CC BY
86
Информационные технологии и электронное обучение при подготовке к математическим олимпиадам
Малкин Михаил Иосифович доцент, к.ф.-м.н., кафедра дифференциальных уравнений, математического и
численного анализа
ФГАОУ ВО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского», пр. Гагарина, 23, г. Нижний Новгород, 603950, (843)2314119 [email protected]
Малкина Елена Владиславовна доцент, к.п.н., кафедра программной инженерии ФГАОУ ВО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского», пр. Гагарина, 23, г. Нижний Новгород, 603950, (843)2314119 malkina@unn. ru
Швецов Владимир Иванович профессор, д.т.н., кафедра математического обеспечения и суперкомпьютерных технологий ФГАОУ ВО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» пр. Гагарина, 23, г. Нижний Новгород, 603950, (843)2314119 [email protected]
Аннотация
В статье рассматриваются вопросы создания электронного дистанционного учебного курса для подготовки школьников к участию в математических олимпиадах. При создании учебного курса предлагается комплексно использовать сочетание нескольких программных систем Moodle, MathBridge, GeoGebra, для достижения лучшего результата обучения. Приведены примеры исследования и решения задач с помощью системы динамической геометрии GeoGebra, обсуждаются вопросы электронного обучения математике с акцентом на олимпиадные задачи.
The article deals with with issues of development of distant-learning educational course aimed at training secondary school students for participation in mathematical olympiads. For development of this course, we propose making use of several program systems, including Moodle, Math-Bridge, GeoGebra, for provision of better training results. Examples of investigations and problem solving using GeoGebra dynamical geometry system are given; issues of mathematics e-learning with a stress on olympiad problems are discussed.
Ключевые слова
электронное обучение математике, Moodle, Math-Bridge, GeoGеbra, олимпиадные задачи
e-learning math, Moodle, Math-Bridge, GeoGebra, Olympiad tasks
Введение
Талантливые школьники, ориентированные на точные науки и инженерное образование, находят в математике то главное качество, которое они предполагают в своей будущей специальности, а именно, возможность самостоятельного решения
сложных задач, основанное на логике и полученных знаниях. В концентрированном виде данное качество проявляется в олимпиадных задачах по математике. Как показывает опыт, даже отличная успеваемость ученика не гарантирует успеха на олимпиаде. Это связано с недостаточной подготовкой к решению олимпиадных задач. Существует даже специальный термин «олимпиадная математика», и этой математике можно обучать. Так, команды школьников, участвующих в олимпиадах различного уровня, включая международные, проходят регулярные тренинги, где изучают специальные методы, приемы решения задач, получают знания по углубленным разделам элементарной математике, а также знания, выходящие за пределы элементарной математики.
Характеристика используемых систем электронного обучения
Многолетний опыт проведения математических межрегиональных олимпиад «Будущие исследователи - будущее науки» (БИБН - см. [1]), муниципального и регионального этапов Всероссийской олимпиады школьников в нижегородской области показывает, что не только учащихся необходимо обучать основным методам решения олимпиадных задач, но и учителям математики необходимо повышать квалификацию в этой области. Недостаточный олимпиадный опыт школьных учителей особенно проявляются при проведении и проверке работ муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников районными жюри по математике. После перепроверки работ областным жюри нередко бывают случаи, когда оказывается, что хорошие работы по каким-то причинам были недостаточно оценены и, наоборот, переоценены более слабые работы.
На курсах повышения квалификации учителей, организованных на кафедре математики Нижегородского института развития образования (НИРО), некоторое внимание уделяется вопросам олимпиадной математики, однако недостаточное число часов в программе курсов и ограниченное количество обучающихся школьных учителей не позволяют решить проблему. С нашей точки зрения, здесь может помочь программа дистанционного обучения на основе информационных технологий. Современный уровень развития информационных технологий позволяет создавать электронные управляемые курсы [2] для обучения через Интернет разным дисциплинам, в том числе математике. Кроме того, в последние годы создано множество различных математических пакетов программ, таких как Maple, MathCad, Mathlab, Mathematica, O-Matrix, Livemath, SPSS, Stadia, Statgraphics, Statistica, Systat, GeoGebra и др., которые помогают совершать математические и инженерные расчеты, производить аналитические преобразования, строить графики, не прибегая к программированию. Используя комплексное сочетание нескольких программных систем Moodle, Math-Bridge, GeoGebra, MathCad, служащих для обучения, наглядного моделирования, управления обучением и контроля знаний, можно создавать обучающие приложения, которые помогут удовлетворить возрастающие потребности общества по содержанию обучения математике и методов ее преподавания. Курс олимпиадной математики разрабатывается в Нижегородском университете как массовый открытый on-line курс. Этот курс будет включать некоторые разделы математики, отсутствующие в школьной программе (по теории чисел, теории многочленов, комбинаторике, элементам математического анализа, комплексным числам, классической и комбинаторной геометрии), а также примеры решения олимпиадных задач разного уровня сложности.
