CC BY
26УДК 621.372.54
Е. Н. Червинский ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург)
| Реализация электрических фильтров лестничной структуры
Представлена методика расчета различных типов фильтров лестничной структуры на примере синтеза фильтров нижних частот (ФНЧ) и полосно-заграждающих фильтров (ПЗФ). Параметры фильтра определяются в результате решения системы уравнений, образованных приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях нормированной комплексной частоты передаточной функции реального фильтра и требуемой передаточной функции. В качестве примеров рассчитаны параметры ФНЧ третьего, четвертого и девятого порядков, а также ПЗФ десятого порядка при различных соотношениях пульсаций амплитудно-частотной характеристики в полосах пропускания и задерживания.
Фильтр лестничной структуры, передаточная функция, инверсный фильтр нижних частот, квазиэллиптический фильтр нижних частот, полиномиальный фильтр нижних частот, полосно-заграждающий фильтр
Реализация электрического фильтра является заключительной операцией после синтеза передаточной функции (ПФ) фильтра с заданными параметрами. Широко распространен метод предварительного расчета фильтра-прототипа нижних частот с нормированными значениями элементов деноминированием их и преобразованием в схему синтезируемого фильтра [1]-[3]. Параметры фильтра могут быть определены непосредственно в результате решения системы уравнений, образованных приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях переменной в выражениях синтезированной ПФ и ПФ реального фильтра [4] или методом уравнивания коэффициентов [5]. В частных случаях расчета по ПФ цепи (реализации в целом) могут возникнуть трудности, связанные с нахождением условий совместности или с низкой точностью решения системы нелинейных уравнений.
Цель настоящей статьи - представление методики расчета номиналов элементов различных типов фильтров лестничной структуры на примере синтеза фильтров нижних частот (ФНЧ) и полос-но-заграждающих фильтров (ПЗФ). Фильтр лестничной структуры представляет собой электрическую цепь из катушек индуктивности и конденсаторов, соединенных определенным образом для реализации заданной частотной характеристики.
Инверсные и квазиэллиптические ФНЧ. Инверсный ФНЧ (ИФНЧ) обладает амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), равномерно спадающей в полосе пропускания (ПП) и имеющей колебательный характер в полосе задерживания (ПЗ). АЧХ квазиэллиптического ФНЧ (КФНЧ) равномерно приближается на отрезке к единичному
24
значению в ПП и имеет равномерные пульсации в ПЗ. ПФ ИФНЧ и КФНЧ порядка п Нп (5н)
(5н = j®н - мнимая часть нормированной ком-
плексной частоты рн = стн + jши;
ш.
= ш/о
причем ш - текущая частота; шс - угловая частота среза) записываются в форме произведений ПФ звеньев первого и второго порядков:
п/2
Нп (н ) = К П
/=1 % + + С
Нп (н ) =
К (п-1)/2
к п
•н + а,
п = 2, 4, ...;
п = 3, 5,
(1)
•н + с0 ,=1 + Ьг*н + С' Модули ПФ Нп (шн) = |Нп (н)) т. е. АЧХ этих фильтров, в аналогичной форме имеют вид
Нп (шн) =
к п О - а-1 2 4
= К| | ,-! ' =, п = 2, 4, ...;
¡=1
2 2
- С ) + ь шн
Нп (шн) =
(п-1)/ 2
- п
К
(2)
- а,-
п = 3, 5,
''=1 - с,) + ь
2 2
ПФ ИФНЧ и КФНЧ различаются значениями коэффициентов К, а-, Ь-, с,. В ПЗ фильтры имеют полюсы затухания на нормированных частотах шЦг- = , - = 1, 2, ... с нулевым значени-
© Червинский Е. Н., 2013
х
Рис. 1
ем АЧХ. ФНЧ нечетного порядка имеют дополнительные нули АЧХ на бесконечно высокой частоте.
На рис. 1 представлена схема ФНЧ третьего порядка с емкостью С1 в поперечной ветви, параллельным контуром с элементами ¿2, С2 в последовательной ветви и сопротивлением нагрузки Я. Сопротивление г включает внутреннее сопротивление источника сигнала. Фильтр содержит усилитель с коэффициентом усиления Ку.
ПФ фильтра, представленного на рис. 1, имеет вид
3ФНЧ (н) = [Ку /(°GC1r)] ( + ®р2/®2 ) X 3 C1r + C2 (r + R) 2
•н +—2—•н+
raeC 1C2 rR
+ „2 C1rR + L2 • + „2 r + R
+ ор2-2-5н + °р2^-
юсCirR " '
-1
(3)
юсС1гЯ
где Юр2 = УV¿2^2 - резонансная частота параллельного контура.
Для реализации в целом преобразуем выражение (1) в выражение для ПФ ФНЧ третьего порядка:
H3 (н ) = K
•н + a1
•н + (( + c0 )) + ((co + c1 )н + coc1
. (4)
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной 5н в выражениях (3) и (4), получим систему пяти уравнений для определения шести неизвестных параметров фильтра r,
Ch L2' C2' R> Kу:
®2 L2C2 = V ab
[Qr + C2 (r + R ^/(C^rR) = b + co; (C1rR + L2 )/ (co;2 L^QrR) = bco + c1; (5) (r + R )/( LAQrR) coC1; Ky/ (cOсClr ) = K.
Третье уравнение системы (5) с учетом первого уравнения преобразуется к виду
1 + L2I CrR ) = (b1Co + С1)/ a1.
Поскольку левая часть равенства всегда больше 1, система уравнений совместна при условии
(b1Co + С1)/a > 1. (6)
В таблице приведены коэффициенты ПФ инверсных и квазиэллиптических ФНЧ различных порядков, зависящие от минимального затухания
АЧХ в ПЗ 8 = -2oig [Hfiifü (®н)] и неравномерности АЧХ КФНЧ в ПП:
S = 2olg [H{gfn (он)/Hffifn („н)],
где Ндз« (сон) - максимальное значение АЧХ Hn (он) в ПЗ; НПП n н ) и HПП n н
) - максимальное и минимальное значения АЧХ Hn (юн) в ПП соответственно. Частота среза обоих типов
n S, дБ s, дБ K co i ai b, ci (b1co + c1 )/a1
ИФНЧ
3 14 o.794936 1.545958 1 2.257964 o.751o23 1.161o5o 1.o28
3 3o o.2oo95o 1.13432o 1 5.976366 o.93337o 1.o5874o o.354
5 3o o.215774 1.47o2o8 1 2.o56891 o.443o52 1.o53952
2 5.385o1o 1.697486 1.5424o 1
1 1.265859 o.153342 1.o25129
9 3o o.3155o3 2.321759 2 1.636918 o.54o8o9 1.25563o
3 2.971347 1.264oo5 1.9155oo
4 1o.495o6o 2.882794 3.561353
КФНЧ
3 o.ooooo1 14 o.79o424 1.533514 1 2.2437o8 o.743o9o 1.156482 1.o23
3 o.1 3o o. 166846 o.79159o 1 4.4o716o o.6257oo o.923593 o. 322
5 o.1 3o o.14o863 o.712353 1 1.3978o6 o.15o981 o.979727
2 2.783673 o.723276 o.78o853
1 1.o1793o o.oo81o6 o.9989o6
9 o.1 3o o. 135722 o.688777 2 1.o54917 o.o44853 o.986221
3 1.241996 o.7o7939 o.731769
4 2.566997 o.19o853 o.93o437
фильтра неизменна при любом соотношении 8 и 8. Условию (6) удовлетворяют параметры ИФНЧ третьего порядка при 8 = 14 дБ и КФНЧ при
8 = 10-6 дБ, 8= 14 дБ.
