CC BY
24
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Раздел 13.00.00 Педагогические науки
ART 181057 2018, № 9 (сентябрь) УДК 37.02
Поиск оптимальных длительностей
изучения отдельных вопросов курса
с учетом их сложности и важности
(с помощью компьютера)
Майер Роберт Валерьевич1
Глазовский государственный педагогический институт имени В. Г. Короленко, Глазов, Россия
robert_maier@mail.ru
Аннотация. Одно из направлений развития дидактики связано с совершенствованием математической теории обучения (далее - МТО), позволяющей объяснить основные закономерности функционирования дидактических систем, базируясь на анализе их математических моделей. Актуальной проблемой МТО является математическое решение оптимизационной задачи обучения, заключающейся в определении условий организации учебного процесса, при которых его результативность максимально высока. Результат оптимизации зависит от коэффициента усвоения ученика, распределения элементов учебного материала (далее - ЭУМ) по сложности и важности, длительности занятия. Цель работы состоит в построении компьютерной модели дидактической системы и поиске оптимальных значений длительности изучения ЭУМ различной сложности и важности при фиксированной длительности занятия. Используются методы математического и компьютерного моделирования процесса обучения, а также метод стохастической оптимизации с возвратом. Он заключается в следующем: создается компьютерная программа, которая в многомерном пространстве оптимизируемых величин делает шаг в случайном направлении и моделирует изучение заданной совокупности ЭУМ при новых длительностях их изучения. Если результаты тестирования в конце обучения оказываются не лучше, чем на предыдущем шаге, то компьютер возвращается в предыдущее состояние и все повторяет снова. Если результаты тестирования выше, то изменения оптимизируемых величин принимаются и последующий шаг производится из нового состояния. Постепенно программа приближается к оптимальным значениям длительностей изучения ЭУМ. К основным результатам работы относятся: 1) компьютерная программа, позволяющая при различных распределениях ЭУМ по категориям сложности рассчитать оптимальные значения времени изучения; 2) графики зависимостей оптимального времени изучения ЭУМ, уровня знаний отдельных ЭУМ и суммарные уровни знаний ЭУМ различной важности в зависимости от их сложности. Теоретическая значимость статьи состоит в том, что в ней поставлена и решена проблема оптимизации времени изучения отдельных ЭУМ, отличающихся сложностью и важностью, которая является частной оптимизационной задачей математической теории обучения.
Ключевые слова: дидактика, имитационное моделирование, математическая теория обучения, модель ученика, педагогическая кибернетика.
Поступила в редакцию Received 23.07.2018 Получена положительная рецензия Received a positive review 30.08.2018
Принята к публикации Accepted for publication 30.08.2018 Опубликована Published 30.09.2018
Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)
1 Майер Роберт Валерьевич, доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры физики и дидактики физики ФГБОУ ВО «Глазовский государственный педагогический институт имени В. Г. Короленко», г. Глазов, Россия
Введение
В середине XX века на стыке психологии, педагогики и математики возникла математическая теория обучения (далее - МТО), занимающаяся изучением закономерностей функционирования дидактических систем путем построения абстрактных моделей ученика, учителя и их исследования методами математического моделирования. Важной проблемой МТО является математическое решение оптимизационной задачи обучения, заключающейся в определении условий организации учебного процесса, при которых его результативность максимально высока. Для повышения эффективности учебного процесса «идеальный учитель» стремится приблизиться к оптимальному распределению учебного материала, уровня требований, длительности занятий, при которых объем знаний учащихся в конце обучения достигнет заданного значения, а сам процесс обучения будет удовлетворять наложенным ограничениям на затраты времени и усилий. Все это обусловливает актуальность обозначенной выше проблемы оптимизации учебного процесса. Для ее решения используются методы математического и компьютерного моделирования; результат зависит от распределения элементов учебного материала (далее - ЭУМ) по сложности и важности, от коэффициента усвоения ученика и длительности занятий.
Цель работы состоит в построении компьютерной модели дидактической системы и поиске оптимальных длительностей изучения отдельных вопросов (ЭУМ) различной сложности и важности при фиксированном времени обучения и других ограничениях. Можно предположить, что, используя методы математического и компьютерного моделирования, а также метод стохастической оптимизации, возможно решить обозначенную выше проблему и исследовать зависимость оптимального пути обучения от сложности и важности изучаемых вопросов.
