х,у), заданного в виде ^ Г ХГ О (V, у) л

( НЕп )( х, y ) =---- expl -f- ] \ dv [ и ( 0, y )- и ( х, y )]-

£ + p (х, y) ^ J £ + p (v, y) J[ /]

--£—чJexpi-f G(v]y\dv 1 G(s,ty\Гu(sy)-u(x,y)]ds,

£ + p (x, y) 0 \ S £ + p (v, y) )£ + P (s, y)L /]

(5)

имеет место [ 1]

Лемма 2. При выполнении условий а) - д) для и(х,у) Е C(D) имеет место оценка Ц(НЕи)(х,у)Цс(с) < 4(d1e)-1e1-P\\u(x,y)\\c{D)+ ши(еР),

где Мер) = тахЦ ши(е^) = sup lu(x,y) — u(s,y)l, 0 < 0 < 1.

D lx-sl<eP

уЕ[0,с]

Теорема 1. Пусть выполняются условия а) - ж), и уравнение (1) имеет решение и(х,у) Е C(D). Тогда при £ ^ 0 решение уравнения (3) равномерно сходится к решению уравнения (2). При этом имеет место оценка

\\иЕ(х,у) — u(x,y)\\c{D) < М2 (4(d1e)-i£i-P\\u(x,y)\\c{D) + ши(£Р)),

М2 = exp(bM0(1 + с)),М0 = (М1 + LQ)d-1(2 + е-1).

Доказательство. Положим цЕ(х,у) = иЕ(х,у) — и(х,у), где и(х,у) - решение уравнения (1). Тогда из (5) получим следующее уравнение

( \ 1 Г Г J G(v,y) , 1 G(s,y) \\

VE(J, y ) =--T-d exP l —J-\ чdv -\ 4lJL (s y, v)x

£ + p(x,y)I ^ ] t + p(v ,y) > + p(s,y)[0

Г (v, y ) dv-JL ( x, y,v)re(v, y ) dv + JJQ (s, y, v, r, re (v, r )) d rdv -

0 0 0 xy Л

- JJQ (x, y, v, r, re (v, r)) drdv + £ (u (s, y) - и (x, y )) I ds +

1 Г }G(v,y)dv\\xr , ч / 4

+-T-гexp\ -J / ч hJL(x,У,s)re(s,у)ds +

£ + p (x, y) ^ 0 £ + p (v, y)J[J v

+ JJQ (x, У, s, r, rE (s, r)) drds + £ [u (0, y) - и (x, y)] I.

0 0 J

Так как p(x,y) неубывающая по x в области D, то при v < х

1 1

<-=--,(х,у)ЕБ.

£ + р(х,у) £+р(у,у) Тогда используя условие в(х,у) > й1, (х,у) Е Б, для функции

получим

X Iх

л 1 Г ( С (у, у) \ С(з,у) ,

ВЕ(х,у) =---- I ехр\ - I ----ау I----(х-5)а$

Е + р(х,у)] \ ]£+р(У,у) ¡Е + р(8,у)

в(5,у) Г в(У,у)

йу I-;-г I -;-г йу йз =

' \ } £ + р(У,у)

0

-1 Г / Г °(у,у)

1Ве(х,у)1 <й-1 I ехр

шг л { °(у,у) ^е(Х,у,5) = I

*,У) 3

£ + р(у, у) £ + р(5, у) 7 £ +р(у, у)

Щ(х,у,0)

= й-1 I е Ррйр<й11\е Ррйр = й-1. 0

Так как то в силу ж) имеем

£ + р(у,у)

1Ь(х,у,у) - Ь(Б,у,у)1 < М2(х - б),

х

— I

0(Х,у)7

ехр

0

х

Х С0/,у) ¿У 1 С(3,у) [[¿С; у)х

£+р(У,у) ¡£ + р(5,у)Ц ' '

Б У

£ + р(х,у)

X Ц£(у,у)йу - I 1(х,у,у)г]е(у,у)йу + I I Q(s,y,v,т, 1£(у,т)) йтйу

00

х у

I I (^(х, у, У,Т,1£ (у, т) ) йтйу

00

йз

< 2(М2 + Ьд)1Ве(х,у)1\ I 17]е(у,у)1йу +

х У

+

//м^лл-

00

1

£ + р(х,у)

ехр

в (у, у)йу £ + р(у,у)

1(х,у,5)^е (5, у) йз +

X У \ X

+ 11 Q(x,y,s,т,tfs(s,т))йтйs • < (М2 + 1о) ^ ---1 в(у,у)йу X

0 0 0 X \ , X X У

'о / ^0 0 0

<

х У

< (М2 + Ьд)й- 1е 1 {111£(у,у)Ыр + 1111е(у,т)I йтйу ^0 о, о

_1 1 I Г С(у,у)йу\

, р = 7Тр0с,у)ехр\-¡ТГрО^у)!'