В качестве основной системы для разработки обучающего курса по решению олимпиадных задач выбрана популярная и хорошо зарекомендовавшая себя модульная объектно-ориентированная динамическая учебная среда Moodle[3] . Это широко распространенная и популярная система используется в системе
электронного обучения Нижегородского университета с 2009 года[4]. Moodle предлагает огромное количество возможностей для создания и хранения учебных материалов, оценивания знаний учащихся, взаимодействия между учащимися и преподавателем. Множество настроек в системе позволяет адаптировать ее под разные потребности. Так как эта среда использует веб-технологии, то с помощью гиперссылок можно использовать в системе различные интернет ресурсы. Кроме того, специально разработанные модули, включенные в Moodle, позволяют использовать и синхронизировать учетную информацию из внешних специализированных обучающих систем, использовать нестандартные иллюстрации и тесты в качестве элементов обучения.
В качестве внешней системы обучения используется Math-Bridge [5]. MathBridge - это прежде всего интеллектуальная система обучения математике, построенная совершенно на других принципах, чем Moodle. Система Мath-Bridge изначально была задумана как интеллектуальная адаптивная платформа и создавалась по технологии построения систем искусственного интеллекта[6]. В этой системе имеется база знаний учебного материала, в которой поддерживается кросс-культурный и многоязычный доступ. Весь учебный материал в Math-Bridge разделен на атомарные объекты, называемые элементами знаний («knowledge items»), из которых строятся учебные объекты. В качестве базисной модели предметной области Math-Bridge использует онтологию абстрактных математических знаний. Она служит источником элементарных семантических метаданных и своего рода ориентиром для всех коллекций учебного материала[7]. Учебные курсы в этой системе построены с использованием коллекций учебного материала, охватывающих различные темы математики для средней и высшей школы.
Math-Bridge поддерживает богатый образовательный опыт: включает большой объем учебного материала с достаточно подробной наглядной компьютерной иллюстрацией изучаемых математических моделей и методов, контрольные задания, предполагающие не только выбор одного из заданных ответов, а формирование обучающимся последовательности шагов, ведущих к решению (с пошаговым контролем системы). При этом используются различные типы учебных объектов: определений, теорем, доказательств, примеров и интерактивных упражнений. [8]
Пользователи Math-Bridge могут выбрать один из многих предопределенных курсов или динамически сгенерировать математические курсы, адаптированные под цели конкретного студента, его предпочтения, возможности и текущие знания.
MATH-BRllxl
ее
пп
Приборная панель
а
Авторинг
h
Упра
Рис. 1. Элемент Math-Bridge типа «Упражнение с подсказкой»
В заданиях, которые позволяет формировать Math-Bridge, можно запрашивать численные или аналитические решения, а в случае неправильного ответа предлагать подсказки и давать учащемуся возможность решить задачу еще раз.
MATH-BRIDGE
вв вв
Приборная панель
a j
Авторинг Упрг
Preview of Задача №14
Войти как: elenamalk..
Моё рабочее пространство | Всё содержание
|| Упражнение X
Задача №14
^^^ Ответ неверный. Посмотри указание и попробуй еще раз. Указание. Узлы разбиения имеют координаты вида (г/5000, //5000), где /,/ = 1,2,...,4999 Условие того, что
— 4—"
данный узел лежит на параболе, есть 5000 \ 5000 }
те /2 = /"5 -2 Значит, номер /должен иметь вид / = 52-2г" к = 100Л . где к - любое натуральное 5000
число, меньшее 1000 Ответ.
п
[7] Задействовать редактор ввода
- =50
Рис. 2. Подсказка в элементе «Упражнение»
Author sandbox for elen...
