CC BY
58
Л.В. Россихина,
кандидат технических наук, доцент, Воронежский институт Федеральной службы исполнения наказаний России
МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ПЛАНОВ ИСПРАВИТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ УГОЛОВНО-ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
С УЧЕТОМ РИСКА
THE MODELS OF CORRECTIONAL INSTITUTIONS OF THE CRIMINAL-EXECUTIVE SYSTEM PLANS FORMATION, TAKING INTO ACCOUNT RISKS
Рассматривается задача оценки надежности (риска невыполнения мероприятия) реализации мероприятий плана, обеспечивающих достижение требуемого значения комплексной оценки деятельности исправительного учреждения уголовноисполнительной системы с минимальными затратами, при ограничении на финансирование высокорисковых проектов.
There is considered the problem of reliability assessment (risk of default event) implementation of the action plan, ensuring the achievement of the required value of a comprehensive assessment of the institution or body of the criminal-executive system with minimal cost, while limiting the financing of high-risk projects.
Введение
Задачи формирования программ различного вида (развития регионов [1, 2], безопасности дорожного движения [3], безопасности в чрезвычайных ситуациях [4, 5, 6] и др.) получили в последние годы существенное развитие с точки зрения применения математических методов. Решение задачи формирования оптимальных программ включает следующие основные этапы:
- комплексное оценивание сложных социально-экономических объектов;
- определение оптимального набора мероприятий;
- определение плана проведения мероприятий, как правило, учитывающего такие факторы, как затраты, продолжительность и различного рода риски.
Проведенный анализ научных работ в области управления проектами свидетельствует о том, что многие модели механизмов управления, с соответствующей адаптацией, эффективно использовать при разработке и исследовании методов и механизмов формиро-
вания оптимальных планов в УИС. Полученные результаты опубликованы [7, 8, 9].
Данная работа является развитием и продолжением задачи формирования оптимальных планов в УИС.
В теории активных систем принято считать характеристиками программ эффект, затраты на реализацию и надежность (риск невыполнения). Надежность оценивается либо вероятностью реализации мероприятия [10], либо качественной характеристикой (высокая или низкая надежность, соответственно — низкий или высокий риск невыполнения мероприятия) [11]. Соответственно, задача заключается в выборе мероприятий, обеспечивающих реализацию целей программы с минимальными затратами при ограничениях: либо на вероятность успешной реализации планы, либо на число мероприятий с высоким риском, либо на объемы финансирования таких мероприятий.
В работе рассматривается обобщение описанных задач на случай, когда необходимо определить надежность реализации (низкий или высокий риск невыполнения) мероприятия плана исправительного учреждения УИС.
Имеется п мероприятий плана учреждения или органа УИС. Каждое мероприятие характеризуется эффектом а^, который он дает в один показатель, — вклад 1-го
мероприятия в ]-й показатель.
Каждое мероприятие может реализовываться в двух вариантах — с низким риском или с высоким риском. Обозначим Ъг — затраты на реализацию мероприятия с низким риском, ci — затраты на реализацию мероприятия с высоким риском (очевидно, что Ъ > ci, i = 1, п ).
Задача. Определить надежность реализации мероприятий плана, обеспечивающих достижение требуемого значения комплексной оценки деятельности учреждения или органа УИС с минимальными затратами при ограничении на финансирование высокорисковых проектов.
Для формальной постановки задачи обозначим х1 = 1, если мероприятие i включено в план с низким риском, х1 = 0 в противном случае. Соответственно обозначим у = 1, если мероприятие i включено в план с высоким риском, у = 0 в противном случае. Очевидно, что
- + у ^1 i =1 п. (1)
При заданных величинах эффекта для соответствующего показателя составит
то балльная оценка равна j.
Для учета ограничений на риск обозначим С — максимально допустимый объем финансирования высоко рисковых мероприятий, тогда ограничение принимает вид
Постановка задачи и алгоритм решения
п
(4)
Задача заключается в определении х., у, i = 1, п, минимизирующих
п
при ограничениях (2), (4) и
Е(л + Уг )-а, > А,
i
где A равно одному из значений Aj в зависимости от поставленной цели по данному показателю.
