Методы экспериментального определения частотных характеристик упругого летательного аппарата с цифровой системой управления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XVII 1986

№ 6

УДК 629.7.015.4:533.6.013.42

629.7.051.062.2 — 52 : 533.69.048.5

МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ЦИФРОВОЙ СИСТЕМОЙ УПРАВЛЕНИЯ

В. М. Кувшинов

Предложены и теоретически обоснованы некоторые способы экспериментального определения частотной характеристики летательного аппарата с цифровой системой управления в диапазоне частот упругих колебаний конструкции, основанные на использовании анализатора частотных характеристик. Получены оценки погрешностей в определении частотной характеристики, обусловленных конечностью времени измерения, и предложены простые соотношения для выбора потребного времени измерения, гарантирующего заданную точность.

Одной из основных задач, возникающих при проектировании современных систем автоматического управления (САУ) летательных аппаратов (ЛА), является обеспечение устойчивости упругих колебаний конструкции ЛА при их взаимодействии с САУ [1]. Сложность теоретического решения этой задачи с учетом всех особенностей конструкции ЛА и САУ обусловливает необходимость использования для заключения об устойчивости системы ЛА—САУ частотной характеристики (ЧХ) разомкнутой системы ЛА—САУ, определяемой экспериментально' в условиях, близких к натурным. Устойчивость ЛА с цифровой системой управления (ЦСУ) [2] можно анализировать с помощью критерия Найквиста на основании частотной характеристики импульсной разомкнутой системы [3, 4]. Методика экспериментального определения таких характеристик в диапазоне частот упругих колебаний конструкции, сравнимых с частотой квантования сигнала в бортовой цифровой вычислительной машине (БЦВМ), разработана недостаточно. В данной работе предложены некоторые способы экспериментального определения ЧХ импульсной разомкнутой системы ЛА—ЦСУ, основанные на использовании анализатора частотных характеристик.

1. Рассмотрим способы экспериментального определения ЧХ ЛА с одноконтурной цифровой системой управления (рис. 1 ,а). Анализируя только линейные системы, будем пренебрегать квантованием сигналов по уровню и ограничимся наиболее распространенным случаем амплитудно-импульсной модуляции сигналов. В дальнейшем используем следующие общепринятые обозначения: 5 — переменная преобра-

зования Лапласа, ю — круговая частота, соя — частота квантования ЦСУ, Т — период квантования, б (х) — дельта-функция, у* (0—импульсный сигнал, представляющий собой последовательность 6-функций,

+ 00

модулированных сигналом у (*): У* {§ — ^ У (0^(1 — &7'), у(1ш) —

И — —со

+00

преобразование Фурье (спектр) сигнала у(/): у(1<в)= | у (0 е~ш

— 00

Математическая модель аналого-цифровой системы ЛА — ЦСУ (рис. 1, б) включает в себя [3, 4]: простейший импульсный элемент, непрерывную часть системы с передаточной функцией №н ($), цифровое вычислительное устройство с дискретной передаточной

ФигтиВный

импульсный

элемент

Рис. 1

функцией (я) и экстраполятор, в передаточной функции которого О (э) учтено также чистое запаздывание между аналого-цифровым (АЦП) и цифроаналоговым (ЦАП) преобразователями т3. Для наиболее широко используемого запоминающего элемента нулевого порядка

0(5) = 00(*)-!^£^<Г з*.

Частотная характеристика импульсной разомкнутой системы №р.с(г«>), которую будем в дальнейшем называть импульсной частотной характеристикой (ИЧХ), в данном случае представляет собой отношение спектров импульсных сигналов и’* ((), и* (Ь): , и’* (г «>)

Шр. с (г<о) = ^ ^ , полученных при размыкании системы в точке И и введении фиктивного импульсного элемента (см. рис. 1).

Для автоматизированного определения ЧХ непрерывных систем применяется так называемый анализатор частотных характеристик [5].