Обзор отечественной и зарубежной литературы
Проблема поиска оптимального пути развития системы «учитель - ученик» многократно обсуждалась различными учеными-дидактами как с теоретической, так и с практической точки зрения. В книге Ю. К. Бабанского «Оптимизация процесса обучения» рассмотрены различные подходы к построению общей теории оптимизации дидактических систем. При этом обсуждается структура процесса обучения, определено понятие оптимизации учебного процесса, сформулированы критерии и методологические требования к выбору оптимальной структуры обучения, проанализированы типичные затруднения учителей, выявлены условия оптимального построения учебного процесса, рассмотрены способы оптимизации учебной деятельности «слабых» и «сильных» учеников. Под оптимизацией понимается такое управление дидактической системой, «которое организуется на основе всестороннего учета закономерностей, принципов обучения, современных форм и методов обучения, а также особенностей данной системы, ее внутренних и внешних условий с целью достижения наиболее эффективного (в пределе оптимального) функционирования процесса с точки зрения заданных критериев» [1].
Д. А. Новиков, используя кибернетический подход, рассматривает процесс обучения как управление учебной деятельностью учащихся с целью формирования у них требуемых знаний, умений и навыков [2]. При этом оптимизация функционирования дидактической системы представляется как адаптация ее различных компонентов друг к другу, а также к целям и методам обучения. В своей книге «Системы гибридного интеллекта» В. Ф. Венда утверждает, что образование - это процесс взаимной адаптации человека и природы, общества и техники [3]. Исходя из аналогичных рассуждений, А. В. Соловов в
книге «Электронное обучение: проблематика, дидактика, технология» выделяет две составляющие оптимального проектирования процесса обучения [4]: 1) задача «максимизации уровня обученности при ограничениях (сверху) на время обучения»; 2) задача «минимизации времени обучения при ограничениях (снизу) на уровень обученности». Их решение также предполагает адаптацию, которая «реализуется посредством использования знаний о предметной области, обучаемом и стратегиях обучения для обеспечения гибкой индивидуализированной учебной деятельности». Обсуждая использование автоматических обучающих систем, А. В. Соловов отмечает, что большое значение имеют «математические модели процессов автоматизированного обучения, позволяющие прогнозировать результаты и оптимизировать саму процедуру (алгоритм) обучения» [5].
Фундаментальные идеи математической теории обучения были сформулированы в монографиях Р. Аткинсона, Г. Бауэра и Э. Кротерса [6], Р. Буша и Ф. Мостеллера [7], а также А. П. Свиридова [8], Л. П. Леонтьева и О. Г. Гохмана [9]. В них представлены различные подходы к построению математических моделей дидактических систем путем «замены» ученика его абстрактной моделью - системой уравнений или вероятностным автоматом. В. М. Томашевский и И. М. Дмитрик в своей статье [10] проанализировали различные методы и модели статистической теории обучения, предложенные Л. Терстоуном, К. Халлом, Р. Бушем и Ф. Мостеллером, Р. Кричевским, Р. Аткинсоном, Г. Бауэром и Э. Кротерсом и другими учеными.
Развитие информационных технологий позволило иначе взглянуть на проблему моделирования дидактических систем. Например, Д. Гибсон создал компьютерную систему этЭсИоо! которая служит тренажером для учителей и студентов педвузов [11]. Система э1т8сЬоо1 является компьютерной имитацией современного урока; она помогает смоделировать деятельность учителя на занятии и может быть использована для подготовки будущих учителей. При ее запуске пользователь оказывается в виртуальном классе, заполненном «школьниками», каждый из которых характеризуется уникальным набором параметров. Играя роль преподавателя, пользователь руководит учебной деятельностью «школьников», задает вопросы, оценивает их «знания». Все характеристики «учеников» во время урока сохраняются и могут быть представлены в графическом виде. Это позволяет проанализировать проведенный «урок» и выяснить, как изменялись настроение и активность «учеников» во время обучения.
Методологическая база исследования
Кроме перечисленных выше источников, методологическую основу исследования составляют работы В. П. Беспалько [12], Б. М. Величковского [13], В. И. Загвязин-ского [14], В. М. Кроль [15], А. М. Новикова [16] (теория обучения), В. Г. Разумовского и В. В. Майера [17], Ф. С. Робертс [18] (математическое моделирование учебного процесса), Д. Х. Имаева и Е. Е. Котовой [19], Е. И. Умрюхина [20], М. В. Ядровской [21] (моделирование в педагогике), Ю. С. Харина, В. И. Малюгина и В. П. Кирилицы [22], Р. Шеннона [23] (имитационное моделирование), Д. А. Новикова [24] (управление образовательными системами). Хотя имитационное моделирование не имеет строгого обоснования и его применение относится к эвристическим методам познания, данный метод широко используется при изучении поведения человека в обществе и в процессе обучения [25, 26]. Нами применялся системный подход [27], информационно-кибернетическое моделирование [28, 29], программирование и методология мягких систем [30]. Оптимизация времени изучения отдельных ЭУМ осуществляется
методом стохастической оптимизации с возвратом [31, 32]. Для этого была создана специальная компьютерная программа, моделирующая процесс обучения и решающая оптимизационную задачу. Она многократно случайным образом варьирует оптимизируемые величины; если «результаты обучения» оказываются ниже, чем на предыдущем шаге, то компьютер возвращается в предыдущее состояние и все повторяет снова. Если «результаты обучения» выше, то изменения оптимизируемых величин принимаются и последующий шаг производится из нового состояния. Постепенно программа приближается к оптимальным значениям длительностей изучения отдельных ЭУМ.
