Конечно-элементный анализ распределения магнитного поля вблизи сверхпроводящего тора Текст научной статьи по специальности «Физика»

Физика

УДК 004.94:519.63

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВБЛИЗИ

СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ТОРА

А.А. Кудряш, Г.Е. Шунин

Сообщаются результаты трёхмерного конечно-элементного анализа распределения вектора индукции магнитного поля вблизи сверхпроводящего тора в мейсснеровском состоянии, помещённого во внешнее однородное магнитное поле при различных направлениях поля относительно оси тора. Определены координаты точек локальных минимумов модуля вектора индукции магнитного поля и моменты сил, действующих на тор

Ключевые слова: сверхпроводящий тор, магнитное поле, конечно-элементный анализ

Впервые теоретическое и экспериментальное изучение поведения сверхпроводящего тора во внешнем постоянном однородном магнитном поле параллельном оси тора было выполнено в работах [1-3]. В последующих работах [4,5] рассматривались случаи тора, помещённого во внешнее однородное магнитное поле, направление которого не совпадает с направлением оси тора. Так в [4] исследуется зависимость крутящего момента тора от угла между направлением внешнего поля и осью симметрии тора. Сравниваются экспериментальная и теоретическая зависимости для замкнутого тора и тора с разрезом. В [5] проводится аналитическое решение внешней краевой задачи для скалярного магнитного потенциала в случае тора в магнитном поле перпендикулярном к его оси симметрии. Рассчитаны зависимости магнитного момента, а также максимального и минимального значений поля на поверхности кольца в зависимости от отношения большого и малого радиусов. В работе [6] было получено аналитическое решение уравнения Лапласа для векторного потенциала, определяющее распределение поля вне тора, помещённого во внешнее однородное магнитное поле, параллельное оси его вращения. Исследованы распределения плотности тока на поверхности тора и магнитного поля вне тора для трёх случаев способа охлаждения тора до сверхпроводящего состояния. Следует отметить, что решения получаются в виде разложений в ряд по полиномам Лежандра. Поэтому детальный анализ распределения вектора индукции магнитного поля затруднителен. Необходим вычислительный эксперимент. Так в работе [7] получено распределение поля вблизи тора, во внешнем магнитном поле парал-

Кудряш Андрей Андреевич - ВГТУ, аспирант, тел. 8(473)246-42-22

Шунин Геннадий Евгеньевич - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, профессор, тел. 8(473)246-42-22

лельном оси симметрии тора, с помощью конечно-элементного комплекса программ Femp-desolver [8].

Целью данной работы является исследование распределения вектора индукции магнитного поля в окрестности сверхпроводящего тора для различных направлений внешнего однородного магнитного поля с использованием системы конечно-элементного мультифизиче-ского анализа Comsol Multiphysics [9].

Вычислительный эксперимент проводился с тором размеры которого такие как и в работе [2]: большой радиус равен 0.026 м, отношение большого и малого радиусов равно 22.4. Это сделано для того чтобы можно было сравнить результаты вычислительного эксперимента с результатами экспериментальных исследований и аналитических расчётов.

Численно решалась краевая задача для уравнения Лапласа с векторным магнитным потенциалом А в области, имеющей форму шара с радиусом 0.26 м, центр которого совпадает с центром тора. На поверхности тора задавалось условие не проникновения магнитного поля в тор:

пхЛ = 0,

где п - внутренняя нормаль к поверхности тора.

А на поверхности шара задавался вектор напряжённости внешнего магнитного поля:

пх Н = пх Н0,

где п - вектор внешней нормали к расчётной области, Я0 = (0, Н0 sin а, Н0 cos а), а - угол поворота внешнего магнитного поля относительно оси симметрии тора, Н0 - модуль вектора напряжённости внешнего магнитного поля, который полагался равным 39790 А/м.

Расчётная область разбивалась на 437778 векторных конечных элементов второго порядка. Векторные элементы обеспечивают непре-

рывность тангенциальном компоненты векторного магнитного потенциала при переходе от одного элемента к другому. Элементы такого типа обычно применяются в электромагнитных задачах, решаемых в постановке векторного потенциала.