А Упражнение
♦ Задача №14 Задача №5 Задача №10 Задача №19 Задача №11 Задача №13 Задача №20 Задача №8 Задача №9 Задача №1
Math-Bridge как интеллектуальная система содержит в себе множество замечательных идей, как с программистской точки зрения, так и с математической (к сожалению, не все коллекции математического контента переведены на русский язык). Обе системы - Math-Bridge и Moodle - имеют в своем арсенале возможность работы с объектами динамической математики, созданными в одной из самых полезных и интересных для обучения математике системе - GeoGebra [9].
Для Moodle разработан дополнительный модуль mod_geogebra.[10]. Этот модуль включает деятельность системы динамической геометрии GeoGebra в Moodle. Модуль был разработан при поддержке Департамента образования Каталонии в сотрудничестве с каталонской ассоциацией GeoGebra [11] и командой разработчиков GeoGeobra. Модуль устанавливается администратором системы из библиотеки плагинов Moodle. GeoGebra является бесплатной, открытой, мультиплатформенной программной системой динамической геометрии для всех уровней образования. GeoGebra соединяет геометрию, алгебру, таблицы, построение графиков, статистику и математический анализ в один простой в использовании пакет.
Системы динамической геометрии (СДГ), или интерактивные геометрические системы (ИГС), представляют собой программные среды, позволяющие создавать и манипулировать геометрическими построениями, прежде всего на плоскости (в плоской евклидовой геометрии) [12,13].
Интересной особенностью геометрических построений в системе GeoGebra является то, что при движении исходных объектов геометрические построения сохраняют свою целостность. Это открывает возможности визуализации различного рода теорем, а также поэтапного воспроизведения решения задач и иных демонстраций. Все это делает такие системы весьма привлекательными для школьного и вузовского образования. Следует также отметить, что СДГ признаны во всем мире наиболее эффективным средством обучения математике с применением
информационно-компьютерных технологий[14]. Основные возможности модуля mod_geogebra:
• для преподавателей: позволяет встраивать демонстрации, созданные в системе GeoGebra, в свои учебные курсы, облегчает контроль деятельности студентов, т.к. плагин сохраняет оценку, дату, продолжительность построения каждой попытки, сделанной пользователем.
• для студентов: позволяет сохранять текущее состояние, чтобы впоследствии продолжить работу.
Еще один модуль, созданный для Moodle и связанный с GeoGebra --qtype_geogebra, он поддерживается Международным институтом GeoGebra[15] и позволяет вставлять в тесты Moodle вопросы, которые могут быть решены и автоматически проверены с помощью GeoGebra. Этот тип вопроса также поддерживает случайную выбрку, автоматическую и ручную сортировку.
Использование системы GeoGebra при решении геометрических задач.
Применение системы GeoGebra может помочь преподавателю привлечь внимание к теоретическим знаниям по математике и к важности доказательств, особенно это касается тех вопросов, когда первые интуитивные представления учащегося бывают неверны или оказываются справедливыми только при определенных условиях, и такие условия следует выяснить аналитически, проиллюстрировав их затем с помощью GeoGebra. Приведем в качестве примера следующую задачу, предлагавшуюся на муниципальном этапе Всероссийской олимпиады школьников в 2011-2012 учебном году:
Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что существует тетраэдр, все грани которого представляют собой треугольники, равные треугольнику АВС.
Большинство участников решали эту задачу основываясь на практическом представлении о том, что такое развертка тетраэдра и как склеить тетраэдр, имея его развертку. Рассуждения участников были такими: Рассмотрим треугольник АЛ 'В'С', для которого стороны треугольника АЛВС являются средними линиями. На формальном языке АЛ В 'С' гомотетичен АЛВС относительно точки пересечения медиан с коэффициентом -2). Выполним построение такого решения в системе GeoGebra (см. рис.3).
Рис.3. Построение гомотетичного треугольника
Далее, поворачивая в пространстве треугольники ЛВС', ВСЛ' и ЛСВ' вокруг сторон треугольника ЛВС как линий сгиба, в результате соединения (и склеивания) соответствующих сторон получим искомый тетраэдр. Система GeoGebra позволяет проследить этот процесс и найти точку соединения граней H. На рисунке 4 мы изменили точку зрения на предыдущий чертеж, чтобы лучше видеть т. Н:
Вероятно, такое «решение» основывалось на привычных примерах склеивания из бумажной развертки правильного тетраэдра. В текстах решений участников олимпиады не было объяснений, почему их метод приведет к результату для произвольного треугольника и вообще, обычно условие остроугольности не упоминалось. Во время аппеляций они говорили: «Но это же очевидно!». Дело в том, что учащиеся недостаточно серьезно относятся к доказательствам, и преподавателям
требуется обращать на это внимание, приводя различные примеры, когда такое невнимание приводит к серьезным ошибкам. В данной задаче можно с помощью ОеоОеЬга наглядно показать, что указанный метод работает в случае остроугольного треугольника (рис.4) и не работает для тупоугольного треугольника.