Пример 1. Рассчитаем параметры ФНЧ третьего порядка (см. рис. 1). Положим шс = 105. Приняв для ИФНЧ С2 = 120 нФ, на основании решения системы уравнений (5) получим С1 = 240 нФ, ¿2 = 0.37 мГн, г = 1 кОм, Я = 56 Ом, Ку = 18.9. Для КФНЧ при С2 = 150 нФ имеем С1 = 300 нФ, ¿2 = 0.3 мГн, г = 1 кОм, Я = 43 Ом, Ку = 24.1.
Здесь и далее номиналы резисторов и конденсаторов приведены к ряду номинальных значений Е24 [6].
АЧХ ИФНЧ Н3ФНЧ (ш) и КФНЧ Н3ФНЧ (ш) третьего порядка с ПФ (3), рассчитанные по формуле
Ку
Н3ФНЧ(ш)=-
2 2 ш -шр2
С1Г ¿2 + С1гЯ
I 3 2 ¿2 -+- С1 г
Х<||ш - шр2 ——-1-ш| +
И р2 С1гЯ
С1г + С2 (г + Я) 2 2 г + Я ■ш -шр2
,-0.5
С1С2 гЯ
С1гЯ
представлены на рис. 2.
На рис. 3 приведена схема ФНЧ третьего порядка с дополнительным конденсатором С3 в поперечной ветви, ПФ которого имеет вид Н'3фнч (•н ) =
= К3ФНч/С3ФНЧ , где
Н3ФНЧ 1.00 0.75 0.50 0.25
3ФНЧ 3ФНЧ
1 2 Рис. 2
ю-10-
0—
ив-
0-
г
С,
С
2 С3
Я
Ку
-0
и
-0
и„
к
3ФНЧ
К уС2
(
шс (С1С2 + С1С3 + С2С3)г
2 ^ 2 шр2 •н + +
V
ш
с У
С 3 , (С1 + С2)г + (С2 + С3)Я • 2 + С3 ФНЧ = •н +--~-_--+
ш,
! (С1С2 + С1С3 + С2С3 )гЯ
(С1 + С3 )гЯ + ¿2
ш2¿2 (С1С2 + С1С3 + С2С3)гЯ г + Я
+—;-.
шс ¿2 (С1С2 + С1С3 + С2С3 )гЯ
АЧХ рассматриваемого фильтра определяется кж Н3ФНЧ (ш) = 73фнч/и3ФНЧ , где
73'.
3ФНЧ
КуС2
и3
3ФНЧ
(С1С2 + С1С3 + С2С3 )г
(С1 + С3 )гЯ + ¿2
2 2 ш -ю р2
ш3 -
¿2 (( + С1С3 + С2С3 )гЯ
(С + С2)г + (С2 + С3)Я 2
ш -
( + С1С3 + С2С3 )гЯ
,0.5
г + Я
¿2 (С1С2 + С1С3 + С2С3 )гЯ
Система пяти уравнений для определения семи неизвестных параметров г, С1, ¿2, С2, С3, Я, Ку имеет вид
шс ¿2С2 = V а1;
(С1 + С 2 )г + (С2 + С3 )Я
: (С1С2 + С1С3 + С2С3)гЯ
(С1 + С3 )гЯ + ¿2
ш2 ¿2 (С1С2 + С1С3 + С2С3 )гЯ
= Ь1 + с0;
= Ьс + С1; (7)
г + Я
шс ¿2 (С1С2 + С1С3 + С2С3 )гЯ
= с0 с1;
КуС2
шс (С1С2 + С1С3 + С2С3)г
= К.
Третье уравнение системы (7) с учетом первого уравнения преобразуется к виду
1 ¿2 -С^Я/С2 =(ЬlCo + ^) (8)
(С1 + С3 + С1С3/С2 )Я 1
За счет появления отрицательного члена левая часть уравнения (8) может быть меньше 1, поэтому выполнение условия (6) при решении системы уравнений (7) не требуется.
2
2
5
ь
2
Н3 ФНЧ
1.00 0.75 0.50 0.25
0
Н3ФНЧ
Н3 ФНЧ
2
Рис. 4
ю-10"
поперечных ветвях, позволяющие реализовать АЧХ без наложения предварительных условий на ко -эффициенты ПФ.
Обозначим резонансные частоты параллельных
контуров Юру = 1 ^¿С , 1 = 2, 4, 6, 8. ПФ фильтров по схемам на рис. 5-7 описываются следующим образом:
Нп ФНЧ (5н ) = (п -1)/2
с 1=0
нп
п ФНЧ
(га) = Кп
Пример 2. Определим параметры ИФНЧ и КФНЧ с частотой среза юс = 105 при 8 = 30 дБ, (Ь1с0 + с1 )/а1 = 0.354 и 8 = 0.1 дБ, 8= 30 дБ, (Ь^с0 + С1Уа1 = 0.322 соответственно (см. табли- а их ачх - как цу). Приняв для ИФНЧ С1 = 100 нФ, С2 = 10 нФ, в результате решения системы уравнений (7) получим Ь2 = 174 мГн, С3 = 75 нФ, г = 100 Ом,
Я = 100 Ом, Ку = 2. Для КФНЧ при С1 = 100 нФ, С2 = 16 нФ имеем Ь2 = 1.44 мГн, С3 = 130 нФ, г = 100 Ом, Я = 120 Ом, Ку = 1.84. АЧХ ИФНЧ
Н3фнч (ю) и КФНЧ Н'3фнч (ю) представлены на рис. 4.
Схема на рис. 3 менее чувствительна к входной емкости усилителя и поэтому более предпочтительна.
Ю X ®с 1 ап(п -21 -1)н
п -21 -1
п = 5, 7, 9, (9)
x"'
,=0
(п- 1У 2
x (-1)1 «п(п-21- 1)Юп-1 1=0
(п -1)/2 , п2
x (- 1)(п-^' Рп(2, +1)Ю2'+1 , =0
(п-1)12 , ,,
x (- 1)(п- ^' Рп(2,)Ю2'' >=0
п = 5, 7, 9.
-0.5
Входящие в приведенные соотношения коэф-На рис. 5-7 представлены схемы фНЧ пятого, фициенты для ФНЧ пятого порядка определяются
седьмого и девятого п°рядк°в с дополнительны- следующим образом: ми конденсаторами С5, С7 , С9 соответственно в
2 „2 .
К5 = КуС2С4 /а5 ; а50 = Юр2Юр4;
0—
Г^г^гл
ив
Ь2
С,
0-
С
2 С
С
4 С 5
Ку
-0
I
-0
ив
0—
и в
¿2
Рис. 5 Ь4
С
0-
С2 С3
С4 С5
С6 С
Ку
-0
и
-0
ив
Рис. 6
0—
ив
4
Сл
0-
С2 С3
С4 С
С6 С
С8 С9
Ку
-0
и
-0
ив
5
Ь
4
г
Я
Ь
6
г
Я
Ь
Ь
2
6
г
Я
2 2 а52 = шр2 + шр4; а54 =1;
р50 =( г + Я У( ¿2 ¿4а5Я );
Р51 = [( + С3 + С5 )гЯ + ¿2 + ¿4 ]/( ¿4а5 Я);
Р52 = (ш-2 + ш-4 ) (г + Я) + ((С + ¿4С1 + ¿4С3 ) г + +( 2С3 + ¿2С5 + ¿4С5 )((¿4а5Я);
р53 ={[(ш-22 )(С1 + С3 + С5 ) + +¿2С1 (С3 + С5 ) + ¿4 (С1 + С3 )С5 ] гЯ +
+¿2 ( + С3 + С4)}/((¿4а5Я); Р54 ={[С1С2 +(С1 + С2 )( + С4 )] г +
+ [(С2 + С3 )( + С5 ) + С4С5 ] Я}/(а5 Я);
Р55 = 1,
причем
а5 = [(( + С1С3 + С2С3 )( + С5 ) +
+ (С1 + С2 )С4С5 ] г.
