CC BY
37
Изв. вузов «ПНД», т. 15, № 1, 2007 УДК 514.8; 517.938; 530.182
ХАОТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ АСИММЕТРИЧНОГО КОЛЬЦЕВОГО БИЛЛИАРДА С ОТРАЖЕНИЕМ И ПРЕЛОМЛЕНИЕМ ЛУЧЕЙ
В.В. Яновский, С.В. Найденов, А.В. Курило
Исследована хаотическая динамика в кольцевом асимметричном биллиарде с отражением и преломлением лучей. Фазовая динамика характеризуется разнообразием динамических режимов, что связано как с проявлением традиционных механизмов хаотизации лучей, так и со сложностью допустимых законов движения. В многолистном симметричном фазовом пространстве проанализированы фазовые перестройки кольцевого биллиарда при изменении степени его асимметрии.
Введение
Биллиард - это предельно простая физическая система, в которой движение подчинено законам геометрической оптики. Тем не менее биллиарды оказались важной теоретической моделью для развития принципиальных концепций в теории детерминированного хаоса для классической, статистической и квантовой физики [1-9] и др.
Хаотическое поведение лучей обычного биллиарда может быть вызвано двумя причинами. Во-первых, расширением произвольного пучка лучей при отражении от рассеивающих участков границы, как в биллиардах Синая [10], или, во-вторых, дефокусировкой лучей при отражении от фокусирующих и нейтральных (прямолинейных) компонентов границы, как в стадионах Бунимовича [11,12].
Динамика лучей становится более сложной в композитных биллиардах, которые являются удобной моделью для описания распространения световых лучей в составных полостях, заполненных материалами с разной диэлектрической проницаемостью. Такие системы имеют внутренние границы раздела оптически разных сред. На границах происходит отражение и преломление лучей. Наличие этих дополнительных особенностей должно приводить к своеобразным механизмам хаоти-зации [13]. Так, при «размножении» лучей на границе раздела сред с разными показателями преломления (из одного падающего луча появляются отраженный и преломленный), возникает многозначность в маршрутах следования траекторий биллиарда. Каждый допустимый маршрут луча соответствует определенному порядку посещения разных сред. Этот маршрут легко закодировать двоичной последовательностью,
особенно, если биллиард состоит только из двух сред. Маршрут может быть регулярным, квазирегулярным или хаотическим. Это соответствует тому, является ли указанная двоичная последовательность периодической, квазипериодической или хаотической. С другой стороны, каждый маршрут однозначно определяет закон движения луча как последовательность композиций элементарных законов движения (отражение и преломление). Точнее, существует взаимооднозначное соответствие между маршрутами и законами движения лучей. Поэтому возникают детерминированные периодические, квазипериодические или хаотические законы движения лучей. Хаотическим законам соответствуют сложные, по Колмогорову, последовательности элементарных законов движения. Таких хаотических законов континуум.
Таким образом, в биллиардах с расщеплением лучей присутствует два типа хаотического поведения. С первым из них связана динамическая непредсказуемость, вызванная экспоненциально быстрым разбеганием фазовых траекторий. Второй тип приводит к непредсказуемости закона движения луча. Другими словами, он вызван детерминированно хаотичным законом движения луча [13]. При этом траектории хаотически переходят с одного листа многолистного фазового пространства на другой его лист. В любом биллиарде с расщеплением лучей изначально заложена такая специфическая хаотичность. Каждый из механизмов хаотичности в определенной мере существует независимо от другого, несмотря на очевидную взаимосвязь между ними, что и наблюдается в компьютерных экспериментах.
В работе изучена динамика лучей в асимметричном кольцевом биллиарде с расщеплением лучей. В нем возникают оба указанных выше типа хаотичности. Биллиард образован парой кругов с разными показателями преломления п0 (внешний круг) и щ (внутренний круг). Один из кругов находится целиком внутри другого, а их центры смещены друг относительно друга на величину А (рис. 1). Внешний круг имеет радиус К, который всегда можно принять равным единице. Степень асимметрии задается безразмерным параметром А/г, где г - фиксированный радиус внутреннего круга. Рассматриваемый биллиард является естественным обобщением исследованной ранее динамики симметричного кольцевого биллиарда [13], состоящего из пары
Рис. 1. Асимметричный кольцевой биллиард. Точки О и О' - центры внешней и внутренней окружностей. Показаны несколько элементарных переходов биллиардной траектории и соответствующий им каскад элементарных отображений . Справа показано угловое расширение пучка лучей после однократного преломления. Результат имитируется с помощью отражения от элементарных площадок «эффективной границы»
концентрических кругов с разными показателями преломления. Следует указать, что обычный кольцевой биллиард и преломляющий кольцевой биллиард (то есть биллиард с расщеплением лучей) в последнее время достаточно интенсивно исследуются в связи с разнообразными физическими проблемами, включая квантовый оптический хаос [14-16], хаотическое рассеяние [17], ускорение Ферми [18] и др.
1. Асимметричный кольцевой биллиард с расщеплением лучей
Фазовые траектории симметричного кольцевого биллиарда регулярны [13], а сам этот биллиард не эргодичен. В нем реализуется хаос только в смысле неопределенности в порядке посещения разных компонентов биллиарда или связанный с хаотичностью законов движения лучей. Хаос фазовых траекторий в обычном смысле, то есть при котором показатель Ляпунова имеет ненулевое значение, здесь не возникает. Однако при сколь угодно малой асимметрии (см. рис. 1) в фазовом пространстве преломляющего кольцевого биллиарда появляются хаотические области, связанные с экспоненциальным разбеганием первоначально близких траекторий. Для описания динамики лучей в асимметричном биллиарде используем геометро-динамический подход [19,20]. Изменением интенсивности света пренебрегаем. Динамика лучей задается с помощью отображений, переводящих каждый падающий луч, заданный парой фазовых координат (Si, S2) (определяют начало и конец луча на одной из границ биллиарда), в последующий луч (S i, S2), которым может быть как отраженный, так и преломленный луч.