В силу полученных оценок из (6) имеем

X

0

0

>

> •

х х У

+ \\(Heu)(x,y)\\ciD>

1Ле(х,у)1 <Mo\jl^e(y,y')ldv + J Ji^£(v,t)I drdv ^0 0 0

где Mo = (M2 + LQ)d^1(2 + e-1).

Отсюда, используя Лемму 2 получим оценку

IVe(x,y)l < exp(xMo(l + y))\\(HEu)(x,y)\\C(D).

Следовательно, переходя к норме в C(D) и используя оценку Леммы 2, при £ ^ 0, получим, что регуляризованное решение иЕ(х,у) ^ и(х,у) равномерно. Теорема 1 доказана.

Следствие 1. При выполнении условий теоремы 1 решение уравнения (1) единственно в C(D).

Предположим, что

е) р(Ь,у) = 0, р(х,у) >0, Ух Е [0,b),Vy Е [0, с], р(х,у) - невозрастающая по х функция в области D.

Лемма 3. При выполнении условий а)-г), е) для функций и(х,т) Е C(D), имеет место оценка

\\(HEv)(x,y)\\c < d2(ep~1(0) + (die2e)-1e1-ß)\\u(x,y)\\c{Do) + d3Mv(e?), где d2=4 + 2M0 d3 = l + в-1, в2 = l - в1,0 < в1 < l, = sup lu(x,y) -u(t,y)l 1/2< ß < l.

Ix-tl<eß

Теорема 2. Пусть выполняются условия а)-г), ж-е) и уравнение (1) имеет решение и(х,т) Е C(D). Тогда решение уравнения (3) равномерно сходится к решению уравнения (1) при е ^ 0 и имеет место оценка

\\Щ(*,У) - и(х,у)\\сф) < < С2 (d2(p-1(0,y)£ + (die2e)-1£1-P)\\u(x,y)\\c{Do) + d3vu(£p)),

где d2, d3, ши(£@) - определяются также как в лемме 1, 0 < С2 = const.

Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 решение уравнения (1) единственно в C(D).

Литература

1. Асанов А. Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода^кст] / А.Асанов, Г.Ободоева //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям - Фрунзе: Илим, 1994. - Вып.25. - С.65-74.

2. Бухгейм А.Л. Уравнение Вольтерра и обратные задачи [Текст] / А.Л.Бухгейм. Новосибирск: Наука, 1983. - 207 с.

3. Булатов М.В. Регуляризация вырожденных систем интегральных уравнений Вольтерра [Текст] / М.В. Булатов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2002. - Т. 42, № 3. - С. 330-335.

4. Янно Я. Регуляризация одного уравнения Вольтерра I рода равносильного уравнению III рода[Текст] / Я.Янно //Учен. зап. Тартуск. гос. ун-та, 1987. - Вып.762. - С.16-30.

5. Глушак А.В. Численное решение линейной обратной задачи для уравнения Эйлера-Дарбу[Текст] / А.В.Глушак, Т.Т.Каракеев // ЖВМиМФ. - 2006. - Т.46.-№ 5. - С. 848-857.

6. Каракеев Т.Т. Регуляризация нелокальной граничной задачи для псевдопараболических уравнений [Текст] / Т.Т.Каракеев //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. -Бишкек: Илим, 2003. - Вып.32. - С.179-183.

7. Омуров Т.Д. Регуляризация и численные методы решения обратных и нелокальных краевых задач[Текст] / Т.Д.Омуров, Т.Т.Каракеев. Бишкек: Илим, 2006. - 164 с.

8. Karakeev T.T. Regularization of Systems of Volterra Linear Integral Equations of the Third Kind [Te^^ / T.T.Karakeev // Lobachevskii J. of Mathematics, 2020, 41 (9), P.1816-1821.

9. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач [Текст] / А.Н.Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука, 1986.- 287 с.

10. J.Cerha. A note on Volterra integral equations with degenerate kernel [Text] / J.Cerha// Comment, math. Univ. carol., 1972, 13, № 4, P.659-672