Для ФНЧ седьмого порядка имеем:
2 2 2
К7 = КуС2С4С6/а7 ; а70 = шр2шр4шр6;
2 2 2 2 2 2 а72 = шр2шр4 + шр2шр6 + шр4шр6;
2 2 2 а74 = шр2 + шр4 + шр6; а76 =1;
Р70 =( г + Я У( ¿2 ¿4 ¿6а7 Я );
Р71 =[(С1 + С3 + С5 + С7) гЯ +
+¿2 + ¿4 + ¿6 ]/(( ¿6а7 Я);
р72 = {(ш-2 +ш-4 +ш-6 )(г + Я) +
+ [(¿2 + ¿4 + ¿6)С1 +(¿4 + ¿6)С3 + ¿6С5 ]г + + [¿2 (С3 + С5 + С7 ) + ¿4 (С5 + С7 ) +
+¿ 6 С7 ] Я} (¿2 ¿4 ¿6 а7 Я );
р73 ={ (ш-2 +ш-4 +ш-6 )(С1 + С3 + С5 + С7 ) + + ¿2С1 (С3 + С5 + С7) + ¿4 (С1 + С3)( + С7 ) + +¿6 (( + С3 + С5 )С7 ] гЯ +
+ ш-4 (¿2 + ¿6) + ¿2 (С2 + С3)(( + ¿6) + + (¿2 + ¿4 )( + С6 )¿6 }/(( ¿4 ¿6а7 Я );
р74 ={[ш-^ш-^ +ш-2ш-6 + шр4шр6 ](г + Я) +
+ [(ш-2 )¿6 (С1 + С3 + С5) +
+ (ш-2 + ш-2 + ¿6С5 ) ¿4 (С1 + С3 ) +
г +
+ (ш-4 + ш-¿5 + ¿4С3 + ¿6С3 + ¿6С5 ) ¿2С1 + +ш-42 + ¿2С3 + ¿2С5 + ¿4С5 )¿6C7 +
+ ¿2С3 )¿4 (С5 + С7 ) +
+ (ш-42 +ш-2)^2 (С3 + С5 + С7) Я}^(¿2¿4¿6а7Я);
№_2 _2 —2 —2 —2 —2 \
шр2 шр4 + шр2 шр6 + шр4 шр6 )х
х(С1 + С3 + С5 + С7 ) +
+ [(ш-2 +ш-4 )(<^1 + С3 + С5 ) + +¿2С1 (С3 + С5 ) + ¿4С5 (С1 + С3 )¿6С7 + + [(ш-2 +ш-б )(С1 + С3) + ¿2С1С3 ]¿4 (С5 + С7) + + (ш-4 + ш-2 ))1 (С 3 +С5 + С7 )} гЯ + +¿2¿4¿6 [(2 + С3 )(С4 + С5 + С6 ) + +С4 (С5 + С6 ¿4 ¿6а7 Я );
Р76 ={[( С1С2 + С1С3 + С2С3 )(С4 + С5 + С6) + + (С1 + С2 )С4 (С5 + С6)] г + +[(С2С4 + С2С5 + С3С4 + С3С5 + С4С5 )(С6 + С7 ) + + (С2 + С3 + С4 )С6С7 ] Я^(а7 Я); Р77 = 1,
причем
а7 = [(С1С2 + С1С3 + С2С3 )х х (С4С6 + С 4С7 + С5С 6 + С5С7 + С6С7 ) + + (С1 + С2)С4 (С5С6 + С5С7 + С6С7)]г. Для ФНЧ девятого порядка имеем:
К9 = КуС2С4С6С8/а9 ;
2 2 2 2 а90 = шр2шр4шр6шр8;
2 2^,2 2 2, а92 = шр2шр4шр6 + шр2шр4шр8 +
2 2 2 2 2 2 + шр2шр6шр8 + шр4шр6шр8;
2 2 2 2 2 2 а94 = шр2шр4 + шр2шр6 + шр2шр8 +
2 2 2 2 2 2 + шр4шр6 + шр4шр8 + шр6шр8;
2 2 2 2 а96 = шр2 + шр4 + шр6 + шр8; а98 = 1;
р90 =( г + Я У( ¿2 ¿4 ¿6 ¿8а9 Я );
р91 = [(С1 + С3 + С5 + С7 + С9 ) гЯ +
+¿2 + ¿4 + ¿6 + ¿8 У (¿2 ¿4 ¿6 ¿8а9Я );
р92 = {(«р!2 + ЮР4 + Юр2 + Юр2 ) (г + Я) + + [(¿2 + ¿4 + ¿6 + Ь8 )С1 + (¿4 + ¿6 + Ь8 )С3 + + (¿6 + ¿8 )С5 + ¿8С7 ] г +
+[Д2 (С3 + С5 + С7 + С9) + ¿4 (С5 + С7 + с9) + +¿6 (С7 + С9 ) + ¿С9 ] Я}/((¿4¿6^я);
р93 = { (( + «р2 + Ю-2 + Ю-2) X х(С1 + С3 + С5 + С7 + С9) + +¿2С1 (С3 + С5 + С7 + С9 ) +
+¿4 (С1 + С3 )( + С7 + С9 ) +
+¿6 (С1 + С3 + С5)( + С9) + +Ъ8 (С1 + С3 + С5 + С7)С9]гЯ +
+ Ю-2 (¿2 + ¿6 + ¿8Ь^2 (¿2 + ¿4 + ¿8) + +¿2 (( + С3)(( + ¿6 + ¿8) + +¿8 (¿2 + ¿4 + ¿6)(С7 + С8) + + (¿2 + ¿4 ) (¿6 + ) С5 }/(¿2 ¿4 ¿6 ¿8а9Я );
Р94=( ю1Э22 ('
-2 -2 -2 \ -2 -2 I Юр4 + Юр6 + Юр8 ) + Юр4Юр6 +
,-2 V
-2 )ю- 2
(г + Я) +
>6/шр8 >2¿4 (С1 + С3 ) + ¿2С1 + + (( +Ю1-4 + ^6 )) (С1 +С3 +С5 +С7) + + (®р2 + >4 +Ю1-2 + ¿8С7)) (С1 +С3 +С5) +
+ ((2 +>2 + ¿6С5 + ¿8С5 + ¿8С7 )х х ((С + ¿4С1 + ¿4С 3 ) + + ¿2С1 (¿4 + ¿6 + )С3 ] г + + {( + Ю-6 +Ю^2)) (С3 +С5 +С7 +С9) + + (®р2 +>6 +Ю-2 + ¿2С3)) (С5 + С7 + С9) + + (Юр2 +>4 + Юр2 +¿2 С3 +12СЪ +ЦСЪ )х х ¿6 (С7 + С9 ) +
+ |_Ю-2 + »4 + >6 +¿2 (С3 +С5 +С7 ) +
+¿4 (С5 + С7 ) + ¿6С7 ] ¿А } Я)/(¿4¿6¿8а9Я);
/ (/ -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 р95 =Ц(®р2 Юр4 +Юр2 Юр6 +Юр2 Юр8 +Юр4 Юр6 +
+ Юр4Юр2 + Ю_2Ю_2 ) (С1 + С3 + С5 + С7 + С9 ) +
((2 +Ю-4 + Ю_6 )(С1 +С3 +С5 +С7) +
+¿2С1 (С3 + С5 + С7 ) + ¿4 (С + С3 )(С5 + С7 ) + +¿6С7 ( + С3 + С5 )] ¿8С9 +
+ ( +Ю-4 +Ю-2 )(С1 +С3 +С5 ) + + ¿2С1 (С3 + С5 ) + ¿4С5 (С1 + С3 )] ¿6 (С7 + С9 ) +
+ ( +Ю-2 +Ю-2)(С1 +С3) + ¿2С1С3 х х ¿4 (С5 + С7 + С9 ) +
+ (( +Ю-6 +Ю-2 ) ¿2С1 (С 3+С5 + С7 + С9 )} гЯ + + ¿2¿4 (¿6 + ¿8 ) (ЭД + С2С5 + С3С4 + + С3С5 + С4С5) + ¿2¿6 (¿4 + ¿8)С6 (С2 + С3) +
+ ¿2¿8 (¿4 + ¿6 ) (2С7 + С2С8 + С3С7 + + С3С8 ) + ¿4¿6 (¿2 + ¿8 ) С4С6 + ¿4 ¿8 (¿2 + ¿6 ) х
