CC BY
374
Применение информационных технологий в математическом образовании
Андрафанова Наталия Владимировна доцент, к. п. н., доцент кафедры информационных образовательных технологий, Кубанский государственный университет, ул. Ставропольская, 149, г. Краснодар, 350040, (861) 219-95-81 nat drofa@mail.ru
Губа Наталья Викторовна преподаватель кафедры информационных образовательных технологий, Кубанский государственный университет, ул. Ставропольская, 149, г. Краснодар, 350040, (861) 219-95-81 natalya_guba@mail. т
Аннотация
Статья посвящена вопросам использования средств информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в математическом образовании. Представлена возможность применения системы динамической геометрии GeoGebra при изучении различных разделов математики, приведен сравнительный анализ решения одной из задач линейного программирования в системе компьютерной математики MS Excel и системе динамической геометрии GeoGebra. Показано преимущество графического метода решения задачи линейного программирования в GeoGebra, в том числе, с точки зрения развития навыков исследовательской деятельности и выработки наглядных представлений о сущности решаемой задачи.
This article is devoted to the questions of information and communication technology (ICT) tools in mathematic education. In the article is represented the usage opportunity of the dynamic geometry environment GeoGebra while studying different mathematic units, also is given solution comparative analysis of one of the problems of linear programming in computing mathematic system MS Excel and dynamic geometry environment GeoGebra. It is displayed the advantage of graphic method for linear programming problem solution in GeoGebra according to the research skills developing and elaboration of visualizations about the principle of the solve problem.
Ключевые слова
программы динамической геометрии, интерактивная геометрическая среда, GeoGebra, информационно-коммуникационные технологии, ИКТ. dynamic geometry software; interactive geometry environment GeoGebra, information and communication technology, ICT.
Введение
Дисциплины математического цикла - линейная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика, изучаемые на начальном этапе высшего профессионального образования, формируют базовый математический аппарат будущего специалиста для дальнейшего применения в профессиональной деятельности. В современных условиях информатиза-
ции образования преподавание любой дисциплины, в том числе и математики, немыслимо без использования средств информационно-коммуникационных технологий (ИКТ), поэтому актуальными являются вопросы эффективной организации и методической поддержки обучения с помощью компьютерного инструментария. При этом формирование базовых математических компетенций осуществляется в неразрывной связи с формированием ИКТ-компетенций студентов.
Вопросы информатизации математического образования стали интересовать исследователей и педагогов разных стран не только с точки зрения развития ИКТ и их внедрения в учебный процесс. Это обусловлено значительным снижением в последние десятилетия у абитуриентов интереса к инженерным и техническим специальностям, невысоким уровнем математической подготовки выпускников, отсутствием интереса к скучному и сложному техническому обучению. Между тем, в большинстве стран, в том числе и в России, увеличивается спрос на квалифицированных выпускников инженерных и технических специальностей.
Одним из путей решения проблемы является совершенствование математического образования, повышение качества преподавания дисциплин математического цикла с целью заинтересованности студентов в их изучении и, как следствие, улучшение математической подготовки, являющейся базой для остальных дисциплин естественнонаучного цикла.
Анализ научно-методической литературы по вопросу совершенствования математического образования позволяет утверждать, что вопросу использования в учебном процессе различного программного обеспечения посвящено значительное количество научно-методических работ. Выбор того или иного программного средства должен соответствовать задачам математической дисциплины, в которой предполагается его использование, поскольку каждое средство имеет сильные и слабые стороны.
Учитывая изменения в новом федеральном государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) в части изменения соотношения аудиторной и самостоятельной работы студентов в сторону увеличения последней, нельзя не отметить роль дистанционных технологий в образовании, повышающих вариативность способов получения знаний. Так, в рамках проекта MetaMath, в котором принимают участие десять организаций из разных стран: России, Германии, Финляндии и Франции, выполняется работа по использованию системы дистанционного обучения MathBridge в инженерном математическом образовании. Данная система разработана в исследовательском центре искусственного интеллекта в Германии (DFKI) и в рамках проекта должна быть создана русскоязычная локализация системы и перенос на ее платформу учебного материала математических курсов с определением тех областей в рабочих программах, в которых наиболее целесообразно использование электронных средств обучения [1].
