Реализация дидактических функций динамических компьютерных моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51(072.3)+004(072.3)

UDC 51(072.3)+004(072.3)

А.Н. БАКУРОВ

учитель математики школы №37 им. маршала

М.Е. Катукова

E-mail: bakurov-an@yandex.ru

A.N. BAKOUROV

teacher of Mathematics, school № 37 named after marshal

M.E.Katukov E-mail: bakurov-an@yandex.ru

РЕАЛИЗАЦИЯ ДИДАКТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ THE IMPLEMENTATION OF DIDACTIC FUNCTIONS OF DYNAMIC COMPUTER MODELS

Дидактические функции, реализуемые динамическими компьютерными моделями, позволяют интенсифицировать процессы развития памяти, внимания, наблюдательности, вносят огромный вклад в развитие творческих способностей. В статье описаны динамические компьютерные модели, созданные в среде «Математического конструктора», обладающие рядом свойств, которые могут быть использованы в учебном процессе для реализации поставленных целей обучения.

Ключевые слова: дидактические функции, динамические компьютерные модели, «Математический конструктор».

Didactic functions implemented by dynamic computer models allow improving students' memory, attention and observation and contribute to the development of creative abilities. The article describes dynamic computer models created with the use of the Mathematical Designer software. These models possess a number of characteristics which can be used in the academic environment in order to achieve the teaching objectives.

Keywords: didactic functions, dynamic computer models, Mathematical Designer.

Наблюдаемая в настоящее время глобальная информатизация общества в целом и образования в частности требует разработки новых информационных технологий, направленных на реализацию целей обучения.

Информатизация образования представляет собой область научно-практической деятельности человека, направленную на применение технологий и средств сбора, хранения, обработки и распространения информации, обеспечивающее систематизацию имеющихся и формирование новых знаний в сфере образования для достижения психолого-педагогических целей обучения и воспитания [1]. Важной составляющей новых технологий в обучении математике являются динамические компьютерные модели.

Под динамической компьютерной моделью будем понимать математическую модель, описывающую развитие процесса во времени, оперирующую нечисленными алгоритмами и реализованную на ЭВМ.

Динамические компьютерные модели создают принципиально новые возможности для организации усвоения содержания курса математики. Не подменяя собой учебник или другие средства обучения, они обладают собственным дидактическими функциями [2].

Одной из основных особенностей динамических компьютерных моделей является то, что они могут служить основой для овладения математическими понятиями. Рассмотрим реализацию этой особенности в процессе формирования знаний о взаимном расположении графиков линейных функций.

Для формирования представления о взаимном расположении графиков линейных функций воспользуемся

динамической компьютерной моделью (рис. 1), созданной в среде «1С: Математический конструктор», с помощью которой ученик занимает активную позицию исследователя. Данная модель содержит координатную плоскость, график прямой у = 3х +1 и прямую, в аналитическом выражении которой коэффициенты выступают в роли параметров. Значения этих коэффициентов легко изменяются счетчиком, что вызывает сиюминутное изменение положения графика функции. Также модель содержит точку пересечения графиков функций, координаты которой выведены на экран.

Итак, прежде чем начать изучение зависимости взаимного расположения графиков линейных функций от задающих их уравнений, рассмотрим, как вообще могут располагаться прямые на плоскости. Это можно продемонстрировать рисунками на доске. Заметим, однако, что изобразить параллельность и пересечение двух прямых на доске несложно, сложности возникают при демонстрации совпадения прямых. Преодолеть их нам поможет динамическая модель.

Учитель, изменяя значения параметров k и Ь , вызывает изменение положения графика функции. Учащиеся наблюдают за происходящим на экране.

Проведя эксперимент, задаём ученикам вопрос: «Назовите основные виды взаимного расположения прямых на плоскости». К этому моменту ученики уже обладают опытом работы описания взаимного расположения прямых, который они получили, в том числе, и на уроках геометрии. Итак, проведя эксперимент, мы устанавливаем, что прямые могут быть параллельны, совпадать и пересекаться.