х С4 (С7 + С8) + ¿6¿8 (¿2 + ¿4ОС5С6 + + С5С7 + С5С8 + С6С7 + С6С8 ))/(( ¿4 ¿6 4а9 Я );
«-2 -2 -2 -2 -2 -2
Юр2 Юр4 Юр6 +Юр2 Юр4 Юр8 +
2 2 2 2 2 2 \ + Ю_2Ю_6Ю_8 + Ю -4 Ю -6 Ю -8 )(г + Я ) +
«-2 -2 -2 -2 Юр2 Юр4 +Юр2 Юр6 +Ю
х
]р4 Юр2 )х
¿8 (С1 + С3 + С5 + С7 ) +
-2 -2 -2 -2 -2 -2 Юр2 Юр4 +Юр2 Юр8 +Юр4 Юр8 +
+ (2 +Ю-4))С7 ¿6 (С1 + С3 + С5) +
+ «-2 (+¿6С5 )+(2+«-6 )х
х(2 + ¿8С5 + ¿8С7 ) + ®р2 ¿6С5 + + ¿6С5¿8С7 ]¿4 (С1 + С3 ) +
[ -2 -2 -2 -2 -2 -2 + _Юр4 Юр6 +Юр4 Юр8 +Юр6 Юр8 +
+ ( +«-6)) (С3 + С5 + С7) +
+ (( +ЮР2 + ¿8С7)) (С3 + С5 ) +
+ (( +ир2 +16 С5 + ¿8С 5 +Ь8С7 )х
х ¿4С3 ]¿2С1} г +
«-2 -2 -2 -2 -2 -2 Юр2Юр6 +Юр2Юр8 +Юр6 Юр8 +
+ «-6¿2С3 + га-2¿2С3 )¿4 (С5 + С7 + С9 ) +
(-2 -2 -2 -2 -2 — 2 \ Юр4Юр6 +Юр4Юр8 +Юр6Юр8 ]¿2 х
х(С3 + С5 + С7 + С9 ) +
__2 / _2 _2
Юр2 (юр4 + юр8 + ¿4С5 ) +
-2
+ ш-4 (о5!-2 + ¿2С3 + ¿2С5 ) +
+ шр2 (¿2С3 + ¿ 2С5 +¿4C5) + ¿2^4^
х ¿6 (С7 + С9 ) +
- 2 / -2 -2 \ + [шр2 (шр4 + шр6 + ¿4С5 + ¿4С7 + ¿6С7) +
¿2С3 + ¿2С5 + ¿2С7 + ¿6С7 ) +
+ ш-2 (¿ 2С3 + ¿2С5 + ¿2С7 + ¿4С5 + ¿ 4С7) + +¿ 2С3 (¿4С 5 + ¿4С7 + ¿6С7 ) +
+ (¿2 + ¿4 ) С5 ¿6С7 ] ¿8С9 } Я )/( ¿4 ¿6 ¿8а9 Я );
/1 / -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 р97 = Ц(шр2шр4шр6 + шр2шр4шр8 +шр2шр6шр8
+ ш-4 ш_2ш_2 )(С1 + С3 + С5 + С7 + С9 ) +
(-2 -2 -2 -2 -2 -2 \
шр2шр4 + шр2шр6 + шр4шр^¿8 х
х(С1 + С3 + С5 + С7 )С9 +
шр4 шр6 + шр4 шр8 +шр6 шр8 )¿2C1 х х(С3 + С5 + С7 + С9) +
(-2 -2 -2 -2 -2 -2 \
шр2шр4 + шр2шр8 + шр4шр^¿6 х
х(С1 + С3 + С5 ) + (ш-2 +ш-2 ) ¿6 (С1 + С3) +
+ (ш-4 + ш-2 ) ¿2СЛ (С3 + С5 ) +
+ ¿2С^4С3 ¿6С5 ](С7 + С9 ) + шр2шр6 + шр2шр8 +шр6шр8 )¿4 (С1 + С3) + + (ш-6 +ш-2)¿2^^403 (С5 + С7 + С9) + + (ш-2 + ш-4 )¿6C7 (С1 + С 3 +С5 ) + (ш-2 + ш-2 ) х
х ¿4 (С1 + С3)(С5 + С7 ) + ( +ш-2 )2С1 х
х (С3 + С5 + С7 ) + ¿^¿С (С5 + С7 ) + ¿2С1 х х ¿6С7 (С3 + С5 ) + ¿4С 5¿6С7 (С1 + С3 )]¿8С9 } гЯ + + ¿2¿4¿6¿8 {(С2 + С3)С4 (С6 + С7) + + (С2 + С3 + С 4 )( + С5С7 + С6С7 ) +
+ [(С2 + С3 )( + С5 + С6 ) +
+ С4 (С5 + С6)] С8})/(( ¿4 ¿6 ¿8а9 Я);
р98 =({[(С1С2 + ОД + С2С3 )( + С5 + С6 ) + + (С1 + С2)С4 (С5 + С6)]( + С8) +
+[(С 1С2 + С1С3 + С2С3)( + С5) +
+ (С + С2 )С4С5 ] С6 } г + {[(С2С4 + С2С5 +
+С3С4 + С3С5 + С4С5 )(С6 + С7) + +(С2 + с3 + С4 )С6С7 ]( + С9) + + [(С2 + С 3 )(С4 + С5 + С6 ) +
+С4 (С5 + С6)] С8С9 } д)/(а9 Я); р99 = 1,
причем
а9 = {[(С1С2 + С1С3 + С2С3 ) х х(С4С6 + С 4 С7 + С5С 6 + С5С7 + С6С7 ) + + (С1 + С2)С4 (С5С6 + С5С7 + С6С7)^(С8 + С9) + + [(С 1С2 + С1С3 + С2С3 )(^4 + С5 + С6 ) + + (С1 + С2 )С4 (С5 + С6 С8С9 } г.
Пример 3. Определим номиналы элементов ФНЧ девятого порядка (см. рис. 7) с коэффициентами К, а-, Ь-, с-, приведенными в таблице, для
шс = 105. Выполнив перемножение в (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной % в ПФ Н9фнч (%) (9) и Н9 (5н) (1), получим систему 14 уравнений при 16 неизвестных параметрах.
Для ИФНЧ выберем С2 = 47 нФ, С8 = 27 нФ. В результате решения системы уравнений получим С = 10 нФ, ¿2 = ¿4 = 0.72 мГн, С3 = 120 нФ, С4 = С5 = 110 нФ, ¿6 = 0.41 мГн, С6 = 150 нФ, С7 = 39 нФ, ¿8 = 0.35 мГн, С9 = 330 пФ, г = 100 Ом, Я = 91 Ом, Ку = 2.1.
Частоты настройки параллельных контуров, определяющие нули АЧХ, в возрастающем порядке составляют: шр4 = 112 367, шр6 = 127 515, шр2 =
= 171 904, шр8 = 325 300.
Для КФНЧ при С2 = 130 нФ, С8 = 27 нФ имеем
С1 = 10 нФ, ¿2 = 0.61935 мГн, С3 = 56 + 3 нФ,
¿4 = 0.301709 мГн,
С4 = 300 +13 +1.1 + 0.091 нФ, С5 = С9 = 62 нФ,
¿6 = 0.1398177 мГн, С6 = 680 + 22 + 0.62 нФ,
С7 = 82 нФ, ¿з = 1.44281 мГн, г = 100 Ом,
Я = 270 +12 Ом, Ку = 1.36.