Принцип действия анализатора основан на возбуждении исследуемой системы входным гармоническим воздействием и(t) = cos mt, ^>0 и вычислении следующих интегралов от ее выходного сигнала y(t)

где 7'о=2я/соо — период возбуждающего воздействия, N — число периодов усреднения, tjcT, — время между началом подачи возбуждающего воздействия и началом измерения. Значения;амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) характеристик системы на частоте соо: А(юо) и ф(соо) вычисляются по формулам:

Величина (уст выбирается так, чтобы к началу измерения затухло собственное движение системы. Поэтому формулы, характеризующие работу анализатора, могут быть записаны следующим образом:

где //(іоі0) — комплексная ЧХ системы.

При рассмотрении цифровых систем начало отсчета времени ^ = 0 удобнее связать не с моментом начала измерения, а с ближайшим к нему моментом квантования. Тогда формулы (1) примут вид

где т— время между моментом начала измерения и ближайшим моментом квантования, принимающее случайное значение 0<т<7\

Рассмотрим вначале возможность использования анализатора для экспериментального определения ИЧХ цифрового вычислительного устройства (ЦВУ) Ц7ц(1'о)). Подключение анализатора может производиться только к аналоговым входам и выходам, поэтому естественно рассматривать случай, когда возбуждающее воздействие с анализатора подается на АЦП, а выходной сигнал снимается с ЦАП (см. рис. 1). Систему, состоящую из АЦП, ЦВУ и ЦАП, будем называть простейшей цифровой системой.

Вычислим выходной сигнал этой системы. Преобразование Фурье (спектр) возбуждающего воздействия (2) имеет вид

и (ісо) = Г и (t) e~imt dt = 2тс [е-‘м°т 8 (со — <и0) -(-eiu>°x 8 (оо 4- ш0)].

у (t) sin со0 t dt,

A (m0) = V “3 К) + (“о), ? К) =- arctg

а (щ)

и (t) = е‘ш°* + е~ІШоі, — ОО < t < оо ,

(1)

А ы = I Н (г %) I ; ? К) = arg Н (і ш0) ,

и (t) — еіш° V-V — е~‘ш° <'~т>, — оо < t < -f оо ;

(2)

',+NT0

(3)

—со.

Спектры сигналов и (*), ы*(0> У*У), у У) (см. рис. 1, б) связаны соотношениями [3, 4]:

*•(*») = ~ 2 «и(« —я®5)];

т

п = —00

у* (г ш) = Ц7ц (і <о) С/* (і о)) ; у (і ш) = О (г «о) _у* (г «>) , из которых получим спектр выходного сигнала ЦАП:

2* +°°

У М = -у X а V “) еТ,ш°т 8 [“ + (“о + п “«)]• (4)

т

П — -СО

Выходной^сигнал ЦАП г/(^) определяется как обратное преобразование Фурье от у (иа):

У (0 =

1 +°° +°°

= йГ- I У (/Ш) еШ а<° = Т2 (-1 Шо)0 ^ ((В°+Л ш5)]е^е±1^+^1.

Вводя переменную ^ = /—т, получим

____ , +00 _

у (?) = — ИРц (± гсо0) б [+^(ч)0+«<«5)] е±1п^ 屫к+и"5')<. (5)

т

п= —ОО

Далее, используя амплитудные и фазовые частотные характеристики ЦВУ и экстраполятора

Н^ц (± I «>о) = Ац К) «±г>*К) . -7 0 (±* ®) = А Н е±г?(ш) -

запишем выражение для выходного сигнала ЦАП (5) в виде

у (?) = и/ц (гш0)^^ е«-.Т + у?: (~1щ) °±±& е~^7 +

+ К (“о) 2 Л (0)° + п № [(Шо+ЛШ5)7+,1''(“,о)] + ‘ +а«к)]}, (6)

Л = —00

пф О

где а„ (м0) = <р* (ш0)+ ср (О)0 + П и>3) + /10)5'' •

Формулы (4) -— (6) иллюстрируют хорошо известный факт, что выходной сигнал цифровой системы кроме гармоники с частотой возбуждающего воздействия (00 содержит бесконечное число гармоник с комбинационными частотами ю+п = мшв± со<ь п= 1,2, 3,....