В настоящее время среди программного обеспечения, которое применяется в математическом образовании, выделяют:
S системы компьютерной математики (СКМ);
S системы динамической геометрии (СДГ);
S специализированные системы (для поддержки отдельных разделов математики).
Системы компьютерной математики - это совокупность методов и программных средств, предназначенных для эффективного решения на компьютере математических задач любой сложности с высокой степенью визуализации всех этапов вычислений.
К системам компьютерной математики относятся:
S табличные процессоры (Microsoft Excel, OpenOffice.org Calc и др.);
S системы для статистических расчетов (SPSS, Statistica, STADIA, PolyAnalyst и др.);
■ системы для моделирования, анализа и принятия решений (GPSS, ELCUT, Model Vision Studium, ANSYS и др.);
■ системы компьютерной алгебры (Maxima, Axiom, Maple, Mathematica и
др.);
■ универсальные математические системы (MathCad, MatLab и др.).
Специализированные системы (пакеты) обычно содержат методы из ограниченного числа используемых разделов математики, например:
PDEase2D - пакет, предназначенный для численного решения двумерных задач, выраженных системой дифференциальных уравнений в частных производных;
GAP - система компьютерной алгебры, задуманная как инструмент вычислительной теории групп, и впоследствии распространившаяся на смежные разделы алгебры и др.
В последнее десятилетие огромный интерес у исследователей и преподавателей вызывают системы динамической геометрии или интерактивные геометрические системы (ИГС). Система динамической геометрии - это специализированное программное обеспечение, позволяющее выполнять геометрические построения с помощью геометрических объектов, задавая соотношения между ними. При изменении одного из геометрических объектов чертежа остальные объекты также изменяются, сохраняя неизменными заданные между объектами отношения, позволяя создавать "живые чертежи".
Все разнообразие существующих на сегодняшний день ИГС можно разделить на два вида:
- программы двухмерной геометрии (2D), например, Cabri Geometry (Черновик для информатики), The Geometer's Sketchpad (Блокнот геометра, русская версия - "Живая математика"), GeoGebra, GeoNext;
- программы трехмерной геометрии, например, Archimedes Geo3D, Geometria, Geogebra (с версии 5.0).
Анализ научно-методической литературы по вопросу совершенствования методики преподавания математики с точки зрения использования в учебном процессе средств ИКТ позволяет утверждать, что данному вопросу посвящено большое количество научно-методических работ. Использование интерактивных геометрических систем в учебном процессе является одним из актуальных направлений исследовательской деятельности ученых и преподавателей:
■ создание в среде «Математический конструктор» моделей и учебных материалов [2];
■ развитие вариативности мышления школьников через организацию творческих мастерских в среде «Математический конструктор» [3];
■ развитие креативности школьников при обучении математике в 5-6 классах с использованием интерактивных геометрических сред [4];
■ использование интерактивной среды GeoGebra на различных этапах работы с теоремой [5];
■ использование системы динамической геометрии GeoGebra как средства компьютерного моделирования [6];
■ функциональные возможности GeoGebra в контексте поддержки учебной и методической деятельности [7] и др.
Интерактивные геометрические системы обладают качественно новыми дидактическими возможностями по сравнению с традиционными средствами обучения, позволяя изменять традиционные подходы к изучению многих разделов математики и развивать познавательный интерес студентов. Среди таких возможностей выделим:
■ наглядность - визуализация учебной информации о геометрических объектах, развивающая «активное математическое видение» объектов и их свойств [8] ;
■ моделирование - экспериментальное наблюдение за поведением объектов
и их свойств [9];
■ динамика - реализация компьютерными средствами эффекта движения изучаемого объекта [10].
Рассматривая ИГС как инновационный вид образовательного продукта, обладающего качественно новыми дидактическими возможностями, отметим, что работая в такой компьютерной среде, студенты, с одной стороны, используют новую инновационную технологию для изучения материала, а с другой - привычную, естественную для современного человека компьютерную технологию обработки информации [11].
