CC BY
615. Virk R. S., Maas S. A. Modeling MESFETs for intermodulation analysis of resistive FET mixers // IEEE MTT-S Int. microwave symp. 1995. Digest. P. 1247-1250.
6. Gummel H. K., Poon H. C. An integral charge control model of bipolar transistors // Bell sys. tech. J. 1970. Vol. 49, № 3. P. 827-850.
7. Аверина Л. И., Бобрешов А. М., Хрипушин А. В. Анализ нелинейных эффектов и расчет характеристик ЭМС СВЧ-усилителя на биполярном транзисторе с гетеропереходом // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2009. № 4. C. 38-45.
L. I. Averina
Voronezh state university
Nonlinear modeling and intermodulation characteristics of high frequency mixers
Estimation of multifrequency characteristics of different mixers type was realized using time-dependent Volterra series representation. Nonlinear models of bipolar transistors and diode were developed. They are used for simulation of mixers. Calculation and analysis of intermodulation characteristics for different mixers (diode balanced, resistive on field-effect transistor and active on heterojunction bipolar transistor) against operating mode and level of oscillator signal were realized.
Mixer, nonlinear model, Volterra series, intermodulation Статья поступила в редакцию 5 октября 2010 г.
УДК 621.372.543.2
А. А. Головков, С. В. Кейс
Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет "ЛЭТИ"
| Разрезные кольцевые резонаторы - теория и эксперименты
На основе теории нерегулярно включенных отрезков линии передачи исследован новый класс микроволновых резонаторов - разрезных кольцевых резонаторов с соосным планарным и параллельным расположением колец. Получены аналитические формулы, связывающие резонансную частоту разрезных кольцевых резонаторов с шириной и диаметром колец, зазором между кольцами, толщиной и диэлектрической проницаемостью подложки колец, углом разворота колец относительно друг друга. Размеры указанных резонаторов могут быть более чем вдвое меньше по сравнению с резонаторами на отрезках регулярно включенных линий передачи. Приведено объяснение миниатюрности исследованных резонаторов.
Нерегулярно включенные линии передачи, микроволновые резонаторы, кольцевые резонаторы
Резонаторы - основные элементы современных микроволновых фильтров. От их характеристик зависят ширина полосы пропускания, потери внутри и вне полосы пропускания. Современные системы радиосвязи требуют применения высокодобротных и миниатюрных резонаторов. Использование в резонаторах фильтров отрезков микрополосковых, копланарных, щелевых линий позволяет существенно уменьшить размеры фильтров при относительно малых потерях в полосе пропускания. Наиболее часто в резонаторах фильтров применяются четверть- и полуволновые отрезки линий, а также замкнутые и разомкнутые кольцевые резонаторы. Последние позволяют легко реализовать двухмодовые фильтры.
Относительно недавно был предложен новый тип микроволнового резонатора, обладающего большей добротностью, чем описанные выше - разомкнутый (разрезной) кольцевой резонатор (РКР) [1]-[4]. Разомкнутый кольцевой резонатор представляет собой два концен-© Головков А. А., Кейс С. В., 2011 107
б
Рис. 1
трических плоских разомкнутых кольца, зазоры которых развернуты на угол 0<а< 180°. Кольца расположены либо на одной стороне диэлектрической подложки (планарный разомкнутый кольцевой резонатор (ПРКР) (рис. 1, а)), либо на обеих сторонах подложки (слоистый разомкнутый кольцевой резонатор (СРКР) (рис. 1, б)). Угол раскрыва колец у выбирается таким, чтобы расстояние между концами разомкнутого кольца в 2-3 раза превышало ширину зазора между кольцами s для того, чтобы емкость между концами кольца по сравнению с погонной емкостью между кольцами была пренебрежимо малой.
Несмотря на большое число публикаций, посвященных разработкам фильтров на РКР, теория РКР не разработана вплоть до настоящего времени.