Рассмотрим сущность применяемого подхода. Любая учебная дисциплина пред-ставима в виде совокупности элементов учебного материала (ЭУМ) - небольших порций учебной информации. Каждый ЭУМ характеризуется информационным объемом, сложностью и важностью. Информационный объем ЭУМ 1 равен минимальному количеству значимых слов, необходимых для передачи всей заключенной в ЭУМ полезной информации, и может измеряться в условных единицах. Сложность 8 определяется степенью свернутости информации относительно заданного уровня
знаний (например, уровня 5-го класса). Приведенный информационный объем
^пР равен минимальному количеству значимых слов, требующихся для объяснения
ЭУМ ученику, у которого 0 знаний. При этом ^пР 8 1' Коэффициент важности У ЭУМ (или просто важность) тем выше, чем больше необходимость усвоения данного ЭУМ для понимания последующих вопросов этой и других дисциплин. Можно предположить, что после окончания изучения дисциплины (или ее части) организуется тестирование, позволяющее проверить знание изученного материала. Чем больше число заданий теста требует использования данного ЭУМ, тем выше его важность. Если тестирование не проводится, то для определения важности У каждого ЭУМ может быть использован метод экспертных оценок. Отбор изучаемых ЭУМ для конкретной дисциплины и оценка их важности зависят от целей обучения.
Для получения плавных зависимостей удобно считать, что ученик во время обучения рассматривает достаточно много ЭУМ (например, 200-500), полагая, что освоение 10-20 ЭУМ соответствует изучению одного элементарного вопроса. С целью сохранения общности выводов количество сообщаемой информации и объем усвоенных знаний будем измерять в условных единицах информации (далее - УЕИ), а длительность обучения - в условных единицах времени (далее - УЕВ). Допустим, что ученик изучает последовательность N = 300 ЭУМ в течение времени Т = УЕВ. Все
ЭУМ делятся на 10 градаций по сложности ^ = 1 ^10' 1 = 1, 2, ... , 10); это задается
= ( N NN ш ). аим матрицей 1 у 1' 2 ' 10 7 ЭУМ одной сложности делятся на три одинаковые по объему категории по важности (У = 1, 2, 3): ЭУМ с низкой, средней и высокой
важностью (Nl'2 Nl'3 N 1 Все ЭУМ образуют 30 групп. При «обучении»
в течение времени уровень знаний ^^У (1, ЭУМ увеличивается от 0 (полное незнание) до некоторого значения, не превышающего 1. Если (1, ЭУМ изучен полностью, то ''У равно уровню требований учителя ^ = 1. Предполагая, что знания
2
^ увели
Т , Т и 1 '
ученика г'у увеличиваются со скоростью, пропорциональной разности между тре-
бованиями учителя Т и 1' получаем дифференциальное уравнение первого порядка [33, 34]: у / ^ у )/ . Коэффициент усвоения ученика зависит от уровня сформированных знаний, умений и навыков, а также от его активности, то есть скорости совершения элементарных действий, связанных с изучением рассматриваемой совокупности ЭУМ.
После окончания «обучения» проводится «тестирование», результат К которого
пропорционален взвешенной сумме знаний «учеником» всех N ЭУМ с учетом их важности и находится по формуле:
10 3 /10 3
к=ЕЕ ^л/ ЕЕ ^.
1=1 V=1 / 1=1 У=1
2.
Определив уровень усвоения каждого ЭУМ, можно рассчитать К в конце 2 =
«обучения». Если ''v 1 для всех 1 и ^ то К = 1. Коэффициент усвоения абстрактной модели ученика необходимо выбирать так, чтобы при заданном (разумном) распределении учебного материала количество знаний, усвоенных «учеником», составляло 30-90% от объема информации, сообщенной учителем.
Ой « Т = N11 ¿11 + N12 ¿12 + +
Общее время «обучения» остается постоянным: Т = 1 1 1' 1 1 2 1 2 ... +
^Ю ' 3 ¿10 ' 3 сош1. Задача состоит в том, чтобы найти оптимальные длительности
изучения каждой группы ЭУМ v (1 = 1 2 ' 10' v = 1, 2, 3), при которых «результаты тестирования» К максимальны. Те ЭУМ, у которых сложность и важность соответственно равны, усваиваются одинаково хорошо; поэтому достаточно рассчитать 2.
г'у для одного ЭУМ из каждой группы.