Динамическая геометрическая среда GeoGebra
В настоящее время круг задач, решаемых ИГС, включает в себя не только геометрические задачи, но и задачи алгебры и математического анализа. Так, например, в названии системы GeoGebra отражена особенность двойного представления объектов: в виде алгебраической и геометрической моделей (geometry+algebra), для каждой из которых выделяется отдельное окно, тем самым подчеркивается неразрывная связь различных разделов математики, связь аналитической конструкции с наглядным представлением объекта.
Кроме этой отличительной особенности системы следует отметить тот факт, что GeoGebra является свободно распространяемым кроссплатформенным программным обеспечением (GPL - General Public License - открытое лицензионное соглашение), имеющим русскоязычную версию, а также особый интерес к этой системе исследователей и преподавателей из многих стран мира, внедряющих ее в учебный процесс.
Программу можно скачать на официальном сайте GeoGebra https://www.geogebra.org, а с целью обмена информацией и опытом используется веб-сервис GeoGebraTube (http://www.geogebratube.org) - постоянно обновляющаяся база методических и дидактических материалов.
Перечень компьютерных инструментов в программе динамической геометрии GeoGebra включает в себя стандартный набор инструментов, позволяющий создавать основные геометрические объекты (точка, линия, окружность, вектор, многоугольник, угол), и инструментов, реализующих дополнительные операции над геометрическими объектами (деление отрезка пополам, деление угла на n равных частей, измерение длины отрезка, измерение величины угла и другие). Кроме компьютерных инструментов можно напрямую с клавиатуры вводить данные, команды и функции в строке ввода [12]. Таким образом, с помощью инструментов и команд ИГС GeoGebra можно выполнять как построения геометрических объектов, так и производить алгебраические вычисления.
На примере одного из разделов математики: линейной алгебры и аналитической геометрии, покажем разнообразие инструментов и команд GeoGebra, которые можно использовать при изучении учебного материала дисциплины (таблица 1-3).
Таблица 1.
Мат рицы
Изучаемые вопросы Используемые инструменты и команды
1. Ввод {{й^ ап, а1Ъ}, (а21, а22, а2Ъ}, (^ , аЪ2, аъъ}}
2. Операции
Сложение/вычитание матриц матрица 1 +матрица2
Умножение матрицы на число Я *матрица1
Умножение матрицы на вектор матрица1* V
Умножение матрицы на матрицу матрица1 *матрица2
Транспонирование матрицы Транспонировать [<Матрица>]
3. Обратная матрица ОбратнаяМатрица [<Матрица>]
4. Приведение матрицы к ступенчатому виду ПриведённоСтупенчатаяФорма [<Матрица>]
5. Ранг матрицы РангМатрицы [<Матрица>]
6. Определитель Определитель [<Матрица>]
7. Решение систем линейных уравнений Системы 2*2: Решение как точка пересечения двух прямых на плоскости. Системы 3*3: Решение как точка пересечения трех плоскостей в пространстве.
8. Задачи линейного программирования Прямая, Точка, Перпендикулярная прямая, Вектор, Параллельный перенос по вектору
Таблица 2.
