Моделирование массопереноса в поглощающей вакуумируемой полости при нагреве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.791.4.001.57; 53.072

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАССОПЕРЕНОСА В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ ВАКУУМИРУЕМОЙ ПОЛОСТИ ПРИ НАГРЕВЕ

И.Л. Батаронов, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов, О.В. Ислентьев

Сформулирована модель газопереноса в вакуумируемой поглощающей полости при нагреве с учетом нелинейной зависимости скорости поглощения от давления. Методом баланса построена численная модель и разработан итерационный алгоритм ее решения. Проанализированы численные решения модели

Ключевые слова: математическое моделирование, газоперенос, абсорбция, вакуумная система

При изготовлении слоистых конструкций методом термодиффузионного сращивания создается вакуумная среда в зоне, предназначенной для формирования физического контакта сращиваемых конструкционных элементов. В слоистых конструкциях эта зона представляет собой протяженную узкую полость, в которой при высокотемпературном нагреве развиваются сорбционные процессы, приводящие к формированию внутренних газовых потоков из вакуумного насоса в объем полости. В общем случае для анализа такого процесса с учетом смешанного режима течения необходимо привлечение специализированных вычислительных пакетов [1,2]. При использовании предложенной в [3,4] упрощенной модели, не учитывающей зависимость скорости поглощения от давления, удается получить аналитические решения в квазистационарном режиме и эффективные численные схемы расчета [6-9]. Однако в этом случае остаются вне рассмотрения состояние газовой среды и ее эволюция в автоваку-умированной зоне, в которой давление считается равным нулю. Аналогичная проблема возникает и при моделировании переноса в поглощающей пористой системе [10,11]. В настоящей работе производится модификация указанной модели с учетом зависимости сорбционного потока от концентрации газовой фазы.

Постановка задачи

Без существенного ограничения общности рассмотрим систему (рис. 1), состоящую из насоса 1, поддерживающего давление Р0 на входе в вакуумную систему, вакуумной трубки 2 с параметрами: длиной 1Т и диаметром ёт, и полости 3, состоящей из N прямоугольных в сечении каналов с размерами сторон а и Ь и длиной 1П, и характеризуемых кнудсеновским коэффициентом диффузии В .

Батаронов Игорь Леонидович - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 46-42-22

Пешков Владимир Владимирович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 78-38-84

Селиванов Владимир Федорович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 78-38-84

Ислентьев Олег Викторович - ВГТУ, канд. техн. наук, тел. (4732) 46-42-22

Давление газа в месте соединения насоса и трубки обозначим как Рн , а температуру среды, а в

конце трубки - как Р0. Соответствующие мольные концентрации газа обозначим как пн, »0 .

Насос поддерживается при постоянной температуре Т0, равной температуре среды, а вакуумиру-емая конструкция нагревается в печи по заданному закону Т (/).

Р„

Т

Ра

Рис. 1. Схема вакуумной системы

В процессе нагрева в стенках каналов полости активируются сорбционные процессы, приводящие к поглощению газа из объема полости. В итоге давление в полости становится ниже, чем в буферном объеме насоса, и возникает «обратный» поток газа из насоса в вакуумируемый объем (рис. 2).

Рис. 2. Схема формирования газового потока

2

В области слабой зависимости абсорбции от давления образуется зона поглощения П (рис. 2), которая при средних температурах, при которых поток поглощения невелик, занимает всю длину канала.

При высоких температурах с ростом потока поглощения формируется зона сильной зависимости от давления с низким уровнем остаточного давления газа В (рис. 2), называемая автовакуумированной зоной. Она занимает глубинную часть канала и обеспечивает наилучшие условия для развития процесса термодиффузионного сращивания.

Математическая модель

Составим уравнения сформулированной физической модели.

Уравнение переноса по каналу в кнудсенов-ском (молекулярном) режиме с учетом сорбционно-го поглощения имеет вид [5,6]

дп _ в д2п П [п ]

а " дх2

5

(1)

Здесь п - мольная концентрация газа, П, 5 - периметр и площадь сечения канала:

П _ 2(а + Ъ), 5 _ аЪ ,

3 [п] - плотность потока поглощения, являющаяся функционалом концентрации газа. Для его определения рассмотрим задачу диффузии поглощенного газа в стенках канала:

дс д 2с

— _ Д)(Г )-2, с(0,X) _ c(í). (2)

дг ду2

Так как температура здесь зависит от времени, то коэффициент диффузии Д является переменным, поэтому перейдем в уравнении (2) к новой переменной времени, определяемой соотношением:

т _

| До(Т (г' ))ё '.