Применяемый метод стохастической оптимизации с возвратом состоит в следу-
Г = Т / N
ющем. Задаются начальные значения оптимизируемых параметров: 1 v
= 1' 2 ' ..'10' v = 1, 2, 3 ). Компьютер случайным образом выбирает 2-10 значений
^ 'v и изменяет их на небольшие случайные величины, после чего рассчитывает новое
Т' т
суммарное время изучения всех ЭУМ . Так как время Т не должно изменяться, то
р = т'/т ^ р
вычисляется коэффициент " , а затем все 1'v уменьшаются в " раз так, что
т N 1
их сумма остается равной Т . Программа должна моделировать изучение 1 1 ЭУМ с
5 = 0,1 и V = 1 в течение времени ^ ' 1 ¿1 ' 1, затем изучение N'2 ' 1 ЭУМ с 5 = 0,2 и V = 1
в течение времени N'2^ ¿2 ' 1, ... , изучение 3 ЭУМ с 5 = 1 и V = 3 в течение времени 3 ¿10, 3 и т. д. При этом количество параметров оптимизации ^ v равно 30 (три ка-
тегории важности, десять градаций сложности).
Можно представить многомерное пространство, образованное 30 осями i,v; состо-
1 A ¡.
яние системы на каждом k ~ том шаге оптимизации соответствует точке . Компьютерная программа делает шаг в случайном направлении и моделирует изучение выбранной совокупности ЭУМ при новых длительностях ti,v. Если «результаты тестирования» в конце «обучения» ниже, чем на предыдущем шаге, то компьютер возвращается в
предыдущее состояние k и снова делает шаг в случайном направлении. При повышении «результатов тестирования» изменения оптимизируемых величин принимаются и
последующий шаг производится из нового состояния k+1. Постепенно программа приближается к оптимальным значениям длительностей изучения ЭУМ.
Компьютерная программа PR-1 (Free Pascal). {$N+} uses crt, graph;
const T0=1000; dt=0.005; a=1; M1=90; M=3; X1=410; X2=810; NZ1:array[1..10]of word=(3,5,8,14,20,20,14,8,5,3); NZ2:array[1..10]of word=(3,5,8,14,20,20,14,8,5,3); NZ3:array[1..10]of word=(3,5,8,14,20,20,14,8,5,3); var i,j,s,v,u,Gd,Gm,N,NN: integer; SZ,t,vr,R0,R,St,D: single; NS: array[0..11] of integer; NZ: array[1..10,1..3] of integer; Z,tz,tt: array[0..11,0..4] of single; k: longint; RR: string; Label mm, mm1; Procedure Uch; begin
For s:=1 to 10 do For v:=1 to 3 do Z[s,v]:=0; t:=0; s:=1; v:=1; vr:=tz[1,1]; Repeat t:=t+dt; Z[s,v]:=Z[s,v]+a/s*(1-Z[s,v])*dt;
If t>vr then begin If v=3 then begin inc(s); v:=1; end else inc(v); vr:=vr+tz[s,v]; end; until (s>10)and(v=M); R:=0; D:=0;
For s:=1 to 10 do For v:=1 to 3 do begin R:=R+v*Z[s,v]*NZ[s,v];
D:=D+v*NZ[s,v]; end; end;
Procedure Grafik; begin cleardevice; k:=0;
For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do begin
circle(15+round(s*30),650-round(tz[s,v]*M1),5);
circle(X2+round(s*30),650-round(NZ[s,v]*Z[s,v]*30),5);
circle(X1+round(s*30),650-round(Z[s,v]*600),5);
If s<10 then line(X2+round(s*30),649-round(NZ[s,v]*Z[s,v]*30),
X2+30+round(s*30),649-round(NZ[s+1,v]*Z[s+1,v]*30)); end;
For s:=1 to 9 do For v:=1 to M do begin
line(16+round(s*30),651-round(tz[s,v]*M1),46+round(s*30),651-round(tz[s+1,v]*M1)); line(X1+round(s*30),651-round(Z[s,v]*600),X1+30+round(s*30),651-round(Z[s+1,v]*600));
end; Str(R/D,RR); OuttextXY(20,20,RR); line(X1,650-600,1400,650-600);
line(X1,650-300,1400,650-300); line(0,650,1400,650); line(20,0,20,650);
rectangle(0,650-round(4*M1),20,650); rectangle(0,650-round(2*M1),20,650); end;
BEGIN Gd:=Detect; InitGraph(Gd,Gm,''); Randomize; NN:=0;
For s:=1 to 10 do begin NZ[s,1]:=NZ1[s]; NZ[s,2]:=NZ2[s]; NZ[s,3]:=NZ3[s];
NN:=NN+NZ[s,1]+NZ[s,2]+NZ[s,3]; end; N:=NN;
For s:=1 to 10 do for v:=1 to M do tz[s,v]:=T0/N;
For s:=1 to 10 do For v:=1 to 3 do SZ:=SZ+Z[s,v];
Repeat Uch; R0:=R; u:=0; inc(k); For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do tt[s,v]:=tz[s,v];
Repeat inc(u); s:=round(random(104)/10); v:=round(random(345)/100);
tz[s,v]:=tz[s,v]+random(10000)/1E+5-0.05;
If tz[s,v]<0 then tz[s,v]:=0; until u>round(random(60)/10)+1;
St:=0; For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do St:=St+NZ[s,v]*tz[s,v];
For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do tz[s,v]:=tz[s,v]*T0/St; Uch;
If R<R0 then For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do tz[s,v]:=tt[s,v];
If (R>R0)and(k>2000) then begin Grafik; end;
until KeyPressed; END.