Обе, внешняя и внутренняя границы исследуемого биллиарда являются окружностями. Поэтому в качестве естественных координат, определяющих положение точки отражения на них, удобно взять угловые (полярные) координаты. В качестве начала координат для соответствующей угловой координаты одного из концов луча выбирается центр той из окружностей, на которой лежит выделенный конец луча. Фазовое пространство при таком рассмотрении состоит из 4-х идентичных листов T2, каждый из которых топологически эквивалентен тору. По координатным осям фазового пространства, в качестве которого будем использовать квадратную развертку тора, отложены всевозможные координаты лучей. Обозначим внешнюю окружность индексом 0, а внутреннюю - индексом 1 (см. рис. 1). Тогда четыре листа фазового пространства соответствуют подпространствам лучей, концы которых попарно лежат на таких границах: лист |11| - оба на внутренней, |00| - оба на внешней, 1011 или |10| - один на внутренней, другой - на внешней. Переходы с одного листа на другой описываются посредством пяти элементарных отображений F01, Fio, F11, F00 и F00.
Пусть номер границы одновременно является номером примыкающей к ней среды. То есть внутренние граница и среда имеют индекс 1, а внешние - 0. Тогда в обозначениях отображений первая цифра показывает, в какую среду попадает луч под действием выбранного отображения, а вторая - из какой среды он выходит. Например, отображение F01 переводит луч, падающий на границу 1 из среды 1, в преломленный луч, распространяющийся в среде 0. Отображение F00 так же, как и F00, оставляет луч в среде 0, но в отличие от F00 отражение луча происходит от внутренней границы 1. Далее используем для обозначения координат лучей переменные
(х, у) (до) и (х, у) (после отражения или преломления). Придадим отображениям следующий вид:
р .[ х = {у} . Р .[ х = {у} . р .[х ={у} .
[У = {¡оо(х,у)У \у = {/11 (х,у)У \у = {7оо(х,у)У
{х = {у} { х = {у}
_ ; Р10 : _ , (1)
у = {/о 1 (х,у)} { у = ¡10 (х,у)}
где {...} обозначает взятие дробной части по шоё2л. Явные выражения для функций /оо (х,у), ¡10 (х,у), /01 (х,у), /11 (х,у), /00 (х, у) приведены в Приложении А. Отметим, что эволюция лучей биллиарда полностью определяется этими пятью элементарными отображениями.
2. Критерий углового расширения пучков лучей
Как известно, одной из причин возникновения хаоса в биллиардах является механизм перманентного рассеяния лучей, когда любой инфинитезимальный пучок лучей биллиарда почти всюду расходится в геометрическом пространстве. Например, в биллиардах Синая при отражении лучей от всюду вогнутой вовнутрь границы. В фазовом пространстве этому соответствует экспоненциальное расхождение первоначально близких траекторий. Поэтому при исследовании биллиардов полезна оценка средней скорости углового расширения (при отражении от разных компонентов границы биллиарда) узкого или, в частном случае, плоскопараллельного пучка лучей. Выполним такую оценку для кольцевого биллиарда, проследив за расширением узкого пучка лучей после одного акта преломления.
Вычислим угловое расширение пучка лучей с маршрутом 1001, то есть расширение пучка при его возвращения в среду 1 после отражения в среде 0 (см. рис. 1). Угловые размеры падающего и прошедшего пучков связаны выражением Аф = КАф0, где К = К(51,52, Аф0) - средний коэффициент расширения пучка; ($1 >£2) - координаты луча, который характеризует пучок, например, центрального или одного из крайних лучей пучка. Для инфинитезимального пучка при Аф0 ^ 0 коэффициент расширения определяется формулой
К = К(5,52) = 1А0 . (2)
Если К = 1 при любых значениях фазовых координат, то хаос, связанный с преломлением, не возникает. С другой стороны, если К > 1, то существует возможность появления хаотической компоненты движения. При малой асимметрии биллиарда связь между Аф и Аф0 можно получить, используя понятие «эффективной границы», введенной в [13]. Напомним, что с ее помощью можно абстрагироваться от преломления и распространения каждого отдельного луча в среде с другим коэффициентом преломления, заменив этот многоступенчатый процесс отражением от некоторой кривой (это и есть эффективная граница), ограничивающей некоторый эффективный биллиард. Важно, что каждому лучу можно поставить в соответствие только свою эффективную границу, если последняя существует. Для симметричного
биллиарда эффективной границей является окружность, радиус которой зависит от разности угловых координат (£2 — £1) начального луча. Для асимметричного биллиарда понятие эффективной границы можно сохранить только локально, так как расположение элементарной площадки, от которой происходит «эффективное отражение», заменяющее распространение луча во второй среде, теперь будет зависеть уже от обеих координат £1 и £2- В общем случае множество таких элементарных площадок не сводится к гладкой и даже непрерывной кривой.
При малой асимметрии А ^ г понятие «эффективной границы» еще сохраняет свой первоначальный смысл. Полярный радиус для каждой ее элементарной площадки определяется выражением
£2 — £1
г соэ
Ре» (£1, £2) —
СОЭ
£2 — £1 . . (г +А с°3 £2 .
----+ § (£1,£2) — аГСЭШ ---Э1П § (£1,£2)
2 \ К
(3)
причем он отсчитывается от центра большего круга и
§ (£ъ £2) — агсэш
т
По
■ СОЭ
£2 2 £1 + 2г (в1п £2 — э1п £1)
А
+--Э1П £2 .
г
Обозначим углы падения крайних лучей пучка на элементарную площадку через 61 и 62. Тогда угловая ширина прошедшего и падающего пучка связаны выражением
Аф — Афо + 2(61 — 62) . (4)
Для симметричного биллиарда углы 61 и 62 «эффективного отражения» зависят только от разностей угловых координат для крайних лучей пучка и не зависят от разброса Аф0. В результате для этого биллиарда К — 1.