© А.Н. Бакуров © A.N. Bakourov

Взаимное расположение графиков линейных функций

уА = 2.350 : /

ХА = 0,450 3 W

2 )г

„ д

J \

-а Г 2 3 4 5

/ х

= 3. 7 -3 \

/ \

/ -5 \

- f[r)=ky+b I

Задание

Определите влияние коэффициентов к и b на взаимное расположение графиков линейных функций.

k = 1 -5 С

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Ъ = 4,6 С

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

¡Выберите, переместите объект. При нажатых Shift или Ctrl можно выбрать несколько объектов.

Рис. 1.

Ставим перед учениками следующий вопрос: «От чего зависит взаимное расположение прямых?». Учителю стоит особо подчеркнуть, что положение прямой на плоскости мы изменяли, меняя значения коэф -фициентов к и Ь.

Получив ответ на этот вопрос, задаем следующий. При каких значениях коэффициентов к и Ь график функции у = кх + Ь будет:

1. параллелен прямой, заданной уравнением У = 3х +1;

2. пересекает прямую, заданную уравнением

У = 3х +1;

3. совпадает с прямой, заданной уравнением

у = 3х +1?

Традиционно вывод о параллельности прямых ученики делали на основе предложенного примера, в ко -тором строились графики прямых с равными угловыми коэффициентами или осуществлялся поиск точек пересечения аналитически. Из рисунка или аналитического решения получалось, что точки пересечения отсутствуют, что означает параллельность прямых. Умение делать выводы важно, но насколько оно естественно. С помощью динамической компьютерной модели ученик получает возможность самостоятельно обнаружить данный признак.

Изменяя значения коэффициента Ь , мы сдвигаем график вдоль оси ординат на Ь единиц, из чего можно сделать вывод: на наличие точки пересечение прямых он не влияет.

Изменяя значение коэффициента к , мы замечаем, что при к = 3 точка пересечения прямых исчезает. При к Ф 3 точка пересечения появляется.

Вернемся снова к коэффициенту Ь, изменяя его значение при к = 3 , наблюдаем, что при Ь = 1 прямые совпадают.

Итак, делаем вывод: графики двух линейных функций у = к1 х + Ь1 и у = к 2 х + Ь2 при к1 = к 2 - параллельны, при к1 = к2 и Ь1 = Ь2 - совпадают, при к1 Ф к2

- пересекаются.

Проводя манипуляции с моделью, ученики экспериментируют. Они одновременно получают ответы на вопросы о взаимном расположении графиков линей-

ных функций и о влиянии коэффициентов на взаимное расположение графиков линейных функций. Выводы, полученные в результате эксперимента, становятся прочными знаниями.

Итак, использование в процессе обучения подвижных образов динамических компьютерных моделей становится залогом успешного глубокого усвоения знаний.

Еще одним важным свойством динамических компьютерных моделей является возможность отработки в интерактивном режиме элементарных базовых умений.

Рассмотрим реализацию этой функции на примере отработки навыков построения графика квадратичной функции. Для этого воспользуемся следующей динамической компьютерной моделью (рис. 2). Она содержит координатную плоскость, аналитическое выражение квадратичной функции (с случайным образом задаваемыми целыми коэффициентами), график функции у = х2, а также параметры х0, к и Ь, задающие положение параболы, заданной уравнением у = к(х — х0) + Ь. Значения этих коэффициентов легко изменяются счетчиком, что вызывает сиюминутное изменение положения графика квадратичной функции.

Знание свойств квадратичной функции является основой для изучения таких содержательных линий курса математики, как функциональная, линия уравнений и неравенств и т.д. Умение строить график квадратичной функции может быть использовано при решений уравнений, неравенств, их систем, заданий с параметром, текстовых задач и т.д. Прочность усвоения алгоритма построения может быть крепкой основой для изучения раздела «Преобразование графиков функций».

Итак, решение задачи осуществляется в два этапа. На первом этапе необходимо привести уравнение (со случайно заданными коэффициентами), задающее квадратичную функцию, к виду у = к (х — х0 )2 + Ь. Для этого необходимо выделить полный квадрат и выполнить алгебраические преобразования.

Например, для функции, заданной выражением у = (—1) • х2 + 0 • х + 3, эта последовательность действий такая:

(—1) • х2 + 0 • х + 3 = —(х2 — 2 • 0 • х + 0) + 3 = —(х — 0)2 + 3.