Основные характеристики РКР на основе нерегулярно включенной линии передачи. Разомкнутый кольцевой резонатор может рассматриваться как разомкнутый с двух сторон отрезок симметричной двухпроводной передающей линии из проводников прямоугольного сечения, свернутых в незамкнутое кольцо, причем одно кольцо повернуто вокруг оси относительно второго на угол а. Резонатор может быть изображен в виде каскадного соединения двух отрезков линии - A1B1A2B2 и QD1C2D2, соединенных в точках BjCj и A2D2 (рис. 2, а). Эквивалентная электрическая схема РКР показана на рис. 2, б.
Анализ РКР можно выполнить на основе общей теории нерегулярно включенных электрических цепей. Как известно ([5]-[7]), четырехполюсник называется нерегулярно включенным, если токи во всех его полюсах не являются равными (рис. 3, а): I\ * ¡2 * I01 * I02. Для нерегулярно включенной линии передачи характерно неравенство токов в верхнем Ia ( х) и нижнем Ib (х) проводах: Ia (х) Ф ¡ь (х) в любом сечении линии (рис. 3, б).
Применив уравнения Кирхгофа к узлам тока на верхнем и на нижнем проводах линии в сечении х и к выделенному на рис 3, б контуру, получим дифференциальные уравнения для напряжения и токов нерегулярно включенной линии передачи: 108
а
Б,
B2
A2 D,
1
Б, C,
D, 2
3 A2
1 ]dT 2
3 4
* *
- '1 ► * '2 ►
D2 4
Рис. 2 h
Ia ( * )
'01
U (x
Ih ( x)
Ax
I
U(x + Ax )
I
02
x + Ax
Рис. 3
dU(x)/dx = -Z0 [Ia(x) + Ih (x)]/2; dIa (x)/dx = -Y0U(x); dIh (x)/dx = -Y0U(x), где Zo, Yo = 1/Zo - волновые сопротивление и проводимость линии передачи соответственно.
Складывая и вычитая два последних уравнения, придем к следующим телеграфным уравнениям нерегулярно включенной линии передачи:
dU/dx = - Zo !пф; dIu^j dx = -YqU ; dIQ^j dx = 0; !сф = const, (1)
где !пф = [Ia (x)+Ih (x)]/2, !сф = [Ia (x) - Ih (x)]/2 - противофазный и синфазный токи соответственно.
Первые два уравнения (1) описывают волновой процесс распространения волны противофазного тока !пф, последние два - стационарный процесс протекания волны синфазного тока !сф в нерегулярно включенной линии передачи. Таким образом, токи, текущие по проводам нерегулярно включенной линии передачи, расщепляются на две независимые составляющие - противофазную !пф и синфазную !сф.
Противофазные составляющие токов !пф (рис. 4, а) так же, как в регулярно включенной линии, равны по величине и противоположны по направлению в любом сечении линии. Синфазные составляющие токов !сф (рис. 4, б) равны по величине и одинаковы по
направлению в любом сечении линии, т. е. амплитуда и фаза синфазных токов не зависит от координаты. Синфазные токи не создают падения напряжения между проводами линии, т. е. провода линии являются эквипотенциальными в каждом ее сечении.
C
C
6
а
I
2
x
6
а
пф
пф
Z
Z
Рис. 4
Волновое сопротивление Zq и постоянная распространения линии ß для противофазной волны тока (т. е. для регулярно включенной линии) определяются известными выражениями Z0 =4LC = J2 (L0 -M0 )/C (2Lq/C) (1 - k); ß = = ^2CL0 (l - к), где L и C - погонные индуктивность и емкость линии соответственно; Lq и Mq - погонные собственная индуктивность одного провода линии и взаимная индуктивность между проводниками соответственно; ю - угловая частота; к = Lq/Mq - коэффициент магнитной взаимной связи между проводниками.
Погонное сопротивление линии для синфазного тока носит индуктивный характер:
^сф = 0.5ю (L0 + M0 ) = 0. 5mL0 (1 + к) = (Z0ß/4) [(l + к)/(l - к)].
Таким образом, процесс протекания тока в нерегулярно включенной линии передачи описывается не двумя, а тремя параметрами: волновым сопротивлением Zq, постоянной
распространения ß и коэффициентом взаимной связи к. Первые два параметра характеризуют волновой процесс распространения противофазного тока, третий - стационарный процесс протекания синфазного тока по линии.