Используемая компьютерная программа ПР-1 содержит:
1) блок, в котором задаются коэффициент усвоения & «ученика», общее время обучения Т, распределение ЭУМ по категориям сложности (i ~ 1,
2, ... , 10) начальные значения оптимизируемых переменных i,v;
2) процедуру Uch, в которой осуществляется моделирование обучения. Она, ис-
t Z
¿7 v 7 V 7 _
ходя из известных ' , определяет уровень знаний «ученика» ' по каждому 7 му вопросу и вычисляет «результат тестирования» R;
3) процедуру Grafik, которая очищает экран и строит графики: а) зависимостей
ti VV = f\(si )
времени изучения различных ЭУМ от их сложности 7 при различных
II _ у = /2(^7 )
значениях важности у; б) зависимостей ' количества знании «ученика»
для отдельных ЭУМ в конце обучения от их сложности 7 при различных значениях
V ч - гп1 V = N у ■ /2(£) = N у ■ у
важности у; в) зависимостей 7,у 7,у 2 ' 7,у 7,у количества суммарных
знаний «ученика» для каждой группы ЭУМ в конце обучения от их сложности 1 при различных значениях v = 1, 2, 3;
4) цикл «Repeat ... until», в котором осуществляется оптимизация. В нем случайным образом выбираются 2-7 ЭУМ, изменяется их время изучения i,v на небольшие
T'
случайные величины и определяется новое значение . Затем пересчитываются все
остальные t так, чтобы общая сумма оставалась равной T . Для этого в цикле вы-
t \ v = ti vT !T' г- N
числяются новые значения ' ' . Снова моделируется изучение N вопро-
сов (процедура Uch) и определяется «результат тестирования» R . Если он оказывается выше предыдущего, то изменения принимаются, а иначе - отвергаются, и все повторяется еще раз. Так продолжается до тех пор, пока значение R не приблизится к глобальному максимуму (то есть перестанет увеличиваться).
Результаты исследования
Результаты оптимизации времени изучения отдельных ЭУМ и соответству-
21 v 5 v
ющие им зависимости 1'v от сложности 1 и важности v при различных распределениях ЭУМ N 1 = ^по категориям сложности приведены на рис. 1, 3, 4, 5. Из графиков видно, что чем больше важность ЭУМ, тем выше оптимальное время изучения
^ - $1: ¿1,3 * ¿1,2 * ¿1,1'
'5, V
и выше уровень знаний ' «ученика» при той же сложности
3 * 212 * 211. 2,-..
1,3 1,2 1,1 С ростом 1 уровень знаний «ученика» 1'к отдельных ЭУМ убывает по почти линейному закону. При не очень высоких значениях коэффициента усвоения & для конкретного значения важности v существует критический уровень
5 5 * 5 = 2- =
сложности ЭУМ кр; те вопросы, у которых КР, изучать не следует ( 0,
0). При этом повышение коэффициента усвоения & эквивалентно увеличению длительности обучения т или уменьшению количества изучаемых N ЭУМ. Поэтому моделируемые ситуации имеет смысл характеризовать величиной К = &т / N. Во всех случаях Т = 1000 УЕВ, N = 300.
Ситуация 1. ЭУМ равномерно распределены по всем категориям сложности, то есть Ni'v = 10 для любых 1 и v . Пусть Т = 1000 УЕВ, N = 300, & = 2 УЕВ -1 (К и 6,7). В оптимальном случае с ростом (рис. 1.1): 1) время изучения ЭУМ с низкой важностью (v = 1) при 1 0,4 возрастает, а затем убывает до 0,83 УЕВ; 2) время изучения ЭУМ со средней и высокой важностью (v = 2 и 3) возрастает до 4,3 и 6,3 УЕВ соответ-
2 _ ственно; 3) уровни знаний ЭУМ с важностью v = 1, 2, 3 убывают по линейному
закону от 0,92-0,97 до 0,15, 0,58 и 0,72 соответственно. Результат тестирования: К и 0,77.