Сначала исследовался случай, когда поле направлено параллельно оси симметрии тора (ось Oz). Было изучено распределение индукции поля в горизонтальной плоскости, проходящей через центр кольца, на предмет наличия точек, в которых модуль вектора магнитной индукции В имеет локальный минимум. Так как задача имеет осевую симметрию, достаточно исследовать распределение поля вдоль одного из направлений в горизонтальной плоскости (например, вдоль оси Оу), вдоль других картина будет аналогична. Ниже представлен график распределения z-компоненты вектора магнитной индукции вдоль оси Оу. ВУ, Тл

0.24 -

0.22 -

0.2 -

0.18 -

0.16 -

0.14 -

0.12 -

0.1 -

0.08 -

0.06 -

0.04 -

0.02 -

0 -

-0.02 -

-0.04 -

-0.06 -

-0.08 -

J L п

у, м

Рис. 1. Распределение компоненты поля Вг вдоль оси Оу

Компоненты Вх и Ву равны 0 с точностью до вычислительных ошибок и здесь не приводятся.

График, приведённый на рис. 1, хорошо согласуется с теоретическим графиком, приведённым в работе [2], в которой рассматривалось распределение поля вокруг идентичного тора.

Как видно из графика на рис. 1, компонента В2 обращается в 0 внутри тора (примерно на расстоянии 0.02м от оси Oz), т.е. геометрическое место точек, в которых В2 обращается в 0, представляет собой окружность с центром, совпадающим с центром тора и радиусом 0.02м. Для утверждения о нахождении в этих точках локального минимума модуля В, необходимо исследовать распределение компонент В вдоль вертикальной линии, проходящей через одну из упомянутых точек.

Ниже представлены графики трёх компонент поля вдоль вертикальной линии, прохо-,0.02 0.02 , дящей через точку и), а также график

модуля вектора В вдоль этой же линии.

Bv, Тл

0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002

О --0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.01 -0.012

■0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Z, м

Рис. 2. Распределение компоненты поля Вх вдоль вертикальной линии

Ву, Тл

0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0

-0.002 -0.004 -0.006 -0.00S -0.01 -0.012

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

z, м

Рис. 3. Распределение компоненты! поля Ву вдоль верти-

кальной линии

Ву, Тл

-0 25 -0.2 -0 15 -0.1 -0 05 0 0 05 0 1 0 15 0 2 D25

z, м

Рис. 4. Распределение компоненты поля В2 вдоль вертикальной линии

В, Тл

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

г, м

Рис. 5. Распределение модуля В вдоль вертикальной линии

Ниже приводятся теневые рисунки, показывающие распределение модуля вектора В в плоскостях Оху и Oyz, на которых хорошо видна область локальных минимумов.

В, Тл

0 016 0.014 0.012 0.01 I 0 008

Т 9.0234x10

Рис. 6. Распределение модуля В в плоскости Оху

В, Тл

1 ,

0.002 Т15262x10°

Рис. 7. Распределение модуля В в плоскости Oyz

Кроме того, при помощи соответствующей функции COMSOL Multiphysics было получено наименьшее значение модуля магнитной ин-

дукции и точка, в которой это значение достигается (см. таблицу). Полученные значения хорошо согласуются с приведёнными выше графиками. Ненулевое значение модуля индукции и z-компоненты точки минимума можно объяснить погрешностями разбиения области и вычислительными ошибками.

Далее проводилось исследование влияния направления поля на область минимума магнитной индукции. Для этого производился поворот вектора напряжённости магнитного поля в плоскости Oyz. Угол между ортом оси кольца (ортом оси Oz) и направлением магнитного поля менялся от 9 до 90 градусов. Вычисления производились с шагом в 9 градусов. Результаты для случаев 9, 45, 72 и 90 градусов представлены в более подробном виде.

Первый случай - угол в 9 градусов. При помощи вышеупомянутой функции COMSOL было найдено минимальное значение модуля индукции магнитного поля и точка, в которой это значение достигается (см. таблицу).

