Рефракционный метод исследования световодов типа «Панда» с эллиптичными сердцевинами Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

РЕФРАКЦИОННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ СВЕТОВОДОВ ТИПА

«ПАНДА» С ЭЛЛИПТИЧНЫМИ СЕРДЦЕВИНАМИ

Андросик Андрей Борисович

канд. техн. наук, доцент МГОУ, г. Москва Мировицкая Светлана Дмитриевна

канд. техн. наук, доцент МГОУ, г. Москва E-mail: scotchwood@yandex. ru

REFRACTION METHOD OF INVESTIGATION OF OPTICAL FIBERS «PANDA» WITH ELLIPTICAL CORES

Audrey Androsik

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of MSOU, Moscow

Svetlana Mirovitskaya

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of MSOU, Moscow

АННОТАЦИЯ

В работе рассмотрен рефракционный метод расчета геометрических и оптических характеристик волоконных световодов типа «Панда» с двумя световедущими каналами эллиптичной формы. Приведены результаты модельных исследований.

ABSTRACT

This work proposes a modified refraction method of calculation of geometric and optical characteristics of optical fibers «Panda» with two waveguide channels of ellipsoidal shape. The results of the formula of calculation of the main geometric and optical characteristics of optical fibers are given. The results of modelling are represented.

Ключевые слова: волоконный световод; рефракция; геометро-оптические характеристики.

Keywords: optical fiber; refraction; geometric and optical characteristics.

В последние десятилетия были предприняты большие усилия для создания специального вида одномодовых волоконных световодов (ВС), которые проводили только одно состояние поляризации фундаментальной моды. Подобного рода световоды крайне необходимы как в когерентных линиях

оптической связи, так и во всевозможных датчиках физических величин, имеющих интерферометрический принцип действия. Для получения поляризующего эффекта в волоконных световодах было реализовано множество схем. Одной из них является шлифовка оболочки обычного одномодового световода почти до световедущей жилы, и приведение сошлифованной плоской грани световода в контакт с двулучепреломляющим кристаллом. Другим способом является нанесение на сошлифованную грань световода слоя металла. В [1, с. 165] была предложена математическая модель принципиально однополяризационного световода, имеющего большое двулучепреломление. Однако такого рода однополяризационные световоды действуют в области очень малых нормализованных частот. Поэтому здесь неизбежны большие потери на микро- и макроизгибах. Также предлагалось использовать обычные анизотропные световоды, намотанные в кольца. Существует еще один способ получения волоконного поляризатора на основе биконической перетяжки световода с высоким двулучепреломлением. Действие такого поляризатора основано на механизме взаимодействия локальных мод перетянутых световодов. В однополяризационных волоконных световодах с линейным двулучепреломлением разность постоянных распространения двух поляризаций моды можно увеличить либо изменением формы поперечного сечения сердцевины (или оболочки) ВС (геометрическое двулучепреломление), либо созданием анизотропно индуцированного напряжения (индуцированное двулучепреломление). Примером световодов с большим двулучепреломлением являются световоды типа PANDA -polarization maintaining and absorption-reducing fiber (ВС с сохранением поляризации и уменьшенными потерями на затухание). Ниже рассмотрено решение задачи рефракции узкого пучка на световодах типа PANDA, имеющих не круговые, а эллиптические световедущие сердцевины. Проведен анализ и разработка математических методов расчета картин рассеяния для определения геометрических параметров таких BC.

Решение задачи рефракции узкого зондирующего луча сводится к следующему. На ВС перпендикулярно его оси падает монохроматическая волна длиной X. На расстоянии Ь от волоконного световода, перпендикулярно падающей волне находится плоскость, в которой осуществляется регистрация картины рассеяния.

Ось ОУ1 лежит в плоскости регистрации, а в качестве оси О ¡У выбрана прямая, параллельная оси ОУ1, проходящая через центр волоконного световода. Ось О1Х проходит через центр ВС, перпендикулярно оси О ¡У. Примем точку О1 за начало координат.