Требуемая точность подбора элементов при реализации КФНЧ гораздо выше, чем при реализации ИФНЧ, поэтому некоторые емкости реализованы
набором конденсаторов с различными номиналами из ряда Е24. Изменилась и последовательность частот настройки контуров Юру = юс ^а,, ] = 1, 2, 3,
4: гар6 = 100 892
Юр4 = 102 709, Юр2 гар8 = 160 219.
В общем случае число уравнений ФНЧ с полюсами затухания равно (3n +1)/ 2, а число неизвестных параметров (3n + 5)/2, поэтому два параметра (как правило, емкости контуров) задаются произвольно.
КФНЧ четного порядка. Как видно из выражений для Hn (ган) (2), предельное значение
АЧХ при четном n не равно нулю: НПзП (сон) =
= lim Hn (ган) = K, что является следствием ра-
юн
венства степеней полиномов числителя и знаменателя соответствующей ПФ. Поскольку АЧХ ФНЧ четного порядка имеет в бесконечности ненулевое значение, поперечные ветви в схемах фильтров, изображенных на рис. 1, 3, 5-7, должны быть дополнены катушками индуктивности, включенными последовательно с конденсаторами. В этом случае значение модуля ПФ реального фильтра на нулевой и бесконечной частотах одинаково и равно ЯКу/ (г + R). Равными (ненулевыми) значениями АЧХ на нулевой и бесконечно высокой частотах обладают ПЗФ, поэтому ФНЧ четного порядка n с количеством полюсов затухания n/2 не может быть реализован в виде фильтра лестничной структуры.
Количество полюсов затухания может быть уменьшено на единицу. В этом случае ПФ
Kn (н) и АЧХ Kn (сон) реализуемого КФНЧ
четного порядка n в форме произведений ПФ звеньев первого и второго порядков примут вид
^ (n 2)-1 Inl 2
Kn (н)= K П (( + ai)/П(2 i=1 / i=1
= 111 445,
(н + ¥н + ci);
(n/2)-1 2
= k п с i=1
Kn (сн ) =
/ i=1 n = 4, 6, ...
l2 2
Для определения 3n/2 неизвестных коэффициентов K, ab a(n/2)-1, h, b2, •••, bn/2,
С1, С2, ..., сп!2 и (3п/2)-2 частот экстремумов модуля передаточной функции КФНЧ запишем систему (3п - 2) уравнений:
20lg
f n/2 / (n/2)-1 ^
2п cq K п a,
-1
= 8;
q=1/ q=1
(n/2)-1 ¡n/2 _
2-K п aj п cq = ^n (х), q=1 / q=1
q = 1, 2, ..., n/2;
(n/2)-1 /n/2
k п ajпcq=kn (min),
q=1 / q=1
t = 2, 3,
Kn (1) = 1/V2;
dKn mqax ))d ((
q = 1, 2,
din (нт )) ( mtin )=0,
t = 2, 3,
. . . ,
n/ 2;
max ) = 0
(10)
-"> ' ' ' ?
n/ 2; nj 2;
dKn (öCmaxNi
= 0, h = 1, 2, ..., (n/2)-1; —max \ v ' /
ГЛ - I
d( )
г (—ma^ v Kn 1®н1 ) = Kn !®Hh
h = 2, 3, ..., (n/2)-1;
-20lg kn (cmax ) = 8,
где со™ и (в, д, / = 1, 2,... - абсциссы локальных максимумов и минимумов функции Кп (юн) в ПП соответственно; »тЬ*, Ь = 1, 2, ... - абсциссы
локальных максимумов функции Кп (юн) в ПЗ. При составлении системы уравнений (10) предусматривалось равенство отклонений Кп (юн) от
единицы в экстремальных точках. Уменьшая 8, можно получить при необходимости практически параметры АЧХ ИФНЧ.
Дальнейший расчет произведен по изложенной методике. Количество неизвестных (3п/ 2) + 2 превышает на два число 3п/2 независимых уравнений, которые могут быть составлены для определения параметров фильтра.
Пример 4. Определим номиналы элементов КФНЧ четвертого порядка (рис. 8).
0—
U„
r
0-
Ci
Рис. 8
ПФ указанного фильтра имеет вид
И4ФНЧ (н ) =
Ку ЯС2/ (»^)][,
2 2/2 •н +Юр2/ »с
4 i=0
.г -4 „г
а АЧХ фильтра -
И
4ФНЧ (ю) = ((уRC2/^))2 - ®р2
х(-1)2-j v2j»2j j=0
z(-1) j V2j-i»2j-1 .j=1
-0.5
где
\ = L4 (CiC2 + C1C3 + C2C3 v4 =1; V3 = [(( + C1C3 + C2C3) rR + L4 (C2 + C3));
V2 ={[L2 (C1 + C2) + L4 (C1 + C3)]r +
+ L2 (C2 + C3 )r}/(l£); V1 =[(C1 + C3 )rR + L2 + L4 vo =( r + R)/(££).
КФНЧ имеет один полюс затухания на резонансной частоте параллельного контура »р2.
В результате решения системы уравнений (10) получены следующие параметры АЧХ K4 (сон ) для 8 = 0.1 дБ, 8= 30 дБ:
»х=0.3564, »нг=0.6372, »m3ax=0.8055, »m\ax = 2.0379, K = 0.238250, a1 = 2.279550, Ь= 1.175142, C1 = 0.575709, b2 = 0.341253,
c2 = 0.948824. Число неизвестных параметров в КФНЧ четвертого порядка с одним нулем АЧХ равно 8: r,
C1, L2, C2, C3, L4, R, Ку. Положив »с = 105, Q = 91 нФ, r = 100 Ом и воспользовавшись указанными параметрами, найдем: L2 = 1.13 мГн,
0.75
1.50 Рис. 9
2.25
»•10-
С2 = 39 нФ, С3 = 180 нФ, ¿4 = 1 мГн, Я = 75 Ом, Ку = 2.32. АЧХ сформированного ФНЧ Н4ФН4 (ш)
представлена на рис. 9.
Полиномиальные ФНЧ. Положим в числителях выражений (1) 5н = 0, а- = 1, тогда ПФ звеньев первого и второго порядков примут вид
К
И (н ) =
Hn (н ) =
•н + с0
К (n-D/2
п
1
•н + с0 г=1 •н + Ь*н + сг n = 3, 5, ...;
Hn (н ) = КП^1-, n = 2, 4,
i=1 % + Ь^н + ci
(11)
ФНЧ с ПФ (11), имеющими в числителе постоянную величину, а в знаменателе полином степени п относительно переменной 5н, называются полиномиальными. Тильды в обозначениях (11) указывают на то, что АЧХ Нп (шн) с коэффициентами К, С0,
Ь-, С- является равноволновой на отрезке, т. е. равномерно приближает идеальную АЧХ в 1111.
