Реализация цифровой адаптивной системы управления с эталонной моделью Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

62-501.12

РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВОЙ АДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

С ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ

В.И. ПУГАЧЕВ

Кубанский государственный технологический университет

Взаимодействие отдельных элементов цифровой адаптивной системы управления с эталонноймоделью может быть реализовано по уравнениям в конечных разностях, записанных для каждого элемента. Уравнения должны быть записаны через левые физически реализуемые разности. При этом период квантования должен обеспечивать отсутствие потерь информации по каждому из каналов связи.

Наиболее важный момент реализации управления по модели - обеспечение устойчивости эквивалентной модели при различных режимах работы системы. Так, для выбора оптимальных параметров управляющего устройства логично предположить наиболее сложным случаем наличие наибольшего чистого запаздывания и коэффициента у синения объекта. Однако при таких условиях эквивалентный объект может быть устойчив, а при снижении величины чистого запаздывания терять устойчивость. Это обстоятельство требует проверки устойчивости эквивалентной модели на всех режимах и принятия мер к ее обеспечению.

Примем, как ив [1]:

К0 = 3,0; Г0 = 6; Кос = 10; Тж = 2,5; Кт = 1,5; Тт = 5;

^„(41+МЛЫ]

к(р)=-

1+^оЫ^осЫ

(1)

КСр) =

^т(р)=

1

0,5 т2 р2 + хр +1

1,5

5^+1

Жос (Р) =

к

,К(р) = ——

Т0р+ 1

Ка: (7ос + 1) _ 2,5р+ 10

?>+1

К ( Р ). (2) (3)

т2р+1

Ранее установлено [1], что при.?Сос = 10 и Тос = 2,5 эквивалентная модель устойчива для реального объекта первого порядка с запаздыванием т = 2, Т = 0,1.

Определим, будет ли устойчива эквивалентная модель во всем диапазоне 0 < т < 2. Для этого вычислим главные диагональные миноры до п-1 порядка определителя Гурвица для характеристического уравнения эквивалентной модели.

а0р5 + а1р4 + а2р3+аър2+а4р+а5 =0,

где а0 = а\ = 15Г2т + (7,5 + 2,75 Г2)т2; а2 = 15 Тг + 0,25Г2т2 +

+ 5,5Г2т + 15т + 2,75т2; аъ = 0,5Г2т + 5,5Т2 + 0,25т2 + 5,5т +202,5; 04 = 118 + 0,5 Гг + 0,5т; аъ = 15,5.

Значения диагональных миноров при Т2 = 0,1 приведены в табл. 1.

Таблица 1

т Й2(Т, Т) 03 (т, Т) О4 (т, Т)

0 0 0 0

0,2 -3,24 -705,45 -8,31 ■ 104

0,4 -9,579 0 6 6 ,3 -2 -2,783 ■ 105

0,6 -11,982 -4,08 ■ 103 -4,79 ■ 105

0,8 -2,592 -5,014- 103 -5,882 ■ 105

1 27,269 -4,402 ■ 103 -5,181 ■ 105

1,2 87,102 -1,535- 103 -1,899 ■ 105

1,4 187,228 4,241 ■ 103 4,657 ■ 105

1,6 338,79 1,535 ■ 104 © 9 0 5

1,8 553,752 2,691 ■ 104 2,992 ■ 106

2 844,901 0 9 8 ,4 4, 4,957 ■ 106

Очевидно, что эквивалентная модель устойчива только при т> 1,4.

ЪЬеличивая Т2, можно добиться устойчивости эквивалентной модели во всем диапазоне изменения величины чистого запаздывания.

Значения диагональных миноров при Т2 = 200 приведены в табл. 2.

Таблица 2

Звено чистого запаздывания аппроксимируем тремя членами разложения в ряд Тейлора передаточной функции е-тр.

т 02 (т, Т) О3 (т, Т) О4 (т, Т)

0 0 0 0

0,2 1,928 ■ 106 2,468 ■ 10 9 4,419 ■ 10

0,4 4,131 ■ 106 5,199 ■ 109 9,139 ■ 10

0,6 6,641 106 8,216 ■ 10 9 1,417 ■ 10

0,8 9,491 ■ 106 1,155 ■ 1010 1,953 ■ 10

1 1,271 ■ 107 1,523 ■ 1010 2,522 ■ 10

1,2 1,635 ■ 107 1,928 ■ 1010 3,127 ■ 10

1,4 2,042 ■ 107 2,375 ■ 1010 3,767 ■ 10

1,6 2,498 ■ 107 2,866 ■ 1010 4,443 ■ 10

1,8 3,006 107 3,406 ■ 1010 5,156 ■ 10

2 3,569 107 4 ■ 1010 5,906 ■ 10

Для определения периода квантования цифрового управляющего устройства используем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) эквивалентной модели.