Для применения метода ветвей и границ необходимо иметь способ оценки снизу подмножеств решений. Рассмотрим алгоритм получения нижних оценок [12]. Для этого
предварительно перейдем к новым переменным zt = x, + у,, i = 1, n . В новых переменных задача будет иметь вид: минимизировать
П
Ф(^ У )=Z(biZi “А гУг ), (6)
i=1
где А = b — С (уменьшение затрат, если проект выполняется с высоким риском) при ограничениях (2), (4):
П
Ё ziа i >А (7)
i=i
Рассмотрим две оценочные задачи.
Задача 1. Минимизировать
Fi(z ) = Ё brzr (8)
i
при ограничении (7).
Задача 2. Максимизировать
F2 (у ) = Ё У, А, (9)
i
при ограничении (4).
Обозначим 0 — значение F (z) в оптимальном решении задачи 1, Ф2 —
значение F2 (у) в оптимальном решении задачи 2.
Теорема 1. Величина
01 - Ф2 (10)
является нижней оценкой для целевой функции задачи (2), (4), (6), (7).
Доказательство следует из известного неравенства: min 0(z, у) > min F (z) + min (- F (y)) = min F (z) - max F (y).
Используем оценку (10) в методе ветвей и границ.
Лемма. Если существуют оптимальные решения z, у задач 1 и 2 такие, что у < z^t < z, , i = 1, n), то пара (z, у) определяет оптимальное решение задачи. Доказательство очевидно, поскольку (z, у) — является допустимым решением.
Алгоритм решения задачи следующий.
1-й шаг. Решаем задачи 1 и 2. Обозначим Ых — множество оптимальных решений задачи 1, M — множество оптимальных решений задачи 2. Если существует пара (z, у), такая, что у < z, то в силу леммы (z, у) — оптимальное решение. В противном случае выполняется второй шаг.
2-й шаг. Выбираем проект j такой, что у . = 1, а z ■ = 0 и производим разбиение
множества всех решений на два подмножества. В первом у j = 1, zj = 1, а во втором у j = 0. Далее для этих подмножеств решаем оценочные задачи, выбираем подмножество с лучшей оценкой и т. д. согласно схеме метода ветвей и границ.
Частный случай
Рассмотрим процедуру формирования плана работы исправительного учреждения УИС с учетом риска.
По всем направлениям оценки деятельности учреждения определяется перечень мероприятий с эффектом и затратами (таблица 1).
Таблица 1
__________________________Проект плана мероприятий__________________________
Наименование мероприятия Затраты, усл. ед. Эффект
1. Организация охраны исправительного учреждения УИС
Показатель 1
Мероприятие 1 (хі) 15 10
Мероприятие 2 (Х2) 25 20
Мероприятие 3 (хз) 5 5
Показатель 2
Мероприятие 4 (Х4) 10 3
Мероприятие 5 (Х5) 5 3
Мероприятие 6 (Хб) 10 4
Показатель 3
Мероприятие 7 (Х7) 15 10
Мероприятие 8 (Х8) 25 20
Мероприятие 9 (Х9) 15 15
Показатель 4
Мероприятие 10 (хіо) 20 18
Мероприятие 11 (хіі) 15 11
Показатель 5
Мероприятие 12 (Х12) 10 8
Мероприятие 13 (Х1з) 15 12
Мероприятие 14 (Х14) 20 17
2. Обеспечение режима и организации надзора, укрепления порядка в местах лишения свободы, профилактика п 1 о в СЗ р пр й и и ст ше оу н ру К с? он ко ав з а
3. Состояние готовности к действиям при чрезвычайных обстоятельствах
4. Трудовая адаптация осужденных к лишению свободы и их профессиональная подготовка
5. Социальная, психологическая и воспитательная работа с осужденными
6. Медико-санитарное обеспечение осужденных
7. Материально-бытовые условия содержания осужденных
Эффект мероприятий определяется экспертным путем. Осуществляется опрос мнений экспертов и их обработка с помощью механизма активной экспертизы — меди-
анной схемы [13]. Настройка механизма экспертизы сводится к подбору фиксированных оценок и определению правила, по которому, исходя из мнений экспертов, выбирается результат.
Рассмотрим мероприятия, направленные на улучшение показателя 1, данные о которых приведены в таблице 2.
Таблица 2
1 1 2 3
а / 10 20 5
Ь 15 25 5
А , 5 10 3
с, 10 15 2
Экспертным путем определяются значения А=15, С=15. Решаем задачу 1 (7), (8). Это задача о ранце. Применим метод дихотомического программирования [14]. Рассмотрим мероприятия 1 и 2 (таблица 3).