При малых А/г ^ 1 коэффициент расширения определяется соотношением (см. Приложение В)
4А /-
К — 1 + —^ А2 + В2
соэ
, В
£2 + аг^ап ( а
(5)
где введены функции А — А (£1, £2) и В — В (£1, £2) 'пЛ : (£2 — £1
А (£1, £2) — 2—-
По
Э1П
=+-
ГП1 \ .
Кпо )
£2 - £1
1
П1
По
Э1П
£2 - £1
1
Кпо )
£2 - £1
В (£1, £2) — ^
£2 - £1
Нетрудно заметить, что при определенных значениях (£1;£2) существует фазовая область, где коэффициент расширения больше единицы. Например, для всех £1 е [0; п/2] и [п;2п] при £2 е [3п/2;2п] будет К > 1 (при этом В > 0). Следовательно, в данной системе может наблюдаться хаос, связанный с рассеянием лучей при их прохождении сквозь среду с другим коэффициентом преломления. Исследуем особенности этого поведения более детально на фазовом портрете каскада отображений (1).
г
2
3. Фазовый портрет и фазовые перестройки
Изучим фазовый портрет и его перестройки для семейства биллиардов при возрастании параметра асимметрии А/г. Симметричный случай А = 0 рассмотрен ранее [13]. В общем случае фазовая динамика охватывает четыре склеенных друг с другом листа фазового пространства Ф = VТл, где г] = (0,1). Для однозначности динамического описания кроме координат лучей необходимо указывать маршрут их следования. Строго говоря, одновременно с заданием каждого начального луча парой фазовых координат (х, у) необходимо задавать и маршрут его следования. Последний кодируется двоичной последовательностью из нулей и единиц в соответствии с порядком посещения лучом биллиардной траектории сред 0 и 1. Очевидно, что каждому маршруту можно поставить в соответствие вещественное число в на единичном отрезке. Таким образом, тройка {(х,у); 8} однозначно задает начальное условие для эволюции любой биллиардной траектории.
Разбив множество всех возможных траекторий на классы эквивалентности в соответствии с допустимыми маршрутами и с учетом возможных правил запрета, навязанных геометрией биллиарда, можно исследовать фазовую динамику траекторий соответствующего типа. Для классов, закодированных простейшими периодическими последовательностями вида 11. . . или 00. . ., задача сводится к исследованию динамики обычного биллиарда. В первом случае - это обычный биллиард во внутреннем круге; во втором - внешний биллиард с двухсвязной границей, состоящей из пары окружностей (внешней и внутренней границ исходного биллиарда). Оба указанных типа связаны с отражением лучей от границ обычных биллиардов. Назовем этот тип динамикой «простого отражения». Новый нетривиальный анализ связан с исследованием класса траекторий с периодическим маршрутом другого вида [1001001...]. Здесь период - это серия 100. В этом случае учитываются периодически повторяющиеся акты преломления луча при его однократном выходе в другую среду с последующим возвращением в исходную. Поэтому данный тип динамики можно назвать динамикой «простого преломления». Она представляет существенный интерес. Траектории такого типа являются неньютоновскими, так как связаны с законами преломления (следуют из волновой теории). Очевидно, что фазовый портрет траекторий с более сложными, в том числе непериодическими маршрутами, сводится к композиции фазовых портретов простого отражения и преломления, хотя сама последовательность наложения таких элементарных портретов в полном фазовом пространстве может быть достаточно сложной и даже хаотической.
Не всегда маршрут луча можно указать явно. Например, это практически невозможно сделать для хаотических последовательностей, для которых отсутствует какой-либо алгебраический алгоритм восстановления произвольного отрезка последовательности по ее начальному отрезку. Маршрут траектории в общем случае зависит от выбора начальных координат луча. Эта связь не является взаимно-однозначной, так как одному и тому же начальному лучу могут соответствовать разные маршруты из-за возможного расщепления лучей. Тем не менее эта согласованность позволяет использовать другой способ введения понятия маршрута луча. Вначале можно считать, что заданы только начальные координаты луча. Затем, отмечая последовательные отражения и преломления порожденных им траекторий - последовательно строить и перечислять все связанные с этим допустимые маршруты. При этом мож-
но следить за какими-то выделенными типами маршрутов, например, за маршрутом 1001001... «простого преломления». В такой интерпретации в структуре всевозможных маршрутов можно явно обнаружить проявление некоторых правил запрета, которые ограничивают класс допустимых маршрутов, соответствующих определенным множествам начальных точек в фазовом пространстве системы.
В случае простого преломления лучи посещают две среды в порядке
1111 ——— 1101 ——— 1011 ——— |11|... Лист с индексом |00| никогда не посещается. Фазовые портреты на каждом листе можно исследовать по отдельности. Ограничимся рассмотрением листа Т^. Для симметричного биллиарда этот лист стратифицируется на одномерные инвариантные многообразия (кривые). Распространению луча в обычном геометрическом пространстве соответствует фиксированный сдвиг вдоль указанных инвариантных кривых в фазовом пространстве. Динамика описывается суперпозицией отображений F = Fio о Foo о Foi:
{x = x + I (x0 — y0) mod 2n, y = y + I (xo — yo) mod 2n,
куда входит зависящий только от разности координат xo — yo интеграл движения невозмущенного (симметричного) биллиарда I = I (xo, yo) = I (xo — yo):
I = 2 < arcsin
ni xo — yo
— cos-
no 2
arcsin
TOi xo — yo cos
Rno 2
+ xo — yo
При наличии асимметрии отображение примет вид
{x = x + I (x0 — y0) + | А ) a1 (x, y) mod 2п,
}л{ (6)
y = y + I (xo — yo) + ( r) a2 (x, y) mod 2п,
где функции a1 (x, y) и a2 (x, y) уже зависят от обеих координат x и y.