— ¡г
При уменьшении коэффициента усвоения до а = 1 УЕВ (К * 3,33) получаются графики, изображенные на рис. 1.2. В оптимальном случае с ростом : 1) время изучения у ЭУМ при любом у сначала возрастает, а затем убывает; 2) для ЭУМ с
низкой важностью (у = 1) существует критическое значение кр ' ' при кр ^ = ^ ■ =
время 5,1 0 и знания 1,1 0, то есть данные ЭУМ изучать не следует; 3) уровни знаний 1,у ЭУМ с важностью у = 1, 2, 3 убывают по линейному закону. Результат тестирования: К * 0,57.
Рис. 2. Различные распределения ЭУМ по градациям сложности
Ситуация 2. Учебный материал в основном состоит из простых ЭУМ ( 1 0,5), а сложных ЭУМ мало (рис. 2.1). Распределение ЭУМ по сложности задается матрицей
N 1 = (54, 54, 54, 48, 36, 24, 12, 6, 6, 6). Задано: Т = 1000 УЕВ, N = 300, а= 1 УЕВ (К * 3,33). Результаты оптимизации представлены на рис. 3.
и
В оптимальном случае с ростом 51: 1) время изучения ЭУМ при любом v сначала возрастает, а затем убывает; 2) для ЭУМ с низкой важностью (v = 1) суще-
=0,6; 5 * 5
ствует критическое значение кр при
кр
время 2
К1 =
2,1 =
5,1 0 и знания 1,1 0,
V
то есть данные ЭУМ изучать не следует; 3) уровни знаний 1 ЭУМ с важностью
2п
1, 2, 3 убывают по линейному закону; 4) суммарные количества знаний ^v с низкой,
средней и высокой важностью при 51 = 0,1 высоки (15-17), а затем убывают до 0-1. Результат тестирования: К и 0,70.
Ситуация 3. Учебный материал содержит ЭУМ с высокой и низкой сложностью; количество ЭУМ средней сложности невелико (рис. 2.2). Распределение ЭУМ по сложности задается матрицей N1 = (48, 42, 33, 18, 9, 9, 18, 33, 42, 48). Задано: Т =1000 УЕВ, N = 300, &= 1 УЕВ 1 (К и 3,33). В оптимальном случае с ростом 51 (рис. 4): 1) время изучения ЭУМ при любом v сначала возрастает, а затем убывает; 2) для ЭУМ с
низкой важностью (v 1) существует критическое значение
при
5 * 5
кр
( , = 2 =
5,1 0 и знания 1,1 0, то есть данные ЭУМ изучать не следует; 3) уровни зна-
время
2 -ний ЭУМ с важностью v = 1, 2, 3 убывают по линейному закону; 4) суммарные
2п
21 I 5 =
количества знаний ЭУМ с низкой важностью при 1 0,1 высоки (и 14), а затем
убывают и при кр 0,7 равны 0; 5) суммарные количества знаний 2п1,v со средней
и высокой важностью при 1 0,1 высоки (и 15), затем убывают до и 2 при 1 0,50,6, после чего возрастают. Результат «выполнения теста» после окончания обучения
К и 0,60.
Ситуация 4. Учебный материал содержит большое количество ЭУМ со средней сложностью; количество ЭУМ с высокой и низкой сложностью мало (рис. 2.3). Распределение ЭУМ по сложности задается матрицей ^1 = (9, 15, 24, 42, 60, 60, 42, 24, 15, 9). Задано: Т = 1000 УЕВ, ^ = 300, & = 1 УЕВ 1 (К * 3,33). В оптимальном случае с ростом
£1 (рис. 5): 1) время изучения ЭУМ при любом у сначала возрастает, а затем убывает; 2) для ЭУМ с низкой важностью (у = 1) существует критическое значение
при £ _ SкP время 0 и знания 2,1,1 0, то есть данные ЭУМ изучать не
2 _ следует; 3) уровни знаний г,у ЭУМ с важностью у = 1, 2, 3 убывают по линейному
л\ - 2пг 1 £ <
закону; 4) суммарные количества знаний 1,1 с низкой важностью при 1 0,4 воз-
£ > £ =
растают, а затем убывают и при кр 0,6 обращаются в 0; 5) суммарные количества
2п ■ £ ■ <
знаний г,у со средней и высокой важностью при 1 0,5 возрастают до * 11-14, а
затем убывают до 1-2 при £1 1. Результат К * 0,54.
Рис. 5. Результаты оптимизации: ситуация 4 Сравнивая результаты оптимизации (см. рис. 1, 3, 4, 5), можно обнаружить, что
графики /1(£1) и /2(*) практически не зависят от распределения ЭУМ
N1 = N1 (£1) г , 2п1у= N у ■ /2 (£1)
1 1К 1' по категориям сложности. Графики 2 1 сильно зависят
от распределения ^1 = ^1 (£1)- Наличие максимума у графиков /1(£1) объяс-
няется влиянием двух противодействующих факторов: 1) чем больше сложность ЭУМ, тем больше требуется времени для его изучения; 2) в условиях дефицита времени ЭУМ с низкой сложностью следует изучать более основательно.
