Рефракция ударной волны на поверхности океана Текст научной статьи по специальности «Физика»

Показатели степеней в выражении для ) примут вид 2

поо =

2 + v - ш

nn = (-8v + 4v2 + 4ш + 8vy - 4y + v2y2 - 3v2y - 2yvw -

- 2vw - 4y2w + y2ш2 + yw2 + 4y2) / ((2 + vga - v) (2 + v - w) (2 - 2y + yw - v)) ,

y -1

пзз = —z—.-,

2 - 2y + yw - v

moo = s,

шц = -1 ((-2v + vys - 2sv + 2ш + sw) (8vy - 4y - 8v + 2

+ 4y2 + 4v2 - 3v2y + z^2y2 - 2yvw + 4w - 2vw -

- 4y2w + y2w2 + yw^) / ((2 + vy - v) (2 - 2y + yw - v) (-2v + ш + vy)) ,

Yw - 2v + ш

Ш22 =

шзз =

-2v + w + vy '

1 vys + 2ys - ysw - sv - 2s + sw + 2w - 2v

2 2 - 2y + yw - v '

Представленное автомодельное решение является обобщением известных результатов. В частности, Н.С. Мельникова изучала случай с V = 3, в = 0 (см. [1, 2]). Альтернативная физическая интерпретация этого решения предложена в статье [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. 5-е изд. М,: Наука, 1965. 386 е.

2. Коробейников В.П., Мельникова Н.С., Рязанов Е.В. Теория точечного взрыва. М.: Наука, 1961. 332 е.

3. Чернов И. А. Трактовка решения Седова как серии промежуточных асимптотик в течении от сильного взрыва // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 18, № 4. 2010. С. 33-43.

УДК 517.984

Г.П. Шиндяпин, A.A. Матутин

РЕФРАКЦИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА

Задачи рефракции ударных волн (УВ) на поверхности океана вызывают неизменный теоретический интерес исследователей [1-4] и представляют практический интерес для многочисленных приложений.

В статье объясняются механизмы гашения возмущений, свойственных многим природным явлениям типа цунами и др.

1. При падении У В AM, BN (рис. 1, 2) относительной интенсивности

_2

P10 = (pi — p0)/B-, B- = p—c- под углом а к вертикали на свободную

поверхность OA, разделяющую различные среды (ГАЗ/ГЖС): воздух

+ —

и воду с газосодержащими y +, y , возникают различные режимы рефракции У В. Режим slow-fast при падении У В сверху с картиной течения (рис. 1, а) (интерферограммой [1]) и схемой течения при регулярной рефракции RR [3] (рис. 1, б) представлен на рис. 1, а режим fast-slow при падении У В снизу с картиной течения (рис. 2, а) (интерферограммой [2]) и схемой течения при нерегулярной рефракции NR

Асимптотический анализ (теория коротких волн [3-5]) при относительно малой интенсивности падающей УВ (г << 1, s = Lo(7)si0 = = R0 (y)P10, s10 = (pi — p0)/po), характерной для рассматриваемых случаев (снизу - ГЖС пузырькового типа), приводят [5] к установлению двух инвариантов. Условия совместности течений на свободной поверхности (в верхней и нижней областях) в точке A (п+ = = П— = 0, У a/t = c0па, x—/t = c0£—) приводят к I инварианту

c+£A = c—. (1)

Условия на свободной поверхности

О А (£ = С (п)) в точке А (для

+ —

давлении и скоростей р+ = р , и+ = и- = ип) приводит [5] к записи (п ± = 0, Со а = — 1/^) (V с± пА )/(и 0-с± СА) = 1/СЬ а .

Для относительно слабых УВ (при

Р10 << 1, \и±| << А)

это приводит ко II рефракции

V+ = V—.

<<

инварианту

(2)

Рис. 2 б

Инварианты I, II имеют место для

всех режимов рефракции (регулярной ДД; нерегулярной ЖД; регулярной с УВ, замыкающей волну

разрежения ДДW).

Анализ задач рефракции УВ в переменных теории коротких волн

(для областей больших градиентов параметров [3

£ = 1 + ёХ, п = ё1 Y; R/cot = 1 + ё£, 0 = ё1 Y; J = X + 1 Y2,

2

u = Piou(1), v = POR1 v(1); - = f/Ro, - = ёv/Ro, (3)

3 ' u = ё''/Ro, — ^

Со Со

(p - po)/Bo = P10P(1); (p - Po)po = PioH(1) приводит к построению решений для системы уравнений коротких волн

2(м - 6)Ms + vy + м = 0, My = , м = P(1) = H(1). (4)

Для волны разрежения ALE (рис. 2, б) имеем решение

M = -1 z2 + Ja, v = 3z3 - MY + d, z = (X - Xa)/Y. (5)

Условия на фронтах УВ (X = X*(Y= dX*/dY; MbV - значения перед фронтом УВ) имеют вид

X - íjvY = -(^v + ß + Mi), (ß - + Y) = vi - v, P(1) = ß. (6)

2

При постановке краевых задач для системы (4) к условиям (5), (6) па границах областей D+, D- добавляются условия сращивания с решениями в областях I (линейного решения), III (квазиодномерного решения). Неизвестные участки У В на границах областей определяются согласно (6) при решении краевых задач для системы (4) [3-5].