Аналитическая геометрия на плоскости
Изучаемые вопросы Используемые инструменты и команды
1. Прямоугольная система координат Полотно ^Оси
2. Расстояние между двумя точками Расстояние или длина
3. Деление отрезка пополам Середина или центр
4. Векторы на плоскости
4.1 Построение вектора Вектор по двум точкам
и=(х,у)
Вектор [<Точка>]
Вектор [<Начальная точка>,<Конечная точка>]
4.2 Операции над векторами:
Сумма/разность векторов и ± V
Умножение вектора на число Л*и или Я и
Скалярное произведение векторов СкалярноеПроизведение [<Вектор>, <Вектор>]
5. Прямая на плоскости
5.1 Способы построения прямой
По двум точкам Прямая Прямая [<Точка>,<Точка>]
По точке и направляющему вектору Прямая [<Точка>,<Направление>]
По точке и параллельной прямой Прямая [<Точка>,<Параллельная прямая>]
5.2 Взаимное расположение прямых
Угол между двумя прямыми Угол
Условие параллельности прямых ПроверкаПараллельно-сти [<Прямая>,<Прямая>]
Условие перпендикулярности прямых ПроверкаПерпендикулярно-сти [<Прямая>, <Прямая>]
5.3 Расстояние от точки до прямой Расстояние [<Точка>, <Прямая>]
6. Кривые второго порядка
6.1 Эллипс
Построение хЛ2/аЛ2+уЛ2/ЬЛ2= 1
Эллипс [<Фокус>,<Фокус>,<Длина главной полуоси>]
Эллипс [<Фокус>,<Фокус>,<Отрезок>]
Эллипс [<Фокус>,<Фокус>,<Точка>]
Характеристики БольшаяПолуось [<Коника>]
МалаяПолуось [<Коника>]
Фокус [<Коника>]
Директриса [<Коника>]
Эксцентриситет [<Коника>]
6.2 Гипербола
Построение xЛ2/aЛ2-yЛ2/bЛ2= 1
Гипербола [<Фокус>,<Фокус>,<Длина большей полуоси>]
Гипербола [<Фокус>,<Фокус>, <Отрезок>]
Гипербола[<Фокус>,<Фокус>,<Точка>]
Характеристики Соответствуют характеристикам эллипса
6.3 Парабола уЛ2=2рх
Парабола [<Точка>,<Точка>]
Таблица 3.
Аналитическая геометрия в пространстве
Изучаемые вопросы Используемые инструменты и команды
1. Векторы
1.1 Построение векторов Вектор
и=(х,у,7)
Вектор[<Точка>]
Вектор[<Начальная точка>, <Конечная точка>]
1.2 Операции над векторами
Сумма/разность векторов и ± V
Умножение вектора на число Л*и или Л и
Скалярное произведение векторов СкалярноеПроизведение [<Вектор>, <Вектор>]
Векторное произведение векторов ВекторноеПроизведение [<Вектор>, <Вектор>]
Смешанное произведение векторов Может быть вычислено как скалярное произведение вектора и на векторное произведение векторов V и w
2. Плоскость. Способы построения
По трём точкам Плоскость [<Точка>, <Точка>, <Точка>]
По точке и прямой Плоскость [<Точка>, <Прямая>]
По точке и плоскости Плоскость [<Точка>, <Плоскость>]
3. Прямая Прямая
Прямая [<Точка>, <Точка>]
Прямая [<Точка>, <Параллельная прямая>]
Прямая [<Точка>, <Направление>]
4. Прямая и плоскость
Угол между прямыми Угол [<Прямая>, <Прямая>]
Угол между плоскостями Угол [<Плоскость>, <Плоскость>]
Угол между прямой и плоскостью Угол [<Прямая>, <Плоскость>]
5. Уравнение поверхностей
Сфера Сфера [<Точка>, <Радиус>]
Эллиптический цилиндр xA2/aA2+yA2/bA2
Гиперболический цилиндр xA2/aA2-yA2/bA2
Параболический цилиндр yA2-2px
Примеры использования ИКТ при изучении задачи линейного программирования
Продемонстрируем возможности системы GeoGebra на примере прикладной экономической задачи линейного программирования и выделим преимущества в сравнении с традиционными технологиями и другими компьютерными средствами на примере одной из систем компьютерной математики - табличного процессора MS Excel.
Цель исследования: освоение студентами методики составления и решения задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим способом с целью визуализации учебной информации, формирование умений анализа полученных результатов, развитие исследовательских навыков при изучении влияния изменения параметров модели на полученное оптимальное решение задачи.
К задачам линейного программирования относят задачи исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые рассматриваются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов. Для случая двух переменных при решении ЗЛП часто используется графический метод, представляющий интерес с точки зрения выработки наглядных представлений о сущности задачи линейного программирования.
Несмотря на возможность использования средств ИКТ, организация процесса решения задачи остается за студентом, так как на первом этапе выполняется построение экономико-математической модели, которая включает в себя:
- выбор переменных - величин, которые характеризуют исследуемый процесс (x и у);
- задание системы ограничений - системы линейных равенств и неравенств, которым удовлетворяют переменные в соответствии с условием задачи an + aj 2 < bt, i = 1, m ;
- задание целевой функции - линейной функции от выбранных переменных f (x, у) = c1 x + c2у, характеризующей качество выполнения задачи.