Заключение
В настоящей статье рассмотрен один из подходов к решению оптимизационной задачи математической теории обучения. Для выбранной математической модели дидактической системы с помощью компьютера исследована зависимость оптимального рас-
s v
пределения времени изучения отдельных ЭУМ от их сложности ' важности при различных распределениях ЭУМ по градациям сложности. Проанализированы следующие ситуации: 1) изучаемый материал содержит равные количества ЭУМ различной сложности; 2) учебный материал преимущественно состоит из простых ЭУМ; 3) учебный материал содержит ЭУМ с высокой и низкой сложностью; количество ЭУМ средней сложности невелико; 4) учебный материал содержит большое количество ЭУМ средней сложности; количество ЭУМ с высокой и низкой сложностью мало. Получены графики зависимостей времени изучения различных ЭУМ и количества знаний ученика от их сложности S при различных значениях важности. Коэффициент усвоения, длительность обучения и количество изучаемых ЭУМ подобраны так, чтобы имитационная модель соответствовала обучению успешного ученика. В результате решения оптимизационной
задачи установлено: 1) при фиксированной сложности si чем больше важность v ЭУМ, тем выше оптимальное время изучения ^s'v; 2) оптимальные длительности несильно зависят от распределения ЭУМ по градациям сложности si ; 3) для заданных значений
параметров T' N и v существует критическое значение сложности Srp ; вопросы с
S- ^ s
1 кр изучать нецелесообразно. Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней поставлена и решена проблема оптимизации времени изучения отдельных ЭУМ, отличающихся сложностью и важностью, которая является частной оптимизационной задачей математической теории обучения. Обсуждаемые результаты оптимизации времени изучения ЭУМ соответствуют основным положениям дидактики и представляют безусловный интерес для дальнейшего совершенствования математической теории обучения. Применяемые методы способствуют развитию методологии моделирования процесса обучения, повышению разнообразия применяемых подходов, созданию более совершенных математических и компьютерных моделей дидактических систем.
Ссылки на источники
1. Бабанский Ю. К. Оптимизация процесса обучения (общедидактический аспект). - М.: Педагогика, 1977. - С. 57.
2. Новиков Д. А. Теория управления образовательными системами. - М.: Народное образование, 2009. - 416 с.
3. Венда В. Ф. Системы гибридного интеллекта: эволюция психология информатика. - М.: Машиностроение, 1990. - 448 с.
4. Соловов А. В. Электронное обучение: проблематика, дидактика, технология. - Самара: Новая техника, 2006. - 462 с.
5. Там же.
6. Аткинсон Р., Бауэр Г., Кротерс Э. Введение в математическую теорию обучения. - М.: Мир, 1969. - 486 с.
7. Буш Р., Мостеллер Ф. Стохастические модели обучаемости. - М.: Физматгиз, 1962. - 484 с.
8. Свиридов А. П. Основы статистической теории обучения и контроля знаний. - М.: Высш. шк., 1981. - 262 с.
9. Леонтьев Л. П., Гохман О. Г. Проблемы управления учебным процессом: математические модели. - Рига, 1984. - 239 с.
10. Томашевский В. М., Дмитрик I. М. Аналiз моделей навчання та контролю знань // Вкник НТУУ «КП1». 1нфор-матика, управлшня та обчислювальна техшка: збiрник наукових праць. - 2008. - № 49. - С. 147-152.
11. Gibson D., Jakl P. Data challenges of leveraging a simulation to assess learning. West Lake Village, CA. 2013. - URL: http://www.curveshift.com/images/Gib son_Jakl_data_challenges.pdf.
12. Беспалько В. П. Образование и обучение с участием компьютеров (педагогика третьего тысячелетия): учеб.-ме-тод. пособие. - М.: Изд-во Московского психолого-социального института; Воронеж: МОДЭК, 2002. - 352 с.
13. Величковский Б. М. Когнитивная наука: Основы психологии познания: в 2 т. Т. 1. - М.: Смысл: Академия, 2006. - 448 с.
14. Загвязинский В. И. Теория обучения: современная интерпретация: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. завед. - М.: Академия, 2001. - 192 с.
15. Кроль В. М. Психология и педагогика: учеб. пособие для техн. вузов. - М.: Высш. шк., 2001. - 319 с.
16. Новиков А. М. Основания педагогики: пособие для авторов учебников и преподавателей. - М.: Эгвес, 2010. - 208 с.
17. Разумовский В. Г., Майер В. В. Физика в школе: научный метод познания и обучение. - М.: ВЛАДОС, 2004. - 463 с.
18. Робертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. - М.: Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 496 с.
19. Имаев Д. Х., Котова Е. Е. Моделирование и имитация процесса обучения с разделением дидактических ресурсов: динамический подход. - СПб: Изд-во СПбГЭТУ ЛЭТИ, 2014. - 111 с.