ПФ и АЧХ полиномиального ФНЧ девятого порядка (рис. 10) имеют вид
Ку Я/(с в)
H
9 ФНЧ
(•н )=-
(12)
i=0
5с
H
9ФНЧ (») = (КуR¡s)x
Z(-1)5-j ,2 j-1» j=1
2 j-1
4
l
j=0
l(-1)4-j ,2 j»2j
-0.5
5
2
+
x
где
в — Ъ^С^дСз^бС5Ь^СуСдгЯ; — 1; д8 —(С 1Г + С9 Я )/(С ^гЯ);
— {[Ь2С1Ь4С3 (¿6С5С7 + ¿6С5С9 + ¿8С 5С9 + + Ь^С7С9 ) + (¿2С1С3 + ЬСС5 + ^СС + ¿4С3С5 ) х
х Ь6С7 Ь8С9 ]гЯ + Ь2С3Ь4С5Ь6С7 ¿8 Vв; ?6 — {[Ь2С1Ь4С3 (Ь6С5 + ¿8С5 + ¿8С 7) + Ь2С1Ь6 х х С3Ь8С7 + (Ь2С1 + Ь4С1 + Ь4С3 )Ь6С5 Ь8С7 ] г +
+ [¿2С3¿4С5 ((7 + ¿6С9 + ¿8С9 ) +
+Ь2СзЬ4С7¿8С9 + (2С3 + ¿^5 + ¿4С5 ) х х Ь6С7 Ь8С9 ] Я}/в; ?5 —{[Ь2С1Ь4Сз (С5 + С7 + С9ИЗДЫС +
+ Ь2СЬ6С5 + Ь4СЬ6С5 + Ь4СзЬ6С5 )(С7 + С9 ) +
+(Ь2С1С3 + Ь2С1С5 + Ь2С1С7 + Ь4С1С5 + ¿4С1С7 +
+ ¿4С3С5 + ¿4С3С7 + ¿6С1С7 + ¿6С3С7 + + ¿6С5С7))]гЯ + Ь2.СзЦС5 (¿6 + ¿8) + + (Ь2С3Ь4 + Ь2С3Ь6 + ¿2С5 ¿6 + ¿4С5 ¿6 ))С7 }/в; ?4 — {[ (¿4С3 + ¿6С3 + ¿6С5 + ¿8С3 + ¿8С5 ) + + ¿4 (( + С3)(( + ¿8)С5 + (2С1 + ¿4С1 + ¿4С3 + + ¿С + ¿6С3 + ¿6С5 ) ¿8С7 ] г +
+ [¿2СзЬ4 (С5 + С7 + С9 ) + (3 + ¿2С5 + ¿4С5 ) х х ¿6 (С7 + С9 ) + (¿2С3 + ¿2С5 + ¿2С7 + + ¿4С5 + Ь4С7 + Ь6С7 ) ¿8С9 ] Я}/в;
?3 — {[¿2С1 (С3 + С5 + С7 + С9 ) + ¿4 (С1 + С3 ) х х(С5 + С7 + С9 ) + ¿6 (С1 + С3 + С 5 )(С7 + С9 ) + + ¿8 (С1 + С3 + С5 + С7 )С9 ] гЯ +
+ ¿2С3 (¿4 + ¿6 + ¿8 ) + (¿2 + ¿4 ) С5 (¿6 + ¿8 ) + + (¿2 + ¿4 + ¿6 )С7 ¿8 }/в;
?2 — {[(( + ¿4 + ¿6 + ¿8 )С1 +(¿4 + ¿6 + £ 8 )С3 + + (¿6 + ¿8 ) С5 + ¿С ] г + [¿2 (С3 + С5 + С7 + С9 ) + + ¿4 (С5 + С7 + С9) + ¿6 (С 7 +С9) + ¿8С9 ] Я}/в;
^ — [(С1 + С3 + С5 + С7 + С9 ) гЯ +
+ ¿2 + ¿4 + ¿6 + ¿8 ]/в; ?0 —(г + Я Ув.
ПФ полиномиальных ФНЧ не имеют конечных нулей, поэтому реализуемые схемы лестничной структуры не содержат конденсаторов в продольных ветвях. На рис. 10 представлена схема ФНЧ девятого порядка, полученная из схемы на рис. 7 исключением конденсаторов С2, С4, С6 и С8.
Пример 5. Определим номиналы элементов полиномиального ФНЧ девятого порядка при неравномерности передачи в ПП 8 — 0.1 дБ со следующими параметрами ПФ:
К — 0.017880, С0 — 0.278934, Ъ — 0.096873, с — 0.972198, Ъ2 — 0.278934, С2 — 0.769456, Ъ3 — 0.427351, с3 — 0.458836, Ъ4 — 0.524224, с4 — 0.185681.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной 5н в знаменателях -^9фнч (%)
(12) и Н9 (5н) (11) с приведенными параметрами и
введя дополнительное уравнение Ку Я^ (ю^в) — К, получим систему 10 уравнений с 12 неизвестными. Положим юс —105, С1 —130 нФ, С3 — 330 нФ. В результате решения системы уравнений получим:
¿2 —1.144 мГн, ¿4 — 0.916 мГн, С5 — 430 + 27 нФ, ¿6 — 0.888 мГн, С7 — 370 нФ, 18 —1.033 мГн, С9 — 240 нФ, г — 91 + 4.7 Ом, Я — 51 Ом, Ку — 2.89.
АЧХ трех ФНЧ с рассчитанными в примерах 3 и 5 параметрами представлены на рис. 11
(Н<9ФНЧ (ю) - ИФНЧ из примера 3; Н'9фнч (ю) -КФНЧ из примера 3; Н/9фнч (ю) — полиномиальный ФНЧ из примера 5). Наибольшей крутизной АЧХ в точке ю—юс —105 в рассмотренных примерах обладает КФНЧ: й#9ФНЧ/йю — -147.8 -10-5
0—
0-
¿2___ и
¿8
С1 С3 С5 С7 С9
Ку
-0
и вых -0
¡ъ
Я
Я,
9ФНЧ 1.00 0.75 0.50 0.25
_ д
Я9ФНЧ
1 я9фнч
0
Y Я9ФНЧ ci^sasL
0.5
1.0 Рис. 11
1.5
ю-10"
Далее следуют полиномиальный ФНЧ (-11.3 -10 5 ) и ИФНЧ (-7.6 -10-5). При равной ширине переходных областей спад Н^фнч (ш) в ПП начинается раньше и, соответственно, раньше достигает нулевого значения по сравнению с характеристикой Н9ФНЧ (ш).
Последовательно исключая в схеме на рис. 10 элементы С9, ¿8, С7, ..., получим канонические схемы ФНЧ восьмого, седьмого, шестого и т. д. порядков, содержащие минимальное число ин-дуктивностей [4]. Соответствующие ПФ фильтров получаются из выражения Н9фнч (%) (12) подстановкой С9 = 0, ¿8 = 0, С7 = 0 и т. д. При этом количество неизвестных параметров в ПФ ФНЧ п-го порядка равно (п + 3), число независимых уравнений в системе (п +1).
Полосно-заграждающие фильтры. Для получения ПФ ПЗФ воспользуемся заменой переменных [7] 5н +1/)] 1, где 0 - положительное число; = 7'шн - преобразованная мнимая часть нормированной комплексной частоты, причем шн =ш/ш0 - угловая частота, нормированная относительно центральной частоты ре-жекции ш0. При помощи указанной подстановки ПФ ФНЧ пятого порядка (1) преобразуется в ПФ ПЗФ десятого порядка Н10 (sH):
Я10 (sH ) =
Kaia2
c0c1c2
sH10 +
f
5 +
<(8 + sH2 )
10 + 3 HL+fL +
a1 + a2 2
a^Q 1
Л
a1a2Q a1a2Q
s'4 ) +1]/&10,
(13)
где
+ 1 + 1
Qs10 = sH10 + (71/ Q)( sH9 + sH) + (5 + 72/ Q2) x x(8 + sH2) + ( Q + Y^Q3 )( + sH3 ) + -(10 + 3y 2/ Q2 + Y 4/ Q4)( + sH4) + '{(hi Q + 2731Q3 +751Q5 )5 +1,
причем
71 =[c0 (¿1c2 + b2c1) + c 1c2 ]/(c0c1c2 ); 72 = [c0 (c1 + b 1b2 + c2 ) + b1c2 + b2c1 ]/(c0c1c2 ); 73 = [c0 (¿1 + b2 ) + b1b2 + c1 + c2 ]/(c0c1c2 ); 7 4 =( c0 + ¿1 + b2 )/(c0 c1c2 ); 75 = V (c0c1c2 )• При этом АЧХ ФНЧ пятого порядка (2) преобразуется в Я10 (ю) АЧХ ПЗФ десятого порядка:
ттп ( ) Ka1a2
Я10 (ю) =—— х
c0c1c2
ю10 -
5 +
a1 + a2
>
a1a2 Q 3 (a1 + a2 )Q2 +1
8 2 2 8), ю Ю0 -ю +
10 +
a^Q
,6 4 4 6) 10 х^ю Ю0 -ю -®0
<(о
/VQ ю10 :
(14)
где
+ +
Ош10 =[ш10 -(5 +12/02)(ш8ш0 - ш2ш0) -+ (10 + 3у2/02 +1^04)(ш6ш4 -ш4ш0)-ш00
+ [(ц/ 0)(б59ш0 +шш9) - ( 0 +13/ 03 )(( +ш3ш77) + (/0 + 2у3/ 03 +у5/ 05 )ш5шо .