Рассмотрим путь светового луча, проходящую через точку с координатами МО(Ш;УО) . Я1 — радиус оболочки ВС. Я2 — радиус полусфер, которые образуют линзы второго слоя. N1, N2 — показатели преломления слоев. N0 — показатель преломления окружающей среды.

Проекции луча на горизонтальную ось О1Х обозначим через А{, проекции луча на вертикальную ось О1У обозначим через Ь; отрезок луча, заключенный между границами слоев ВС обозначим через В{.

Луч 1 отразился от внешней поверхности ВС. Рассмотрим путь светового луча, проходящего через точку АО(-Ш;УО) (рис. 1)

Данные: О1 (0,0) центр окружности (О1, R1), О2 (с,ё) центр окружности (О2, R2), О3 (-е,ё) центр окружности (О3, R2), О4 (е,-ё) центр окружности (О4, Я2), О5 (-е,-ё) центр окружности (О5, R2). Определим координаты точки М1,

как точки пересечения прямой (МО,М1) с окружностью (О1, R1). Уравнение

2 2 2

прямой (МО,М1): у=УО. Уравнение окружности (О1,Я1): х +у =Я1 Выразим абсциссу точки М1 — а1:

а = X = ±л/Я12 -102

а < о ^ а = -V яі2 -102

Ордината точки М1 — Ь1: Ь1=УО. Координаты точки М1(а1, Ь1)

Аі — проекция луча на горизонтальную ось, Ь — проекция луча на вертикальную ось,Ві — длина луча

A1 = \a — a0, гдеа0 = -R1

B = a l = 0

Исходя из рис. 1, вытекают формулы для определения углов:

«1 = s1 ^ = 2Sj — ж

SinsJ = YO/R1 ^ = arcsin (YO/RI)

уравнение прямой (М1, М2): y=k2 x+N2 , где — угловой коэффициент прямой, определяющий угол наклона прямой к оси абсцисс;

N2 —начальная ордината прямой

\у! *

Рисунок 1. Траектория луча 1

k2 = ~tgPl

n2=yo+a і • tg

I 2(a, b2) - oi-^eá iaóáñá^áíe у (I 1,1 2) ñ üóyiié .x = -R1 — L

a = — ri—l

ь2 = N + = yo+|a| • tgfti — tg<px • x,

aäax = a2 ^2 = |a2 — a I L2 = |b2 — b11

У1 — ордината точки Ь точки падения светового луча на плоскость регистрации: У1=УО+Ь2. Интенсивность определяем по следующей формуле:

ääa Y1(1) = Y0 + (L — ^1 + 2Rl)tg^ тх — коэффициент отражения.

Луч 2, луч, проходящий через однородный BC без отражений (рис. 2). Точка М1 получается аналогично точке М1 луча 1. Координаты M1(a¡, b¡):

a = —л/ R12 — yo 2, a < о

b = YO

sx = arcsin (YO/R1)

По закону Снелля:

sin єх _ N1 sin є N0

Точка М2 — точка выхода светового луча из ВС через переднюю полусферу.

Уравнение прямой (М1М2):

є = arcsin

(yono/ )

V /R1NV

Ч>1 =є1 — є■

у = к2х + Ы2

к2 =

N = уо -

М2 — точка пересечения (М1М2) с окружностью (О1, Я1). Выведем формулы для определения координат точки (а, Ь) пересечения прямой, уравнение которой у=кх+И и окружности с центром в точке Ог (с,ф и радиусом Я;

2 2 2

Уравнение окружности (х-с) +(у-ф = Я . Подставив ординату прямой в

2 2 2 уравнение окружности: (х-с) + (кх+И-ф = Я , и преобразовав

х2 - 2сх + с2 + к2х2 + 2кх(Ы - ё) + (N - ё)2 = Я2 (1 + к2)х2 + 2(к(N - ё) - с)х + (с2 + (N - ё)2 - Я2) = 0