Качественное исследование фазового портрета отображения (6) с ростом величины А/т показывает, что инвариантные кривые (прямые линии на развертке тора) невозмущенного биллиарда вначале искажаются, причем максимально сильно вблизи диагонали тора (рис. 2). При этом у них снимается вырождение по типу устойчивости периодических траекторий. Фазовые траектории невозмущенного биллиарда характеризуются нейтральной устойчивостью, так как оба собственных значения матрицы Якоби линеаризованного отображения всегда равны единице. Возмущенные траектории распадаются на два класса - гиперболические орбиты вдали от диагонали и эллиптические орбиты в окрестности возникающих в результате фазовой перестройки неподвижных точек эллиптического типа. Вначале это неподвижные точки на диагонали фазового пространства. (По определению, на диагонали обе координаты фазовых точек совпадают.) На рис. 2 эти точки имеют координаты (0, 0) и (2п, 2п). После склейки на торе - это одна и та же точка. Островки устойчивости, хорошо различимые при малой асимметрии (см. рис. 2), охвачены сепаратрисой, обе петли которой замыкаются в гиперболической неподвижной точке (п, п) на диагонали тора. К этой же неустойчивой точке прижаты траектории гиперболической компоненты движения.
Физическая причина перестроек фазового портрета связана с резонансами и напоминает перестройки, наблюдаемые в гамильтоновых системах с увеличением нелинейности [21]. Для асимметричного биллиарда нелинейность возрастает с ростом параметра А/г (см. соотношение (6)). В окрестности сепаратрисы резонанса возникает узкий хаотический слой, связанный с появлением гомоклинической структуры. Наиболее заметен он в окрестности гиперболических точек. С ростом асимметрии хаотический слой расширяется, как и ширина резонанса. Становятся заметными и хаотические слои резонансов более высоких порядков. Постепенно хаотические слои резонансов перекрываются и при расширении хаотических слоев мера эллиптических островов устойчивости уменьшается. Фактически все фазовое пространство вблизи диагонали заполняется хаотическим морем. При больших деформациях (рис. 3) вдали от диагонали еще сохраняется структура резонансов низких порядков с заметным хаотическим слоем и островами устойчивого эллиптического движения. С ростом асимметрии мера области хаотичности возрастает.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Рис. 2. Фазовые портреты на листе |11| при А ~ 0.001г (слева) и А ~ 0.01г (справа). Показаны типичные траектории вблизи диагонали фазового пространства. Фазовые области во всех углах на торе склеиваются. Проявляется хаотическая паутина вблизи сепаратрис, смыкающихся на диагонали. Вдали от диагонали показана одна из гиперболических траекторий, которая незначительно отличается от инвариантной кривой невозмущенного биллиарда
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 3. Фазовые портреты на листе |11| при А ~ 0.1г (слева) и А ~ 0.2г (справа). Фазовое пространство смешанное. Вдали от диагонали перекрываются резонансы (зоны эллиптического движения). Вблизи диагонали наблюдается развитый хаос и пустые квазилакуны, из которых фазовые траектории быстро выталкиваются в остальную часть фазового пространства
Описанные фазовые перестройки относились к классу лучей с одним из наиболее простых маршрутов [100100...]. При этом считалось, что в качестве начального можно выбрать любой луч, выпущенный во внутреннем круге. При анализе этой фазовой динамики по умолчанию допускались любые значения фазовых координат на листе Т2П|. Вместе с тем, не для всякого начального луча при изменении формы композитного биллиарда является допустимым маршрут 100100..., в отличие от симметричного биллиарда, где для любого начального луча среди порожденных им траекторий (в результате преломления и отражения лучей) всегда существует траектория с указанным маршрутом. Запрет на этот тип эволюции связан с геометрией (асимметрией) биллиарда и состоит в следующем. При распространении луча на некотором начальном этапе требуемый маршрут с периодическим повторением цикла 100 сохраняется. Однако из-за асимметрии биллиарда в некоторый момент эволюции преломленный луч, вошедший в среду 0, отразившись от внешней границы, может не попасть на внутреннюю границу (рис. 4). Вместо этого он проходит мимо нее и отражается еще один или большее число раз от внешней границы до тех пор, пока снова не попадет на внутреннюю границу. Только после этого он преломляется и возвращается в среду 1. Можно проверить, что эта задержка всегда будет конечной. Для некоторых траекторий она может стать сколь угодно долгой, если внешняя и внутренняя границы биллиарда расположены близко друг к другу, то есть при А ^ (Я — г). После однократного отражения во внутреннем круге указанный луч снова выходит во внешнюю среду и опять до своего возвращения может испытать более чем одно отражение от внешней границы и т.д. Маршрут такой тра-
ектории в общем случае непериодический и имеет вид:
10010--010--01...
, где
ш\, Ш2,... могут принимать любые целые значения не меньше 2.
Длительное пребывание луча во внешней среде до возвращения во внутреннюю означает медленное заполнение на фазовом листе Т2П| некоторых областей. Они соответствуют начальным лучам, заданным в среде 1, с указанными выше
Рис. 4. Происхождение геометрических лакун (слева) и квазилакун (справа). Слева показан ограниченный штрихованными лучами сектор, входящие в который лучи не могут достичь внешней границы 0 из-за наличия внутренней 1. В фазовом пространстве такие лучи попадают в область лакуны на листе Т200|. Справа показана траектория, принадлежащая квазилакуне. В маршруте траектории нарушена периодическая последовательность 1001001... из-за появления серии отражений от внешней границы. Начальный луч 1 в фазовом пространстве находится вблизи точки (я, я). После каскада преломлений и отражений луч 2 отражается от внешней границы, но затем не достигает внутренней 3 и продолжает свою серию отражений от внешней границы
маршрутами. Поэтому даже в развитом хаосе, когда почти вся часть фазового пространства доступна любой фазовой траектории c любым маршрутом, вероятность попадания в эти зоны будет невысока. В отличие от остальных зон на фазовом портрете они выглядят пустыми, поэтому их можно считать «квазилакунами», то есть областями, в которые типичная фазовая траектория практически не заходит. Объем квазилакун увеличивается с ростом асимметрии биллиарда (см. рис. 3). Как можно видеть, области квазилакун соответствуют лучам, расположенным ближе к меньшему перешейку между внутренней и внешней границами биллиарда. Кроме того, характерным свойством квазилакун является свойство «выталкивания» фазовых траекторий. Отметим, что этим свойством также обладает фазовая диагональ листа Tf11|. Другими словами, траектории «простого преломления», которые содержат лучи с направлением движения, близким к касательному к внутренней границе (траектории со вставками типа «шепчущих галерей»), практически не наблюдаемы, то есть разрушены потоком.
