Полное отражение оптических волн в средах с индуцированной неоднородностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 1

Физико-математические пауки

2009

УДК 535.7^535.18

ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДАХ С ИНДУЦИРОВАННОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

А.П. Сухорукое

Аннотация

Дап обзор работ по исследованию полного внутреннего отражения от границы двух сред и плавных пеодпородпостей. Изложены основы теории полного отражения: выведено уравнение траекторий в слоистой среде, пайдеп критический угол полного отражения. Рассмотрен механизм отражения от пеодпородпостей. созданных лазерным пучком в нелинейных средах. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с данными лазерного эксперимента по наблюдению полного отражения в поглощающей среде с тепловой дефокусирующей нелинейностью в кювете со спиртом.

Ключевые слова: оптика, волна, полное внутреннее отражение, неоднородность, луч, траектория, нелинейность, дефокусировка.

Введение

Полное внутреннее отражение (ПВО) при переходе света в менее плотную среду относится к фундаментальным явлениям волновой физики [1]. Открытое в оптике явление ПВО широко используется в различных областях пауки и техники, таких, как когерентная оптика (призмы, сенсоры, световоды): нелинейная оптика (соли-тоны. переключатели): акустика (звуковые каналы), гидродинамика (подводные каналы), радиофизика (ионосферная связь) и т. д. В статье рассматривается ПВО в оптическом диапазоне длин волн.

Явление ПВО впервые было описано в начале XVII в. великим немецким астрономом. математиком, оптиком Иоганном Кеплером (1571 1630) [2]. В то время он издал трактат по оптике «Дополнения к Вителлию» и книгу «Диоптрика», которые положили начало становлению оптики как науки. Кеплер описал преломление света. рефракцию, общую теорию линз, предложил более совершенную конструкцию телескопа. Чтобы зарабатывать на жизнь и иметь возможность заниматься любимой астрономией. Иоганн вынужден был служить астрологом при дворах знатных вельможах. До нас дошло следующее высказывание Кеплера, которое показывает его истинное отношение к астрологии: «Конечно, эта астрология глупая дочка, но. Боже мой. куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочка должна болтать и лгать. И жалованье математиков так ничтожно, что мать, наверное, голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала». Можно заметить, что схожую роль сыграли алхимики в развитии химии как науки. Наибольшую известность И. Кеплеру принесли открытия трех законов движения небесных тел. сделанные на основе обработки огромного массива астрономических наблюдений.

Обоснование эффекту ПВО дал Виллеброрд Снелл. известный также под латинизированным именем Снеллнус (1591 1626). голландский математик и физик,

Закон Снеллиуса

Полное внутреннее отражение

х Воздух

Падающий " - луч Ч^ Луч, преломленный вдоль границы

-А Преломленный луч Преломленный луч Стекло

Рис. 1. Преломлепие и отражопис лучей от границы раздела двух сред в соответствие с законом Спеллиуса

профессор Лейденского университета. В 1621 г.. после многочисленных экспериментов по оптике, он открыл закон преломления лучей, позже названный его именем [3]. Перу Спеллиуса принадлежат весьма значимые труды по математике, астрономии, физике, геодезии, навигации. Своих результатов исследования ПВО Снеллиус не публиковал они пылились в архивах, пока но были обнаружены Рено Декартом, который включил их в свой фундаментальный труд «Начала философии». Выдающийся вклад в науку о преломлении и отражения света внесли Исаак Ныотон (1643 1727) и Огюст Френель (1788 1827). Отметим, что Даниэль Колла-дон (1802 1893) впервые продемонстрировал ПВО при волноводном распространении света в изогнутой струе воды. Такова краткая история открытия явления ПВО.

Затем интерес к задачам полного отражения расширился в связи с созданием ионосферных линий связи на радиочастотах, исследованием распространения акустических волн в подводных каналах, потребностями волоконной и нелинейной оптики и т. д. [4 7].

В данной работе нас интересует ПВО от плавной неоднородности, наведенной мощным лазерным пучком в нелинейной среде. В отличие от искусственных и естественных структур, параметрами индуцированных неоднородностой можно управлять. варьируя мощность, ширину, профиль пучка накачки. ПВО от перестраиваемых неоднородностой можно использовать для быстрого переключения оптических каналов, по которым передается информация.