Сравнение АЧХ эквивалентной модели при минимальном и максимальном чистом запаздывании показывает, что частота среза, определяемая как частота, при которой значения АЧХ составляют 3% от значений АНХ при нулевой частоте, изменяется от = 7,4 до И7* = 1,7 при минимальном и максимальном запаздывании соответственно; АНХ эквивалентной модели объекта при минимальном запаздывании представлена на рис. 1.

Период квантования, позволяющий восстанавливать непрерывную величину по дискретным значени-

(І, *)

Ъ (п)

Рис. 1

ям, определим по теореме В.А. Котельникова с двукратным запасом

г = О5я = 0^ = ад12_

К,

7,4

(г)= г , где сі = 1гипс

-АК (р?

Г0дг) = (1-г-1)Я0(г)Гт(г) = -

1,03389 г -г

Поступая аналогично с остальными элементами, получили

КЛ2)= 1

Га.дг) =

17,0022 г-16,3356’ 0,125125 г —0,115120

^(^х^;е(г)^дг)+1) Г0дг)Гкдг)+1 '

5 -2,927 г 12 + 2,855 г 11 - 0,9283 г10 + + 1,229-10”2 г2 -2,312-10^ г+ 1,086-10~2

Получим математические модели элементов цифровой системы управления. Для этого примем период квантования Т = 0,2.

Для объекта управления при наличии чистого запаздывания х = 2:

Рис. 2

График дискретной переходной функции эквивалентной модели приведен на рис. 2.

Для оценки работы замкнутой цифровой системы проведем расчет переходной функции с параметрами регулятора, найденными ранее для непрерывной системы: Кр = 0,5; Ті = 5,29.

Для непрерывного управляющего устройства, реализующего ПИ-закон управления с независимыми параметрами настройки, її\,(р)=К Н——, его цифро-

Т,р

вой эквивалент при интегрировании по методу площадей [2] имеет вид

-1

Гт(г)=г-ш;Я0(0=£“

Заменив t = пТ в переходной функции Н0ф, получили решетчатую переходную функцию Н0(п). Найдя прямое 2 - преобразование отЩп), - получили выражение Н0(г).

2-передаточная функция объекта управления с учетом фиксатора нулевого порядка

0,101686

К(*)=

1-г-1

Т

тдед0 = К^д1 = -(Кр-у).

0,5г-0,462197 1-г'

Передаточная функция разомкнутой системы Гдг) = Г„(г)Гдг).

Передаточная функция замкнутой системы по ка-

^ФзФй) =

К (г) 1+ГД2)'

1,001г —1

Дискретная передаточная функция эквивалентного объекта

Подставив найденные дискретные передаточные функции, получаем

9,83527 ■ 10 ~2 г 2 - 0,192028 г + 9,3 7365 ■ 10 ~2 Ие:(г) = -

Проведя вычисления, получили 2-передаточную функцию с коэффициентами полиномов числителя (ф. 1) и знаменателя (ф. 2) по возрастающим степеням г, начиная со свободного члена.

Поскольку управляющее устройство обладает астатизмом первого порядка, то должна отсутствовать статическая ошибка управления и, следовательно, выполняться условие Ит Иг_ ф, ф (г) = 1.

г—>1

Ґ -4.3324421773037619239-10“: .13562177099670260105 -.14147096282454803949

4.9175945998597971093-10 2

V У

сЬ:

Ф. 1

-5.4191871580756998342■ 10 .16961258405152624434 -.17688880383949359064

6.1470423766439258052-10 2 0 0 0

О О

0

.92836259017829299816

-3.7837329387042646842

5.7823768226802285824

-3.9270064741542568963

1

-2Л

п := 0..

х(п) :=

F(x) := h(n):=

200

1

0 if х< О

1 otherwise

cl <— length(ch) - 1

zl <— length(zn) - 1 for j e 0.. n

yj<-°

for i e 0.. n b<-0 a<- 0

for s e 0.. cl b <— b + chd-s■ F(i + cl -zl - s) ■ x(i+ cl — zl if i > 0

for ge 1 .,

zl if i > zl

i if i< zl

a <— a + znzi_g • yj g l-(b-a)

1

ZDzl

У1 <— ]----------b I if i= 0

znzl

Рис. 3

Ф. 2

Это условие выполняется, поскольку

3 ' 14 '

^2 сЪ = 2,3324 ■ 1 (Г6, ^2 гп = 2,3324 ■ 1 (Г6.