Используя формулу-(6), получим аналитическое выражение интеграла (3), численный расчет которого производится в анализаторе ЧХ:

Н(1ша)=№;и<»0)-°-^ + ЬН(1Ш0)- (7)

где бл = а„ (<в0) + тг — пЫ. Член ДЯ(го)0) можно трактовать как

погрешность в определении частотной характеристики цифровой системы, обусловленную наличием в ее выходном сигнале комбинационных гармоник. Амплитудная характеристика экстраполятора Л (со) ограничена и Нт А (ш0 + п ш5) = 0. Следовательно, в силу

П->00

линейности экстраполятора А (ш0 + п ю$) = О ^| и для любой фиксированной частоты со0, не кратной половине частоты квантования (что необходимо для выполнения условия п + 2 ф 0), ряд в-формуле (8) абсолютно сходится, а значит,

(1)г. л

Нт Д. Н (г со0) = 0, Л = 1,2,3,... .

N-*00 *

Отсюда следует, что путем выбора соответствующего числа периодов усреднения N можно добиться того, чтобы результат измерения анализатором ЧХ простейшей цифровой системы с любой точностью удовлетворял соотношению

* (? (/ СОл) с

Н (го>о) = ^ц(^о)-------------------------------f— ’ “о Ф ~2 к, к= 1,2,3. (9)

Ш р

Для частот юо=-2-^ значения частотной характеристики могут быть получены предельным переходом

Н (/ & ) = Нт [Пт Н (г со0)].

N -+оо

— к

Подчеркнем, что формула (9) справедлива не только в основной поло-

О)о (1) о

се частот цифровой системы соо< -у, но и для частот (о0>■

С использованием формулы (9) и известного соотношения для определения ИЧХ аналоговой части аналого-цифровой системы [3]

может быть предложен следующий способ определения ИЧХ разомкнутой системы Л А—ЦСУ:

1) снимается ЧХ непрерывной части системы (от точки А до точки!)):

ЦГн (/ со) = и7АО (I со) , 0 < СО < сотах ;

2) вычисляется ИЧХ непрерывной части по формуле (10), которая может быть записана в более удобном для практических расчетов виде:

* 0(1о>) ^ах (О [/(ЛСОо — ш) ] -

Г„*(гсо) = -^Ц7н(гсо) + 2 . т....— (я «*-«>)] +

П — \

О[/(п<05+»)] \

Н------------------ \1 (Ясо5-(-со)] | ,

где (3 (/со), ]№я (Iсо) -- сопряженные значения ЧХ:

3) с помощью анализатора снимается ЧХ цифровой части системы:

4) в соответствии с формулой (9) вычисляется ИЧХ ЦВУ:

» ХГа и м) СО о

• °о<-г;

5) вычисляется ИЧХ разомкнутой системы:

\У*Р. с (г со) = (г о») \Р*Ц (гсо), о<ш<-р. (11)

Комбинируя формулы (10) и (11), получим соотношение

М7р. с (Iш) = 2 ^(/(О)О [<(«■> +Я«-д)]- \рн у (ш+а Ш5)] .

П = — оо

Используя свойство периодичности ИЧХ (£ <о) = [/ (со + п со5) ],

перепишем данное соотношение в виде

К с (Iсо) = 2 ^ V (“ + «“*)) а^^ + ПшА]. [г (СО + п С05)]. (12)

П ——оо

(О £

Учитывая справедливость формулы (9) для любой частоты со0

определим значение ИЧХ ЦВУ на частоте со4-ясо5 следующим образом:

ПГ/*Г-/ I т [*(“+л “$)] ,,о,

]Уи, [I (со + п С0у] _ + • (13)

т

Из соотношений (12), (13) получим окончательную формулу

+оо

V?;. с (г со) = 2 1г' (“ + п “«)] [I («о + я а*)1,

П — —оо

на основе которой может быть предложен второй способ определения ИЧХ ЛА с ЦСУ:

1) снимается ЧХ непрерывной части системы

(го>)= (*«)), 0<о)<штах;

2) с помощью анализатора снимается ЧХ цифровой части

1Гц (I о)) IТРо’А’ (г«) , 0 < (о < штах ;