можно получить квадратное уравнение вида Ах2 + Вх + с = 0 Решаем данное уравнение: Б = В2 - 4 АС Корни уравнения можно найти по формуле:

- в ±4Ъ

х =-----------

2 А

где А = (1 + к2)

В = 2(к(N - ё) - с)

С = (с2 + (N - ё)2 - Я2)

Получаем

Б = 4 (к(N - ё) - с)2 - 4(1 + к2)(с2 + (N - ё)2 - Я2)

Б = 4 [(к(N - ё) - с)2 - (1 + к2)(с2 + (N - ё)2 - Я2)]

^_ - 2(к (N - ё) - с) ± х — ^

2(1 + к2)

Преобразуем (т. к. а=х)

_+ 1(к (N - ё) - с)2 (с2 + (N - ё )2 - Я2) к (N - ё) - с

а = \ (1 + к2)2 1 + к2 1 + к2

Отсюда видно, что абсцисса точки пересечения прямой у=кх+И и окружности (х - с)2 + (у - ё)2 = Я2 функционально зависит от к, И, с, ё, Я

ах = а(сх , , Ях , кх , Nx )

Рисунок 2. Траектория луча 2

Подставляя абсциссу точки в уравнение прямой y=kx+N, получим ординату b=ka+N,

Величина b функционально зависит от k, N, а : Ъх = Ъ(ах, кх, Nx)

Координаты точки М2 (a2, b2):

а = а(о, о, ri, к2, n ), а > о Ъ2 = Ъ (а2 , к2 , N2)

горизонтальная проекция луча А = К - а| вертикальная проекция луча В2 = |Ъ2 - Ь| длина луча (М1М2) В2 = /cos ^

Определим угол падения луча в точке І -є2. є2 — угол между прямыми

(М1М2) и (О1М2). Уравнение прямой (О1М2) получим как уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами О1 (0,0); М2 (а2, b2)

У - Уі _ x - x У 2 - Уі Х2 - X1

y=x Ъ2 а2

Приведем полученное уравнение к уравнению с угловым коэффициентом:

y = -2 X ; угловой коэффициент прямой (О1 М2): к2 = —, угловой коэффициент

2

а а

прямой (М1М2): к[ = . Угол между двумя прямыми определим по формуле:

к 2 - кх

tgs2 = , ,

1 + к 2 к

є2 = arctg

ґґі \ !ґ ,

ь

1 - tgp

b2

т2 + tgPi к

an

Vv 2 л v 2 JJ

(pi = p -(^2 -^2)

По закону Снелля: є2 = arcsin(N ■ sin^2 /NO )

Определим ординату точки М3 падения луча на плоскость регистрации, т. е. точку пересечения луча с прямой x=R1+L. Уравнение прямой (М2М3):

y=k3x+N3

к3 = -tg p2

N3 = -2 + Ы ■ tgP2

а = Ri+l, а > о

— = к (Ri+l)+n = -tgp (Ri+L)+— + |а| ■ tgp горизонтальная проекция луча Л3 = |а - а| , вертикальная проекция луча

L3 = -3 - -2 5з = Лз /cos Р2

yi = уо - l2 - L .

Луч 3, прошедший в однослойный ВС, отразившийся от внутренней поверхности и вышедший наружу (рис.3).

До точки М2 прохождение луча совпадает с прохождением луча 2.

І2(а 2,Ь2), а2 >0

-2/ а 2 + tgp,

є2 = агctg 2/2

1 -tgPi ■(-2Іа2)

В точке М2 луч отражается от внутренней поверхности. є2 = є2 p2 =pi - 2^2

H — точка выхода луча из ВС через заднюю полусферу.

Уравнение (М2М3):

y = к3 x + N3

*3 = ~tgP2

N3 = b2 + Kl ■ gP2

Определим угол падения луча в точке М3(а3, b3) s3 — угол между прямыми (М2М3) и (01М3).