Как видим, при достаточно большой асимметрии свойства системы сильно отличаются от невозмущенной системы. Для симметричной системы лист Т^ в каскаде с преломлениями не участвовал вовсе. Он частично заполнялся за счет каскада отражений исключительно от внешней границы биллиарда, то есть как в обычном кольцевом биллиарде, но без отражений от внутренней границы, минуя при этом остальные листы фазового пространства. Любая фазовая траектория этого листа никогда не покидала его. Это свойство частично сохраняется и в случае асимметрии. Однако здесь на листе Т^ уже появляются фазовые траектории, которые многократно приходят на него или уходят с него.
Любой луч внутри среды 1 можно выбрать в качестве начального для последующего каскада с преломлением и отражением лучей. Можно проверить, что для любого начального луча, выпущенного из внутреннего круга (фазовой точки на листе |11|), существует критический параметр асимметрии, при котором топология допустимых маршрутов разрешает сколь угодно длинные серии непрерывающихся посещений фазовой траекторией листа |00|. Так как во время движения во внешнем или внутреннем круге любая траектория ведет себя регулярным образом (как отдельная траектория кругового биллиарда), то появление таких серий можно интерпретировать как длинные ламинарные фазы, изредка прерываемые быстрыми переходами из внешнего круга во внутренний и обратно. Такая динамика носит характер своеобразной перемежаемости, порожденной преломлением лучей. При этом доля траекторий, полученных в результате расщепления лучей, которые находятся в среде 0, в среднем будет больше доли траекторий, находящихся в среде 1. Как показывают численные расчеты, эта тенденция усиливается с ростом А и уменьшением r/R или щ/по.
4. Физические особенности фазовой динамики
Существует еще одна причина усложнения структуры маршрутов и появления настоящих лакун в фазовом пространстве кольцевого биллиарда. Физически она связана с явлением полного внутреннего отражения. Для определенности примем П < по, то есть показатель преломления внутренней среды асимметричного биллиарда меньше, чем показатель преломления внешней среды. Тогда при распростране-
нии луча в среде 0 он может попасть на внутреннюю границу под углом большим критического 6СГ = аггаш (щ/по). В этом случае он уже не проходит в менее плотную среду, а только отражается назад во внешней среде. Условие, при котором это происходит, можно записать в выбранных угловых координатах
р sin (S2 - £1)
р2 + r2 — 2rp cos I S2 — S1
>П1,
no
(7)
где
^ A sin Si , ^ , р = VR2 + A2 — 2 RA cos Si .
Si 2 = Si 2 + arcsin — sin Si 2 р
Если оно выполняется, то фазовая точка при очередной итерации формально попадает в запрещенную область на соответствующем листе Т2П|, так как физически преломленный луч не существует. Множество всех таких точек и образует лакуну. Аналогично при ni > no появляется лакуна на листе |00|. Ей соответствует множество лучей во внутренней области биллиарда, угол падения которых (на предыдущем шаге каскада) на внутреннюю границу больше критического. Отметим, что в общем случае наличие полного внутреннего отражения может также приводить к прореживанию допустимых маршрутов лучей.
В полный фазовый каскад вовлечены недиагональные листы |01| и |10|. Рассмотрим один из них, например, T|oi|. Принципиальной разницы между ними нет из-за обратимости траекторий биллиарда. Поэтому фазовые портреты на этих листах будут одинаковыми. Для недиагональных листов существенным является возникновение лакун полного внутреннего отражения и геометрических лакун, обусловленных геометрией биллиарда. Последние соответствуют лучам биллиарда, которые попадают в область геометрической тени. На рис. 4 показано, что при фиксированном значении одной из координат луча Si на лист |10| попадают только такие лучи, вторая координата которых лежит в промежутке [S2, S2]. Все остальные лучи продолжают оставаться на листе |00|. Стоит отметить, что их дополнение на листе T2oo|, в свою очередь, образует лакуну - область геометрической тени, вызванную наличием внутренней границы.
Для симметричного биллиарда все фазовые листы стратифицируются на одномерные инвариантные многообразия [13]. Для асимметричного биллиарда все листы могут иметь хаотические области. На листах |01| и |10| образование хаотических зон наиболее интенсивно идет в областях, близких к диагонали фазового пространства, особенно вблизи точки (0, 0). Это показано на рис. 5. В геометрическом пространстве хаотическая зона соответствует лучам, которые падают на внутреннюю границу под минимальными углами, в том числе в самом узком месте между внутренней и внешней границами. Именно для таких лучей угловое расширение пучков или разбегание фазовых траекторий максимально. В остальной части недиагональных фазовых листов динамика сильно замедлена и фазовые области долго остаются пустыми, так как их посещение затруднено эффектами полного внутреннего отражения и наличием геометрических лакун. Описанное динамическое поведение хорошо подтверждается в компьютерных экспериментах.
