О задаче реализуемости финансового плана предприятия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 65.114.36

О ЗАДАЧЕ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ФИНАНСОВОГО ПЛАНА ПРЕДПРИЯТИЯ

О.И. Дранко, Е.В. Гуреева

Рассматривается задача обеспечения реализуемости финансового плана предприятия. Условием реализуемости является неотрицательность сальдо нарастающим итогом по периодам. Реализуемость можно обеспечить путем перенесения поступлений на более ранние периоды, перенесения платежей на более поздние периоды (или взятия кредита). И то и другое, и третье приводит к дополнительным затратам (потерям). Задача заключается в минимизации этих потерь. Задача сводится к задаче линейного программирования. Рассмотрены частные случаи задачи (обеспечение реализуемости путем взятия кредитов, обеспечение поэтапной реализуемости)

Ключевые слова: затраты, метод, оценка, эффект

Введение

Обеспечение реализуемости финансового плана - основное условие эффективной работы предприятия. Под реализуемостью понимается неотрицательность сальдо нарастающим итогом по периодам. Возможны три способа обеспечения реализуемости финансового плана. Первый состоит в перенесении поступлений финансовых средств на более ранние периоды, второй - в перенесение платежей на более поздние периоды, третий - взятие кредита. В статье дается постановка задачи реализуемости в виде задачи линейного программирования. Рассмотрены два частных случая. Первый, когда реализуемость обеспечивается только за счет кредитов, а второй, когда обеспечивается поэтапная реализуемость (сначала в первом периоде, а затем во втором и т.д.)

Постановка задачи

Рассмотрим финансовый план предприятия на Т периодов. В каждом периоде к имеется множество поступлений величины агк, * = 1Пк и множество платежей величины Ьк, * = 1, -к Сальдо в периоде k равно

А к=Ak- Bk

где

Ak = 2 агк

г

Bk=2 bik

г

Сальдо нарастающим итогом равно

В] = 2 Аk+В0 (!)

k=1

где Во _ средства на начало первого периода

Условия финансовой реализуемости финансового плана имеют вид

В] > 0, ] = (-) (2)

Дранко Олег Иванович - ИПУ РАН, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00

Гуреева Елена Владимировна - ВГАСУ, аспирант, тел. (495) 334-79-00

Реализуемость финансового плана, как уже отмечалось выше, можно обеспечить тремя способами

Перенос поступления на более ранние периоды

Перенос платежей на более поздние периоды

Взятие кредита, либо другие меры, обеспечивающие поступление средств

Обозначим аг величину г-ого поступления (платежа, если а* <о ), с* - затраты (потери), если единица средств г-ого поступления (платежа) происходит в периоде k , ук - величина

кредита, который берется в периоде k, Ьк - затраты, связанные с взятием единицы кредита в периоде к.

Обозначим далее хгк - величина (часть) г-

ого поступления (платежа), которая осуществляется в периоде к.

Очевидно, что

Тх*к=аг, г = уП (3)

к=1

Условия реализуемости финансового плана с учетом взятия кредита принимают вид

Во + 2ук +2 Ихгк > 0 , ]=() (4)

к=1 к=1 г=1

Затраты, связанные с обеспечением реализуемости финансового плана равны

С (х, у)= 2 ь]у] + = (5)

]=1 1 г=1

Задача 1. Определить у > 0, х >0,

минимизирующие (5) при ограничениях (3), (4).

Это задача легко сводится к задаче линейного программирования.

Рассмотрим несколько частных случаев.

Оптимизация кредитной политики

Рассмотрим случай, когда реализуемость финансового плана обеспечивается за счет взятия кредита. В этом случае Задача 1 принимает вид

Задача 2. Определить у > 0, минимизи-

рующие

Ъ1У]

і=і 1

(6)

(7)

при ограничениях

2ук+В] >°1=

к=1

Описание алгоритма.

1 шаг. Определяем минимальный период 11, такой, что

В < 0

1-/п

Определяем период q1 , такой что

Ь1 = ;7Л Ь1

Полагаем

1

у, = 0 ] *ql

У«1 -Корректируем значения В, на величину

В -В - Вл , 1 > «І

к-ый шаг. Определяем минимальный пери-

од , такой что

В-1 <0

Определяем период ^ такой что

Ь «к — т1П ьj 151к

Полагаем

к к-1

Уі — Уі , 1 * «к к к-1 ,-^к-1

У«к — Уа, - Вік

«к

Корректируем значения В

к-1

> «к

Алгоритм заканчивается, когда для некоторого к = т для всех 1 имеет место В- > 0.

Для обоснования алгоритма обозначим

к-1

у 1 - величину кредита в периоде 1, который

берется для обеспечения реализуемости финансового плана в периоде ік . Очевидно, что в оптимальном кредитном плане

2Уік = 1 к-ї,т (8)

1 £ 1к

Задачу (6), (7) теперь можно представить в

виде:

определить У > 0, минимизирующий

?1 £ :Ь'У1

(9)

при ограничениях (8). Эта задача распадается на т независимых задач.

Описанный алгоритм можно назвать алгоритмом поэтапной оптимизации.

Пример 1. Пусть Т = 3. Значения

Ь1, В-, 1 -1,2,3 приведены в табл. 1.

Таблица 1

1 1 2 3

- 3 - 6 - 7

Ь] 4 5 3

1 шаг. Определяем , = 1, В, = -з.