Отрезок линии передачи является четырехполюсником. Известно, что четырехполюсник любой сложности может быть замещен четырехполюсником, содержащим шесть независимых проводимостей. Если четырехполюсник (рис. 5, а) имеет вертикальную и горизонтальную оси симметрии, что характерно для отрезка линии передачи, то число независимых проводимостей сокращается до трех (рис. 5, б). Независимые проводимости для отрезка нерегулярно включенной линии передачи Yi, Y2, Y3 определяются следующими соотношениями [6]:
Y = -0.5Yq {tg (е/2)+ctg (е/2)+(2/е) [(к -1)/(к+1)]};
Y2 = -0.5Yq {tg (е/2) + ctg (е/2) - (2/е) [(к -ОДк +1)]}; (2)
Y3 = -0.5 Yq {tg (е/ 2) - ctg (е/ 2)+(2/ е) [(к - ОД к+1)]}, где 9 = ßl - электрическая длина отрезка линии длиной l.
Для нахождения матрицы передачи РКР рассмотрим сначала одну половину резонатора (см. рис. 2). Последовательно трансформируем рассматриваемую половину резонатора (рис. 6) в нерегулярно включенный полный четырехполюсник (рис. 7, а), который, в свою очередь, преобразуем в П-образный четырехполюсник (рис. 7, г).
Проводимости Y12, Y23, Y13 (рис. 7, б, в) являются результатом преобразования звезды Y1, Y2, Y3 в треугольник. Проводимости >1, У2, >3 (рис. 7, г) получаются в ре-
б
а
2>; Р
+—1—►
2>; Р
3 Б
Рис. 6
Рис. 5
[ а1] =
зультате сложения проводимостей у и 72, Уз и /23, /13 и соответственно. Используя
выражения (2) и выполнив топологические преобразования эквивалентных четырехполюсников, получим следующую матрицу передачи первой половины РКР:
1 - 1в2 Ф1 ] (1о/2)Ф1 [(1 + к)/(1 - к)] (1 - 1в2 Ф1) + ] (2 _7 ( 2/2о ) Ф1 1 - Ф1 [(1 + кУ(1 - к )] 18 Ф1
где ф! = 9^2 = (р/2) 1 = (р/4) аВ; а - угол разворота колец резонатора; В - средний диаметр кольца (для планарного РКР В = (В1 + + В2 + d2)/4 (см. рис. 1, а), для слоистого РКР В = (В1 + В2 )/2 (см. рис. 1, б)).
Поскольку вторая половина РКР представляет четырехполюсник, по структуре эквивалентный первой половине резонатора (см. рис. 2, б), но встречно включенный по сравнению с ней, то выражение для матрицы передачи второй половины РКР получается аналогично [5].
"Л11 Л12
Перемножив эти две матрицы, получим матрицу передачи [Л] -
21
22
= [ ][ «2 ] всего
разомкнутого кольцевого резонатора, из которой определим выражение для входной проводимости РКР с учетом режима холостого хода на свободном конце: Увх = Л21/ Лц.
Опустив промежуточные выкладки из-за их громоздкости, из условия равенства нулю входной проводимости резонатора Увх = 0 запишем уравнение для определения резонансных частот ю0 рассматриваемого РКР:
б У2
Рис. 7
I
б
а
У
У
а
У
в
г
tgíae D | + tg V 4
( 2п
a )£ D 4
P^\ + k í p^.
n-D-tg a-D Itg
4 1 - k v 4 1
( 2n
a)в D 4
= 0.
(3)
Выражение (3) устанавливает связь частоты резонатора с углом разворота колец а, средним диаметром колец (т. е. с их шириной w и с зазором s между кольцами), с диэлектрической проницаемостью s и с толщиной подложки t, т. е. с погонными параметрами линии передачи.
При угле разворота колец а = 180° входная проводимость резонатора и уравнение для определения резонансных частот записываются в более простом виде:
tg9 - ф [(1 + k )/(1 - k)] tgV_;
" ' (4)
*Вх = j 4^0
(1 - tg^) {1 - 2ф [(1 + k )/(1 - k)] tgф} - tg2ф' ф[(1 + k V(1 - k )] tgф = 1,
где ф - электрическии угол.