Рис. 5. Фазовый портрет на листе |01| при А приблизительно равном 0.1г (слева) и при 0.3г (справа)
Что касается поведения показателя Ляпунова для типичной хаотической траектории, то на промежуточном этапе (при изменении А/г в интервале от 0 до 0.2), когда происходят описанные в предыдущих разделах фазовые перестройки, он ведет себя крайне нерегулярным образом (рис. 6). Это связано с появлением и исчезновением в фазовом пространстве регулярных островков устойчивости достаточно большого объема (см. рис. 3). Формально, появление каждого нового островка устойчивости должно сопровождаться уменьшением показателя Ляпунова, а его исчезновение - возрастанием. При большой
Рис. 6. Показатель Ляпунова типичной хаотической траектории (маршрут 100100 ...) при изменении управляющего параметра А (радиусы внешнего и внутреннего круга биллиарда фиксированы К = 2г =1)
асимметрии почти все островки разрушены и показатель Ляпунова начинает монотонно возрастать с ростом асимметрии. Он достигает своего максимального значения, когда внутренний и внешний круги кольцевого биллиарда касаются друг друга.
Заключение
На примере сравнительно простого асимметричного кольцевого биллиарда с расщеплением лучей установлены характерные особенности фазовой динамики лучей, которая допускает отражение и преломление. Помимо традиционных механизмов хаотизации лучей важную роль играет непредсказуемость их закона движения, который определяется маршрутом луча и может быть закодирован двоичной последовательностью, периодической или хаотической.
В биллиарде с расщеплением лучей реализуется новый механизм хаоса, обусловленный континуальностью множества допустимых маршрутов лучей, среди которых заведомо присутствуют случайные маршруты. Обычно в динамических си-
стемах или отображениях хаос инициирует нелинейность, заложенная в уравнениях движения. В данном случае помимо этого фактора новым «элементом» является размножение и преломление лучей на внутренней границе раздела сред. Это приводит к новым динамическим эффектам в таких системах. Можно надеяться, что и в других биллиардах с расщеплением лучей следует ожидать обнаруженные в кольцевом биллиарде особенности регулярной и хаотической динамики и тонкое влияние эффекта расщепления лучей на динамические и статистические характеристики такой биллиардной системы.
Приложение А
Рассмотрим асимметричный биллиард (см. рис. 1). В качестве лабораторной системы отсчета S выберем полярную систему координат (р, ф) с центром в точке O (нештрихованные координаты). Полярная система координат (р', ф') с центром в точке O' будет вспомогательной системой отсчета S' (штрихованные координаты). Некоторые соотношения вначале удобно получать в системе S', а затем переходить к лабораторной системе. Получим отображения, описывающие распространение луча. Отображение Foi переводит луч (ф1, ф2) из среды 1 в луч (ф2, фз) в среде 0.
Для любой точки декартовой плоскости связь между ее угловыми координатами в системах S и S' определяется формулой
• (А
Ф = ф + arcsin — sin ф Р
Для точек, находящихся на внешней и внутренней границах биллиарда, соответственно,
р' = д/R2 + Л2 — 2RÁ cos ф , ф' = ф + arcsin ( Л sin ф ) ,
VP' /
р = \/r2 + Л2 + 2rÁ cos ф' , ф = ф' — arcsin ( л sin ф') .
р
Падающий луч в среде 1 имеет наклон
k1 = tan ф2 ^ ki = Rsin ф2 — P1 8111ф1 , R cos ф2 — рг cos фг
где
pi = у r2 + А2 + 2rA cos ^ф1 + arcsin ^А sin ф1
Наклон преломленного луча (ф2, фз) в среде 0
k2 = tan (ф2 + N в ,
где N = sign (ф2 — ф1) и штрихованные координаты следует выразить через нештрихованные по предыдущим формулам. Угол преломления луча (ф1, ф2) в системе S'
в = arcsin
ni coJф2—^1
no v 2
Уравнение прямой, на которой лежит преломленный луч, в полярных координатах имеет вид
р sin ф = k2p cos ф + b2 ■
Коэффициент b2 определяется из условия, что точка S2 = (р2 cos ф2, р2 sin ф2) принадлежит этой прямой, то есть из уравнения
b2 = Р2 sin ф2 - k2P2 COs ф2 ,
где
р2 = у r2 + А2 + 2rA cos ^ф2 + arcsin ^ — sin ф2
Угловая координата фз точки S3 определяется из условия пересечения указанной прямой окружностью р = R. Решая уравнения относительно ф, получим два возможных решения
( R ±JR2 (1 + k2) - b2 '
фз = ф± = 2 arctan I -———--
I b2 + k2R
Выбираем из них то, которое удовлетворяет условию ф2 Е [ф2 — 02, ф2 + 61]. Здесь
61 = arccos ^R cos Z^ + Z; 62 = arccos ^R cos Z^ — Z; Z = arcsin ^A sin ф2^ ■
Отображение F00 связывает луч (ф2, ф3) с лучом (ф3, ф4) после отражения от внешней границы. Наклон отраженного луча (фз, ф4) в лабораторной системе
k3 = tan ф4 = tan (ф4 — 26) ,
где 6 - угол отражения от внешней границы в точке S3
Р2 sin (ф3 — ф2)
6 = 6 (ф2, ф3) = arctan
R — Р2 cos (ф3 — ф2)
Выполним аналогичные вычисления в системе S' с учетом того, что угловая координата точки S4 определяется из условия пересечения прямой, на которой лежит луч (ф3, ф4), с окружностью р' = r. Наклон этой прямой не зависит от выбора системы отсчета, то есть k2 = k'2, где k2 выражена в лабораторных, а k'2 в штрихованных координатах. Уравнение прямой в полярных координатах
р' sin ф' = k3р' cos ф' + b'3 ■ Из условия, что этой прямой принадлежит точка S3 = (р'3 cos ф'3, р'3 sin ф'3), опреде-
b3 = р3 (sin ф3 — k3 cos фэ) ,
ляется постоянная b3
где
ф3 = ф3 + arcsin ^— sin ф3^ ; р3 = д/R2 + А2 — 2RA cos ф3 ■
Для точки S4 = (r cos ф4, r sin ф4) получим
f r ±Л2 (i+k2) — ьз;
ф4 = ф± = 2 arctan 1
Ьз + k3 r
Возвращаясь в лабораторную систему координат, получим
. / А sin ф'±
ф4 = ф± = ф± — arcsin 1
\Jr2 + А2 + 2rА cos ф± у '
где штрихованные величины должны быть выражены через нештрихованные. Одно из решений нефизическое и соответствует второй (более удаленной от точки S3) точке пересечения прямой с внутренней окружностью. Его следует отбросить. Искомое значение ф4 определяется из условия минимальности длины отрезка |S3S4|.