Полагаем у1 = 3, у1 = 0, у'3 = 0 Корректируем значением В2 = -3, в3 = -4

2 шаг. Определяем ] = 2, в2 = - 3, q =1 ,

так как

ЬҐЬ2 }Ьг4

2 2 2

Полагаем У1 - 3, У2 - 0, У3 - 0

Корректируем значение В2 - -1

3 шаг. Определяем 13 - 3,

«3 - 3, так как т„(Ь1Ь2Ь3)-Ь3-3

3 3 3

Полагаем у3 -1, у2 - 0, У1 - 0

Получаем оптимальное решение

1 2 3

У1 - У1 + У1 - 6, У2- 0, У3- У3-1

Затраты на кредит равны

Ь у1 + Ь у3 - 24+3 - 27

Заметим, что если Ь1 >Ь2 > ••• > ЬТ получаем известное правило кредитной политики: кредит берется в минимально необходимом размере в периоде, в котором нарушается условие финансовой реализуемости [1].

Рассмотрим случай выпуклых функций затрат на взятие кредита (без ограничения общности примем, что функции затрат являются кусочнолинейными). В этом случае алгоритм поэтапной оптимизации также дает оптимальный кредитный план.

Пример 2. Пусть Т - 3, а функции затрат имеют вид

Ь\Ул, У,£ а,

то

У

1 )=

1 /т "1 'і И) + Ь) Iу; - а1),

Значения В1, а1, Ь) и Ь) 1 -1,2,3 при-

ведены в табл. 2.

} і 2 3

- 3 - 6 - 7

а1 2 2 2

Ь1 4 5 3

ь1 6 7 5

Таблица 2

і шаг. Так как D1 < o, то берем кредит

Уі = з

Корректируем

D1 = 0, D2=-3,D3 = - 4 2 шаг. Так как d2 < o,

то берем кредит y 2 = 2.

2

Уі = і

Ь2 - 5 < Ьі - 6 ,

Так как Ь1 - 6 < Ь2 - 7, то берем кредит Корректируем

в1 - В2 - 0,В2 --1

3 шаг. Так как В2 < 0, и

Ь - 3 < тіп (Ьі; Ь2),

то берем кредит у3 - 1

Имеем 1

- 4

Уі=Уі У 2 =

у2+y 2=2

1 2 3,

Уз = У 3 + У 3 + У 3 =1

Затраты на кредит равны 33.

Рассмотрим теперь случай вогнутых функций затрат. Для решения задачи применим метод ветвей и границ. Для этого сначала определяем максимальную величину кредита, который необходим для обеспечения реализуемости финансового плана.

Определим минимальный номер периода q, такой что

- Bq = max (- В, )= В A j = В - max (-Bt), j ^ q

J k<j x 7

Содержательно В равно суммарной величине кредита, а Aj - максимальной величине кредита, который можно взять в периоде j .

Заменяем функции 9, (у,) их нижними

оценками

91(у1 ) = Ъ,У1, где b, = 9 (a , Ь

Решаем оценочную задачу с линейными функциями затрат методом поэтапной оптимизации.

Если в полученном решении

9,(у0)= Ь,У,, для всех j ,

то получено оптимальное решение исходной задачи.

В противном случае проводим ветвление по ближайшему периоду, в котором

9j (У0 )* b1y\.

Далее строим линейные оценочные функции и решаем две оценочные задачи.

Согласно методу ветвей и границ выбираем подмножество с минимальной оценкой и т.д.

Пример 3. Данные о В,, 1 = ~ и функциях

затрат приведены в таблице 3.

Таблица 3

j 1 2 З

Dj - З - 4 - б

a, 2 2 1

bj б 4 2

2j b З 2 1

Определяем В = 7, Д1 = 7, Д2 = 4, Д3 = 2

1 шаг. Вычисляем

Ь =1 (2 • 6 + 5 • 3)= 27 = 3-

1 7У ’ 7 7

Ь 2 = 4 (2 • 4 + 2 • 2)= 3 Ь3=2 (2+11)=12

Применяя алгоритм поэтапной оптимизации, получаем

0 о 0 0

= 3, У2 =1, Уз = 2

Оценка снизу равна

Уі

риоду.

б 3 4

3--3 + 3-1 + 2 ■- = 177 2 7

2 шаг. Проводим ветвление по первому пе-

Первое подмножество у1 й у^

Имеем Ьі = б, b2 = 3, Ьз = 1-2 Применяя алгоритм поэтапной оптимиза-

ции, получаем

o

Уі = з, У2 =1, Уз =2 с затратами

б-3 + 3-1 + 11 ■ 2 = 24

2

Второе подмножество Уі г у° . Имеем

Ьі = 3 b2 = з, Ьз = і—

2

Получаем

0 , 0 0 Уі = 4, У2 = 0, Уз = 2

Нижняя оценка затрат равна

1

2 - б + 2-3 + 0 + 2-1- = 21

2

o

o

Выбираем второе подмножество с минимальной оценкой. Заметим, что в решении второго подмножества имеет место

(р1(у1) = Ъ,у, для всех 1.

Поэтому это решение является оптимальным.

Литература

1.В.Н. Бурков, И.В. Буркова, М.В. Губко и др. Механизмы управления: Учебное пособие (под ред. Д.А. Новикова) М: ЛЕНАНД. 2011 - 192с. (Умное управление).

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва) Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

ABOUT THE PROBLEM OF THE REALIZABILITY OF THE FINANCIAL PLAN OF THE ENTERPRISE

O.I. Dranko, E.V. Gureeva

The problem of maintenance of a realizability of the financial plan of the enterprise is considered. A condition of a realizability is неотрицательность balance an accrueing result on the periods. It is possible to provide a realizability by transferring receipts for earlier periods, transferrings of payments for later periods (or captures of the credit). Both that and another, and the third leads to additional expenses (losses). The problem consists in minimization of these losses. The problem is reduced to a problem of linear programming. Special cases of a problem (maintenance of a realizability by a capture of credits, maintenance of a stage-by-stage realizability) are considered

Key words: expenses, a method, an estimation, effect