Таким образом, ЗЛП заключается в нахождении экстремума (max, min) целевой функции и соответствующих переменных при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений:
После разработки математической модели решение задачи продолжается с применением средств ИКТ: осуществляется выбор программного средства и метода реализации задачи, а после этого выполняется анализ полученных результатов.
Так как каждое неравенство системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость, то областью допустимых решений X является выпуклая многоугольная область (многоугольник решений). Следовательно, графический метод решения заключается в построении области допустимых решений X и вектора
нормали n = (c1, c2), а экстремум (минимум/максимум) целевой функции достигается в одной из угловых точек области допустимых решений X (если она не пуста): возрастание целевой функции f происходит в направлении вектора нормали n , а убыва-
ние - в противоположном вектору направлении.
Алгоритм решения ЗЛП графическим методом включает следующие шаги:
1. Строим область допустимых решений X с учетом системы ограничений.
2. Откладываем от начала координат вектор нормали п , координатами которого являются коэффициенты при переменных х и у целевой функции/.
3. Проводим перпендикулярно вектору п линию уровня Ь0.
4. При определении максимума целевой функции перемещаем линию уровня Ь0 параллельно в направлении вектора п до крайней угловой вершины многоугольника (области допустимых решений X), а при определении минимума - в направлении, противоположном направлению вектора п .
5. Определяем экстремальное значение целевой функции и оптимальное решение.
Из чертежа наглядно видно, разрешима задача или нет, имеются ли у допустимого множества вершины.
Пример 1. Фермер, имеющий в собственности 20 га земли, планирует вырастить на них сельскохозяйственные культуры двух видов - А и В. Затраты на посев, выращивание и уборку урожая (с учетом амортизации техники) составляют 90 тысяч руб. на 1 га для культуры вида А и 140 тысяч руб. на 1 га для культуры вида В. Денежные средства, выделенные фермером для выращивания двух указанных видов культур, составляют 2,15 млн. руб. При средней урожайности выручка от реализации урожая с 1 га для культуры вида А составляет 130 тысяч руб., а для культуры вида В - 190 тысяч руб. Сколько гектар необходимо отвести под выращивание каждой из культур А и В, чтобы получить как можно большую прибыль в том случае, если урожайность окажется средней?
Решение:
Культура Площадь, га Затраты на выращивание, тыс. руб. Прибыль при реализации продукции, тыс. руб.
Вид А x 90-x (130-90)-x
Вид В у 140-у (190-140)-у
Вид А и В x+y 90-*+140-у 40^+50-у
Ограничения (список граничных условий поставленной задачи):
По площади, га x>0;у>0; x+у <20
По затратам на выращивание, тыс. руб. 90•x+140•y<2150
Конечную цель решаемой задачи - получение максимальной прибыли при реализации продукции - выразим как функцию двух переменных x и у: f (x, у ) = 40 х + 50у ^ max (тыс. руб.).
Учитывая все условия задачи, приходим к ее математической модели:
'x > 0, у > 0
• x + у < 20 , f (x, у ) = 40х + 50 у ^ max. 9 x +14 у < 215
2.Решение задачи графическим методом в ИГС GeoGebra.
Шаги построения Используемые инструменты
1. Построить область допустимых значений Строка Ввода
х + у = 20 х + у = 20 прямая а
9 х +14 у = 215 9 х + 14 у = 215 прямая Ь
х = 0 х = 0 прямая с
у = 0 у = 0 прямая й
2. Обозначить точки пересечения прямых с и й, с и Ь, а и Ь, а и й через А, В, С, Б. Пересечение
3. Построить многоугольник АВСБ. Многоугольник
4. Построить вектор нормали п = (4; 5) из точки А (0;0) в точку Е (4;5) Вектор по двум точкам
5. Провести перпендикулярно вектору п линию уровня Ь0 . Перпендикулярная прямая
6. Переместить линию уровня Ь0 ^ Ь в направлении вектора п так, чтобы она касалась области допустимых решений АВСБ в ее крайней точке С. Параллельная прямая
Из рис.1 следует, что значение целевой функции будет тем больше, чем дальше от начала координат расположена прямая 4х + 5y = с . Это достигается в последней точке области допустимых решений, с которой соприкасается линия уровня L, прежде чем покинет её, т.е. в точке С (13,7).