3) вычисляется ЧХ разомкнутой системы

1ГР. с (I со) = (г ш) Й7 (г <о) , 0<со<сошах ; (14)

4) вычисляется ИЧХ разомкнутой системы

■^шах _

К с (/ (О) = 1^р. с (г Ш) + X {\Р9. с [»(я 0)5 - О))] + Гр. с [г (я со* + ш))} ,

П- 1

0<о><^. (15)

Непрерывная часть системы в отличие от цифровой части не «размножает» спектр проходящего через нее сигнала, а только преобразует этот спектр в соответствии со своей частотной характеристикой. Поэтому ЧХ разомкнутой системы Ц7р.с(^со) может быть определена не только по формуле (14), но и непосредственно, т. е. путем размыкания системы в точках А или I) (см. рис. 1) и снятия с помощью анализатора ЧХ ^/АА'(т) или При размыкании системы в точках В

или С будет получен аналогичный результат. Таким образом, можно предположить третий способ определения ИЧХ разомкнутой системы:

1) САУ размыкается в одной из точек А, В, С, Б (см. рис. 1) и с помощью анализатора снимается ЧХ разомкнутой системы

МРр. с {I со) = УРаа1 (I о)) = №вв’ (* о)) = №сс (I о)) = {I о)),

О < 0) о)гаах ,

2) по формуле (15) вычисляется ИЧХ разомкнутой системы.

Рассмотренные выше способы определения ИЧХ разомкнутой системы являются косвенными, поскольку тем или иным образом предусматривают вычисление импульсной ЧХ путем свертки обычной ЧХ по формулам типа (15). Для построения прямого способа дополним систему ЛА—ЦСУ, разомкнутую в точке А, цифровым блоком (ЦВМ) (рис. 2), дискретная передаточная функция которого (я) произвольна, а АЦП и ЦАП синхронизированы с АЦП и ЦАП управляющей БЦВМ. Построенная расширенная система по своим характеристикам между точками N и А' (рис. 2) эквивалентна простейшей цифровой системе с дискретной передаточной функцией

^ = Ш*НР (5) = ХГ'п (я) £> {(5) О (5) црв (5)} = К (8) К (5) ^ (5).

Тогда в соответствии с (9) результат измерения анализатором ЧХ между точками Я и А' будет определяться выражением

Ч?НА> (I со) = Ш*НР (I со) = < (I со) Ш* (I со) Гд Ц со) . (16)

В то же время ЧХ, измеренная между точками Н и А, будет равна

* й и и>)

УГ„аУ«)=Фа(1'*)-±г1 . (17)

Анализатор позволяет измерять ЧХ системы между точками А я А' при подаче возбуждающего воздействия в точку Н. Эта операция осуществляется в анализаторе путем одновременного измерения ЧХ №На (гсо), УРна{ш) и вычисления их отношения. В рассматриваемом случае из формул (16) и (17) имеем

Шаа’ (іш):

ЦнА> (* ы)

«) ^я(г«)= ^.с(г«>).

а)

Т

Привод

ЦАП

ЦАП

ВЦВМ

ЦВМ

Анализатор

ЧХ

Датчан

и

фильтр

АЦП

К(*)

АЦП

и(Ь)

Н

Генератор

и(і)=ивтш0і

и (і)

Н

т

8)

А'

С (Я

ЖИ(Я)

в

Рис. 2

На основании полученного соотношенйя может быть предложен следующий способ непосредственного измерения ИЧХ разомкнутой системы:

1) к входу непрерывной части разомкнутой системы (к входу привода) подключается дополнительный цифровой блок, синхронизированный с управляющей БЦВМ (см. рис. 2). В качестве такого блока может использоваться дополнительный канал управляющей БЦВМ;

2) возбуждающее воздействие подается с анализатора на вход дополнительного блока и снимается ЧХ от входа на привод до выхода ЦАП управляющей БЦВМ (см. рис. 2):

У (/со) * 0)с

^------= V? аа> (£ с») = Ц7 с (/и), 0<о>-<— .