Далее записываем значения параметров х0 , к и Ь , желательно в том же порядке, в котором мы выполняем преобразования. Получаем х0 = 0, к = —1, Ь = 3.

На втором этапе в заданном порядке выполняем преобразования графика функции у = х2 :

1. сдвиг вдоль оси Ох на х0 = 0 единиц;

2. растяжение вдоль оси Оу в к = —1 раз;

3. сдвиг вдоль оси Оу на Ь = 3 единиц.

Следует отметить тот факт, что каждый шаг преобразования оставляет на экране след в виде параболы, выделенной цветом.

Рис. 2

Данная модель позволяет выполнить задание сколь угодно большое число раз, отрабатывая навыки преобразования. Она позволяет проследить за совершаемым преобразованием на каждом шаге, избавиться от необходимости заново изображать координатную плоскость и график функции у = х2, аккуратно вносить исправления.

Не отходя от сути отрабатываемых умений, можно разнообразить упражнения поиском координат вершин параболы, точек пересечения с осями координат, наибольшего и наименьшего значений функции, интервалов возрастания и убывания и т.д.

Отработка в интерактивном режиме базовых умений и навыков с использованием динамических компьютерных моделей позволяет выполнить значительное количество заданий, отвлечься от аккуратности выполняемых построений, уделяя больше внимания содержательной стороне задания. Запрограммированный алгоритм выполнения задания позволяет получить любое количество однотипных задач.

Одной из важнейших функций динамических компьютерных моделей является усиление значимости и повышение удельного веса исследовательской деятельности учащихся в учебном процессе. Особенно ярко это проявляется при построении графиков функций, зависящих от параметра, и исследовании их особенностей при различных значениях параметра.

Для проведения исследования и анализа задачи целесообразно проведение эксперимента, в процессе которого как нельзя лучше раскрываются возможности динамических компьютерных моделей. Они позволяют визуализировать задачу. У ученика есть возможность пронаблюдать сам процесс динамичного изменения графика функции в зависимости от непрерывного изменения параметра. В ходе решения задачи учащимся постоянно приходится анализировать увиденные результаты, интерпретировать их. Это оказывает положительное влияние на формирование гибкости мышления, прививает вкус к исследованиям.

Рассмотрим пример проведения исследования с использованием динамической компьютерной модели при решении следующей задачи. Найдите значение па-

раметра а, при котором уравнение ах — 3 = 2х — 1:

1. имеет корень, равный 4;

2. не имеет решений;

3. имеет бесконечно много решений.

Для ответа на поставленные в задании вопросы необходимо провести подготовительную работу. Суть её заключается в получении иллюстрации.

Реализацию графического метода решения данного уравнения следует начать с алгебраического преобразования, после чего ученики получают уравнение следующего вида (а - 2)х = 2.

Далее необходимо перефразировать условие задачи: найдите значения параметра а, при котором графики функций /(х) = (а - 2)х и g (х) = 2:

1. пресекаются в точке с абсциссой равной 4;

2. не имеют точек пересечения;

3. совпадают.

Анализируя эти функции, учащиеся обращают внимание на особенности расположения графиков. Графиком функции g(х) = 2 является прямая, проходящая через точку А(0;2) и параллельная оси абсцисс. Причем к1 = 0, а Ь1 = 2.

Графиком функции /(х) = (а - 2)х является прямая, проходящая через точку 0(0;0 . Причем к2 = а -2, а Ь2 = 0.

Для проведения анализа условия задачи воспользуемся моделью рис. 3. Изменяя значение параметра а, влияющего на угловой коэффициент прямой, наблюдаем за изменением её положения.

Замечаем, что точка пересечения прямых существует при значениях параметра, отличных от 2. Также замечаем, что ордината точки пересечения равна 2. В условии требуется найти значение параметра, при котором абсцисса будет равна 4. Значит, точка с координатами (4;2) должна обращать уравнение /(х) = (а - 2)х в верное числовое равенство. Т.е. необходимо решить уравнение 2 = (а - 2)4 а = 2,5 тветом

на первый вопрос является 2,5. Проверим ответ, задав параметру значение 2,5.

Найдем значение параметра, при котором графики функций не пересекаются. Для графиков линейных функций, этим условием является - к1 = к2 и Ь1 Ф Ь2. Так как к1 = 0, к2 = а - 2, Ь1 = 2 и Ь2 = 0, то соста-1а -2 2 = 0

вим систему < . Решением которой является

[ 2 Ф 0

а = 2.