Таким образом, для нахождения резонансной частоты РКР требуется знание погонной емкости линии передачи, образующей резонатор, погонной собственной индуктивности одного кольца и взаимной индуктивности между кольцами.
Кроме частот, определяемых уравнением (4), РКР имеет резонансные частоты, соответствующие частотам обычного неразрезанного кольцевого резонатора:
Фо„ = п п/2, т. е. 2/ = иХ, п = 1, 2, ... . При угле разворота колец а = 0° РКР превращается в разомкнутый с двух сторон по-луволновый резонатор на отрезке планарной (см. рис. 1, а) или полосковой (см. рис. 1, б) двухпроводной линии длиной
Ь = 2/ = 0.5^0, (5)
где ^0 - резонансная длина волны отрезка полосковой линии с резонансной частотой ю0.
Отношение резонансных частот полуволнового резонатора Ю01 и РКР ю0 одинаковой длины получим из (4) и (5):
®0/ ®01 =п/ 4Ф0Ъ (6)
где Ф01 - корень уравнения (4).
Зависимость (6) от коэффициента магнитной связи между проводниками к приведена на рис. 8. Из него следует, что при одинаковых диаметрах колец резонансная частота РКР может быть почти в три раза меньшей, чем резонансная частота полуволнового резонатора.
Объяснение причин уменьшения резонансной частоты РКР по сравнению с полуволновым разомкнутым резонатором лежит в 3 |— / особенности распределения тока вдоль про-
водников РКР. Поскольку волновой процесс в нерегулярно включенной линии определяется противофазным током, то существование в резонаторе колебания с меньшей частотой (т. е. с большей резонансной длиной волны)
®01
0.1
0.3
0.5 Рис. 8
0.7
можно объяснить тем, что в сечениях разрыва колец нагрузкой для противофазного тока является индуктивность. В результате сопротивление потерь протекающего тока в РКР оказывается меньше, чем в разомкнутом резонаторе на планарных полосках. Сказанное относится и к резонатору со слоистым расположением колец, что также является причиной повышения добротности РКР по сравнению с резонаторами на отрезках регулярно включенных линий передачи.
Экспериментальное исследование РКР. Экспериментальное исследование проводилось в частотном диапазоне 1...3 ГГц с помощью панорамного измерителя КСВН по проходной схеме. Металлические кольца резонаторов изготавливались на поликоровой подложке толщиной 0.5.1.0 мм по тонкопленочной технологии.
В табл. 1 (для планарных РКР) и 2 (для слоистых РКР) приведены геометрические размеры резонаторов, а также расчетные и экспериментально измеренные значения резонансных частот РКР. При расчете резонансных частот для определения погонной емкости между кольцами в планарной конструкции резонатора использован метод парциальных емкостей системы воздух - диэлектрик, на границе раздела которой расположены планарные проводники, а для случая слоистого резонатора - метод нахождения погонной емкости между параллельными пластинами бесконечной длины, расположенными на диэлектрической подложке [9]. Погонные индуктивности одиночного проводника и взаимные индуктивности между проводниками рассчитывались с использованием справочных данных [10].
Таблица 1
£>1, мм w, мм 5, ММ /, мм /р, ГГц ./эксп, ГГц /р / /эксп
24 1.5 0.4 0.27 1 0.720 0.709 1.016
20 1.5 0.4 0.27 1 0.924 0.914 1.011
15 1 0.4 0.4 1 1.211 1.198 1.011
12 1 0.3 0.3 1 1.551 1.451 1.069
11 1 0.1 0.1 1 1.479 1.435 1.031
10 1 0.4 0.4 1 2.200 2.190 1.005
10 1 0.3 0.3 0.5 2.261 2.143 1.055
7 0.5 0.6 1.2 0.5 2.871 2.665 1.077
5 0.5 0.4 0.8 0.5 4.265 3.965 1.076
5 0.4 0.5 1.25 0.5 4.003 3.680 1.088
4 0.3 0.5 1.67 0.67 4.952 4.461 1.110
Экспериментально измеренные частоты резонатора /эксп во всех случаях оказались ниже расчетных /. Объяснение этому факту, видимо, следует искать в том, что при вычислении погонной емкости между кольцевыми электродами не учитывалась кривизна колец, что привело к повышению расчетной резонансной частоты РКР по сравнению с реальной. Частота РКР при а = 180° в 1.43 раза меньше, чем для резонатора при а = 0°, что хорошо согласуется с приведенной теорией.
