CC BY
118
УДК 621.315.5:681.3.06
РАЗВИТИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ПОДВЕСОВ
Г.Е. Шунин, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, М.И. Ислентьева
Рассмотрены возможности универсальной системы мультифизического конечно-элементного анализа COMSOL Multiphysics и специализированного конечно-элементного комплекса программ FEMPDESolver, входящего в состав интегрированной системы компьютерного моделирования сверхпроводящих электромагнитных подвесов
Ключевые слова: система компьютерного моделирования, конечно-элементный анализ, сверхпроводящий электромагнитный подвес
Разработку сверхпроводящих электромагнитных подвесов (СЭМП) целесообразно проводить в рамках PAL систем машиностроительного профиля, таких, как Pro/ENGINEER [1], CATIA [2] и NX-Unigraphics [3], осуществляющих компьютерную поддержку полного цикла разработки и производства изделия. Эти системы имеют мощные средств визуализации и обработки результатов инженерного анализа, который осуществляется собственными конечно-элементными модулями или универсальными CAE-системами ANSYS [4], NISA [5], MSC/MARC [6], COSMOS/M [7] и другие (см. обзор [8]). Важно отметить, что эти системы основываются на стандартных физико-математических моделях электродинамики, термодинамики и механики сплошной среды не учитывающих специфику электродинамики сверхпроводников. Поэтому перспективно использовать наиболее мощную универсальную систему конечно-элементного мультифизиче-ского анализа COMSOL Multiphysics [9], являющуюся по сути дела конечно-элементной программной средой и допускающую расширение и адаптацию под конкретно решаемые задачи.
Ядро базового модуля системы COMSOL Mul-tiphysics образуют программы, реализующие алгоритмы конечно-элементной дискретизации и численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) в многомерных (1D, 2D и 3D) и многосвязных областях сложной формы [10]. Эти уравнения могут быть заданы в коэффициентной, обобщенной и слабой (проекционной) формах, а также в виде их комбинаций.
При решении линейных или почти линейных уравнений в ограниченной области Q используется коэффициентная форма их записи
д2ик дик д
( dUk ^ \ ^ {-С1кЦ-д^-а1Ыик+Уи) +
дик
+Plki + alkuk = fl
Шунин Генадий Евгеньевич - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, профессор, e-mail: vmfmm@mail.ru
Кострюков Сергей Александрович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: kostry@mail.ru
Пешков Вадим Вячеславович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: vmfmm@mail.ru
Ислентьева Маргарита Игоревна - ВГТУ, канд. техн. наук, мл. науч. сотр., e-mail: vmfmm@mail.ru
с граничными условиями
Пт1и1 ^т,
дик
I ÓUk . \ . __7
V С1к'1~д~Х- aikiUk + ) + hkUk = 9l
и начальными условиями
_ duk(t0) _ uk(t 0) = ик0> = и
ко-
В этих уравнениях многоиндексные коэффициенты е, d, с, а, в, у, а, /, h, q, г, g являются ком-плекснозначными функциями пространственных координат, времени, искомых скалярных полей и и их пространственных производных первого порядка (за исключением h, q, г, g), п - внешняя нормаль к границе. Неизвестная вектор-функция ц - это так называемый множитель Лагранжа. Заданные начальные значения скалярных полей могут зависеть только от пространственных координат. Индексы принимают значения: I, k = 1, ... , Ы; /, ] = 1, ... , п (п = 1, 2, 3); т = 1, ... , М< N. По одинаковым индексам в произведениях осуществляется суммирование в указанных пределах.
В случае нелинейных задач применяется обобщенная форма
д2ик
дик dTlj
-п,Г;, = G, +
dR„
ди.
" №rn>
где
Rm = 0,
duw
Г(; — с1к]1 дх а1к]ик +
дик
— Л — @1к1 — а1кик,
— д1 — Ч1кик,
^т ^т Ьт1У.1.
Перед дискретизацией и последующим решением системы ДУЧП, записанные в коэффициентной или обобщённой формах, автоматически переводятся в слабую форму:
Г dv д2ик дик
J (r'^ + f'v-e"<-dprv-d"<-drv)dx +
а 1
Г dRm + I ( Gi + —^m)vds = 0, J ou,
da
J Rmwds = 0. aa
Для каждого значения индексов l и m выбираются свои весовые функции v и w, соответственно.