1. Полное внутреннее отражение от границы раздела двух сред

1.1. Геометрическая теория ПВО. Снеллиус сформулировал закон преломления на границе двух сред в следующем виде [1 3]:

n1 sin в\ = n2 sin 02, (1)

где 0i - угол падения, n1 - показатель преломления в первой среде, а 02 - угол n2

некоторых задач выражение (1) следует переписать для углов скольжения между лучом и поверхностью раздела < = п/2 — 0j:

ni cos <1 = П2 cos <£>2- (2)

При переходе луча из более плотной среды в менее плотную, n1 > n2, существует критический угол падения 0c, при котором преломленный луч не проходит

во вторую среду, а идет вдоль поверхности раздела с у2 = 0, 02 = п/2 (рис. 1, справа). Волны, падающие под меньшим углом < ус, полностью отражаются от границы. Это явление называется полным внутренним отражением. Критический угол легко находится из (1), (2):

вс = агс8т(п2/п1), ус = агссо8(п2/п;[). (3)

Следует заметить, что закон Снеллиуса (1) выведен в приближении геометрической оптики, и поэтому он не описывает соотношение интенсивностей и поляризаций падающего, преломленного и отраженного лучей. Это можно сделать в рамках волновой теории, основы которой заложили Френель, Гюйгенс и др.

Приведем значения критических углов ПВО для ряда материалов: в стекле п1 = 1.5 — 1.7 и вс = 30 — 42°; в воде п1 = 1.33 и вс = 49°; в алмазе п1 = 2.42 и 9с = 24°. Именно благодаря относительно малому критическому углу алмазы при определенной огранке превращаются в бриллианты.

ПВО нашло широкое применение при изготовлении призм: призмеииых биноклей и телескопов (управление ходом лучей происходит без применения зеркал): сенсоров (в зазор между призмами вводится исследуемое вещество) и ЖК затворов (между призмами помещается слой ЖК, который меняет свои свойства под действием электрического поля и создает условие для ПВО.

Явление ПВО можно наблюдать и при малом отличии величии показателей преломления соприкасающихся сред п1 — п2 ^ п1. В данном случае скользящий угол ПВО можно выразить простой формулой

= л/2(гг-1 - ?г2)/??!. (4)

п1 —

— п2 = 5 • 10-5п1 критический угол ПВО имеет вполне измеряемую величину ус = 10-2 = 0.57°.

1.2. Волновая теория ПВО. При отражении света от задней грани призмы в менее плотной среде образуется неоднородная поверхностная волна, в которой поверхность равной фазы перпендикулярна поверхности равной амплитуды: А(у 2 = 0) = Ао ехр(г&г — х/Н). Амплитуда поверхностной волны экспоненциально спадает вглубь менее плотной среды, энергия локализуется в слое толщиной Н в несколько длин волн [8]. Если достаточно близко от поверхности расположить другую призму, то волна может преодолеть малый зазор. В подтверждение эффекта ПВО с туннелированием интересный опыт поставили Л.И. Мандельштам и П. Селении (см. [6]). Они погрузили стеклянную призму нижней гранью в жидкость, в которой было растворено флуоресцентное вещество. Свет, падая через призму-па границу жидкости под углом большим критического значения, испытывал на границе эффект ПВО. Однако часть светового потока, проникая в тонкий слой приграничной жидкости, вызывал его флуоресцентное свечение. Цвет флуоресценции отличался от цвета падающего излучения, а свечение приграничного слоя дало возможность наблюдать этот эффект.

Эффект полного внутреннего отражения используется в оптических волноводах [7, 8]. Сердцевина волокна создаётся из стекла с высоким показателем преломления н помещается в оптически менее плотную среду (пластиковую оболочку или воздух). В результате отражения от границ по волноводу бежит неоднородная волна с неизменяющимися амплитудным и фазовым профилями. Она представляет собой моду волновода и рассчитывается на основе волнового уравнения. Световоды используются для передачи информации на большие расстояния.