о о

Малые значения сумм коэффициентов вынуждают использовать при определении значений коэффициентов не менее 6 знаков после запятой. Это обстоятельство следует учитывать при расчете цифровых систем управления.

Получение аналитических выражений для сложных передаточных функций весьма затруднительно даже при использовании МаНюас! [3], поэтому была разработана программа построения переходной функции по дискретной передаточной:

yj

Hz(n)=h(n)

Рис. 4

Переходная функция замкнутой цифровой САУ при Ко = 3 с максимальным и минимальным значением чистого запаздывания Н£п) и к:{п) представлена на рис. 3 (кривые 1 и 2 соответственно).

Переходные функции замкнутой цифровой САУ при К0 = 3 с чистым запаздыванием 0,0; 0,6 и 1,2 -Нл{п), Нл(п) иЯ-з(и) приведены на рис. 4 (кривые 1,2 и 3 соответственно).

выводы

1. Для обеспечения устойчивости эквивалентной модели необходимо осуществлять подбор параметров ее обратной связи, которые обеспечивают устойчивость при всех возможных режимах работы реального объекта. Наибольшее чистое запаздывание не всегда является наихудшим вариантом работы системы кправления.

2. Увеличение постоянной времени знаменателя ин-тегро-дифференцирующего звена обратной связи уменьшает быстродействие внутренних контуров эквивалентной модели, упрощая ее реализацию.

3. При получении цифровых моделей элементов САУ следует проверять правильность вычисления коэффициентов с использованием предельных теорем. Число значащих цифр в коэффициентах не должно быть меньше 6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пугачев В.И. Оптимизация параметров управляющего устройства в адаптивной системе управления с эталонной моделью // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2008. — № 1. — С. 88-91.

2. Изерман Р. Цифровые системы управления / Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 541 с.

3. Дьяконов В. МаІЇїсасІ 2001. Учебный курс. - СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

Кафедра автоматизации производственных процессов

Поступила 15.03.07 г.

621.83.05

СОПРОТИВЛЕНИЕ КА ЧЕНИЮ УПР УГОГО КОЛЕСА ПО ЖЕСТКОМУ ОСНОВАНИЮ

В.П. БОРОДЯНСКИЙ

Кубанский государственный технологический университет

В технологическом оборудовании широко ИСПОЛУ зуются фрикционные механические передачи, где ведущим звеном является упругое колесо, а ведомое звено (колесо, диск, ползу н и др.) выполнено из материала, который условно можно назвать жестким, так как он деформируется незначительно в сравнении с упругим колесом.

В технологическом оборудовании часто используются рабочие органы в виде упругого колеса, передающего усилия или ограничивающего движение обрабатываемого материала (полуфабриката). При этом материал в результате контакта с упругим колесом практически не деформируется и поэтому его условно можно считать жестким.

Для проведения энергосиловых расчетов [1] необходимо знать положение точки приложения равнодействующей реакции основания на колесо.

Рассмотрим колесо, нагруженное вертикальной силой/^, в статике (рис. 1) и при движении (рис. 2), как это показано для случая контакта жесткого катка с упругим основанием [2].

Когда колесо неподвижно (рис. 1), реакция основания Р21 пропорциональна объему деформированной части колеса ОМЕ Ъ, где Ъ - ширина колеса. Если вектор Р21 разложить на два составляющих =Р" , то ОНИ будут проходить через ТОЧКИ^! и А2 (линия, проходящая через центры тяжести площадок ОБЕ и ВЕМ).

Напряжения на площадке контакта ОМ пропорциональны вертикальным отрезкам между хордой ИМ и дугой ВЕМ. Величина отрезка ВЕ пропорциональна Стах (при упругом КОЛвСе)

От

=ВЕ 1 -|10 =йцс

(1)

В точке В напряжения равны нулю. По линии контакта напряжения будут изменяться в соответствии с величиной деформации колеса. Расчеты показывают, что угол аь определяющий центр тяжести фигуры ОБЕ, может быть определен по формуле [2]

«і = 1Р,

(2)

где А. = 0,375; [3 - угол, определяющий половину длины площадки контакта.

Угол (3 можно вычислить, используя зависимость [2] после преобразований (1):

вт В = 1,075./—5-,

\ЬЕг

где - сила прижатия колеса к основанию (вертикальная сила), Н; Ь - ширина обода колеса, м ;Е - модуль упругости Юнга, Па; г - радиус колеса, м.

Положение векторов Р'г и Р" определится величиной а (рис. 1):

г =ОВ■ ос 1 = г совР оц.

(3)

При движении колеса (рис. 2) в результате релаксации напряжений на участке сбегающей части колеса реакция Р" уменьшится. В результате полная реакция

Рис. 1

Рис. 2