В отличие от симметричного биллиарда при некоторых начальных данных луч после отражения от границы 0 может не попасть на границу 1. Это происходит при условии r2 (i + k2) — Ь3 ^ 0, когда квадратный корень в выражении для ф± становится мнимым. В этом случае угловая координата точки S4 на внешней окружности равна ф4 = п + ф3 — 26, то есть это сдвиг угловой переменной как для обычного биллиарда в круге.
Отображение F10 переводит луч (ф3, ф4) из среды 0 в луч (ф4, ф5) в среде 1. При этом угол падения у на внутреннюю границу связан с углом преломления е соотношением
П1 . sin е = — sin у .
no
Угловая координата точки S5 во вспомогательной системе отсчета определяется из системы уравнений
ф5 = ф4 + (п — 2е) ; у = ф4 — ф3 + 6(ф1, ф2) ,
в которую входит и предыдущее уравнение. В этих уравнениях все величины должны быть выражены в штрихованных координатах. Эти уравнения легко получить из геометрических соображений. После обратного перехода в лабораторную систему отсчета получим нужный результат для ф5. Явные громоздкие выражения опускаем. Отметим только, что для определения ф5 необходимо указать угол отражения 6 при предыдущем отражении луча в среде 0, но окончательно этот угол можно выразить только в координатах ф3 и ф4.
Отображение F11 связывает падающий луч (ф1, ф2) с отраженным (ф1, ф2) во внутренней среде. Поэтому его проще всего получить в штрихованной системе отсчета. В ней точка S2 имеет угловую координату ф = 2ф2 — ф1 (как для биллиарда в круге). Переходя в лабораторную систему, получим
ф2 = (2ф'2 — ф1) — arcsin
А sin (2ф2 — ф1)
\Jr2 + А2 + 2rA cos (2ф'2 — ф1)
где штрихованные величины следует выразить через нештрихованные. Отображение
(53,54) (ф3, ф2) соответствует отражению луча от внутренней границы, но
снаружи, во внешней среде 0. Громоздкое выражение для него также опускаем.
Приложение B
Проследим за распространением пучка лучей (не обязательно узкого) в симметричном биллиарде. Для полного описания пучка достаточно задать три независимых координаты:
Ф1 - Фо ; ф1 - фо ; АФо •
При распространении в среде 0 пучок имеет угловой разброс Дф0. После преломления ширина пучка станет равной Дф
Дф = 2(61 - 62) + Дфо ,
где
1=
ф1 — фо
arcsin
П1 / ф1 —
— cos -
no V 2
фо
+ arcsin
r П1 / ф1 — фо
— — cos -
Rno I 2
62 = П — ф1 фо — arcsin
П1 coJ ф1 — ф0 no
+ arcsin
rni coJ ф1 —^
R no 2
Нетрудно получить, что дДф/дДфо = 1 , то есть в этом случае коэффициент расширения пучка равен единице.
Для описания пучка в несимметричном кольцевом биллиарде требуется задать не три, а четыре переменных. В их качестве удобно взять
Ф1 - фо; ф1 - фо ; Фо; Дфо • Ширина прошедшего пучка определяется аналогичным выражением
Дф = 2(61 - 62) + Дфо , но функции 61 и 62 имеют другой вид
61 = а1 (ф1, фо) - и (фъ фо) ; 62 = а2 (ф1, фо) - И-2 (ф'ь фо) • Коэффициент расширения инфинитезимального пучка равен
дДф 961 д 62
= 2^—'- - + 1 •
9Аф0 9Аф0 9Аф0
Так как 61 является функцией только независимых переменных ф1 — ф0 и ф0, то первое слагаемое в правой части последнего выражения обращается в ноль. Вычислим функцию 62. Величина а2 определяется из уравнения
r + А cos ф1 r + А cos ф0 sin (а2 + ф1 — ф0) sin а2 '
Его решение можно представить в виде
а2 = П - ^ + AZ.
Применяя теорию возмущений по А, находим выражение для неизвестной величины Z
1 ( ) Z = 2r (SÍn ф1 — sin ф0) ■
П
В силу того что отклонение от симметрии мало Д ^ 0, можно принять
ц2 = arcsin
П1 cos f ф1 — Ф0 + Q2 —
П0 I 2 2
+ —
arcsin
r + А cos ф1
R
sin arcsin
П1 cos f ф1 — Ф0 + Q2—
П0 V 2 2
+ Q2
Учтем, что ф1 = ф1 + 81 и фо = фо + бо. Для простоты также примем 8о = 0. Тогда функция 62 = 62 (ф1, фо) приводится к виду
62 = 2 —
П ф1 — Ф0 , Л 1
arcsin
+ arcsin
2
ni
П0
+ А— cot 2r
ф1 — ф0
cos
ф1 — ф0 , Q2 — Q
+
(cos ф0 — cos ф1) —
— Q2+
r + А cos ф1 ( ---sin
R
arcsin
n1 cos f ф1 — ф0 + Q/2 — Q/1 П0 V 2 2
+ Q2
где ф0 = фо, ф1 = Ф1 + Si, Q1 = Д sinф0, Q'2 = Д sin [фо + (ф1 - фо) + Si], Отсюда определяется коэффициент расширения пучка
дДф =^2d02 dSi
9Аф0
д61 дАф0
Связь между Дфо и Si легко определить, если считать что распространяющийся пучок является узким и принять ф0 = фо. В этом случае Дфо = Si/4. Тогда дДф/дДф0 = 1 + 8C, где C = —d62/dSi. Дифференцируя 92 по Si и введя обозначения A и B
л R\ . Ф1 — фо 1--sin --— X
W 2
A = 2- (Ц ni
R n0
n1
1 — I — sin n0
ф1 — ф0
+
1
rni . ф1 — ф0 sin---
Rn0
B = cot
ф1 — ф0
получим окончательное выражение для коэффициента расширения пучка:
4А
K = 1 +--(A cos ф1 — B sin ф1) ,
причем здесь A Е [1, 2] и B > 0, так как ф0 < ф1 по построению пучка. Тригонометрическим преобразованием эту формулу легко привести (в обозначениях ф0 ^ Si и ф1 ^ S2) к выражению (5). Из последнего выражения видно, что при разных значениях угловых параметров пучка, коэффициент его расширения может быть больше или меньше единицы. В частности, при л/2 < ф0 < ф1 < л коэффициент меньше единицы, а при 3л/2 < ф0 < ф1 < 2л - больше единицы.