х (г ш) - 2

2. Рассмотрим более подробно вопрос о точности определения ИЧХ цифровых систем с помощью анализатора. Анализ точности и выбор-

потребного числа периодов усреднения по полной формуле для погрешности (8) весьма трудоемок, поэтому представляется целесообразным получить приближенные соотношения для оценки погрешности в различных областях частот. Ограничимся при этом наиболее распространенным случаем использования в цифровой системе экстраполятора нулевого порядка, ЧХ которого может быть представлена в виде

-у О0 [-Н К + я <о<г) ] = А0 К 4 я со5) е±1* (“о+я%) > (18)

5|п ( ” "Иг 1 I

где А К + я 05) = - ------------------ ---- А> К) -------- ----- ,

« 1+-5п 1+_5п

“5 «о м0

?0 К + « “ хз “о— Хз-Я.0>5 = ?о К) - Т3 0>5 я.

ш5

С учетом (18) формула (8) записывается следующим образом:

А И (ги>0) =

6) где

(О о _

еп = ?* К) + ?о Ы — яа)5134-яо)5х + я я— N = 9 (ш0) + я ф,

? К)= ?* К) +?о (“о) — полное фазовое запаздывание цифровой си-

(!>«

стемы с учетом экстраполяции сигнала, <ь — — «о % + ^ — N—

0)0

фазовый угол, принимающий при случайном т случайное значение из интервала 0-< ф <; 2тс.

Согласно формуле (7) погрешность АЯ(/со0) представляет собой комплексную добавку к ЧХ цифровой системы. Точность определения ЧХ удобнее характеризовать величиной относительной пог-

+ 00 в1п

»=-« I 1 + — п I п

п+0 \ о>0 I

соэ б„-----------4 . е 1в«

Н (Ь,0)

Л* (“о) Л (“о)

1 и величи-

решности определения АЧХ Д А =

ной погрешности определения ФЧХ

Дер = а^ Я(/%) — [<Р (ш0) 4- Щ, А = О, 1.

Можно показать, что эти величины определяются по относительной ЧХ (рис. 3):

Я(ш0) = —~г^\ — = е*'(-.) + Ш(т0),

А (<оо) А0 (ю0)

где &Н(ш0) — относительная погрешность измерения ЧХ:

/ ппМ \

ДЯ(го)0) = —ш2 ^ “ • [соэ 6Я----(19)

«АТ „ (<■> + Я) п \ п + 2» I к

— “о

<о =—-------относительная частота.

“5

В области частот, малых по сравнению с частотой квантования, <о<1, формула (19) представляется в виде

■аМп Л

Д//=-

/ тсЫп.

4 ., V* \ • > ^sta (/i4»)sfnf + cos(«ty)j + О («*). (20)

- (И2

*=1

я2

«Сохраняя в (20) только первый член ряда, получим

Д Н'*

тс N

і»2 (sin <J> sin ® +

IеЛГ V

(В /

(21)

Из формулы (21) следует, что для малых частот погрешность в определении ЧХ является действительным числом. Учитывая, что |Д#|<1, имеем

ДЛ == Д//сое <р, Д|р = ДЯвт?.

Множитель $т/-^Лв формуле (21) для ю<1 быстро изменяет свои V <о у _

значения в диапазоне [-—1, +1] при изменении параметров со, N. Поэтому

для оценки погрешности сверху целесообразно использовать абсолютную величину его предельного значения, равную 1 Кроме того, поскольку значение угла гр является случайным, для оценки погрешности сверху следует использовать ее максимальное по -ф значение

max I Д/У I = ю2 V/sin2«p4-4№2 sin f—

ф 1 1 TtN V о> I

С учетом указанных соображений формулы для оценки погрешностей в области малых частот со<1 могут быть получены в виде

дл

4 “ -------О)

■kN 4 -

2 Vsin2 ср 4- 4ш* | cos <р | ,

1 Д? I max ~ ~ТГ 0)2 ^Sin2 ? + 4<»2 | Sin Ср | . T.N

(22)

Анализ формулы (19) показывает, что в достаточно широкой окрестности частоты ю = 0,5 (практически при 0,25<ю^0,75) основной вклад

в погрешность вносит член, соответствующий п = — I. Тогда для этой области частот

где 6 = б_1 = ср — ф, как и Ф, принимает случайные значения 0-<б<; -С 2я.

