Расчет обобщенных линз «Рыбий глаз» Максвелла и Итона-Липмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ ЛИНЗ «РЫБИЙ ГЛАЗ» МАКСВЕЛЛА И ИТОНА-ЛИПМАНА

В.В. Котляр, А. С. Мелехин Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет

Аннотация

Получены и решены с помощью преобразования Абеля интегральные уравнения для лучей в двух градиентных линзах со сферически-симметричной зависимостью показателя преломления от координат. Первая линза в виде полу-шара со сферически-симметричным распределением показателя преломления фокусирует плоский пучок лучей, падающий перпендикулярно на плоскую поверхность полу-шара, в точку, лежащую на оси падающего пучка и на некотором расстоянии от полу-шара. Такая линза, как оказалось, является обобщением известной линзы «рыбий глаз» Максвелла. Вторая линза является обобщением известной линзы Итона-Липмана и отражает (или преломляет) любой луч под заданным углом. Из падающего параллельного пучка лучей обобщенная линза Итона-Липмана формирует конические волны, то есть является градиентным аксиконом. Кроме того, получено и решено интегральное уравнение для расчета градиентного сферически-симметричного фо-кусатора в виде полу-шара, который фокусирует падающий перпендикулярно его плоской поверхности параллельный пучок лучей в радиально симметричную область плоскости с заданным распределением интенсивности, расположенной перпендикулярно оси пучка на некотором расстоянии от полу-шара.

Введение

В предыдущей работе авторов [1] в рамках геометрической оптики с помощью пары (прямого и обратного) интегральных преобразований Абеля получены и решены интегральные уравнения для расчета показателя преломления известных градиентных оптических элементов со сферической симметрией (обобщенной линзы Лунеберга [2], для которой интегральные уравнения были ранее получены Морганом [3] и Флетчером [4]; обычной линзы Лунеберга) и цилиндрической симметрией (линзы Микаэля-на [5]).

В данной работе аналогичным образом с помощью преобразования Абеля получены и решены интегральные уравнения для других сферически-симметричных градиентных оптических элементов: обобщенной линзы Максвелла «рыбий глаз», выполненной в виде полу-шара[6], и обобщенной линзы-зеркала Итона-Липмана [7]. В первом случае обобщение состоит в том, что градиентный оптический элемент со сферической зависимостью показателя преломления выполнен в виде полу-шара и предназначен для фокусировки падающего перпендикулярно его плоской поверхности параллельного пучка лучей в точку на оптической оси, лежащую за пределами элемента. Во втором случае обобщение состоит в том, что линза Итона-Липмана отражает (или преломляет) любой луч не на 360 градусов, а на некоторый заданный угол. При этом получается, что параллельный пучок лучей преобразуется обобщенной линзой Итона-Липмана в набор расходящихся (или сходящихся) конических волн.

Кроме того, в работе получено и решено интегральное уравнение для расчета градиентного сферически-симметричного оптического элемента в виде полу-шара, фокусирующего падающий перпендикулярно его плоской поверхности параллельный пучок лучей в радиально-симметричную область

плоскости с заданным распределением интенсивности, перпендикулярную оси пучка и отстоящую на некотором расстоянии от полу-шара. Данный оптический элемент отличается от градиентного оптического элемента со сферической симметрией в виде шара, формирующего такое же распределение интенсивности и рассчитанного ранее Флоресом [8,9].

1. Обобщенная линза Максвелла «рыбий глаз»

На рис. 1 показан ход произвольного луча в обобщенной линзе Максвелла, которая представляет собой полу-шар из материала со сферически-симметричным распределением показателя преломления п(г), причем пусть радиус шара равен единице г=1 и п(1)=1. Пусть на такой градиентный оптический элемент перпендикулярно его плоской поверхности падает пучок параллельный лучей, которые, пройдя внутри полу-шара, собираются в одну точку, расположенную на оси на расстоянии / за элементом.

А \ у г^ х

0 /

# I

п(г) /

# у/

Рис. 1. Ход лучей в обобщенной линзе Максвелла «рыбий глаз» в виде полу-шара

Общее уравнение для участка луча в сферически-симметричной среде известно [10,11]:

ёг

И Г, г^п2(г)г2 - И2

(1)

где: И — п (г *) г * -

постоянная луча, г - радиус,

при котором траектория имеет касательную, перпендикулярную этому радиусу, г1, г2, 0,, 02 - начальные и конечные радиусы и углы, которые образуют радиус с осью х, для участка траектории луча.

Для обобщенной линзы «рыбий глаз» из геометрических соображений (см. рис.1) можно получить следующие соотношения:

а — ш - у , 0 —--а,

2

п(г)г БШ ш(г) — И, БШ ш(1) — И, БШ у — —.