На рис. 12 представлена схема ПЗФ десятого порядка с последовательным контуром на входе в поперечной ветви. ПФ такого фильтра имеет вид
5
2г-10 ,21
Я10пс (sH ) =
RK,
ю0 Wh
У г=0
Г +
R 10
(15)
j=0
x
где
лю =1;
2 2 2 2 2 Л8 =шр1 + шр2 +шр3 +шр4 +шр5;
2 1 2 2 2 2 \ 2 12 Л6 = шр1 ^шр2 + шр3 + шр4 + шр5 ] + шр2 Гр3
+ ш]з4 + шрэ5) + ш]з3 (шр4 + шр5) + шр4шр5; р3 + шр4 + шр5
2 2 ( 2 2 2 Л4 = шр1шр2 I шр3 + шр4 + ш
х(шр4 + шр5
) + (шр1 + шр2)шр3 х
М2 2 2 \ 2 2 шр1 + шр2 +шр^ шр4шр5;
2 2 2 2 2 л2 = шр1шр2шр3шр4шр5 х
( -2 -2 -2 -2 -2 \ ^шр1 + шр2 + шр3 + шр4 + шр5^
2 2 2 2 2 л0 =шр1шр2шр3шр4шр5;
»10 = 1;
»9 = (¿3 + ¿ф5 + ¿3 ¿5 ) С2С4 гЯ + + ¿1ЪА¿5 (С2 + С4 )/[¿1С2¿3С4¿5 (г + Я)];
»8 = { шр2ш_2ш_2 (ш_4 + ш_2) + ш_2 х
(2 2\ 2 2 2222 шр2 + ш—2 )шр4ш_2 +ш-2ш—2ш-2ш—2 ](г + Я) +
(-2 _2 _2 _2 _ 2 _ 2 \ шр1 шр2¿4С3 + шр2шр3¿4С1 +шр3шр4¿2С1) х
хш_2г + ш_2 (ш-2ш_2¿4С5 +
+ ш —3ш—4 ¿2С 5 + ш—4ш—2 ¿2 С3) я}/х;
»7 =
-2,-2 /„-2
шр1 шр2 (шр3 +шр4 + 1■
+ ш_2 + ¿2С1 )шр3 шр4 +ш
-2 _2 ^3 шр4
4
2,-2
С ) + (
ш_2 +
_2 -2 / _2 _2 шр1 шр2 ушр4 + шр5
шр2 + шр2 + ¿2С1 )х
С5 + 2С1!
_2 -2' хшр4 шр5
С3 +
_2 —2 / _2 _2\ шр2шр3 ушр4 + шр5 ) +
/ _2 -2 \ _2 _2 + ^шр2 +шр3 )шр4шр5
ф гЯ +
—2 —2 / —2 -2 \ / _2 -2 \ _2 _2 шр1 шр3 ушр4 +шр^ + ^шр1 + шр3 )шр4шр5 +
+ ш_2ш_ 2 ¿4С3
¿2 +
_2 -2 / _2 _2 \ шр1 шр2 ^шр3 +шр5 ) +
»6 =•
/ _2 -2\ _2 _2 + ^шр1 + шр2) шр3 шр5
_2 _2 / _2 _2 _2 шр1 шр2 ушр3 + шр4 + шр5
¿4) /х;
- 1 + шр2
) +(шр2 +ш-2 )х
/ _2 _2 _2 _2 _2 _2 \ х^шр3 шр4 +шр3 шр5 + шр4 шр5 ) +
_2 _2 _2 + ш р3шр4шр5
(г + Я )-
/ _2 _2 _2 _2 ^шр1 шр2 +шр1 шр5 +
_2 _2 _2 + шр2 шр5 + шр5 ¿2
С1) ¿4С3
г +
(_ 2 _ 2 _2 _ 2 _2 _2 \
шр2 шр3 + шр2 шр5 +шр3 шр5 ) ¿4С1 +
(_2 _ 2 _2 _2 _2 _2 \
ш р3шр4 +шр3шр5 + шр4шр5)¿2C1 ]г
(_ 2 _ 2 _2 _ 2 _2 _2 \ шр1 шр2 +шр1 шр3 + шр2 шр3 ] ¿4С5 +
(_2 _2 _2 _2 _ 2 _2 \ ( _2 _ 2 шр1 шр3 +шр1 шр4 +шр3 шр4 )¿2C5 +(шр1 шр4 +
_2 _2 _2 _2 _2 \ I /
+ шр1 шр5 +шр4шр5 +шр1 ¿4С5)¿2С3]Я] X;
_21 _2 _2 _2 \ _2 / _2 _2 шр1 \шр2 +шр3 +шр^ + шр2 ушр3 + шр4 +
2(2 \ ( 2 2
+ ¿4С1 + ¿4С3) + ш_2 (шр4 + ¿4С1) + ((2 + ш_4 +
+ ¿4С3) ¿2С1 ] С5 + ш_2 (2+ш_4 +ш_2 )+шр2х
(_2 _2 \ _ 2 _2 _2
шр4 +шр^ + ш р4шр5 +шр1 ¿4С5 +
»5 =
+ |ш„4 +ш-2 )¿2Cl
_2 р4
С3 +
_2 / _2 _2 шр2 ^шр3 + шр4 +
_2 \ _2 _2 / _2 _2 \ _2 + шр5 / + шр3 шр4 +^шр3 +шр^ шр5
С1| гЯ +
_2 / _2 _ 2 _2 \ шр1 ^шр3 + шр4 + шр5 + ¿4С3) +
_ 2 / _ 2 _2 \ _2 / _2 + шр3 (шр4 + шр5 ) + шр5 (шр4 + ¿4С3
¿2 +
_2 / _2 _2 _2 \ шр1 ушр2 +шр3 +шр^ +
4 х;
=
-2
+ш р4
+ (ш
_2 / _2 _2 \ _2 _2 + шр2 ушр3 +шр^ + шр3шр5
([ -21 -2 -2 -2 -2\ -2/ |[шр1 |шр2 + шр3 + шр4 + шр5 ] + шр2
шр2 +
-2\ -2/ -2 -2\ -2 -2 °р5 ] + шр3 \шр4 + шр5 ] + шр4шр5
(г + Я) +
2 -2 -2 + + +
¿2С1 )¿4Cз +(шр2 + шр2 +
+ ш_2
)¿2C
-2 р3
-2 °р4
_2 )¿2C 1
р1 р2 р5
)¿4Cl +( -2
шр1 +шр2 +шр3
_2 _2 _2
шр1 +шр4 +шр5 +¿4C5 )¿2C3
-2 , „-2
р2 р3 г +
(_2 _2 _2 \ / —2 —2 _2 ^ шр1 +шр2 +шр3 )¿4C5 +( ^ "
1шр1 +шр3 +шр4^
»3 =•
-2
)
я х;
+ ¿2С1 + ¿4С1 +
1шр1 + шр2 +шр3 + шр4
(0000 \ шр1 +ш^2 +ш—4 +ш—2 + ¿2С1 )С3 +
+ (шр2 +шр2 +ш—42 +ш—2 ) С1 гЯ +
+ (шр2 +шр2 +ш—4 +ш—2 + ¿4С3 )^2 +
+(шр2 +шр2 +ш—2 +ш—2) ^х;
(2 2 2 2 2\
^ ш-2 +ш—2 +ш-42 +ш—2 )(г + Я) +
+(2С1 + ¿4С1 + ¿4С3) г + +(3 + ¿2С 5 +¿405 )Я ]/Х ;
+
S =[( C+ сз + C5) rR + L2 + L4 ]/x; »0 =(r + R Vx,
2 2 2 2 2. причем Х = <р 1®р2®рЗюр4юр5 (r + R)-
АЧХ рассмотренного ПЗФ имеет вид
RKу
Н10пс (ю) =-у
r + R
х(р 1)5 г Ли-®
2-
-=0
_5
.2=0
£(р1)5рj »2j®22
-0.5
£(- 1)5-2 »22-1®22-1 2=1
Пример 6. Определим номиналы элементов ИПЗФ и КПЗФ десятого порядка (2n = 10) с параметрами K, С0, а,, b-, c-, приведенными в
таблице для n = 5, при Ю0 = 105, Q = 2. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной sH в ПФ Я[0пс (sH) (15) и Hfo (sH) (13), получим систему 15 уравнений с 13 неизвестными После перехода к ряду номинальных значений Е24 для ИПЗФ имеем
L1 = 4.425 мГн, C1 = 16 нФ, L2 = 0.504 мГн, C2 = 160 нФ, L3 = 1.47 мГн, C3 = 68 нФ, L4 = 0.62 мГн, C4 = 200 нФ, L5 = 5.9 мГн, C5 = 24 нФ, r = R = 100 Ом, Ку = 2.