Таблица 3
1 25;20 40;30
0 0; 0 15; 10
22 21 0 1
Первое число в клетках таблицы соответствуют затратам Ь, а второе — эффекту а г-. Решение приведено в таблице 4.
Таблица 4
N Ь а г
0 0 0
1 15 10
2 25 20
3 40 30
Решаем задачу с мероприятиями 1, 2 и 3. Решение приведено в таблице 5.
Решение находим методом обратного хода. Оптимальному варианту соответствует клетка (20; 15) таблицы 5, которой соответствует 23 = 1 и вариант 1 таблицы 4. Варианту 1 таблицы 4 соответствует клетка (15; 10) таблицы 3, которой в свою очередь соответствует вариант 21 =1, 22 =0.
Получаем решение:
21 = 1, 22 = 0, 23 = 1.
Действуя аналогичным образом, решаем задачу 2 (4), (9).
Рассмотрим мероприятия 1 и 2 (таблица 6).
Таблица 6
1 15;10 25;15
0 0; 0 10; 5
у2 у1 0 1
Первое число в клетках таблицы соответствуют затратам с1, а второе — эффекту, под которым понимается сумма Аг-, рассматриваемого варианта.
Решение приведено в таблице 7.
Таблица 7
N с, А ,
0 0 0
1 10 5
2 15 10
3 25 15
Решаем задачу с мероприятиями 1, 2 и 3. Решение приведено в таблице 8.
Решение находим методом обратного хода. Оптимальному варианту соответствует клетка (15; 10) таблицы 8, которой соответствует уз = 0 и вариант 2 таблицы 7. Варианту 2 таблицы 7 соответствует клетка (15; 10) таблицы 3, которой в свою очередь соответствует вариант у1 =0, у2 =1.
Получаем решение:
У1 = 0, У2 = 1, уз = 0
с затратами 15 и эффектом 10.
Имеем ф = 20, Ф2 = 10. Получаем оценку снизу ф - Ф2 = 20 -10 = 10.
Мероприятие 2 входит в решение задачи 2 (у2 = 1), но не входит в решение задачи 1 (72 = 0), поэтому это решение не является допустимым решением для исходной задачи. Применяя метод ветвей и границ, проводим ветвление по мероприятию 2. В первом подмножестве у2 = 1, 72 = 1, а во втором--у2 = 0.
Оценка первого подмножества. Поскольку у2 = 1, решение второй задачи не меняется. В первой задаче (таблица 5) оптимальное решение определяется клеткой (25; 20), которой соответствует 73 = 0 и вариант 2 таблицы 4. Варианту 2 таблицы 3 соответствует клетка (25; 20) таблицы 2, которой в свою очередь соответствует вариант 71 =0, 72 =1.
Получаем решение:
71 = 0, 72 = 1, 73 = 0.
Соответственно, ф = 25, ф = 10. Получаем оценку снизу первого подмножества ¥ (у2 = 1) = Ф1 - Ф2 = 25 -10 = 15 .
Оценка второго подмножества. Поскольку у2 = 0, решение первой задачи не меняется. Рассмотрим вторую задачу, положив у2 = 0. В таблице 8 определяем клетку (12;
8). Ей соответствует у3 = 1 и вариант 1 таблицы 7, который соответствует клетке (10; 5) таблицы 6, которой в свою очередь соответствует у1 =1, у2 =0. Решение имеет вид:
у1= 1, у2= 0, у3 = 1.
Соответственно, Ф1 = 20, Ф2 = 8 . Получаем оценку снизу второго подмножества ¥(у2 = 0) = Ф -Ф = 20-8 = 12.
Полученное решение является допустимым. Поэтому в силу леммы 1, решение
71 = 1, 72 = 0, 73 = 1; у1= 1, у2= 0, у3 = 1
является оптимальным со значением целевой функции ¥ (г, у) = 20 - 8 = 12 .
В оптимальном решении мероприятия 1 и 3 выполняются с высоким риском. Рассмотрим мероприятия, направленные на улучшение показателя 2, данные о которых приведены в таблице 9.
Таблица 9
1 4 5 6
а г 3 3 3
Ь 19 5 10
А г 4 2 3
с, 6 3 7
Примем А=10, С=5. Решаем задачу о ранце (7), (8).