Слабая форма, несмотря на название, является наиболее общей и позволяет учитывать различные дополнительные условия при построении математической модели. Так, например, в подынтегральные выражения разрешается добавлять члены, содержащие смешанные пространственно-временные производные, а для учёта поверхностных, криволинейных, точечных источников поля и моделирования полей с неподвижными разрывами в форму можно вводить дополнительные поверхностные, криволинейные и точечные интегралы.
Допускается учёт интегральных связей между значениями полей в разных точках области решения путем введения в уравнения дополнительных членов вида
J Pl(x-x')Ql(uk(x'))dx',
а
где Pl и Ql - заданные функции.
Таким образом, COMSOL Multiphysics в принципе может решать системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.
В результате конечно-элементной дискретизации система ДУЧП заменяется системой алгебраических уравнений большой размерности, которая численно решается прямыми (MUMPS, PARDISO, SPOOLES, TAUCS, UMFPACK) или итерационными методами (BiCGStab, CG, FGMRES, GMRES, GMG). При использовании распараллеливания вычислительного процесса на кластерах и эффективных решателей COMSOL Multiphysics может решать задачи с десятками миллионов неизвестных.
При решении задач физического характера в рамках базового модуля можно использовать два подхода: математический и физико-математический. В первом случае необходимо самостоятельно выбрать форму записи и тип решаемой задачи. При физико-математическом подходе предлагаются проблемно-ориентированные интерфейсы для решения краевых задач из следующих разделов физики: акустика (2D, 3D); электростатика (2D, 3D) и магнитостатика (2D);электрическое поле постоянного тока в проводящей среде (2D, 3D); квазистационарное электромагнитное поле (2D); конвекция и диффузия (1D, 2D, 3D); распространение тепла (1D, 2D, 3D); динамика несжимаемой жидкости (2D, 3D); механика деформируемых тел (2D, 3D).
Большим достоинством COMSOL Multiphysics является возможность произвольно сочетать любое количество нелинейных физических процессов. При этом задачи из различных областей решаются одновременно в одной модели, а не последовательно, что ведет к ускорению процесса моделирования и, что более важно, улучшает сходимость. Однако это приводит к существенному увеличению числа степеней свободы (несколько миллионов и более) дискретной конечно-элементной модели исследуемого явления и к необходимости использования компьютерных кластеров (поддерживается в последних версиях COMSOL Multiphysics).
В состав базового модуля также входят достаточно мощный геометрический моделлер, многофункциональный генератор конечно-элементной (треугольники, четырёхугольники, тетраэдры, призмы, гексаэдры) сети, средства обработки и визуализации данных. Все программы связанны воедино удобным графическим интерфейсом пользователя. Допускается скриптовое программирование на языке Java и работа в пакетном режиме, создание специализированных интерфейсов, интеграция и обмен данными со сторонними программами.
К базовому модулю COMSOL Multiphysics могут подключаться специализированные модули, ориентированные на решение задач в конкретных областях физики и техники обладающие дополнительными функциональными возможностями, требующимися для решения таких задач. Число таких модулей постоянно увеличивается. Так для рассматриваемой здесь версии 4.2 существуют модули для решения задач в следующих областях: акустика; гидродинамика; строительная механика; электромагнетизм и высокочастотная электродинамика; химические технологии и электрохимия; теплотехника; микроэлектромеханика; геомеханика; физика плазмы.
К COMSOL Multiphysics могут также подключаться: оптимизационный модуль; библиотека характеристик материалов; модуль интеграции с системой MATLAB, существенно расширяющий возможности моделирования; модули импорта геометрических данных в форматах IGES, STEP, SATA и CATIA R.V5; модули, обеспечивающие двухсторонний интерфейс с популярными CAD и PAL системами (AutoCAD, Autodesk Inventor, SolidWorks, SpaceClaim, Pro/ENGINEER).