2. Полное отражение в слоисто-неоднородной среде

Пусть показатель преломления зависит только от одной координаты, n(x). Это может быть связано со слоистой структурой среды или с наведением неоднородности внешним воздействием, например лазерным пучком. В такой слоистой среде сохраняется величина проекции волнового вектора на ось [8]: k = = (w/c)n(x)cos y(x) = const. Выбирая начальную точку x = xo, получаем обобщение закона преломления на неоднородные среды:

n(x) cos y(x) = no cos yo- (5)

В двухслойной среде выражение (5) переходит в формулу Сноллиуса (2). Для малых углов скольжения у = dx/dz ^ 1 в слабо неоднородной среде с n(x) « n0 из (5) можно получить уравнение для траектории луча в параксиальном приближении [8]:

dx/dz = ±V2\JУо/2 + - по]/по. (6)

Знак перед радикалом меняется при прохождении точки поворота, в которой луч идет параллельно оси . Полагая в (6) dx/dz = 0, находим из подкоренного выражения уравнение для координаты точки поворота:

n(xt)= no(1 - у2/2). (7)

Из (7) следует, что отражение происходит от слоя с меньшим показателем преломления, чем в исходной точке, n(xt) < no. Причем чем больше начальный угол наклона yo, тем глубже проникает луч в неоднородные слои. При отражении от

n( x))

казателя преломления, равным nmin, критический угол ПВО определяется простой формулой

ус = у/2{п0 - nmin). (8)

Уравнение луча (6) можно преобразовать к виду

d2x 1 d.n(x) ^^

dz2 no dx

Отсюда видно, что кривизна траектории луча определяется градиентом показателя преломления. В линейном слое n(x) = no(1 — x/H) лучи имеют форму параболы x = yoz — z2/(2H). В ее вершине xt = у2#/2, zt = yoH находится точка поворота луча. Ход луча при отражении от отрицательной неоднородности с гауссовым профилем показан на рис. 2. Явление полного отражения наблюдается в атмосфере (миражи), ионосфере (отражение радиоволн), подводной акустике (звуковые каналы), оптических клиньях и т. д.

Эффекты типа ПВО можно описать с помощью параболического уравнения для огибающей волнового пучка A [8]:

.dA 1 fd2A d2A\ , r . . .

- - + ^ j = koHx) - n(x0)]A. (10)

Неоднородность n(x) > n(xo) можно рассматривать как притягивающий потен-n(x) < n(xo)

реализуется первый случай. В градиентном волноводе с профилем показателя преломления n(x) = n(xo)[1 + ach-1(x/w)] формируется мода

A(x, z)) = Ao ch 1(x/w) exp(—¿z/(2kw2);

(H)

Рис. 2. Траектория луча при отражении от ипдуцировашгой гауссовым лазерным пучком неоднородности п(х) = п0 — пп ехр [— (х — 12)2]

ширина волноводного пучка и глубина неоднородности связаны соотношением а к2 т2 = 1. Согласно геометрической оптике (6) лучи периодически фокусируются и тем самым удерживаются около оси волновода.

Другая ситуация возникает в среде с дефокусирующим каналом, в котором профиль показателя преломления имеет вид углубления, как. например, функция п(х) = п(0)[1 — а^2(х/т)]. В таком канале может распространяться пучок с провалом интенсивности на оси:

А(х, х) = А0 Ш (х/т) exp(iх/kw2) (12)

при выполнении условия а к2 т2 = 1. Здесь лучи отражаются от отрицательного потенциала, не достигая центра.

3. Явление полного отражения в нелинейной среде

3.1. Пространственные солитоны. Явление ПВО играет определяющую роль в солитонной физике. Волновая динамика пространственного солитона в среде с кубической нелинейностью п = по + П2 |А|2 описывается нелинейным уравне-

А

,дА 1 (д2А 32А\ ш ...2

Характер распространения зависит от соотношения между дифракционной Ь<т = ппот2/Л и нелинейной ЬП1 = Лпо/(п2 |А(0)|2) длинами, где т - ширина пучка, Л - длина волны.