(2)

Тогда уравнение (1) для обобщенной линзы Максвелла будет иметь вид:

гу]п2г2 - И2

П -7 ■ /И. — агсБш И + агсБ1п(—) 2_/

И

(3)

Решим уравнение (3) с помощью пары преобразований Абеля, которые запишем в виде [1]:

Р (г) — 2|

/ (х) — — п

/ (х)хdх

7 2 2 ' х - г

dР (г) г° —;— 1 ^

dr

Р (г,)

тгТ-

(4)

(5)

С помощью замены переменных: п(г)г — р , г — т(р), Р(р) — 1пг — 1пт(р), преобразуем уравнение (3) к уравнению (5): dР (р)

1 dP

и ^р2 - И

dр

1

— —[/(И)],

(6)

где функция /(И) равна правой части в уравнении (3).

Левая часть уравнения (6) по виду совпадает с правой частью уравнения (5), поэтому для нахождения функции Р(р) можно воспользоваться уравнением обращения (4). Получим:

Р (р) — -1 гЛИИИ

^лИ-7

тт

ИdИ

л/И2-

И. Л

— - агсБ1п(И) + агсБш/)

(7)

В правой части уравнения (7) три слагаемых, из них первое слагаемое приводит к следующему табличному интегралу [12]:

d И

■ л/И2-

— 1п

1

(8)

а второе слагаемое приводит к интегралу, полученному в [1]:

2 1 атсБШ И d И ■ л Пл ~2

л/И7-

— 1п 11

(1 ).

(9)

Тогда вместо уравнения (7) можно записать следующее уравнение:

(

Р (р) — 1п г — - 1п

11 -р"

л

+1п (1 +7ГГ7 Ы~Ги

2 1 агсБш/ )dИ

(1,)

2 р2

Из уравнения (10) можно получить окончательное трансцендентное уравнение для расчета радиальной зависимости показателя преломления в обобщенной линзе Максвелла в виде полу-шара:

п(г) — ехр

. агсБШ I И I ёИ

2 Г I / )

п1 лИ-2

р — п(г)г . (11)

Уравнение (11) отличается множителем 2 в показателе экспоненты от известного уравнения для обобщенной линзы Лунеберга [3, 4, 8, 9]:

п(г) — ехр

. агсБШ I И | ёИ I Г_У

п1 лИ-2

р — п(г)г . (12)

Кроме того, из уравнения (11) можно получить при /=1, то есть при фокусировке в точку на поверхности элемента, решение для обычной линзы Максвелла «рыбий глаз». Действительно, при /=1 вместо уравнения (3) получим:

dг

гу/п2г2 - И2 2И

(13)

Из уравнения (13), действуя с помощью пары преобразований Абеля, вместо уравнения (10) получим следующее уравнение:

Р (р) — 1п г — - 1п

1 + 41-р-

(14)

из которого нетрудно получить явную радиальную зависимость показателя преломления:

2

п(г) —

1 + г2

(15)

Зависимость (15) является частным случаем зависимости показателя преломления для обычной линзы «рыбий глаз» [10]:

n(r) = •

n(0)

1+ 1Г

(16)

где п(0) - показатель преломления в центре симметрии среды при г = 0, s - радиус, на котором показатель преломления уменьшается в два раза по сравнению со значением в центре п(0). При фокусировке из точки на поверхности в диаметрально противоположенную точку поверхности сферы уравнение (16) совпадает с уравнением (15), так как п(0)=2, 5=1.

2. Градиентный сферически-симметричный фокусатор в радиально-симметричные области, выполненный в виде полу-шара

В работах [8, 9] рассмотрен расчет сферических градиентных оптических элементов, предназначенных для фокусировки излучения, исходящего из точечного источника, в радиально-симметричную область с произвольным распределением интенсивности в некоторой плоскости за оптическим элементом.

В данном разделе получим интегральное уравнение для расчета градиентного сферически-симметричного оптического элемента, выполненного в виде полу-шара и фокусирующего пучок параллельных лучей, падающих на плоскую поверхность полу-шара, в радиально-симметричную область с произвольным распределением интенсивности в некоторой плоскости за оптическим элементом.

На рис. 2 показан ход произвольного луча в градиентном полу-шаре со сферической зависимостью показателя преломления.

Рис.2 Оптическая схема для расчета сферически-симметричного градиентного полу-шара, фокусирующего параллельный пучок лучей, падающий на плоскую поверхность полу-шара, в произвольную радиально-симметричную область с заданным распределением интенсивности в плоскости, находящейся от центра элемента на расстоянии /.

Из рис. 2 можно установить следующие геометрические соотношения (радиус шара - 1, п(1) = 1):

sin у =

sin у

а=п-у-у+ arctg

у=п-0=п- arcsin h.