Несмотря на свои уникальные возможности COMSOL Multiphysics не может решать краевые задачи в многосвязных областях с разрезами, которые возникают при расчёте магнитных полей, создаваемых токонесущими сверхпроводящими конструктивными элементами СЭМП. Для решения таких задач предназначен специализированный конечно-элементный комплекс программ FEMP-DESolver
[11-16], являющийся ядром системы компьютерного моделирования СЭМП разрабатываемой в Воронежском государственном техническом университете. В состав этой системы также входят: скриптовые пакеты программ, реализованные средствами матричной
системы компьютерной математики Scilab, предназначенные для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику левитирующих тел и системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода с логарифмической сингулярностью ядра, описывающих распределение плотности токов в осесиммет-ричных СЭМП [17]. С помощью FEMPDESolver впервые был проведён трёхмерный конечно-элементный анализ базовых конструкций СЭМП, используемых в качестве чувствительных элементов криогенных гравиинерциальных устройств и рассчитаны их основные электромеханические характеристики [18-27].
FEMPDESolver решает дифференциальные уравнения вида
G(r ) — = V ( A(u, Vu, r, t )Vu ) + F (u, r, t),
где u = u(r, t) - неизвестная функция, G, A и F -заданные функции.
На границе области Г могут быть заданы граничные условия - 1-го рода:
u(r, t)| г = q(r, t ),
- 2-го рода:
- 3-го рода:
du dn
= q(r ,t),
du . „ .
— + B(r, t ) • u(r, t ) dn
= q( r, t ).
В задачах, связанных с расчетом магнитного поля при наличии сверхпроводящих токонесущих элементов, должны быть заданы условия скачка скалярного потенциала на линиях (поверхностях) разреза, соединяющих сверхпроводящие внутренние подобласти с внешней границей области:
u+ - u_ = I,
где u+ и u_ - значения потенциала по разные стороны от линий разреза, I - сила тока, протекающего по соответствующему сверхпроводнику.
Выбирать линию (поверхность) разреза следует таким образом, чтобы любой замкнутый контур, охватывающий сверхпроводник с током, обязательно пересекал разрез. Кроме величины скачка, требуется еще указать направление обхода, при котором скачок потенциала положителен (различные направления обхода соответствуют разным направлениям тока, текущего по сверхпроводнику).
Кроме того, доступны следующие дополнительные типы условий на линиях:
- условие постоянства неизвестной функции:
u = const;
- интегральное условие:
j^JS = Q: dn
- условие заданного потока через поверхность разреза Г:
±Г A dud Г = Ф 0, Г dn
где Q и Ф0 - заданные постоянные; знак «+» или «-» определяется направлением нормали п к поверхности Г.
Процессорный модуль комплекса FEMPDESolver содержит набор программ, осуществляющих функции конечно-элементной дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и их последующего численного решения. Из этого набора составляются специализированные решатели. К этому ядру могут подключаться как собственные, так и сторонние геометрические моделлеры, конечно-элементные разбивщики и постпроцессоры. В версии 2.2 из этого набора программ был составлен и оптимизирован специализированный решатель для двухмерных и трёхмерных уравнений Лапласа-Пуассона и двухмерного уравнения Лондонов с граничными условиями 1, 2, 3 рода и с дополнительными условиями скачка потенциала на разрезе, постоянства потенциала и заданного потока его градиента на внутренних границах многосвязной области. Для этого решателя для двухмерных краевых задач была разработана собственная пре-постпроцессорная оболочка в которой к настоящему времени реализованы только препро-цессорные функции [16]. В ее состав входят следующие программы: графическая оболочка и сторонний конечно-элементный разбивщик Triangle, осуществляющий разбивку двухмерной области на треугольные конечные элементы 1-го и 2-го порядков.
В настоящее время с помощью инструментальных средств языка Java разрабатывается специализированный интерфейс, осуществляющий обмен данными между COMSOL Multiphysics и FEMP-DESolver, что существенно расширит круг решаемых задач при конечно-элементном анализе СЭМП.
Литература
1. http://www.ptc.com
2. http:// www.3ds.com
3. http://www.ugs.com
4. http://www.ansys.com
5. http://www.nisasoftware.com
6. http://www.mscsoftware.com
7. http://www.cosmosm.com
8. Шунин, Г.Е. Компьютерные системы конечно-элементного анализа электромагнитных процессов [Текст] / Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 2004. - Т. 68, № 7. - С. 1012-1018.
9. http://www.comsol.com
10. COMSOL Multiphysics user's guide. 2008 COMSOL 3.5a, May 2011 COMSOL 4.2.
11. Шунин, Г.Е. Пакет программ FEMPDESolver 2.0 для конечно-элементного анализа сверхпроводящих токонесущих систем [Текст] / Г. Е. Шунин, С. А. Кострюков, В.В. Пешков и др. // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 2004. - Т. 68, № 7. - С. 1038-1044.