В среде с положительной нелинейностью п2 > 0 возможен баланс дифракционного расплывания и самофокусировки Ьщ = Ьп\, при котором стационарное решение нелинейного уравнения Шредингера (13) имеет кол околообразную форму А = А0 А)Г1(х/т) exp(—iqх). Такой волновой пучок называется светлым пространственным солитоном, который удерживается в нелинейном градиентном волноводе (ср. с (11)).

В дефокусирующей среде с отрицательной нелинейностью п2 < 0 фор-

А=

= А0 Ш(х/т) exp(iqх). Здесь наблюдается аналогия с модой отрицательного канала (12). При балансе Ьщ = Ьп1 «лучи» отражаются от оси темного волновода, не доходя до его центра.

3.2. Полное отражение от индуцированной неоднородности. Отрицательную неоднородность можно создать в нелинейной дефокусирующей среде

Линза 2 ДД; Кювета

»" РИ2.5£м д^ % пшпикш: ы% (тгражйниг

Линза 3 Г = 7.5 см

Рис. 3. Схема экспериментальной установки по наблюдению отражения лазерного пучка от пучка другой частоты в поглощающей среде кювете со спиртовым раствором

с п(|А|2) < п(0). В дефокусирующих средах с кубической нелинейностью п = п0 + + п2|А|2 должно быть п2 < 0. К этому классу относятся, в частности, фоторе-фрактивныо кристаллы. В умеренно поглощающих средах основную роль играет тепловая нелинейность п = по + ¿п/^Т (Т — То) с источником тепла от лазерных пучков разных частот:

/ д2 А д2 А \

^ + (14)

где к - коэффициент теплопроводности, 5, - коэффициент поглощения.

Направим в поглощающую среду два пучка разных частот: мощный пучок накачки и слабый сигнальный пучок. Их огибающие подчиняются уравнениям

дА, 1 /д2А, д2АЛ , ¿п т , „

с граничными условиями

А, = Е, ехр[—(ж/ад,)2 — (у/ад,)2 — ¿к, уо, ж], (.? = 1, 2). (16)

Для описания полного отражения от индуцированной неоднородности можно воспользоваться выражениями (6) (9). Применяя формулу (7), находим критический угол нелинейного ПВО

Ус, п1 = л/2[пП1(хо) - ?гпг(0)]/??.0. (17)

В нелинейных средах показатели преломления на периферии и па оси пучка обычно отличаются не более чем на 10-4п0. Тогда полное отражение будут испытывать волны, распространяющиеся под углом к пучку накачки менее 0.8°. Это подтвердилось в эксперименте, схема которого представлена на рис. 3.

3.3. Эксперимент по нелинейному отражению лазерного пучка от пучка другой частоты. Спиртовой раствор йода был помещен в пластиковую кювету. Кювета ставилась на пути двух лазерных пучков, распространяющихся в одном направлении. Красный лазер работал на длине волны 532 нм с регулируемыми мощностью от 0 до 30 мВт и поляризацией пучка (с помощью А/2

)

Рис. 4. Поперечные сечения лазерных пуков на выходе из кюветы со спиртом при малой мощности опорного лазера (отражение отсутствует) и при большой мощности 21.4 мВт. Верхний ряд - экспериментальные снимки с помощью С СО-камеры, нижний ряд - результаты численного моделирования

пластины). Второй зеленый пучок имел длину волны 632.8 нм и фиксированную мощность 0.71 мВт с учетом ^0.056 мВт, отраженных в жидкость после делителя пучков. Измеренное линейное поглощение излучения лазера на длине волны 532 нм составило 45.5%. Пучки могли фокусироваться независимо друг от друга линзами Л1 и Л2. Два пучка пересекали друг друга или в начале, пли внутри кюветы. Фокус каждого пучка находился приблизительно в одном и том же месте в жидкости. Делитель пучков можно было перемещать, чтобы изменить точку пересечения пучков при сохранении постоянным угла между ними. Третья линза Лз использовалась, чтобы вывести выходную грань кюветы на цветную цифровую камеру. Поляризационный делитель пучков использовался в комбинации с пластиной Л/2, чтобы отфильтровать зеленый пучок так, чтобы изображение не насыщалось зеленым цветом. Красный фильтр мог быть вставлен перед камерой, чтобы полностью удалить зеленую засветку из изображения. Ширина перетяжки зеленого пучка равна 18.7 мкм. В экспериментах эффект отражения исследовался для нескольких уровней мощности и разных углов пересечения и положений в кювете. В качестве примера на рис. 4 верхнем ряду показано изображение пучков на торце кюветы при малой мощности красного излучения Р1 « 1 мВт (слева), когда отражение отсутствует, и большой мощности Р1 = 24 мВт (справа), когда зеленый пучок отразился от красного пучка. В нижнем ряду показаны сечения пучков, рассчитанные численно при решении уравнений (13)—(15). Видно хорошее соответствие экспериментальных снимков и сечений пучков, полученных при численном моделировании.