2
2
х
Библиографический список
1. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. М.: Изд-во АН СССР, 1950.
2. Биркгоф Дж. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.
3. Benettin G., Strelcyn J.-M. Numerical experiments on the free motion of a point mass moving in a plane convex region: Stochastic transition and entropy // Phys. Rev. 1978. Vol. A 17, № 2. P. 773.
4. Berry M.V. Regularity and chaos in classical mechanics, illustrated by three deformations of a circular billiard // European J. Phys. 1981. Vol. 2, issue 2. P. 91.
5. Лазуткин В.Ф. Выпуклый биллиард и собственные функции оператора Лапласа. Л.: ЛГУ, 1981.
6. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988.
7. Gutzwiller M.C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer,
1990.
8. Лоскутов А.Ю., Рябов А.Б., Акиншин Л.Г. Механизм ускорения Ферми в рассеивающих бильярдах с возмущаемыми границами // ЖЭТФ. 1999. Т. 116, № 5. С. 1781.
9. Proceedings of the International Conference on Classical and Quantum Billiards // J. Stat. Phys. 1996. Vol. 83, № 1-2. P. 1.
10. Синай Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, №6. С. 1261.
11. Бунимович Л.А. Об убывании корреляций в динамических системах с хаотическим поведением // ЖЭТФ 1985. Т. 89, № 4(10). С. 1452.
12. Bunimovich L.A. Conditions of stochasticity of two-dimensional billiards // Chaos.
1991. Vol. 1. P. 187.
13. Барьяхтар В.Г., Яновский В.В., Найденов С.В., Курило А.В. Хаос в композитных биллиардах // ЖЭТФ 2006. Т. 130, № 2(8). С. 335.
14. Hentschel M., Richter K. Quantum chaos in optical systems: The annular billiard // Phys. Rev. 2002. Vol. E 66. P. 056207-1 - 056207-13.
15. Blumel R., Antonsen T.M., Georgeot B., Ott E., Prange R.E. Ray splitting and quantum chaos // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, № 4. С. 3284.
16. Hentschel1 M., Richter K. Quantum chaos in optical systems: The annular billiard // Phys. Rev. 2002. Vol. E 66. P. 056207.
17. Doron E., Frischat S.D. Semiclassical description of tunneling in mixed systems: case of the annular billiard // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. P. 3661.
18. Carvalho R.E. de, Souza F.C., LeonelE.D. Fermi acceleration on the annular billiard // Phys. Rev. 2006. Vol. E73, P. 066229.
19. Найдёнов С.В., Яновский В.В. Геометрические особенности нелинейной динамики систем с упругими отражениями // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, № 1-2. С. 113.
20. Найдёнов С.В., Яновский В.В., Тур А.В. Биллиардная проблема в симметричных координатах // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75, № 8. С. 499.
21. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастично-сти. Новосибирск. Препринт ИЯФ, № 267, 1969.
Институт монокристаллов Поступила в редакцию 14.06.2006
НАН Украины, Харьков После доработки 23.10.2006
CHAOTIC MODES OF ASYMMETRIC CIRCULAR BILLIARD WITH BEAMS REFLECTION AND REFRACTION
V.V. Yanovsky, S.V. Naydenov, A.V. Kurilo
The paper studies the chaotic dynamics in circular asymmetric billiard with beams reflection and refraction. Phase dynamics is characterized by a variety of dynamics modes, which is connected with the effect of traditional chaotization mechanisms as well as with the complicacy of allowable motion laws. In the multisheet symmetric phase space, the circular billiard reconstructions have been analysed its asymmetry degrees changes.
Яновский Владимир Владимирович - родился в 1950 году в г. Полтава, окончил Харьковский государственный университет в 1973 году. После окончания ХГУ работал в Физико-техническом институте (Харьков). В настоящее время работает в Институте монокристаллов (ИМ) НАН Украины. Защитил диссертацию на соискание учёной степени кандитата физико-математических наук в Институте космических исследований (1983) и доктора физико-математических наук в ИМ НАНУ (1996) в области теоретической физики. Область научных интересов - теоретическая физика, хаос и теория турбулентности, нелинейная физика. Автор более 160 научных публикаций.
Найдёнов Сергей Вячеславович - родился в 1968 году в г. Харькове, окончил Харьковский государственный университет в 1993 году. После окончания ХГУ работает в Институте монокристаллов (ИМ) НАН Украины. Защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук в ИМ НАНУ (1998) в области теоретической физики. Область научных интересов - теоретическая и математическая физика, детерминированный хаос, теория конденсированного состояния вещества. Лауреат премии Президента Украины для молодых ученых (2003). Автор более 70 научных публикаций.
Курило Артем Викторович -родился в 1981 году в г. Купянске Харьковской области, окончил Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина в 2004 году. После окончания ХГУ работал в Институте монокристаллов НАН Украины. Область научных интересов - теоретическая физика, нелинейные явления и детерминированный хаос. Автор 3 научных публикаций.