(17)

(18)

(19)

где 4 = 4(h) - точка фокальной плоскости, в которую приходит луч, упавший на градиентный оптический элемент параллельно оптической оси z на расстоянии h от нее, r - минимальное расстояние луча от центра, h = n(r )r - параметр луча, который в произвольной точке вдоль по ходу луча внутри оптического элемента выражает закон Снелиуса:

h = n(r )r sin у , (20)

где у - угол между лучом и радиусом.

В уравнение (1), которое верно для любого луча в градиентной среде со сферически-симметричным показателем преломления, надо подставить в данном случае следующие величины:

* 7

r2 = r , r¡ = 1 и

де = е2-0J =

п- 2\х 2

(21)

Тогда уравнение (1) с учетом выражений (21), (17)-(19) имеет вид:

Í

d r

r-*Jn2(r)r - h2

arcsin h + arcsin

f+r'arctg f

(22)

h

где И = п(г )г .

Заметим, что в пределе £ ^ 0 вместо уравнения (22) получится уравнение (3) для обобщенной линзы Максвелла «рыбий глаз».

Решать уравнение (22) можно с помощью пары преобразований Абеля (4) и (5).

Для сведения уравнения (22) к уравнению (5) введем обозначения: п(г)г = р,

Р(р) = 1п п(г) = 1п т(р). Учтем, что

Р(1) = 1п п(1) = 1п 1 = 0. Тогда уравнение (22) перепишется в виде:

-п í

dp

-dp

п X VР2 - h2

где: S(h) =

= - П S(h), п

h

(23)

— arcsinh + arcsin- ,_

2 4/2 +^2(h)

- arctg

м

/

(24)

h

Уравнение (23) с точностью до обозначений совпадает с уравнением (5). Тогда функцию Б(р) можно найти с помощью уравнения Абеля (4):

2

Р(р)=-1 г.адкйк

гг 3

(25)

Подставив уравнение (24) в уравнение (25) получаем:

' йк

Р(р) = -\

л/к7-

2 гагс81п кйк

-21-

ПР

р

атсБш

л//2 +^2(к)

ПР л/к7"—р

Л

йк

л/к7—

пРр л/к—7

(26)

Первый и второй интегралы в уравнении (26) являются табличными (см. (8) и (9)), а третий и четвертый интегралы не вычисляются в элементарных функциях. Поэтому уравнение (26) сводится к следующему уравнению, сходному с уравнением (10):

^ (р) = 1п г = - 1п

1 + ^I-р

(27)

+1п (1+41 -р2 )-ф1 -Ф2,

где:

21

Ф1(р) =-|-

■тт ^

агс81п

V/2 +^2(к)

й к

Ф2(Р) =--\"

ТТ

1 аг^я

л/к1-

%(к)' . / .

й к

л/к1-

, р = п(г)г.

(28)

(29)

Окончательно для расчета радиальной зависимости показателя преломления градиентного оптического элемента вместо (27) получим трансцендентное уравнение:

п(р) = ехрф1 (р) ехрФ2 (р), р = п(г)г. (30)

Аналитически интегралы в выражениях (28) и (29) не берутся, но они могут быть вычислены численно. Функцию ^(к) можно получить из условия сохранения энергии:

к %

\\(к')к' й к' = \ 11(%')%' й , (31)

0 0

где 10(К) и /1(£) - распределения интенсивности в падающем плоском пучке и в плоскости фокусировки, соответственно.

Заметим, что уравнение (30) при фокусировке в точку на оси, то есть при £(к)^0, переходит в уравнение (11) для обобщенной линзы Максвелла.

3. Расчет градиентной линзы Итона-Липмана

В [7] приведен показатель преломления градиентной линзы Итона-Липмана, которая, как сферически-симметричное зеркало, любой луч, падающий на эту линзу, отражает назад. Показатель преломления такой линзы-зеркала имеет вид:

п(г) = п(Я\1— -1. г

(32)

Приведем расчет показателя преломления для обобщенной линзы Итона-Липмана с помощью преобразования Абеля. Для простоты рассуждений и чтобы не учитывать отражение от границы линзы, примем Я = 1 и п(1) = 1.

На рис.3 показан ход произвольного луча в сферически-симметричной обобщенной линзе Ито-на-Липмана, которая отражает (или преломляет) произвольный луч под некоторым заданным углом.

Повернем рис. 3 на угол а против часовой стрелки так, чтобы падающий пучок параллельных лучей распространялся вдоль оптической оси г. Тогда общее интегральное уравнение (1) для произвольного луча в данном случае примет вид:

йг

г^пг1 - к

л-а-агсБШ к к

(33)

где к = п(г )г , г - кратчайшее расстояние от луча до центра линзы, к - расстояние от луча до оси г, 8шв = к, в2 - в1 = ж -а - в = ж - а - агсБшк, к = п(г)гб1щ - инвариант луча, у - угол между направлением луча и радиусом до центра линзы, а - половина угла, на который разворачивает лучи данный градиентный оптический элемент.