Вычисления критического угла по формуле (13) для проведенного эксперимента дают величину « 0.013, что хорошо согласуется с условием полного отражения в эксперименте: ^о ~ 0.008 < Из рис. 4 видно, что лазерный пучок после отражения от зеленого пучка цилиндрической формы приобрел слегка серповидную форму поперечного сечении. Это эффект выпуклого нелинейного зеркала; он проявляется и в численных экспериментах (рис. 4, правый столбец).

Заключение

Таким образом, явление ПВО света и в наши дни играет большую роль в научных исследованиях и в различных приложениях, начиная от спектроскопии

до динамического управления лазерными пучками. Новую жизнь ПВО приобрело в волоконной оптике и нелинейной оптике. В самофокусирующих средах формируются локализованные структуры, в частности пространственные солитоны. В де-фокусирующих средах можно создавать индуцированные тела в форме лазерных пучков. С помощью нелинейного ПВО индуцированную объемную неоднородность можно сделать непрозрачной и наблюдать отражение лазерного пучка одной частоты от лазерного пучка другой частоты.

Работа выполнена при поддержке грантами «Ведущие научные школы» (НШ-671.2008.2). РФФИ (Л* 08-02-00717. 09-02-01028).

Summary

А.P. Sukhurukuv. Total Reflection of Optical Waves in Media with Induced Inhomogeneity. The review of research works on total internal reflection from the boundary of two media and smooth layered inhomogeueity is presented. Bases of the theory of total reflection are given: the equation of trajectories in the layered media is derived, the critical angle of total reflection is found. The mechanism of reflection from the inhomogeueity created by a laser beam in nonlinear media is considered. The results of numerical simulation nicely agree with the data of the laser experiment when one laser beam is reflected from other laser beam in a cuvette filled with the colored alcohol.

Key words: optics, wave, total internal reflection, inhomogeueity, ray, trajectory, nonlinearity, defocusing.

Литература

1. Тарасов Л.В., Тарасова А,Н. Беседы о преломлении света. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 176 с.

2. Бэивилл Д. Кеплер / Пер. с апгл. М.: Текст, 2008. 288 с.

3. Вилсйтиер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Пер. с нем. М.: Наука, 1966. 507 с.

4. Кгшслъ В.А. Современное состояние теории отражения света // Усп. физ. паук. 1967. Т. 92. С. 479 517.

5. Бре.ховскгш; JI.M. Волпы в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

6. Шварцбург А.Б. Туппелировапие электромагнитных воли парадоксы и перспективы // Усп. физ. паук. 2007. Т. 177. С. 43 58.

7. Кившаръ Ю.С., Агравал Г.П. От волоконных световодов к фотонным кристаллам / Пер. с апгл. М.: Физматлит, 2005. 648 с.

8. Виноградова М.Б., Рудсико О.В., Сухорукое А,П. Теория воли. М.: Наука, 1990. 432 с.

9. Lubanuv V.E., Kalinovich A.A,. Sukhurukuv А.P., Bonnet F., Neshev D. Nonlinear reflection of optical beams in the media with a thermal nonlinearity // Laser Physics. 2009. V. 19, No 5. P. 1 5.

Поступила в редакцию 16.01.09

Сухорукое Анатолий Петрович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой фотопики и физики микроволн физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. E-mail: apsmsuQgmail.cum