Точки минимума модуля В в зависимости от направления поля

Значение угла, ° Значение модуля индукции, Т Координаты точки минимума, м

х у z

0 1.5-10"4 -0.0202 -1.610-5 -1.Ы0"4

9 7.3-10"4 -0.0021 0.0205 0.0013

18 4.9-10"4 1.9-10"4 0.0214 0.0021

27 0.0011 -2.9-10"4 -0.0223 -0.0024

36 4.4-10"4 4.2-10"4 0.0233 0.0024

45 4.2-10"4 2.6-10"4 0.0244 0.0023

54 4.2-10"4 -10-4 -0.0251 -0.0017

63 2.5-10"4 -2.4-10"4 0.0251 7.1-10"4

72 4.6-10"4 -3.9^10"4 -0.0249 -4.110-4

81 2.9-10"4 -5.5^10-4 0.0249 2^10"4

90 1.5-10"4 0 0.0272 0

По этим данным можно сделать вывод о том, что при изменении направления поля точки минимума модуля индукции смещаются из плоскости Oxy. Подтверждение этому можно увидеть на рис. 8.

Для исследования геометрического места минимумов модуля индукции через найденную точку минимума и ось Ox была проведена плоскость, и исследовалось поведение модуля магнитной индукции в этой плоскости. В итоге было выявлено, что минимумы модуля индукции располагаются в двух симметричных относительно начала координат точках (рис. 9).

В, Тл

В, Тл

1 ,

0 018

0.016

0.014

0.012

0.01

0 008

0.006

0 004

0.002 Т 1.1215x10 3

Рис. 8. Местоположение минимума модуля В в плоскости Оу7

В, Тл

и,

Т 1.2713*1СГ3

Рис. 9. Местоположение минимума модуля В в плоскости, проходящей через точку минимума и ось Ох

Второй случай - угол между ортом оси кольца и направлением поля в 45 градусов. Точки минимума в этом случае по сравнению с предыдущим случаем смещаются ближе к поверхности кольца, что можно увидеть на рис. 10.

Также аналогично предыдущим двум случаям была найдена точка минимума модуля индукции, и было проведено исследование распределения исследуемой величины в этой плоскости (рис. 11).

Таким образом, картины поля для углов в 9 и 45 градусов похожи с той разницей, что минимумы в последнем случае располагаются ближе к поверхности кольца.

1 ,

А 0.02

0.02

Т 2.6043*10

Рис. 10. Местоположение минимума модуля В в плоскости Oyz

В, Тл

0.018

0.016

0.014

0.012

0.01

0 008

0.006

0.004

0.002 ▼ 1.2385X10 3

Рис. 11. Местоположение минимума модуля В в плоскости, проходящей через точку минимума и ось Ох

Третий случай - угол между ортом оси кольца и направлением поля в 72 градуса. Были проделаны все те же процедуры, что и для предыдущих случаев (рис. 12,13).

В, Тл

1 ,

А 0.04 |—| 0.04

Т7.0234х10"4

Рис. 12. Местоположение минимума модуля В в плоскости Oyz

В, Тл

Ву, Тл

А 0.04

0.04

Т10393x10°

Рис. 13. Местоположение минимума модуля В в плоскости, проходящей через точку минимума и ось Сх

В этом случае наблюдается кардинальное отличие от предыдущих двух. Точки минимума располагаются на поверхности кольца, что подтверждается найденными значениями координат минимума (см. таблицу).

Предельный случай вращения - поворот на 90 градусов, т.е. случай, когда поле направлено по оси Oy.

Приведены графики распределения компоненты Ву вдоль осей Oy и Oz (рис. 14,15), компоненты Вх и В2 вдоль координатных осей в этом случае равны 0 с точностью до ошибок вычисления и построения сетки.

Также были проделаны те же шаги, что и для случаев угла в 9, 45 и 72 градуса.

Полученное числовое значение координат точки минимума хорошо согласуется с рис. 16 и говорит о том, что точки минимума расположены на пересечении поверхности кольца с осью Oy, что также хорошо видно на рис. 17.

