Реализуемость финансового плана с использованием линейного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.332

РЕАЛИЗУЕМОСТЬ ФИНАНСОВОГО ПЛАНА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

И.В. Буркова, О.И. Дранко, С.В. Крюков, В.В. Шумарин

В статье рассматривается задача обеспечения реализуемости финансового плана предприятия при условии не отрицательности сальдо нарастающим итогом по периодам

Ключевые слова: механизм, приоритет, центр

Введение

Обеспечение реализуемости финансового плана - основное условие эффективной работы предприятия. Под реализуемостью понимается неотрицательность сальдо нарастающим итогом по периодам. Возможны три способа обеспечения реализуемости финансового плана [1]. Первый состоит в перенесении поступлений финансовых средств на более ранние периоды, второй - в перенесение платежей на более поздние периоды, третий - взятие кредита. В статье дается постановка задачи реализуемости в виде задачи линейного программирования. Рассмотрены два частных случая. Первый, когда реализуемость обеспечивается только за счет кредитов, а второй, когда обеспечивается поэтапная реализуемость (сначала в первом периоде, а затем во втором и т.д.)

Постановка задачи

Рассмотрим финансовый план предприятия на Т периодов. В каждом периоде к имеется множество поступлений величины ак, / = 1, Пк и

множество платежей величины Ъ к, / = 1, тк

Сальдо в периоде к равно

Ак=Ак—Вк

где

Ак=1 а к

/

В к=2 Ъ1к /

Сальдо нарастающим итогом равно

А-=2 Ак+А (1)

к=1

где А0 - средства на начало первого периода

Условия финансовой реализуемости финансового плана имеют вид

Буркова Ирина Владимировна - ИПУ РАН, канд. техн. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00

Дранко Олег Иванович - ИПУ РАН, канд. физ.-мат. наук, докторант, тел. (495) 334-79-00

Крюков Сергей Вениаминович - ИПУ РАН, канд. техн. наук, докторант, тел. (495)334-79-00 Шумарин Валерий Владимирович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

А > 0, - = (1,Т) (2)

Реализуемость финансового плана, как уже отмечалось выше, можно обеспечить тремя способами:

- Перенос поступления на более ранние периоды.

- Перенос платежей на более поздние периоды.

- Взятие кредита, либо другие меры, обеспечивающие поступление средств.

Обозначим а,■ величину /-ого поступления

(платежа, если а/ <0 ), с к - затраты (потери), если единица средств /-ого поступления (платежа) происходит в периоде к , ук - величина кредита,

который берется в периоде к , Ък - затраты, связанные с взятием единицы кредита в периоде к.

Обозначим далее хк - величина (часть) Iого поступления (платежа), которая осуществляется в периоде к.

Очевидно, что

Их*=а/, 1 = 1,п (3)

к=1

Условия реализуемости финансового плана с учетом взятия кредита принимают вид

А + 1ук + I ±х* > 0 ,-=(1,Т) (4)

к=1 к=1 /=1

Затраты, связанные с обеспечением реализуемости финансового плана равны

С (х, у)= д Ъ1у1 +2 1с\х\ (5)

Задача 1. Определить у > 0, х > 0, минимизирующие (5) при ограничениях (3), (4).

Это задача легко сводится к задаче линейно -го программирования.

Рассмотрим несколько частных случаев.

Оптимизация кредитной политики

Рассмотрим случай, когда реализуемость финансового плана обеспечивается за счет взятия кредита. В этом случае Задача 1 принимает вид

Задача 2. Определить у > 0, минимизирующие

еъ,у,

І=1

при ограничениях

Пример 1. Пусть Т = 3. Значения

Iук + А > 0, ] = 1,Т

к=1

Описание алгоритма.

1 шаг. Определяем минимальный период — такой, что

А-- < 0

Определяем период дг , такой что

(7)

Полагаем

Ъа - тіп Ъ,

41 І < ,1 І

у1,=0 і * аі

Уаі = - БН

Корректируем значения Б, на величину

у , то есть

Б,=Б, - А , 7 > аі

к-ый шаг. Определяем минимальный период

,к, такой что

бГ < °

Определяем период ак такой что

Ъа

'ак = тіп Ъ}

,< ]к

Полагаем

к к-1

у, = Уі , і * ак

ук - ук~‘ - Вк~1 7ак * а к 1У,к

Корректируем значения б, -

7~чк т~чк—1 т~чк—1 ..

Б,\ = Б, - Ба, , 7 > ак Алгоритм заканчивается, когда для некоторого к = т для всех , имеет место Бт > ° .

Для обоснования алгоритма обозначим ук. 1

- величину кредита в периоде і, который берется для обеспечения реализуемости финансового плана в периоде ,к . Очевидно, что в оптимальном кредитном плане

Е У,,- І к =1т (8)

і < ,к к

Задачу (6), (7) теперь можно представить в

виде:

определить у > 0, минимизирующий

Е Е ЬіУі (9)

к 7 < ік

при ограничениях (8). Эта задача распадается на т независимых задач.

Описанный алгоритм можно назвать алгоритмом поэтапной оптимизации.

Ьі , Б і , і -1, 2, з приведены в табл.1.

Таблица 1

7 1 2 3

Б, - 3 - 6 - 7

Ъ, 4 5 3

1 шаг. Определяем і -1, Б, — —з.

Полагаем у1 - 3, у 2 - 0, у3 - 0

Корректируем значением б2 - -3, Б3 - -4

2 шаг. Определяем ,2 - 2, б2 -- 3, а2 -1 , так как тіп(Ь1, Ъ2 )-Ъ1 - 4.