Следовательно, целевая функция f (x, у) = 40х + 50y принимает в точке
С (13,7) максимальное значение: f (x,у) = 40-13 + 50 • 7 = 520 + 350 = 870 (тыс. руб.). Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 870 000 руб. необходимо отвести 13 га под культуру вида А и 7 га - под культуру вида В. Ответ: вид А - 13 га, вид В - 7 га.
Дальнейшим видом деятельности студентов при решении ЗЛП в ИГС Geo-Gebra может стать изучение влияния изменений параметров модели на полученное оптимальное решение, в результате которого формируются исследовательские навыки студентов. Такое исследование называется анализом чувствительности. Это исследование мы приведем чуть позже.
Для решения ЗЛП можно использовать и другие системы компьютерной ма-
тематики, простейшим представителем которых является табличный процессор MS Excel. Изучение MS Excel входит в школьную программу «Информатики и ИКТ», а на первом курсе студенты продолжают изучение возможностей табличного процессора при изучении дисциплины «Информатика», в частности, при решении прикладных задач, к которым относятся задачи оптимизации, решаемые с помощью инструмента Поиск решения.
Прежде чем использовать инструмент Поиск решения, необходимо аналогично сформулировать и оформить решаемую задачу: определить целевую функцию (формулу, которая ссылается на изменяемые ячейки); наложить ограничения на величины, участвующие в решении задачи; заполнить электронную таблицу данными.
При выборе команды Поиск решения открывается диалоговое окно (рис. 2), которое содержит следующие элементы:
> в поле Установить целевую ячейку указывается адрес ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равной заданному значению;
> переключатель Равной служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки;
> поле Изменяя ячейки используется для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения (имена ячеек разделяются запятыми);
> кнопка Предположить используется для автоматического поиска ячеек,
влияющих на формулу, ссылка на которую указана в поле Установить целевую ячейку;
> поле Ограничения служит для отображения списка граничных условий поставленной задачи (задаются ограничения с помощью кнопок Добавить, Изменить, Удалить);
> кнопка Параметры используется для вывода диалогового окна Параметры поиска решения, позволяющего сохранить параметры поиска (Сохранить модель...) или использовать уже сохраненные параметры (Загрузить модель...);
> кнопка Выполнить используется для запуска поиска решения поставленной задачи;
> кнопка Закрыть позволяет выйти из диалогового окна без запуска поиска решения поставленной задачи;
> кнопка Восстановить служит для очистки полей окна и восстановления параметров поиска, используемых по умолчанию.
Поиск решения
Установить целевую ячейку: Равной: (* максимальному значению
С минимальному значению Изменяя ячейки:
Г~-
3
Выполнить
значению:
Закрыть
Ограничения:
Предположить
Добавить Изменить Удалить
Параметры
Восстановить
Справка
Рис. 2. Диалоговое окно команды Поиск решения
Решение примера 1 в табличном процессоре MS Excel выполняем на основе ранее построенной математической модели, создав вычислительную модель задачи (рис. 3): _
А В
1 Переменные
2 Площадь культуры вида А (га)
3 Площадь культуры вида В (га)
4
5 Целевая функция
6 Прибыль (тыс. руб) =40*В2+50*ВЗ
7
8 Ограничения
9 По площади (га) =В2+В3
10 По затратам (тыс. руб) =90*В2+140*ВЗ
Рис. 3. Вычислительная модель задачи
Начальные значения переменных в ячейках В2 и В3 не определены, по умолчанию равны 0. При выборе команды Сервис^Поиск решения в диалоговом окне определяются все необходимые для решения задачи элементы (рис. 4):_
По ж к решения
Установить целевую ячейку:
ш
Равной: ® максимальному значению ■:...:■ значению:
О минимальному значению Изменяя ячейки:
ш
Ограничения:
$В$10 <= 2150
$В$2 >= 0
$В$3 >= 0
$В$9 <= 20
Предположить
Добавить
Изменить
Удалить
[ Выполнить ]
Закрыть
[ Параметры
Восстановить
Справка
Рис. 4. Диалоговое окно команды Поиск решения
После запуска кнопкой Выполнить появится диалоговое окно Результаты поиска решения, в котором можно либо сохранить найденное значение, либо восстановить исходные значения переменных поиска, а также сохранить сценарий решения задачи для дальнейшего использования.