(3)

В итоге задача (2) принимает стандартный вид:

дс _ д2с дт ~ ду2

— с(0,т) _ с(т).

Ее решение [12], записанное для согласованных начального и граничного условий, имеет вид:

Д0 Т ёс(т') с1т'

ж о

ёт' у/т-т' '

(4)

Это решение устанавливает зависимость потока поглощения от концентрации в стенке канала у поверхности. Связь этой концентрации и концентрации газа в полости установим в виде изотермы адсорбции Ленгмюра

с _ Я(Т)-

п + п„

(5)

где па - пороговая концентрация, определяющая появление в уравнении скорости поглощения существенной зависимости от давления, « (Т) - термо-активационный множитель, учитывающий процесс встраивания атомов газа в стенку канала. Используя (5) в (4), получим требуемое выражение для потока поглощения:

3[„ _ М1)А^«Т(т')-пт-^ ёт '

ж ёт па + п(т )

ж 0 ёт ' ч

у/т-т' '

(6)

Для определения величины 2 рассмотрим изотермические условия в пределе сильной адсорбции п п0 . В этом случае из (6) получаем:

3 _

ж Л

Сравнивая это выражение с экспериментально определяемым потоком поглощения:

3 _

К

где К - константа поглощения, М - молекулярный вес газа, находим соотношение:

2 _

жК

Мл/Д)

позволяющее рассчитать 2 по экспериментально определенным К и Д0.

Уравнение (1) совместно с выражением (6) определяет перенос газа вдоль поглощающего канала в условиях нагрева. Рассмотрим теперь граничные условия к нему. При моделировании вакууми-рования системы в изотермических условиях было показано [13], что перенос по трубке может рассматриваться в квазистационарном режиме. Тогда, используя уравнение Кнудсена [14], с учетом термомолекулярного эффекта [14] запишем для потока через трубку соотношение:

3Т _-3(и0п0 -инпн)

5-

Т

Пт 1Т

(7)

Здесь и - скорость молекул газа, зависящая от температуры. Для трубки круглого сечения

Пт _ жйт,

5т — — ёт , 1 4 1

так что (7) принимает вид

ж

3Т — -Г (и0п0 - инпн ). (8)

12 1т

п

В свою очередь, суммарный поток в каналах по уравнению Кнудсена, применяющемуся для описания молекулярного потока в вакуумных системах [14], записывается в виде

ЛГ 4 Я2 дп

3 К = - N—u0--.

К 3 0 П дх

(9)

Приравнивая (8) и (9) с учетом параметров канала, на основании уравнения баланса потоков будем иметь:

--— (ы0»0 - инпн) = ^—щ

2 а2Ь2 дп

12 1Т

3 0 а + Ь дх

. (10)

х=0

Учитывая, что и <х. и вводя обозначение для параметра длины

Я=N р

2,2 а Ь

йт(а +Ь)

представим (10) в виде граничного условия третьего рода

п(0,/) -л/Т7 п0 =1^-

дп дх

(11)

х=0

Вторым граничным условием будет условие непроницаемости конца канала:

дп дх

= 0.

(12)

С=1

Наконец, в качестве начального условия примем давление, создаваемое вакуумным насосом

п(х,0) = пн .

(13)

После расчета распределения концентрации давление газа находится по уравнению состояния Р = пКТ.

Соотношения (1), (3), (6), (11)-(13) составляют математическую модель рассматриваемой задачи.

Дискретизация модели

Преобразуем модель в рамках теории подобия, используя естественный масштаб координаты 1:

х = Л% .

Выберем затем сетку по координате X с шагами И7, 7 = 1..^ . Использование неравномерной сетки может оказаться полезным ввиду резкого изменения решения по длине канала.

Выбор шага по времени в данной задаче определяется тем, что со временем изменяется температура, а вместе с ней наиболее сильно изменяются кинетические коэффициенты В0 и Q . Определим тогда шаг по времени таким образом, чтобы при соответствующем изменении температуры наиболее

чувствительный коэффициент изменялся не более, чем в (1 +е) раз, где е< 1. Учитывая аррениусов-ский характер зависимости кинетических коэффициентов, получим

2

ЛТ = е—, Т

х а

где Та - энергия активации в температурных единицах. Величина ЛТ , с учетом заданного закона изменения температуры Т (/), и определяет шаг по

времени /0.