Рассмотрим мероприятия 4 и 5 (таблица 10).
Таблица 10
1 5;3 15;6
0 0; 0 10; 3
4 7 5 7 0 1
Решение приведено в таблице 11.
Таблица 1 1
N ь а г
0 0 0
1 5 3
2 15 6
Решаем задачу с мероприятиями 4, 5 и 6. Решение приведено в таблице 1 2.
Таблица 1 2
1 10;4 15;7 25; 10
0 0; 0 5;3 15;6
76 74, 75 0 1 2
Оптимальное решение определяется клеткой (25; 10) таблицы 12. Применяя метод обратного хода, определяем решение:
74 = 1, 75 = 1, 76 = 1
с затратами 25 и эффектом 10.
Действуя аналогичным образом, решаем задачу 2 (4), (9).
Рассмотрим мероприятия 1 и 2 (таблица 13).
Таблица 13
1 3;2 9;б
0 0; 0 б;4
У \ '-л У 4 0 1
Решение приведено в таблице 14.
Таблица 14
N сг А г
0 0 0
1 3 2
2 6 4
3 9 6
Решаем задачу с мероприятиями 4, 5 и 6. Решение приведено в таблице 15.
Таблица 15
1 7;3 10;5 13;7 16;9
0 0;0 3;2 6;4 9;6
У6 У^ У5 0 1 2 3
Решение находим методом обратного хода. Оптимальный вариант определяется клеткой (3; 2) таблицы 15, которому соответствует решение:
У4 = 0, У5 = 1, У6 = 0
с затратами 2.
Имеем ф = 25, Ф2 = 2. Получаем оценку снизу ф - Ф2 = 23.
Мероприятие 5 выполняется с высоким риском, мероприятия 4 и 6 — с низким риском.
Аналогичным образом, для показателя 3 установлено, что мероприятие 9 имеет высокий риск невыполнения, мероприятие 7 — низкий риск; для улучшения показателя 4 мероприятие 10 выполняется с высоким риском; с высокой надежностью выполняется мероприятие 12 показателя 5, мероприятие 14 — с высоким риском невыполнения.
Заключение.
Предложенный алгоритм формирования плана с учетом риска является достаточно эффективным и позволит решить требующую дальнейших исследований задачу стимулирования оптимального планирования (разработку планов, обеспечивающих требуемое значение комплексной оценки деятельности при заданном риске невыполнения).
ЛИТЕРАТУРА
1. Модели и методы оптимизации региональных программ развития / Н.Г. Андронникова [ и др.]. — М.: ИПУ РАН, 2001. — 60 с.
2. Бурков В.Н., Дзюбко С.И. Задача формирования программы обеспечения региональной безопасности // ВИНИТИ. Проблемы безопасности при чрезвычайных ситуациях. — 1996. — № 9.
3. Кондратьев В.Д., Щепкин А.В. Комплексное оценивание в области безопасности дорожного движения. — М.: ИПУ РАН, 2002. — 54 с.
4. Бурков В.Н., Новиков Д.А., Щепкин А.В. Механизмы управления экологоэкономическими системами. — М.: Физматлит, 2008. — 243 с.
5. Модели и механизмы управления безопасностью / В.Н. Бурков [ и др.]. — М.: СИНТЕГ- ГЕО , 2001. — 160 с.
6. Бурков В.Н., Грищенко А.Ф., Кулик О.С. Задачи оптимального управления промышленной безопасностью. — М.: ИПУ РАН, 2000. — 70 с.
7. Россихина Л.В., Кочедыков С.С. Разработка методики комплексной оценки деятельности в уголовно-исполнительной системе // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — № 1. — С. 209—213.
8. Россихина Л.В. Оптимизация программ развития охраны учреждений УИС по стоимости // Управление, технологии и безопасность в информационных системах специального назначения: сб. науч. тр. — Воронеж: Ворон. ин-т ФСИН России, 2013. — С. 113—117.
9. Россихина Л.В. Задача разработки календарных планов в УИС по критерию упущенной выгоды // Вестник Воронежского института МВД России. — 2014. — № 1.
— С. 286—291.
10. Бурков В.Н., Кондратьев В.Д., Щепкин А.В. Механизмы повышения безопасности дорожного движения. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. — 208 с.