Частоты настройки контуров:
р5
= 84 037, юр4 = 89 803, юр3 = 100 020
р3
юр2 = 111 359, <вр1 = 118 846.
Номиналы элементов КПЗФ десятого порядка: L1 = 3.9 мГн, C1 = 16 нФ, L2 = 0.51 мГн, C2 = 160 нФ, L3 = 1.22 мГн, C3 = 82 нФ, L4 = 0.68 мГн, C4 = 180 нФ, L5 = 6.75 мГн, C5 = 24 нФ, r = 22 Ом, R = 100 Ом, Ку = 1.21.
у
АЧХ ИПЗФ Я[0пс (ю) и КПЗФ #10пс (ю) приведен^! на рис. 13. АЧХ ИПЗФ совпадает с требуемой АЧХ Я[0 (ю) (14). Найденное решение для КПЗФ обеспечивает выполнение равенств левой и правой частей уравнений системы (невязку) с точностью до третьего знака после запятой, что недостаточно для
Н1 0пс
1.00 0.75 0.50 0.25
5 = 0.1 дБ; \\ 5 = 30 дБ/7"
0
Ч Н' К
II н10пс I -
"■» I W
И н10пс
0.5
1.0 Рис. 13
1.5
ю-10-
формирования АЧХ с необходимой точностью, поэтому АЧХ #1опс (®) далека от Н\0 (ю) (14).
Рассмотрим альтернативный способ формирования ПЗФ. Представим ПЗФ десятого порядка в виде последовательного соединения ПЗФ второго порядка и двух ПЗФ четвертого порядка. ПЗФ (13) представляется перемножением трех ПФ:
н\0() — н2(1)(•% )н4(2) (•% )н4(3) (•%),
где
н2
2(1)
(4 ) = ((K/c 0)
sH2+1
s;2+s¿/ (c0©)+Г
H4(2) (H) = (Ш • a1¡C1 )x
„»4
2 +
1 M
sh +1
4 sH4 +[b^/(qQ)] ( + sH) + [2 +1 (q2 )] 4 H4(3) (sH ) = ( ^K • a2/c2 )x
2 +1 (a2©2)
+1
4
sH2 +1
sH4 + [b2¡ М)]( + sH ) + [2 +1 ( )] sH2
+1
ПФ и АЧХ ПЗФ четвертого порядка с последовательными контурами на входах Н4пс (%),
#4пс (ю) могут быть найдены из выражений Н10пс (^н) и Я{'0пс (ю) подстановками ¿5 — ¿4 — — ¿3 — 0, С5 — С4 — С3 — 0. Дополнительно подставив ¿2 — 0, С2 — 0, получим ПФ и АЧХ ПЗФ второго порядка с последовательным контуром на входах Я2пс (), Я2пс (ю). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной в выражениях ПФ с одинаковыми индексами в скобках, найдем номиналы элементов фильтров и коэффициенты усиления усилителей:
Ку1 — (1 + П/Я1 )Ш/<0; Ку2 — (1 + ^)) • с/с;
x
5
x
тт «
п ппс 2.0
1.5
1.0
0.5
. ^ ■ \
H4(3)пс
0
3 Я4(2)пс H „
'V н10пс
L
.............гг.........
H ' ппс
1.00 0.75 0.50 0.25
'2(1)пс
0.5
1.0
1.5
ю-10
-5
0
H4(2)пс ' N 1 H " » н10пс * у
/ / H " \ H 4(3)пс i V
- \ л--. ;j Г1' 1 • 4 J V \Х\ ....•ч-..... H2(1)пс
1 1
0.5
1.0
б
1.5
ю-10
-5
Рис. 14
Куз =(1 + гз/ ^з )) • а2/с2,
где г, , г = 1, 2, 3 - сопротивления фильтров.
Коэффициенты усиления могут варьироваться при условии, что их произведение Ку1Ку2Ку3 остается постоянным.
На рис. 14 представлены АЧХ КПЗФ второго
порядка Н2(1)пс (®) и двух КПЗФ четвертого порядка #4(2)пс (ю), НН4(3)пс (ю) (рис. 14, б - в
увеличенном по оси ординат масштабе), рассчитанные по данным таблицы для п = 5. Результирующая АЧХ
H1
Г10пс (га) = Н2(1)пс (га)Н4(2)пс (га)Н4(3)пс (га) полностью совпадает с требуемой АЧХ Но (га)
(14).
Таким образом, элементы всех фильтров в рассмотренных примерах удалось найти, не прибегая к справочным данным. Как известно [8], для решения системы нелинейных алгебраических уравнений численными методами должны быть заданы начальные значения неизвестных. Приведенные в примерах числовые значения параметров могут использоваться для предварительной локализации корней уравнений системы при других начальных условиях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1978. 208 с.
5. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей: учеб. 2-е изд. СПб.: Лань, 2009. 554 с.
6. ГОСТ 28884-90 (МЭК 63-63). Ряды предпочтительных значений для резисторов и конденсаторов. М.: Стан-дартинформ, 2006. 13 с.
7. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат, 1983. 128 с.
8. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т. 1. 632 с.
1. Бакалов В. П., Субботин Е. А. Синтез электрических цепей: учеб. пособие: в 2 ч. / СибГУТИ. Новосибирск, 2012. Ч. 2: Аналоговые и цифровые фильтры, корректоры, оптимизация. 188 с.
2. Никонов И. В. Анализ и синтез электрических цепей: учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2010. 168 с.
3. Синтез электрических фильтров по рабочим параметрам: методические указания к курсовой работе по дисциплине "Теория электрических цепей" / сост.: Т. М. Крайнова, Л. С. Медведева, А. З. Тлявлин; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2009. 64 с.
E. N. Chervinsky Closed JSC "SIMETA" (Saint-Petersburg)
Realization of electrical step-structure filters
Technique of calculation of various types of step-structure filters is presented as exemplified by synthesis of low-pass filters (LPF) and band rejection filters (BRF). Parameters of filter are determined directly as a solution of the system of equations, which are formed by equalization of coefficients at the equal degrees of normalized complex frequency of the transfer function of real filter and required transfer function. The parameters of third, fourth and ninth orders LPF, as well as of tenth order BRF, at different correlations of pulsations of amplitude-frequency characteristic in pass- and attenuation bands are calculated as examples.
Step-structure filter, transfer function, inverse low-pass filter, quasi-elliptic low-pass filter, polynomial low-pass filter, band-rejection filter
Статья поступила в редакцию 30 августа 2013 г.
а