Задача (1), (6) представляет собой дифференциальное уравнение по пространственной переменной и интегро-дифференциальное по временной переменной. Ввиду этого для аппроксимации уравнения можно применить метод баланса [15]. Проинтегрируем уравнение по ячейке сетки на Т-шаблоне чисто неявной схемы. Для аппроксимации интеграла (6) заметим, что он имеет сингулярный корневой множитель, поэтому регулярную составляющую интеграла аппроксимируем по методу средних, а оставшуюся часть, содержащую корневую особенность, вычислим точно. Это эквивалентно внесению корня под знак дифференциала и аппроксимации полученного интеграла Римана-Стильтьеса по методу средних. Дифференциальная же часть уравнения (1) аппроксимируется обычным образом [15]. В результате, после выделения из интегральной части слагаемых, содержащих неизвестные переменные, получим систему разностных уравнений:

Ви

2

П7 - П7 - г. 2

П7+1 - п7 п - п

7-1

Л

12 И + И+11 И+1

2(а + Ь)

аЬ

3р па + Пг

+ 33,

(14)

7 = 1..N0 -1,

где обозначено

т-1

337,т = ] С7,тТт-1 + X (С,к С7,к-1)

к=1

2тт - Тк - Тк-1 +\1*т - Тк\[*т - Тк-1 _ \1Тт - Тк +4Тт - Тк-1

2тт-1 -Тк - Тк-1 + ^Тт-1 - Тк^Тт-1 - Тк-1

\1Тт-1 - Тк +4Тт-1 - Тк-1

(15)

величины с1 к вычисляются непосредственно по формуле (5)

Сгкк = Q(Tk )

\к

п7,к + па

(16)

И

а массив значении т находится предварительным прямым численным расчетом интеграла (4) в узлах сетки.

Система уравнении (14) является нелинейной и требует итерационного алгоритма решения. Его можно организовать двумя способами. В первом способе нелинейная правая часть вычисляется по результатам предыдущей итерации, а оставшаяся трехдиагональная система решается методом прогонки. Как показали численные эксперименты, эта схема является условно устойчивой и для сходимости требует очень малого шага по времени. Во втором способе слагаемое с неизвестными переменными переносится в левую часть уравнения (14) и нелинейность включается в коэффициенты системы:

2 Л „ 2

-П+1 - Ч-П-1 +

кг+1(кг + кг+1) кг (кг + кг+1)

(

+

i 2q p

1 +-— + - r

\

hi+1hi na + ni 0

2(a + b) rí

ñi = nl —--- JJ, (17)

ab

i = 1..N0 -1, где обозначены известные коэффициенты

Dt,

0

l2

p = ■

8(a + b) 3pab

Qsfo.

Здесь по предыдущей итерации вычисляются коэффициенты системы, которая в этом случае также является трехдиагональной и решается прогонкой. Данный способ показал хорошую устойчивость и сходимость. В результате итерационный алгоритм сводится к последовательности прогонок системы (17).

Наконец, интегрирование уравнения (1) по граничной ячейке с использованием граничного условия (11) и преобразования уравнения, аналогично выполненному для (17), приводит к аппроксимации

1 + ■

2q

(

hi+1h1

1 +1 h

\

+-

10

na + n0

2q

no -7T n1 = h1

= no +

2q To 2(a + b)

(18)

h1 \ T

ab

JJn

стижения которой производится изотермическая выдержка. Пороговое давление зафиксировано на уровне 10-4 Па, типичном для высокотемпературного термодиффузионного сращивания.

Р. Па

0.01

МО

МО

МО

МО -

700 750 800 850 900

60 -х, см

Рис. 3. Распределение давления по длине поглощающего канала при нагреве до достижения температуры, указанной справа от рисунка

Р, Па

0.1

0.01 3

МО

МО

МО

1 i i i

\NNNX N \\Ч\ t, мин

\ \\\\ \ \\\Д-- \ YVvV \ \V\T \\\ \-\ \\ \ \ 2 - 4 _______ 6 10

i i i i

О 2 4 6 8 10

•X. см

Рис. 4. Изменение распределения давления в поглощающем канале при изотермической высокотемпературной выдержке

где пн означает концентрацию газа на выходе из насоса. Аппроксимация же граничного условия (12) осуществляется полушаговым сдвигом узлов сетки [15].

В результате численная модель включает в себя уравнения (17), (18) и соотношения (15), (16).

Анализ результатов

Для расчета воспользуемся экспериментальными данными [4] по константе поглощения и коэффициенту диффузии в титановых слоистых конструкциях, скорость нагрева примем 15 К/мин, максимальную температуру нагрева 900°С, после до-

Приняты геометрические параметры системы: сечение канала 2x4 мм2, длина канала 70 см, длина вакуумной трубки 4 м, диаметр трубки 14 мм, число каналов - четыре.

Результаты расчетов приведены на рис. 3-5.