11. Баркалов С.А., Половинкина А.И., Шевченко Л.В. Управление проектными рисками // Системы управления и информационные технологии. — 2005. — № 2(19). — С. 68—71.
12. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988. — 203 с.
13. Механизмы управления / под ред. Д.А. Новикова. — М.: УРСС, 2011. — 325 с.
14. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи дихотомической оптимизации. — М.: Радио и связь, 2003. — 156 с.
REFERENCES
1. Andronnikova N.G., Barkalov S.A., Burkov V.N., Kotenko A.M. Modeli i metodyi optimizatsii regionalnyih programm razvitiya. — M.: IPU RAN, 2001. — 60 s.
2. Burkov V.N., Dzyubko S.I. Zadacha formirovaniya programmyi obespecheniya re-gionalnoy bezopasnosti // VINITI. Problemyi bezopasnosti pri chrezvyichaynyih situatsiyah.
— 1996. — # 9.
3. Kondratev V.D., Schepkin A.V. Kompleksnoe otsenivanie v oblasti bezopasnosti dorozhnogo dvizheniya. — M.: IPU RAN, 2002. — 54 s.
4. Burkov V.N., Novikov D.A., Schepkin A.V. Mehanizmyi upravleniya ekologo-ekonomicheskimi sistemami. — M.: Fizmatlit, 2008. — 243 s.
5. Burkov V.N., Gratsianskiy E.V., Dzyubko S.I., Schepkin A.V. Modeli i mehanizmyi upravleniya bezopasnostyu. — M.: SINTEG- GEO , 2001. — 160 s.
6. Burkov V.N., Grischenko A.F., Kulik O.S. Zadachi optimalnogo upravleniya promyishlennoy bezopasnostyu. — M.: IPU RAN, 2000. — 70 s.
7. Rossihina L.V., Kochedyikov S.S. Razrabotka metodiki kompleksnoy otsenki deyatelnosti v ugolovno-ispolnitelnoy sisteme // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Ros-sii. — 2013. — # 1. — S. 209—213.
8. Rossihina L.V. Optimizatsiya programm razvitiya ohranyi uchrezhdeniy UIS po stoimosti // Upravlenie, tehnologii i bezopasnost v informatsionnyih sistemah spetsialnogo naznacheniya : sb. nauch. tr. — Voronezh: Voron. in-t FSIN Rossii, 2013. — S. 113—117.
9. Rossihina L.V. Zadacha razrabotki kalendarnyih planov v UIS po kriteriyu up-uschennoy vyigodyi // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2014. — # 1. — S. 286—291
10. Burkov V.N., Kondratev V.D., Schepkin A.V. Mehanizmyi povyisheniya bezopasnosti dorozhnogo dvizheniya. — M.: Knizhnyiy dom «LIBROKOM», 2012. — 208 s.
11. Barkalov S.A., Polovinkina A.I., Shevchenko L.V. Upravlenie proektnyimi riskami // Sistemyi upravleniya i informatsionnyie tehnologii. — 2005. — # 2(19). — S. 68—71.
12. Venttsel E.S. Issledovanie operatsiy: zadachi, printsipyi, metodologiya. — M.: Nauka, 1988. — 203 s.
13. Mehanizmyi upravleniya / pod red. D.A. Novikova. — M.: URSS, 2011. — 325 s.
14. Burkov V.N., Burkova I.V. Zadachi dihotomicheskoy optimizatsii. — M.: Radio i svyaz, 2003. — 156 s.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Россихина Лариса Витальевна. Ученый секретарь Ученого совета. Кандидат технических наук, доцент.
Воронежский институт Федеральной службы исполнения наказаний России.
E-mail: [email protected]
Россия, 394072, г. Воронеж, ул. Иркутская, 1а. Тел. (473) 260-68-28.
Rossikhina Larisa Vitalievna. The Scholar Secretary of the Academic Council. The candidate of science, the associate professor.
Voronezh Institute of the Federal Russian Penitentiary Service
Work address: Russia, 394072, Voronezh, Irkutskaya Str., 1a. Tel. 260 -68-28.
Ключевые слова: мероприятие; эффект; затраты; верхняя оценка для целевой функции; метод ветвей и границ.
Key words: event; the effect of costs; knapsack problem; the upper bound for the objective function; branch and bound method.
УДК 65.012