Действительно, для тупоугольных треугольников вершины А', В', С' при вращении образуют непересекающиеся окружности (рис.5).
1 Л- з h f О 6 -V 0 А ■ ■ •
Рис. 5. Пример тупоугольного треугольника: тетраэдр не может быть построен
После этого можно привести строгое доказательство, которое становится тем самым подготовленным и мотивированным. Для этого сначала докажем лемму:
Если в треугольнике АВС угол В острый, то медиана, проведенная из вершины В, больше половины любой из сторон AABC.
Доказательство: Пусть М - середина стороны АС, D - точка, симметричная вершине В относительно точки М. Тогда ABCD - параллелограмм, в котором М -точка пересечения диагоналей. Угол BAD тупой (и равный ему угол BCD), т.к. он равен Z ВАС + Z ВСА = 180° - Z В. Поэтому точки А и С лежат внутри окружности с центром М радиуса ВМ. Значит, отрезки АВ, ВС и АС меньше диаметра BD (= 2BM) этой окружности.
Решение основной задачи иллюстрируем в GeoGebra.
Рис. 6. AD 'BC - равнобедренная трапеция
Пусть М - середина стороны АС и D - точка, симметричная точке В относительно М. Тогда ABCD - параллелограмм. Пусть точка D ' симметрична точке D относительно прямой АС (см. рис. 6). Тогда AD 'BC - равнобедренная трапеция. Поскольку угол АВС острый, то BD > AC (см. лемму), а т.к. углы ВАС и ВСА острые, то D'B < AC . Если мы будем вращать ДADC в пространстве вокруг неподвижной прямой АС, то точка D будет двигаться по окружности. Обозначим ее положение в момент t через Dt. Расстояние от Dt до B будет изменяться от DB > AC до D'B < AC (Рис. 7).
¿1ЖИНП
Рис. 7. Вращение A ADC в пространстве вокруг неподвижной прямой АС.
Значит, наступит момент, когда Dt B = AC. В этот момент все грани тетраэдра ABCDt равны треугольнику ABC (Рис.8).
O ЕшчМелрыМиЦда
Ф.« - 4 J4\-
Рис. 8. Все грани тетраэдра ABCE(Dt ) равны треугольнику ABC.
При составлении задач для дистанционного курса, следует подбирать те, которые не исчерпываются ответом на поставленный вопрос, а порождают новые вопросы и, кроме того, заставляют посмотреть на задачу как на часть общей математической теории, побуждают изучить математическую литературу. Например, в указанной задаче при построении тетраэдра, где была установлена принципиальная разница между остроугольным и тупоугольным треугольником грани, естественно возникает новый вопрос: раз нельзя построить тетраэдр с равными тупоугольными треугольниками в гранях, то существует ли такой тетраэдр с тупоугольным треугольником в основании, у которого периметры всех граней одинаковы? Оказывается, и здесь ответ отрицательный. Действительно, приведем аналитическое решение этой задачи:
Существует ли тетраэдр, у которого в основании лежит тупоугольный треугольник, а периметры всех граней одинаковы?
Ответ. Не существует. Указание. Предположим, от противного, что такой тетраэдр ABCD существует. Из равенства периметров AADC и AABC получим равенство AD + DC = AB + CB, а из равенства периметров AADB и AСDB получим равенство AB + AD = CD + CB. Складывая эти равенства, будем иметь 2AD = 2BC, т.е. AD = BC. Аналогично получим, что в тетраэдре все противоположные (скрещивающиеся) ребра попарно равны, т.е. все грани представляют собой равные треугольника, причем в каждой вершине тетраэдра плоские углы трехгранного угла равны соответствующим углам треугольника АВС. Но тогда тупой угол (скажем, угол В) больше суммы двух других углов (Z А + Z С). Однако, это противоречит известному свойству -- неравенству треугольника для плоских углов трехгранного угла.
Последнюю задачу также можно проиллюстрировать в системе ОеовеЪга, т.к. в эта система позволяет одновременно с построениями делать различные вычисления, в том числе и периметров.