Как видно из рис. 3, начиная с температуры 600°С до температуры 700°С происходит формирование зоны поглощения с пониженным давлением газа, но без образования автовакуумированной зоны, уровень давления в которой отмечен штриховой линией. В диапазоне температур 700-900°С образуется вакуумированная зона, расширяющаяся с повышением температуры в сторону места подвода вакуумной трубки.

При изотермической выдержке (рис. 4) вакуу-мированная зона медленно сжимается с формированием четко выраженного фронта газового потока.

600 800 T Pc

5 10 t. мин

Рис. 5. Изменение давления на выходе из вакуумной трубки при нагреве (линия слева) и последующей изотермической выдержке (линия справа)

Соответственное поведение демонстрирует и давление на выходе из трубки (рис. 5), где возрастание давления в каналах до 600°С обусловлено эффектом термомекулярного переноса.

Литература

1. Сбитнев, Я.В. Компьютерные системы конечно-элементного мультифизического анализа [Текст] / Я.В. Сбитнев, Г.Е. Шунин // Энергия - 21 век. - 2006. - № 3. -С. 65-72.

2. Конечно-элементный комплекс программ FEMP-DESolver [Текст] / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин, М.И. Батаронова и др. // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 4(42). - С. 5257.

3. Бондарь, А.В. Диффузионная сварка титана и его сплавов [Текст] / А.В.Бондарь, В.В.Пешков, Л.С.Киреев, В.В.Шурупов. - Воронеж: Изд. ВГУ, 1998. - 256 с.

4. Kireev, L.S. Joining Titanium to steel [Text] / L.S.Kireev, V.V.Peshkov // Welding and Surfacing reviews. -1998. - V.11, Pt. 2. P. 1-127.

5. Батаронов, И.Л. Физико-математическое моделирование течения газа по технологическим зазорам переменного сечения при диффузионной сварке [Текст] / И.Л.

Батаронов, В.Р.Петренко, В.В. Пешков // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2006. - Т.2. №8. - С. 5-12.

6. Моделирование двумерных течений с сингулярным поглощением методом выделения особенности [Текст] / И.Л.Батаронов, О. В. Ислентьев, В.Р. Петренко, В.В.Пешков, В.Ф.Селиванов // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 4 (38). - С. 4-8.

7. Моделирование тепломассопереноса в щелевых каналах с топохимическими экзотермическими реакциями [Текст] / И.Л.Батаронов, О.В.Ислентьев, В.Р.Петренко, В.Ф.Селиванов, Д.Н Балбеков. // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т. 7. № 2. - С. 4-6.

8. Физико-математическая модель процесса изменения давления газа в трактах охлаждения титановых теплообменников при нагреве [Текст] / В.В. Пешков, И.Л.Батаронов, В.Р.Петренко, Д.Н.Балбеков // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т. 5. № 5. - С. 4-6.

9. Закономерности переноса газа в поглощающих контактных зазорах [Текст] / И.Л. Батаронов, В.В.Пешков,

B.Ф.Селиванов, А.И.Стрыгин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. № 2. - С. 138-141.

10. Моделирование массопереноса в системе силь-нопоглощающих поровых каналов [Текст] / И. Л. Батаронов, Л. В. Милушева, В. Р. Петренко, В. В. Пешков, В. Ф. Селиванов, П. О. Акиньшин // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - Т. 42. № 4. -

C. 49-52.

11. Закономерности массопереноса в пористом абсорбирующем материале [Текст] / И.Л. Батаронов, В.Р.Петренко, В.Ф.Селиванов, Л.В.Милушева, П. О. Акиньшин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т. 6. № 12. - С. 910.

12. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский // М.: Физматлит, 2001. - 724 с.

13. Моделирование вакуумирования межоболочковых полостей тонкостенных слоистых конструкций [Текст] / А.И.Стрыгин, И.Л.Батаронов, В.В. Пешков, В. Ф. Селиванов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. № 5.1. - С. 106-110.

14. Пипко, А.И. Конструирование и расчет вакуумных систем / А.И.Пипко, В.Я.Плисковский, Е.А.Пенчко // М.: Энергия, 1979. - 504 с.

15. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н.Калит-кин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

Воронежский государственный технический университет

SIMULATION OF MASS TRANSFER IN ABSORBING EVACUATED CAVITY AT HEATING

I.L. Bataronov, V.V. Peshkov, V.F. Selivanov, O.V. Islentyev

A model of gas transfer in evacuated absorbing cavity at heating is formed. The model allows for nonlinear dependence of absorption rate from pressure. A numerical model is developed with balance method. An iteration algorithm of its solution is constructed. Numerical solutions of the model are analyzed

Key words: mathematical simulation, gas transfer, sorption, evacuation system

70