2. Slow-fast. При падении У В сверху масштабы давлений (B0 = = p0cQ), учитывающие плотность и сжимаемость (через скорость звука cq), B— >> B+, тогда для инварианта II согласно (3) имеем v+ << v-, т.е. v+ = 0 и Y = 0 = —1/£' = 0) и согласно (4) имеем

МУ = 0, Y = 0. (7)

Это условие на свободной поверхности в данном случае совпадает с условием на твердой стенке. Физически (7) приводит к тому, что в нижнюю область передается лишь малая часть энергии. Масштаб возмущений в нижней области мал (P1± = (pi — р0)/В±) P- << P+; параметр подобия (см. [5]) L = L—/L+, учитывающий газосодержания областей (L—/L+ ~ /B+,L << 1), также мал.

Краевая задача для верхней области D+ решается [3] при условии (7) отдельно (в области D-) для функции ß(£, Y) системы (4). Найденное

решение позволяет сформулировать условие на свободной поверхности для области D-, которое в рамках асимптотической теории (ё << 1) приводит к решению краевой задачи для уравнения Лапласа.

3. Fast-slow. При падении УВ снизу имеем случай жидкость/газ, который является частным для общей теории рефракции (ГЖС/ГЖС) [4, 5]. Решающую роль здесь играет волна разрежения (ALE), которая понижает давление q— за падающим фронтом в точке A (q— = (p- — — Р0)/(Р1 — Р0), q— < 1.0). В случае жидкость/газ параметры подобия [5]

а" = tga/S22; L = L0 /L+(<< 1); C7 = (c0 — c+)/c0 s(>> 1). (8)

Анализ [3-5] показывает, что в рамках теории коротких волн (ТКВ) = = = 0 за задним фронтом волны разрежения, т.е. в верхней области течения D+ возмущениями можно пренебречь.

В зависимости от а— и L(y+,Y —) реализуются различные режимы рефракции УВ [4, 5] (RR; NR; RRW).

Задача для нижней области течения решается методом последовательных приближений, который сводит исходную задачу для уравнений коротких волн с неизвестной границей (фронты УВ) к серии краевых задач с фиксированной границей.

4. На рис. 3 изображены картины течений (поля давлений), полученные при численном решении задач рефракции УВ в случаях slow-fast и fast-slow.

На рис. 3, а приведены результаты расчета поля давления при падении УВ сверху па поверхность океана (P10 = 6.3 • 10—3,а = 100) при а" = 1.0. Этот случай соответствует переходу от нерегулярной (NR, а" < 1.0) к регулярной (RR, а" > 1.0) рефракции.

Обращает внимание в этом случае сгущение линий постоянных давлений в окрестности точки А. Сравнение расчетных данных с интер-ферограммами (см. [1]) (линии равных давлений и плотностей совпадают [4]) показывает их качественное соответствие.

На рис. 3, б приведены результаты расчета поля давлений при падении УВ снизу на поверхность океана при а" = 0.5. Этот случай

соответствует нерегулярному режиму рефракции NR. Обращает внимание в этом случае быстрое падение давления (возмущений) при подъеме с глубины к свободной поверхности. Результаты расчета полей давлений согласовываются с экспериментальными данными (см.

И)-

В случае падения ударной волны сверху на поверхность океана (рис. 3, а) давление быстро падает с увеличением глубины погружения. В целом рассмотренные случаи рефракции УВ раскрывают механизмы гашения возмущений, которые природа использует для сохранения окружающей среды.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Henderson L.F., Ma J., Sakurai A., Takayama K. Refraction of a shock wave at an air-water interface // Fluid Dynamics Research. 1990. №5. P. 337-350.

2. Henderson L.F., Collela P., Puekett E.G. On the refraction of shock wave at a slow-fast gas interface // J. Fluid Mcch. 1991. Vol. 224. P. 1-27.

3. Шиндяпин Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных воли в газах и газожидкостпых средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. 104 с.

4. Шипдятт Г.П., Мату тин A.A. О математических моделях и режимах рефракции ударных воли в газожидкостпых пузырьковых средах // Струйные, отрывные и нестационарные течения: тр. XXI Всорос. семинара. Новосибирск: Параллель, 2007. С. 199-201.

5. Шиндяпин Г. П., Мату тин A.A. О законах подобия рефракции ударных воли в газовых и газожидкостпых средах // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 146-150.

УДК 533.6.011

Г.П. Шиндяпин, A.B. Сергачёв

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН В УСЛОВИЯХ ПАРАДОКСА НЕЙМАНА

Проблема взаимодействия и отражения ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных пузырьковых средах (ГЖС) представляет сложную