Наличие бесконечного множества решений возможно в случае, если графики функций совпадают, т.е. при к1 = к2 и Ь1 = Ь2. Это невозможно, так как Ь1 Ф Ь2.

Возможность организации исследовательской деятельности на уроке математики, предоставляемая динамическими компьютерными моделями, несет в себе множество положительных моментов. Это умение строить математические модели по условию задачи, умение интерпретировать полученные в результате исследования результаты к условию задачи, умение установить закономерности и дать им грамотное обоснование и т.д.

Таким образом, динамические компьютерные модели обладают целым набором внешне проявляющихся свойств, которые могут быть использованы в учебном процессе для реализации поставленных целей обучения. Дидактические функции, реализуемые динамическими компьютерными моделями, позволяют интенсифицировать процессы развития памяти, внимания, наблюдательности, вносят огромный вклад в развитие творческих способностей.

Библиографический список

1. Григорьев С.Г., ГриншкунВ.В. О разработке учебника «Информатизация образования». // Вестник МГПУ Серия информатика и информатизация образования. / М.: МГПУ, 2005, №1 (4), С. 24-28.

2. Роберт И.В. Современные информационные технологии в образовании: дидактические проблемы; перспективы использования. М.: ИИО РАО, 2010. 140 с.

Графические методы решения заданий с параметром — гЫ-з

« — — /(»)" (М-

5 Задание Найдите значение параметра а, при котором уравнение ах-3 =2х-1: а) имеет корень, равный 4; б) не имеет решений; в) имеет бесконечно много решений.

i

2

,

а= 2,5.; | М ММ 1 1 1 1 ЦП 1 1 1 |'| Указание Преобразовать уравнение к виду (а-2)и=2. Рассмотреть взаимное расположение графиков функций /(х)=(а-2)х ив(х)=2

; в 5 > И" 1 2 3 4 5 б

-2

/ / -3

_4

-5

-в

|

|Выберите, переместите объект. При нажатых Shin или Ctrl можно выбрать несколько объектов. +11,42 : -2,97

Рис. 3

References

1. Grigoriev S., Grinshkun V. On the Development of the IT Support of Education Textbook. // MSPU Bulletin. Computer Science and IT of Education Series. / M.: MSPU, 2005, №1 (4), Pp. 24-28.

2. Robert I. Modern Information Technologies in Education: Didactic Problems; Prospects of Use. M.: IPD of REA, 2010. 140 p.

УДК 316.6(075.32) Е.И. ГАМОВА

тискатель кафедры психологии Курского государственного университета Е-mail:gamova-katrine@yandex.ru

UDC 316.6 (075.32) E.I. GAMOVA

competitor of chair of psychology of the Kursk state

university

E-mail:gamova-katrine@yandex.ru

ВЗАИМОСВЯЗЬ ТИПОВ ОРИЕНТИРОВКИ С УРОВНЕМ ОРГАНИЗОВАННОСТИ ГРУППЫ И РЕЗУЛЬТАТИВНОСТЬЮ СОВМЕСТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

THE INTERCOMMUNICATION OF TYPES OF ORIENTATION WITH EFFECTIVENESS OF JOINT ACTIVITY AND LEVEL OF ORGANIZATION GROUP

В статье рассматриваются эмпирические проблемы социально-психологического исследования ориентировки (ориентировочной основы совместной деятельности) малой группы. Обсуждаются результаты эмпирического исследования влияния типов ориентировочной основы совместной деятельности на результативность совместной деятельности, влияние уровня организованности группы на вырабатываемый тип ориентировки.

Ключевые слова: совместная деятельность, ориентировочная основа совместной деятельности, типы ориентировки, уровень организованности группы, результативность совместной деятельности.

An article is about an empiric problem of social-psychological research of orientation of joint activity in small groups. The results of empiric research about the influence of types of orientation, effectiveness ofjoint activity and the influence of the level of organization group, and the type of orientation of that group are discussed in the article.

Rev words:productivity of joint activity, types of orientation, joint activity, prevenient part of joint activity, level of organization group.

© Е.И. Гамова © E.I. Gamova