Предложенное описание основных характеристик разрезанных кольцевых резонаторов с помощью общей теории нерегулярно включенных линий передачи позволило объяснить закономерности поведения резонансных частот РКР в зависимости от геометрических разме-
Таблица 2
£1, мм w, мм 5, ММ /р, ГГц /эксп, ГГц /р / /эксп
24 5 2 0.585 0.564 1.037
15 2.5 2 1.101 1.043 1.056
13 2.1 1 1.023 0.968 1.057
10 1.8 2 1.920 1.804 1.064
10 1.8 1 1.480 1.386 1.068
9 1.5 1 1.713 1.612 1.063
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 5======================================
ров резонаторов. Этот результат является весьма важным для правильного применения РКР в различных радиотехнических цепях микроволнового диапазона. Рассмотренные РКР могут найти применение в преселекторах, генераторах, полосно-пропускающих и заграждающих фильтрах, системах беспроводной связи как военного, так и гражданского назначения.
Список литературы
1. Розенбаум Л. Б., Гусев Г. С. Высокодобротные резонаторы из высокотемпературных сверхпроводников / Сверхпроводимость: физика, химия, техника. 1994. Т. 7, № 2. С. 385-393.
2. New type of planar resonators with high quality factor and their applications for mw pass band filters / V. N. Keis, A. B. Kozyrev, M. L. Khazov et al. Jerusalem: EuMC, 1997. Vol. 2. P. 792-795.
3. Miniaturized coplanar waveguide stop band filters used on multiple split ring resonators / F. Martin, F. Falcone, J. Bonache et al. // IEEE microwave and wireless components let. 2003. Vol. 13, № 12. P. 2572-2581.
4. A new LC series element for compact bandpass filter design / J. Martel, R. Marques, F. Falcone et al. // IEEE microwave and wireless components let. 2004. Vol. 14, № 5. P. 312-341.
5. Зелях Э. В. Схемы замещения и матрицы дважды симметричного 2*2-полюсника при разных схемах его включения // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25, № 2. С. 344-351.
6. Зелях Э. В. Схемы замещения обратимого 4*1-полюсника, симметричного относительно горизонтальной и вертикальной оси // Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26, № 8. С. 1697-1705.
7. Фельдштейн А. Л., Явич Л. Р., Брилон В. С. Матрицы некоторых ВЧ-трансформаторов // Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26, № 4. С. 870-874.
8. Вендик О. Г., Зубко С. П., Никольский М. А. Моделирование и расчет емкости планарного конденсатора, содержащего тонкие слои сегнетоэлектрика // ЖТФ. 1999. Т. 69. Вып. 4. С. 535-567.
9. Йоссель Я. А., Кочанов Э. С., Струнский М. Г. Расчет электрических емкостей. Л.: Энергия, 1970. 182 с.
10. Калантаров П. А., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей. Л.: Энергия, 1970. 376 с.
A. A. Golovkov, S. V. Keis
Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" Split ring resonators - theory and experiments
On the basis of the theory of irregularly switched of transmission line segments the new class of microwave cavities — split ring resonators with coaxial planar and parallel arrangement of rings is researched. The analytical formulas, relating resonance frequency of split ring resonators with width and diameter of rings, a gap between rings, thickness and permittivity of rings substrate, a rotation angle between rings are received. Sizes of split ring resonators can be more than twice less in comparison with resonators on segments of regularly switched transmission lines. The explanation of diminutiveness of probed resonators is studied.
Irregularly included transmission lines, microwave resonators, ring resonators
Статья поступила в редакцию 7 декабря 2010 г.