Результат решения задачи (содержимое ячеек В2 и В3) и значение наибольшей прибыли (содержимое ячейки В6) совпадают с ответом, полученным при решении задачи в ИГС веовеЬга (рис. 5).
А В
1 Переменные
2 Площадь культуры вида А (га) 13
3 Площадь культуры вида Б (га) 7
4
5 Целевая функция
В Прибыль (тыс. руб) 870
7
8 Ограничения
Э По площади (га) 20
10 По затратам (тыс. руб) 2150
Рис. 5. Результат решения задачи в Ms Excel
Если сравнивать возможности двух видов компьютерных систем, использованных при решении поставленной задачи, то следует отметить такое свойство системы GeoGebra как наглядность, что особенно проявляется при решении задачи графическим способом и способствует выработке наглядных представлений о сущности задачи линейного программирования в сравнении с табличным процессором MS Excel.
Еще одним преимуществом системы GeoGebra при решении задачи графическим методом является развитие исследовательских навыков при изучении влияния изменения параметров модели на полученное оптимальное решение задачи, что мы и покажем далее. Для данного вида исследовательской работы в системе GeoGebra имеется инструмент Ползунок (рис. 6).
Ползунок - это инструмент, содержащий свободно перемещаемую по некоторой линии точку-бегунок. С этой точкой связана величина, которая используется в качестве параметра. При перемещении движка ползунка от меньшего значения к большему можно наблюдать за изменением свойств изучаемого объекта.
Рис. 6. Инструмент Ползунок
Вернемся к изучению влияния изменений параметров целевой функции на полученное оптимальное решение ЗЛП и проведем его с использованием инструмента Ползунок в системе GeoGebra.
Цель исследования: определение графическим способом диапазона изменения коэффициентов с1 и с2 при переменных х и у целевой функции /, при которых сохраняется оптимальное решение.
Из рис. 7 видно, что при изменении коэффициентов целевой функции точка
С (13;7) остается оптимальной точкой, пока угол наклона прямой 4х + 5у = с будет находиться между углами наклона прямых х + у = 20 и 9х +14у = 215 , пересечением которых и является точка С.
' I.: -2х - Зу = -47 ' 1.0:-2х-Зу = 0
> а: х + у = 20
> Ь: 9х + 14у =215 V с: х = 0
> й: у = 0 Точка
-о А = (0, 0) ' В = (0,15.36) - С = (13,7) ' 0 = (20, 0) " ' Е = (2, 3) Четырёхугольник ' многоугольник1 =169.82 Число
С1=2 ' С2 = 3
Рис. 7. Интервал оптимальности коэффициента С1
Если записать векторы нормали прямых п1 = (4; 5), п2 = (1;1), п3 = (9;14), а
также тангенсы углов, которые эти вектора образуют с осью ОХ, то аналитическим подтверждением факта указанного взаимного расположения прямых является неравенство:
tga2 < tga1 < tga3
1 5 14
или - < — <-.
1 4 9
Значит, необходимо определить интервал оптимальности для соотношения
не выходит за пределы этого
- < — <—, где с1 Ф 0 . Если значение отношения 1 с1 9 /с1
интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным.
Для этого создадим ползунки с шагом 0,5 для коэффициентов с1 и с2. Геометрически с1 и с2 - это координаты градиента п , который откладывается от начала координат, т.е. координаты конца вектора п . Зная это, зададим координаты точки Е (с1, с2), тогда, в зависимости от того, какие значения будут принимать с1 и с2, будет меняться сам градиент п , а также перпендикулярные ему линии уровня Ь и Ь0.
Так, например, зафиксируем значение с2=3 и при помощи ползунка для коэффициента с1 проверим, при каких значениях точка С остается оптимальной точкой. На рис. 7 показана динамика изменения положения линии Ь при фиксированном значении с2, и при с1, принимающем значения 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5. Причем при с1 = 3 линия уровня Ь совпадает с прямой х + у = 20 и в этом случае задача будет иметь бесконечное множество решений - точек, лежащих на этой прямой, в том числе точка С.