20. Умрюхин Е. И. Механизмы мозга: информационная модель и оптимизация обучения. - М., 1999. - 96 с.
21. Ядровская М. В. Модели в педагогике // Вестник Томского государственного университета. - 2013. - № 366. -C. 139-143.
22. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирилица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: учеб. пособие. - Минск: Дизайн ПРО, 1997. - 288 с.
23. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем: искусство и наука. - М.: Мир, 1978. - 302 с.
24. Novikov D. A. Cybernetics: From Past to Future. - Studies in Systems, Decision and Control. - Springer International Publishing, 2016. - 107 p.
25. Майер Р. В. Исследование математических моделей дидактических систем на компьютере: монография. -Глазов: Глазов. гос. пед. ин-т, 2018. 160 с.
26. Mayer R. V. Computer-Assisted Simulation Methods of Learning Process // European Journal of Contemporary Education. - 2015. - Vol. 13. - Is. 3. - Р. 198-212.
27. Шрейдер Ю. А., Шаров А. А. Системы и модели. - М.: Радио и связь, 1982. - 152 с.
28. Фирстов В. Е. Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода: дис. ... д-ра пед. наук. - СПб., 2011. - 460 с.
29. Майер Р. В. Кибернетическая педагогика: имитационное моделирование процесса обучения. - Глазов: Глазов. гос. пед. ин-т, 2014. - 141 с.
30. Тестов В. А. Жесткие и мягкие образовательные модели // Моделирование социально-педагогических систем: материалы регион. науч.-практ. конф. (16-17 сентября 2004 г.) / гл. ред. А. К. Колесников; отв. ред. И. П. Лебедева; Перм. гос. пед. ун-т. - Пермь, 2004. - С. 37-40.
31. Волгин Л. Н. Принцип согласованного оптимума. - М.: Сов. радио, 1977. - 144 с.
32. Матренин П. В., Гриф М. Г., Секаев В. Г. Методы стохастической оптимизации: учеб. пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. - 67 с.
33. Mayer R. V. Assimilation and Forgetting of the Educational Information: Results of Imitating Modelling // European Journal of Contemporary Education. - 2017. - 6(4). - Р. 739-747.
34. Mayer R. V. Computer Model of the Physical Facts Learning // International Journal of Current Science Research. -2016. - Vol. 2. - Is. 1. - Р. 198-203.
Robert V. Mayer,
Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, Physics and Didactics of Physics Chair, Glazov State Pedagogical Institute named after V.G. Korolenko, Glazov
The search for optimal study durations of the discipline course specific issues taking into account their complexity and importance (using a computer)
Abstract. One of the didactics development directions is associated with the improvement of the mathematical theory of training (MTT), which makes it possible to explain the basic regularities of didactic systems functioning using the analysis of their mathematical models. An actual problem of MTT is the mathematical solution of the optimization task of training, which consists in determining the conditions of the educational process organization, when its effectiveness is the highest. The result of optimization depends on the learner's assimilation coefficient, classes duration, distribution of learning material elements (LME) according to their complexity and importance. The aim of the work is to build the computer model of the didactic system and to find optimal study duration of LMEs which have various complexity and importance in conditions of the fixed classes duration. The methods of mathematical and computer modeling of the learning process are used, as well as the method of stochastic optimization with a return. It presumes creation of the computer program which makes a step in random direction in the multidimensional environment of optimized values and simulates the study of the given set of issues (LMEs) for new study durations. If the test results at the end of training
are not better than at the previous step, then the computer returns to the previous state and repeats everything again. If the test results are higher, then the changes of the optimized values are accepted, and the next step is made from the new state. Gradually, the program approaches the optimal values of the study durations for LMEs. The main results of the work include: 1) the computer program which makes it possible to calculate the optimum values of study durations at different distributions of LMEs on the complexity categories; 2) the graphs of the optimal durations for studying LMEs, the student's knowledge levels of specific LMEs and the total knowledge levels of different importance LMEs depending on their complexity. The theoretical significance of the article is due to the fact that it sets and solves the problem of optimizing the study durations of specific issues (LMEs) that are different in complexity and importance; this problem is a particular optimization task of the mathematical theory of training.
Key words: didactics, simulation modeling, mathematical theory of training, student's model, pedagogical cybernetics.
Научно-методический электронный журнал «Концепт» (раздел 13.00.00 Педагогические науки) с 06.06.2017 включен в перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (перечень ВАК Российской Федерации).
Библиографическое описание статьи:
Майер Р. В. Поиск оптимальных длительностей изучения отдельных вопросов курса с учетом их сложности и важности (с помощью компьютера) //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № 9 (сентябрь). - С. 672-685. - URL: http://e-kon cept. ru/2018/181057.htm.
DOI 10.24422/MCITO.2018.9.16647
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2018 © Майер Р. В., 2018
772
www.e-koncept.ru