Рис. 3. Ход произвольного луча в обобщенной линзе Итона-Липмана, которая параллельный пучок лучей отражает под углом 2а Уравнение (33) можно решить с помощью пары преобразований Абеля (4) и (5). Для этого введем обозначение: ^(р) = 1пг , п(г)г = р, тогда вместо уравнения (33) запишем уравнение, аналогичное

преобразованию Абеля (5): & (р)

4

йр

-йр

л/р1-к

• = / (к),

где:

/ (к) = -

л-а-атсБШ к к

(34)

(35)

Обращая уравнение (34) с помощью преобразования Абеля (4), получим:

п

F (p) = 2f =

Wh -p2

2(п-а)1 d h

2 1 arcsin h d h

(36)

л/h2 -p2 Vh2—

Интегралы в правой части уравнения (36) вычисляются в аналитических функциях (8), (9), поэтому вместо уравнения (36) можно записать уравнение

Р (р) — 1п г —

I Л

2(n - а)

ln

1

+ ln (l ^Tl—P7)

. (37)

С учетом того, что р = п(г)г, из уравнения (37) получим алгебраическое уравнение для расчета радиальной зависимости показателя преломления обобщенной линзы Итона-Липмана:

гп" - 2пп + г — 0,

где

v = -

A -1

П =

2 - A A -1

A = 2

(38)

(39)

Угол а меняется от 0 (отражение назад) до п/2 (прохождение без преломления). При отражении назад (а=0) вместо уравнения (38) получим уравнение

rn - 2 + r = 0 , решение которого легко получить:

2-r

(40)

(41)

Решение (41) совпадает с решением (32) при п(К) = 1 и К = 1. Заметим, что при г ^ 0 , п(0) ^ да особенность в нуле решения (39) делает реализацию линзы-зеркала невозможной. Однако наличие точного решения может облегчить поиск приближенного и реализуемого на практике распределения сферически-симметричного показателя преломления для линзы-зеркала, отражающей назад падающий с любой стороны луч.

Заключение

В работе получены следующие результаты: • С помощью интегрального преобразования Абеля в рамках геометрической оптики получено и решено интегральное уравнение для обобщенной линзы Максвелла «рыбий глаз», выполненной в ви-

де полу-шара и фокусирующий пучок параллельных лучей, падающий перпендикулярно на плоскую поверхность полу-шара, в точку на оптической оси за пределами элемента.

• Получено и решено интегральное уравнение для расчета градиентного оптического элемента со сферически-симметричной зависимостью показателя преломления, выполненного в виде полу-шара и фокусирующего параллельный пучок лучей, перпендикулярных плоской поверхности элемента, в радиально-симметричную область с заданным распределением интенсивности на плоскости, перпендикулярной оси пучка и находящейся за элементом.

• Получено и решено интегральное уравнение для расчета обобщенной линзы Итона-Липмана, которая любой луч отражает (или преломляет) на заданный угол.

Литература

1. Котляр В.В., Мелёхин А.С. Преобразование Абеля в задачах синтеза градиентных оптических элементов // Компьютерная оптика, вып. 22, с. 29-36, 2001.

2. Luneburg R.K. Mathematical Theory of Optics. Brown U. Press, Providence, R.I., 1944.

3. Morgan S.P. General solution of the Luneburg lens problem. // J. Appl. Phys., v. 29, p. 1358-1368, 1958.

4. Fletcher A., Murphy T., Young A. Solution of two optical problems. // Proc. R. Soc. London, Ser. A, v. 223, p. 216-225, 1954.

5. Микаэлян А. Л. Применение слоистой среды для фокусирования волн // Доклады академии наук СССР, т. LXXXI, c. 569-571, 1951.

6. Maxwell J.C. Scientific Papers. v. 1, Cambr. Univ. Press, 1890.

7. Физическая энциклопедия. Т. 2, М., Наука.

8. Flores J.R. Gradient-index with spherical symmetry. // J. of Modern Optics, v.46, no. 11, p. 15131525, 1999.

9. Flores J.R. Spherically symmetric GRIN amplitude formers. // J. of Modern Optics, v. 48, no. 7, p. 1225-1238, 2001.

10. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1973.

11. Greishuk G.I., Bobrov S.T., Stepanov S.A. Optics of diffractive and gradient-index elements and systems. SPIE Press, Bellingham, 1997.

12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. М., Наука, 1981.

n =

r