Уравнение прямой (O1M3) получим, как уравнение прямой, проходящей через две точки О1 (0,0) и М3(а3, b3)

: arctg

a

+g?2

1 - tg$ 2

a

- г1гё1йс^й £2 ё0^г 2.

3 У

Угол преломления луча при выходе из BC определим по закону Снелля:

s\ = arcsin (N1 • sin s2 /N 0)

^3 = 02 ~(S3 — £3)

Уравнение (М3М4): y = кА x + N 4

^4 = -&Р3

N 4 = b3 + |а3| • tgp3

М4 точка пересечения (М3М4) с прямой

x = -R1 — L

а4 = — R1 — L, а4 < 0 b4 = /т4 (— R1 — L) + N4 А4 = |а4 — а31 L4 = |b4 — b31 В4 = A4/cos^3

71 = 7 0 - Z2 + Z3 + Z4

Рисунок 3. Траектория луча 3

Луч 4, проходящий в ВС, и, отразившийся снаружи от поверхности второго слоя, образованного сферой с центром О2 (c,d) и радиусом R2 и вышедший наружу (рис. 4). До точки М1 прохождение луча совпадает с лучом 2.

i i(a, b ) a < о

sx = arcsin (Y 0/ Rl)

s[ = arcsin (Y 0 N0/ RlNl)

(Pl =Si -e[

Точка М2 — точка пересечения прямой (М1М2) с окружностью (О2, R2):

М2 (а2, b2). Уравнение прямой (М1М2):

у = к2 X + N2 к2 = -tgPi

N2 = YO — |a | • tgp

a2 = a(c,d,R2, k,N2 ), a2 < 0 b2 = b(a2,K2,N 2)

^2 = 1^2 — a |

L2 = |Ь2 — b1 | B2 = А/С°Р

Рисунок 4. Траектория луча 4

В точке М2 луч отразился от наружной поверхности и вышел из ВС в точке М3.

е2 — угол падения в точке М2. £2 — угол между прямыми (М1М2) и (О2,М2)

Уравнение прямой (О 2,М2):

. У-Ь2 _ X - а2

гї-Ь2 с - a2

угловой коэффициент (О2,М2): к’2 =

с — а.

є2 = агсґ§

с — а-

+

^2 =^2 , ф = Ф — 2^2 (рис. 4)

Уравнение прямой (М2М3):

у = къ X + N

Къ = -Щщ #3 = Ь2 - \а2\ •

М3 — точка пересечения прямой (М2М3) с окружностью (О^Я?): М3(а3,Ь3)

2

b = b(a ,^з, N)

A — |a — ^21

L3 = Ib3 — b2 I

Д, = A /cos

Определение угла падения в точке М3 — е3 ( угол между прямыми (М2М3) и (О1,М3)).

tg^3 =

zrj ааа

і+^х’

к'2 — óaeiáíé éiyooeóeaí д (O,Ї 3)

о (Ї 2, Ї 3)

4=^-

b

До

£3 = arctg

tg^2

aо

1 — tg$2

b

По закону Снелля:

= arcsin [N • sin £3 /N 0]

^3

= ^2 +(^3 — ^

Уравнение прямой (М3М4) y = x + #4

^4 = -£Рэ

#4 = 6э - |a| • tg^3 Координаты М4(а4,Ь4):

a = —Ri - L, a < о

b =^(— R1-L)+ N =— tgp3 (—R1-L) + b3 — \a3\tg@-. A4 = |a4 — a3|

L4 = \b4 — b31 B4 = A4/cos^3

n = 7 о—l + L — L

Луч 5, прошедший в ВС, прошедший без отражений линзу второго слоя и вышедший наружу (рис. 5). До точки М2 прохождение луча совпадает с прохождением луча 4.