Полагаем у2 - 3, у2 - 0, у2 - 0

Корректируем значение Бз - -1

3 шаг. Определяем ,3 - 3,

а3 - 3, так как тіп^Ъ1Ъ1ъ3)- Ъ3 - 3

Полагаем у3 - 1, у 2 - 0, у3 - 0

Получаем оптимальное решение

1 2 3

у - у1 + у1 - 6, у2 - 0 у3- у3-1

Затраты на кредит равны

Ъ1 у1 + Ъ3 у3- 24+3 - 27

Заметим, что если Ъ1 > Ъ2 > •" > ЪТ , то получаем известное правило кредитной политики: кредит берется в минимально необходимом размере в периоде, в котором нарушается условие финансовой реализуемости.

Рассмотрим случай выпуклых функций затрат на взятие кредита (без ограничения общности примем, что функции затрат являются кусочнолинейными). В этом случае алгоритм поэтапной оптимизации также дает оптимальный кредитный план [2].

Пример 2. Пусть Т - 3, а функции затрат имеют вид

Ъ)у,, у,< а,

YJ^) {а,Ъ‘ + Ъ) (у,- а,,

12

у. > а.

Значения Б,, а,, Ъ, и Ъ] І - 1,2,3 при-

ведены в табл.2.

Таблица 2

І 1 2 3

Б, - 3 - 6 - 7

а,і 2 2 2

ъ) 4 5 з

ъ2 б 7 5

1 шаг. Так как Б1 < 0, то берем кредит

1

у1- 3.

Корректируем

б1 - 0, б2--3, б3--4

2 шаг. Так как Б) < 0, а ъ)-5 < ъ) - 6, то берем кредит у2 - 2.

Так как Ъ1 - 6 < Ъ) -7, то берем кредит

2

Уі = j

Корректируем

d2 = i, d2 = о, d2 = -1

3 шаг. Так как D2 < 0, и

Ъ3 =3 < min (Ъ2; Ъ2)

то берем кредит У3 = 1 Корректируем

D3 = i; D2 = o; d3=o

Имеем

Уі = Уі У 2 =

1 2 , У 2 + У 2 = 2

1 2 3,

>3 = >3 + >3 + >3 =1

Затраты на кредит равны 33.

Рассмотрим теперь случай вогнутых функций затрат. Для решения задачи применим метод ветвей и границ. Для этого сначала определяем максимальную величину кредита, который необходим для обеспечения реализуемости финансового плана.

Определим минимальный номер периода q, такой что

- Dq = max (- D j) = В

j

A j = В - max (- Dkj ^ q

k < j

Содержательно В равно суммарной величине кредита, а A j - максимальной величине кредита, который можно взять в периоде j .

Заменяем функции (р j [у j) их нижними

оценками

~ у > )= Ъ}у}, где

bj = -j Pj (A j ), j = 1, q

Решаем оценочную задачу с линейными функциями затрат методом поэтапной оптимизации.

Если в полученном решении

P. (У<0' )= Ъ3У0 , для всех J :

то получено оптимальное решение исходной задачи.

В противном случае проводим ветвление по ближайшему периоду, в котором

(yo)

0

PjVi) * Ъ,У і .

JSJ

Рассматриваем два подмножества решений в

^ 0 у, ^ у, >

первом подмножестве а во втором

у- > у 0

Далее строим линейные оценочные функции и решаем две оценочные задачи. Согласно методу ветвей и границ выбираем подмножество с минимальной оценкой и т.д.

Пример 3. Данные о А,, -=1,3 и функциях затрат приведены в табл. 3.

Таблица 3

j і 2 з

Dj - з - 4 - б

a. 2 2 1

Ъ) б 4 2

Ъ з 2 1

Определяем B = 7, A1 = 7, A2 = 4, A3 = 2

І шаг. Вычисляем

7 if ч 27 6

Ъ = 7 (2 •6 +5-3) = т = 37

Ъ2 =1 ( 4 + 2^ 2)= 3

Ъз = 2 () 2 +11)= 1-

Применяя алгоритм поэтапной оптимизации, получаем

Уі

0 о 0 0

= 3 У2 = 1 Уз = 2

Оценка снизу равна

6 3 4

3-• 3 + 3-1 + 2 — = 17-

7 2 7

2 шаг. Проводим ветвление по первому периоду.

Первое подмножество у1 < у°

1

Имеем Ъ\ = 6, Ъ2 = 3, Ъз = 1~

Применяя алгоритм поэтапной оптимизации, получаем

с затратами

Уі = 3, У 2 = 1 Уз = 2

6 ‘3 + 34 +1j • 2 = 24 2

4

Второе подмножество у1 > у0 . Имеем

1

bi =3, Ъ2 =3, Ъ3 = 12

Получаем

0 л 0 0

>1 = 4 У2 = 0 >3 = 2

Нижняя оценка затрат равна

2-6 + 2-3 + 0 + 2-11 = 21 2

Выбираем второе подмножество с минимальной оценкой. Заметим, что в решении второго подмножества имеет место

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)

REALIZABILITY OF THE FINANCIAL PLAN WITH USE OF LINEAR PROGRAMMING

I.V. Burkova, O.I. Dranko, S.V. Krukov, V.V. Shumarin

In clause the problem of maintenance of a realizability of the financial plan of the enterprise under condition of not negativity of balance by an accrueing result on the periods is considered

?№}) = Ъ-у, для всех - .

Поэтому это решение является оптимальным.

Литература

1. Андроникова Н.Г., Бурков В.Н., Леонтьев С.Н\В. Комплексное оценивание в задачах регионального управления / М.: ИПУ РАН, 2002.

2. Баркалов С.А. Бурков В.Н., Котенко А.М. Модели и методы оптимизации региональных программ развития / - М.: ИПУ РАН, 2001.

Key words: the mechanism, a priority, the center