Далее приводится рассмотрение зависимости интегральной характеристики - магнитного момента кольца от угла между ортом оси кольца и направлением внешнего магнитного поля. у и z-компоненты магнитного момента с точностью до вычислительных ошибок равны 0, а график х-компоненты приводится на рис. 18. Из него следует, что эта компонента достигает максимального значения при угле в 45 градусов, а при углах 0 и 90 градусов она равняется нулю.

В заключение отметим, что в точках локального минимума модуля индукции магнитного поля можно осуществить устойчивый подвес малых диамагнитных тел. Этот способ подвеса может быть использован в

0.04 0 035 0.03 0.025 0 02 0.015 0.01 0.005 0

>

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

у, м

Рис. 14. Распределение компоненты поля Ву вдоль оси Су

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

г, м

Рис. 15. Распределение компоненты поля Ву вдоль оси Oz

В, Тл

▲ 0.046

0.045

1 ,

0 005 Т 3.7172x10°

Рис. 16. Местоположение минимума модуля В в плоскости Oyz

В, Тл

А 0.046

0 045

О 04

0.035

0.03

О 025

0.02

О 015

О 01

О 005

О

Т 2.71В1К10"3

Рис. 17. Местоположение минимума модуля В в плоскости Oxy

а, рад

Рис. 18. Зависимость компоненты момента сил Мх, действующих на кольцо, от угла между осью кольца и направлением поля

экспериментах по квантовой магнитомеханике левитирующей сверхпроводящей сферы микронных размеров [10].

Литература

1. De Launay, J. Electrodynamics of a superconducting torus / J. De Launay, Naval Research Lab Washington DC. -Defense Technical Information Center. - 1949. - 67 p.

2. Dolecek, R. L. Conservation of flux by a superconducting torus / R. L. Dolecek, J. De Launay // Physical Review. - 1950. - V. 78. - № 1. - P. 58-60.

3. Dolecek, R. L. The superconducting torus / R. L. Dolecek, J. De Launay // Letters to the Editor. - 1949. - P. 445-446.

4. Wilson, B. J. Torque on a superconducting torus in a uniform field / B. J. Wilson, E. E. King // Journal of Applied Physics. - 1967. - V. 38. - № 2. - P. 745-752.

5. Wright, E. B. Magnetization of an ideal superconducting torus in a transverse field / E. B. Wright, P. I. Peterson // Journal of Applied Physics. - 1967. - V. 38. - № 2. P. 855860.

6. Ivaska, V. Magnetic field distribution around a superconducting torus / V. Ivaska, V. Jonkus, V. Palenskis // Physica C. - 1999. - V. 319. - P.79-86.

7. Батаронов, Л. И. Компьютерное моделирование распределения магнитного поля вблизи сверхпроводящего кольца с нулевым магнитным потоком [Текст] / Л. И. Батаронов, С. А. Кострюков, Г. Е. Шунин// Вестник Воронежского государственного технического университета. -2006. - Т.2. - № 8. - С. 19-22.

8. Конечно-элементный комплекс программ FEMPDESolver [Текст] / С. А. Кострюков, В. В. Пешков, Г. Е. Шунин, М. В. Мощёнский, М. И. Батаронова // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 8. - С.52-58.

9. Официальный сайт COMSOL Multiphysics: Режим доступа: World Wide Web. URL http://www.comsol.com

10. Romero-Isart, O. Quantum magnetomechanics with levitating superconducting microspheres / O. Romero-Isart, L. Clemente, C. Navau, A. Sanchez, J. I. Cirac // Physical Review Letters. - 2012. - V. 109. - P. 147205-1 - 147205-5.

Воронежский государственный технический университет

FINITE-ELEMENT ANALYSIS OF MAGNETIC FIELD DISTRIBUTION NEAR THE SUPERCONDUCTING TORUS

A.A. Kudryash, G.E. Shunin

The results of a 3D finite-element analysis of a magnetic flux density distribution around a superconducting torus in the Meissner state placed into the external homogeneous magnetic field of different directions with respect to torus axis are reported. The coordinates of points where magnetic flux density achieves minimum are obtained as well as moments of forces acting on the torus

Key words: superconducting torus, magnetic field, finite-element analysis