Алгебраически значения для с1 находятся следующим образом:
0 , 1 3 14
с2=3, - < — < —, откуда 1 с1 9
с1 < 3
с1 > — 14
Заключение
Использование информационных технологий в процессе преподавания математики позволяет совершенствовать методику преподавания математики на этапе высшего профессионального образования в тесной связи с информатикой и информационно-коммуникационными технологиями. Информационные технологии позволяют осуществлять визуализацию учебной информации, моделирование изучаемых объектов и экспериментальное наблюдение за их свойствами, иллюстрировать динамику изучаемых процессов и явлений.
Интерактивная геометрическая система GeoGebra обладает такими качественно новыми дидактическими возможностями как наглядность, моделирование, динамика, позволяющими изменять традиционные подходы к изучению многих разделов математики, развивая познавательный интерес студентов и навыки исследовательской деятельности. Система GeoGebra имеет широкий набор инструментов и команд, позволяя решать не только геометрические задачи, но и задачи алгебры и математического анализа.
Рассмотренные в статье примеры применения динамической геометрической системы GeoGebra при изучении прикладной экономической задачи линейного программирования раскрывают возможности и отличительные особенности ее использования с точки зрения развития навыков исследовательской деятельности и выработки наглядных представлений о сущности решаемой задачи.
Литература
1. Сосновский С.А., Гиренко А.Ф., Галеев И.Х. Информатизация математической компоненты инженерного, технического и естественнонаучного обучения в рамках проекта MetaMath. Образовательные технологии и общество. - Т.17, №4 - 2014 г. - C. 446-457.
2. Дубровский В.Н. Знакомьтесь, «математический конструктор». Информатика и образование - №7 (256) - 2014 г. - C. 7-14.
3. Храмова Н.Н., Родионов М.А. Развитие вариативности мышления школьников на уроках математики с использованием возможностей «1С: Математического конструктора». Информатика и образование - №7- 2014 г. - С. 15-21.
4. Первушкина Е.А. Развитие геометрической креативности учащихся 5-6 классов средствами информационных технологий обучения: дис.... канд. пед. наук: 13.00.02. Арзамас, 2006. - 162 с.
5. Ширикова Т.С. Методика обучения учащихся основной школы доказательству теорем при изучении геометрии с использованием GeoGebra: дис....канд. пед. наук: 13.00.02. Архангельск, 2014. - 250 с.
6. Зиатдинов Р.А., Ракута В.М. Системы динамической геометрии как средство компьютерного моделирования в системе современного математического образования. European Journal of Contemporary Education - Vol.(1), №1 -2012 г. -C. 93-100.
7. Шабанова М.В., Сергеева Т.Ф. GeoGebra в системе средств обучения математике. Информатика и образование - №7 (256) - 2014 г. - С. 33-43.
8. Андрафанова Н.В., Назарян Д.С. Интерактивная геометрическая среда как средство компьютерной наглядности в обучении геометрии. В сборнике: Информационные технологии в обеспечении федеральных государственных образовательных стандартов. Материалы Международной научно-практической конференции - Елец, 2014. - С. 76-80.
9. Андрафанова Н.В., Закира И.А. Поддержка исследовательской деятельности школьников средствами ИГС. Проблемы и перспективы развития образования в России. - 2014 г. - № 30 - С. 21-26.
10. Андрафанова Н.В., Назарян Д.С. Интерактивная геометрическая среда как средство развития познавательного интереса школьников. Проблемы и перспективы развития образования в России - 2014 г. -. № 27 - С. 59-65.
11. Андрафанова Н.В., Закира И.А., Назарян Д.С. Инновационные технологии в преподавании геометрии. Личность, семья и общество: вопросы педагогики и психологии - 2014 г. - № 47 - С. 55-65.
12. Natalia V. Andraphanova. Geometric similarity transformations in Dynamic Geometry Environment GeoGebra. European Journal of Contemporary Education - 2015. -2 (12) - С.116-128.