12. Кострюков, C.A., Конечно-элементная формулировка дополнительных условий в задачах электро- и магнитостатики сверхпроводников [Текст] / C.A. Кострюков,
г
г
B.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 2004. - Т. 68, № 7. - С. 1053-1057.
13. Конечно-элементное приложение FEMPDSolver для системы компьютерной математики SCILAB [Текст] /
C.А. Кострюков, В.В. Пешков, Я.В. Сбитнев, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2006. - Т. 2. № 8. - С. 23-29.
14. Конечно-элементный комплекс программ FEMPDESolver [Текст] / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин и др. // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 4(42). - С. 52-57.
15. Учет условия постоянства неизвестной функции в конечно-элементном комплексе программ FEMPDE-Solver [Текст] / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т. 6. № 11. - С. 227-230.
16. Препроцессорная оболочка комплекса программ FEMPDESolver 2.2 [Текст] / С.А. Кострюков, М.В. Мо-щёнский, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2011. - Т. 7. № 11.3. - С. 11-12.
17. Батаронова, М.И. Интегральная формулировка математической модели распределения плотности тока в осесимметричных сверхпроводящих телах в лондонов-ском приближении и её дискретизация [Текст] / М.И. Ба-таронова, Г.Е. Шунин // Сборник трудов VI Междунар. науч. конф. «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2013)». - Воронеж: ПЦ ВГУ, 2013. - С. 39-42.
18. Кострюков, С.А. Компьютерное моделирование физических процессов в электромагнитных экранах [Текст] / С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Известия академии наук. Серия физическая. - 1995. - Т. 59, № 10. -С. 91-93.
19. Кострюков, С.А. Компьютерное моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах [Текст] / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия академии наук. Серия физическая. 1996. - Т. 60, № 9. - С. 186-189.
20. Шунин, Г.Е. Моделирование чувствительного элемента криогенного гравивариометра [Текст] / Г.Е. Шу-
нин, В.Н. Ястребков // Известия РАН. Серия физическая. -1997. - Т. 61, № 5. - С. 886-892.
21. Моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциальных датчиках [Текст] / Г. Е. Шунин, С. А. Кострюков, В.В. Пешков и др. // Известия РАН. Серия физическая. - 2000. - Т. 64, № 9. -С. 1705-1711.
22. Батаронов, Л.И. Компьютерное моделирование сферического сверхпроводящего подвеса [Текст] / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия РАН. Серия физическая. - 2006. - Т. 70, № 8. -С. 1138-1140.
23. Батаронов, Л.И. Компьютерное моделирование распределения магнитного поля вблизи сверхпроводящего кольца с нулевым магнитным потоком [Текст] / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета.-2006. - Т. 2. № 5. - С. 19-23.
24. Компьютерное моделирование токонесущих сверхпроводящих систем методом конечных элементов [Текст] / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2007. - Т. 3. № 8. - С. 25-27.
25. Батаронова, М.И. Компьютерное моделирование взаимодействия двух сверхпроводящих колец с постоянными магнитными потоками [Текст] / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия РАН. Серия физическая. - 2008. - Т. 72, № 9. - С. 12711274.
26. Трехмерный конечно-элементный анализ взаимодействия двух токонесущих сверхпроводящих колец [Текст] / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 3.2(37). - С. 212-214.
27. Батаронова, М.И. Компьютерное моделирование левитации мезоскопических сверхпроводящей сферы в неоднородном магнитном поле [Текст] / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 4(38). - С. 52-54.
Воронежский государственный технический университет
THE DEVELOPMENT OF THE SYSTEM OF SUPERCONDUCTING SUSPENSION
COMPUTER SIMULATION
G.E. Shunin, S.A. Kostryukov, V.V. Peshkov, M.I. Islentyeva
The possibilities of the universal system of multiphysic finite element analysis COMSOL Multiphysics and of the specialized finite element program package FEMPDESolver, which is part of an integrated system of computer modeling of superconducting electromagnetic suspensions, are considered
Key words: computer modeling system, finite element analysis, superconducting electromagnetic suspension