Преобразуя формулу (23), получим

Из формулы (24) следует, что при изменении т в пределах О<т<Г (О<0<2л) относительная погрешность в определении ЧХ описывает в комплексной плоскости эллипс с полуосями | £>! |, |£>г|. Максимальные по т погрешности в определении амплитудной и фазовой характеристик |ЛЛ|тах и |Д<р|тах могут быть найдены геометрически (см. рис. 3).

При малых |Г>,|, | /Э21, что соответствует выполнению условия

В малой окрестности частоты со = 0,5 при |Аса|<1 выполняется условие Д>~—и формула (24) принимает вид

cose-)- —

(23)

ДН= Dx cos 6 4- iD2 sin 0,

(24)

где

|Д«>|>-дг, где Дсо = «>----величина ДЛ оценивается следующим

образом:

N ’

ДЛ = | Н | — 1 = V(cos ср -)- £>, cos 9)2 4- (sin <р 4- D2 sin Є)3 — 1 =

як Dj cos f cos 0 -f £>2 sin <p sin 6.

Максимальное no 0 значение погрешности

І ДЛ І шах = VD\ COS2 <P 4- D\ Sin2 cp =

Погрешность в определении ФЧХ находится из соотношения

и для малых ]D,|, |D2| может оцениваться по формуле Дер ss;Z)2 coscp Sin б—Z>J sin Cp cos 0. Максимальное значение погрешности

ДН = Da (cos 6 — і sin 0).

В этом случае относительная погрешность в определении ЧХ при изменении т описывает в комплексной плоскости круг радиусом |£>1| и, следовательно,

ДЛ|

/ tiN

sinrr

inNAto

Д<р | max = arcsin | Dv | « arcsin

/ TtN sin -=-\ “

4лЛ^Д(й

(27)

Анализируя формулы (25) и (27), отметим, что формула (25), полученная для области частот |Дсо|>^-, при со-> --^-(А(о->-0) переходит

в формулу (27), справедливую при любом N в области частот |Аю|<1. Таким образом, для оценки погрешности в определении АЧХ для всей области частот 0,25 <*>^0,75 может использоваться единая фор-

ла (25).

В окрестности частоты м = 0,5 можно выделить три области характерного поведения функции £(со) входящей в качестве мно-

жителя в выражения для погрешностей:

а) в области частот |Дсо|^э — функция £((о) быстро изменяется

АЫ

от —1 до +1 при изменении а,Ы. Поэтому для оценки погрешности в формулах (24)—(27) целесообразно использовать предельное значение | ёГ (со) | = 1- При этом оценка погрешностей в области частот

4 N

<С|Аю| <1 имеет наиболее простой вид

lA^lmax = l Д?1

1

б) в области частот ]Аоэ)

4 N

х 4тсЛГ | До |

следует использовать точное вы-

ражение для функций ё’(ю);

в) при I Аю | <С — поведение функции £((о) приближенно описыва-4Л^

ется выражением ^(и) ^з1п(4яЯА(й). При этом формулы (27) записываются в виде

|Д А

sin (4яЛ?Дш) 4r.NAu>

lA?Lax = arCSln

sin (4тсЛ^Д«) 4iizNA<o

откуда следует, что Jim |ДЛ|Шах=1, Jim IА<? I шах = •

(о-*0,5

Таким образом, при непосредственном измерении АЧХ цифровой системы на частоте ©0= “s можно получить любое значение из ин-

5— «Ученые записки» № 6

65

тервала [О, 2Л* (coo) Л0(а)о)], а при измерении ФЧХ — любое значение из интервала [ф(соо)—90°, ф((о0) +90°].