b

3

є2 = arctg

d — b -

c — a0

+tg^i

d — b 7

1 — tg^i-----------

c — a-,

По закону Снелля: є' - arcsin [N • sin є /N 2]

(Й2

= Фі — (є2 — є3)

Уравнение прямой (М2М3)

y - лт3 х + N3

Л3 = —tg$2

N3 = Ь2 — Ы • tgVl

Точка М3 — точка пересечения (М2М3) с окружностью (O3,R2): М3(а3, b3)

a3 = a(- n,á,R2, k,N3 ), a3 > 0

b3 = b(a3 , N )

A — |a — a21

L3 = b3 — b2 I

Д, = A3 / cos

Определение угла падения в точки М3 (М2М3) и (03 М3)

є . є -- угол между прямыми

Є = arctg

— b3 — d а3 + c

+ tg^2

1 — tg^2

a3 + c

По закону Снелля:

є3 = arcsin [N2 • sin є /Ni]

^3

= ^2 — (є3 — є^)

Уравнение прямой (М3М4):

y = л4 х + N4

Л4 = —tg^3

n4=ь3+• tg$3

Координаты точки М4 (a4, b4):

a4 = a (0,0,R1, кN4 ), a4 > 0 b4 = b {a4,K4, N4 )

A4 = a4 — a31

L4=1 b4 - b3

B4 = A4 0

Рисунок 5. Траектория луча 5

Вычислим угол падения в точке М4 - е4 еА — угол между прямыми (М3М4) и (01М4)

s4 = arctg

+ tg^3

1 - tg^3

s'4 = arcsin [N1 • sin s4 /N 0]

V, =V,-(E,-s4) '

Луч 5 попадает на плоскость регистрации в точке М5. Уравнение прямой (М4М5):

y = к5 x + N5

К5 = -tSV4

N5 = b4 + \a4\ • tgv4

Координаты М5 (a5,b5):

a

4

a

4

а5 = Ю + Ь, а5 > 0

Ь5 = N5 — ЩУ4аъ = Ь4 + |а4\tg04 — ЩУ4аъ Л5 = |а5 - а4|

Ь5 = |Ь5 — Ь41 В5 = Л5 / СОБ ф4

Ниже приведены результаты модельных исследований при изменении линейного и углового отклонения зондирующего пучка в зависимости от изменения геометрических и оптических параметров световода и наличия иммерсионной жидкости, сглаживающей переход пучка из внешней среды в оболочку [2, с. 59].

Результаты расчета координаты YL и угла F зондирующего пучка для базового варианта представлены на рис. 6.

Рисунок 6. Базовый вариант расчета: Я1=100 мкм, Я2=80 мкм, N0=1,3999,

N1=1,4500, N2=1,4800, А2=10, В2=10

При изменении параметра В2 от 10 до 90 с шагом 10 наблюдается трансформация пика, обусловленная особенностями прохождения пучка в линзу второго слоя (рис. 7). С увеличением В2 уменьшается расстояние между характерными пиками, что свидетельствует об уменьшении размеров линзы второго слоя. Вычисления проводились при N0=1,3999, N1=1,4500, N2=1,4800, R1=100 мкм, Л2=10. При показателя преломления №<N2 линза является фокусирующей. Чем меньше размеры линзы, тем ярче заметны ее фокусирующие свойства на графике углового положения зондирующего пучка.

Я2=70 мкм, В2=20

41

70.00

35.06

Л2=50 мкм, В2=4О

г

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

В2=30 мкм, В2=60

Я2=10 мкм, В2=80 Рисунок7. Результаты моделирования при изменении параметра В2

Список литературы:

1. Андросик А.Б., Мировицкая С.Д. Особенности рефракции пучка на слоистых световодах // Сб.научных трудов. — Ставрополь, 2012.— С. 161—171.

2. Лазарев Л.П., Мировицкая С.Д. Контроль геометрических и оптических параметров волокон. — М.: Радио и связь, 1988. — 280 с.