Дальнейшее изучение учебного материала электронного курса позволит прояснить вопросы, которые возникнут у ученика, заинтересовавшегося данной задачей (например, вопрос: в какую точку основания проектируется вершина тетраэдра с равными гранями) должны привести к изучению более глубоких геометрических закономерностей - теореме о прямой Эйлера[16] (ортоцентр, точка
пересечения медиан и центр описанной окружности треугольника лежат на одной прямой, причем соответствующие отрезки делятся в точке пересечения медиан в отношении 1:2). Эти закономерности также можно эффективно проверять с помощью ОеоОеЪга.
Заключение
Разобранные примеры дают основание полагать, что создание электронного учебного курса с применением комплексного сочетания нескольких программных систем Moodle, Math-Bridge, GeoGebra , МаthCad и др. для обучения олимпиадной математике и решению олимпиадных задач поможет повысить квалификацию в
данной области как учащихся, так и школьных преподавателей.
Данный проект профинансирован при поддержке Европейской Комиссии в рамках программы Темпус (№ гранта: 543851-TEMPUS-1-2013-1-DE-TEMPUS-JPCR). Эта публикация отражает исключительно взгляды авторов. Комиссия не несет ответственности за любое использование информации, содержащейся здесь.
This project has been funded with support from the European Commission.
This publication [communication] reflects the views only of the author, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.
Литература
1. Межрегиональная олимпиада школьников «Будущие исследователи - будущее науки» URL: http://www.unn.ru/bibn/ (дата обращения: 15.01.2017).
2. Малкина Е.В., Швецов В.И. О контроле качества электронных управляемых курсов при формировании электронной образовательной среды.// Web-технологии в образовательном пространстве: проблемы, подходы, перспективы. Сборник статей участников международной научно-практической конференции 26-27 марта 2015 г. Н. Новгород: /Под общей редакцией С.В. Арюткиной, С.В. Напалкова; Арзамасский филиал ННГУ. - Н. Новгород, ООО "Растр-НН", 2015.581 с. ISBN 978-5-9906469-1-9. 2015. С. 76-82.
3. Официальный сайт Moodle URL: https://moodle.org/?lang=ru (дата обращения: 15.01.2017).
4. Система электронного обучения ННГУ. URL: http://e-learning.unn.ru/ (дата обращения: 15.01.2017).
5. Официальный сайт Math-Bridge. URL: http://www.math-bridge.org/ (дата обращения: 15.01.2017).
6. Сосновский С.А., Гиренко А.Ф., Галеев И.Х. Информатизация математический компоненты инженерного, технического и естественнонаучного обучения в рамках проекта MetaMath // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)" -2014. - V.17. - №4. - C.446-457. - ISSN 1436-4522. URL: http://ifets.ieee.org/russian/periodical/j ournal. html
7. Е.В. Малкина, В.И. Швецов. Использование интеллектуальной обучающей системы Мath-Bridge в учебном процессе. //Современные web-технологии образовательного назначения: перспективы и направления развития. Сборник
статей участников международной научно-практической конференции 13-15 мая 2016 г. / Под общ. ред.С.В. Мироновой, С.В. Напалкова; Арзамасский филиал ННГУ. - Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2016. - 387 с. ISBN 978-59907933-1-6. С. 30-35.
8. Малкина Е.В., Швецов В.И. Интенсификация изучения математических дисциплин с использованием систем электронного обучения / // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки. - 2016. - № 2. - С. 134-138.
9. Официальный сайт GeoGebra. URL: http : //www. geogebra. org/
10. Адрес плагина mod_geogebra на сайте Moodle URL: https://moodle.org/plugins/mod geogebra (дата обращения: 15.01.2017).
11. Каталонская ассоциация GeoGebra. URL: http://acgeogebra.cat/(дата обращения: 15.01.2017).
12. Далингер В.А. Когнитивно-визуальный подход и его особенности в обучении математике. — URL: http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-151.pdf
13. Шабанова М.В. и др. Обучение математике с использование возможностей GeoGebra: Коллективная монография. — М.: Изд-во Перо, 2013. — 127 с.].
14. Ю.В. Садовничий, Р.М. Туркменов Вестник РУДН, серия Информатизация образования, 2015, № 2 78-85
15. Адрес плагина qtype _geogebra на сайте Moodle URL:
https://moodle.org/plugins/qtype geogebra (дата обращения: 15.01.2017).
16. И. Шарыгин, А. Ягубьянц. Окружность девяти точек и прямая Эйлера// "Квант" №8, 1981 г. , C 34-37