Оценка погрешности на частотах, близких к (о = -^ (2k— 1), k=l,2, ..., может производиться по аналогичным формулам, справедливым для различных областей изменения параметра До> = ——i — <в;

а) IДЛ

2k — 1

2nN І Дш I

при

2k— 1

2 N

б)

ДЛ

2k - 1

4iiN

. j tzN \

s,nM

I

при I До) I

2k

AN

B)

ІДЛ

l 4%N

sin ---------Д(0

\2k-

4 tzN —

- Доз

2k- 1

при |Д(о| c

2k— 1 4л

Полученные оценки погрешностей в области малых частот (22) и

О) £

в окрестности частоты со=-у- (25), (26) могут использоваться для выбора числа периодов усреднения, обеспечивающего заданную точность измерения ЧХ цифровой системы. Однако данные оценки зависят от фазовой характеристики исследуемой системы, которая заранее неизвестна. Поэтому для выбора N удобнее использовать мажорантные оценки погрешностей, представляющие собой максимумы оценок при вариации ФЧХ цифровой системы в пределах 0<ср<2іт. Для области частот 0,25^0)^0,75 такие оценки можно получить из формул (25), (26):

при 0,25 •< о) < 0,5; (28)

]дл

maj'

1 Д<р I = —-------------------=——----------------— при 0,5 <

1 TlmaJ kN (2co — 1) (1 — со) F

o)<0,75. (29)

Для малых частот со<1 мажорантные оценки погрешностей приближенно определяются следующим образом:

ДЛ

і maj

-

maj

4 “2 --------0)‘!

%N

(30)

Поскольку при со<С1 оценки |АЛ|та] по формулам (28) и (30) практически совпадают, во всей области частот со^0,5 может использоваться единая формула (28).

Оценки прогрешностей в определении АЧХ цифровой системы с дискретной передаточной функцией

Ш(г) = 0,84 ^-О'556^0,81 ,

~ г3 —0,432г + 0,49

полученные по формулам (22), (25), и мажорантные оценки (28), (29) приведены на рис. 4. Там же приведены значения погрешностей, полученные в результате математического моделирования процедуры определения ИЧХ данной цифровой системы. В области частот 0,25^о><0,75

оценка погрешности по формуле (25) хорошо согласуется с результатами моделирования, а мажорантная оценка согласуется с этими результатами до частоты со«0,9. Вобласти малых частот со<0,25 более точную оценку дает формула (22), мажорантная оценка и оценка по формуле (25) дают завышенные значения (особенно при ш<0,1). Однако это различие не имеет практического значения, поскольку на частотах <о<0,1 погрешности настолько малы (| АЛ |ша^0,5%), что выполнение любого разумного требования точности обеспечивается уже при N=1.

■ мажорантная оценка результаты математического моделироіания

Рис. 4

Таким образом, во всей области частот 0<<о<0,9 для выбора числа периодов усреднения N может использоваться имеющая достаточно простой вид мажорантная оценка погрешности (28) — (30). Например, если задана максимально допустимая погрешность в определении АЧХ АЛдоп, соотношение для выбора числа периодов усреднения имеет вид

ЛГ=[л]+1,

п

_2_

71

_2_

ТС

1

1 — 2о> Д-Ддоп

(О3

(2ш — 1)(1—ш) Мд

1

при

при

^ •» »< —;

< (В < С05 .

Зависимости Ы(со) для различных АЛД0П представлены на рис. 5. При со ~(С0в/2 выбор N осуществляется в соответствии с (27).

Использование способов, предложенных в первой части работы, с учетом полученных оценок погрешностей позволяет экспериментально определить импульсную частотную характеристику летательного аппарата с цифровой системой управления с заданной точностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колесников К. С., Сухов В. Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. — М.: Машиностроение, 1974.

2. Системы цифрового управления самолетом. /Под ред. А. Д. Александрова, С. М. Федорова.'—М.: Машиностроение, 1983.

3. Ц ы п к и н Я. 3. Основы теории автоматических систем. — М.: Наука, 1977.

4. Т у Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления.— М.: Наука, 1964.

5. Вавилов А. А., Солодовников А. И. Экспериментальное определение частотных характеристик автоматических систем.—Л.: Гос-энергоиздат, 1963.

Рукопись поступила 15/ІУ 1985 г.