Разрешимость задачи полноты автоматного базиса в зависимости от его булевой части Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 511

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ПОЛНОТЫ АВТОМАТНОГО БАЗИСА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЕГО БУЛЕВОЙ ЧАСТИ

Д. Н. Бабин1

Рассматривается проблема полноты систем автоматных функций вида Ф U v с операциями суперпозиции и обратной связи, где Ф Ç P2, множество v конечно. Решение этой задачи приводит к разделению решетки замкнутых классов Поста на сильные (наличие которых в исследуемой системе гарантирует разрешимость задачи полноты конечных базисов) и слабые (наличие которых в исследуемой системе этого не гарантирует). Оказалось, что классификации базисов по свойству полноты и свойству А-полноты совпадают. В данной статье описана эта классификация.

Ключевые слова: конечный автомат, суперпозиция, обратная связь, замкнутый калсс.

We consider the problem of completeness of systems of automaton functions with operations of superposition and feedback of the form Ф U v, where Ф Ç P2, v is finite. The solution of this problem leads to separation of the lattice of closed Post classes into strong ones (whose presence in the studied system guarantees the solvability of the completeness problem of finite bases) and weak ones (whose presence in the studied system does not guarantee this). It turns out that the classifications of bases by the properties of completeness and A-completeness coincide. The paper describes this classification.

Key words: finite automaton, superposition, feedback, closed class.

Введение. В работе Э. Поста 1921 г. [1] были получены фундаментальные результаты о строении решетки замкнутых классов булевых функций, которые в дальнейшем были методически переработаны и упрощены в книге С.В. Яблонского, Г.П. Гаврилова, В.Б. Кудрявцева "Функции алгебры логики и классы Поста" [2]. Основу результатов для функций из P2 составляет подход, опирающийся на понятие предполного класса. Множество этих предполных классов оказалось конечным, и из их описания вытекает алгоритмическая разрешимость задачи о полноте.

Для автоматных же функций, как показал В.Б. Кудрявцев, множество предполных классов имеет мощность континуума [3]. Более того, алгоритмически неразрешима задача о полноте для автоматных функций [4]. С другой стороны, в 1961 г. А.А. Летичевским [5] был получен алгоритм решения задачи о полноте для конечных систем автоматов, выдающих номер своего состояния (автоматы Медведева), при наличии в исследуемой системе всех булевых функций. В 1986 г. В.А. Буе-вич [6] доказал алгоритмическую разрешимость задачи А-полноты для конечных систем автоматов, содержащих все булевы функции. В 1992 г. автор установил [7], что существует алгоритм распознавания полноты при наличии в рассматриваемой системе автоматов всех булевых функций. Все это говорит о существенной роли булевых добавок при определении полноты автоматных функций.

В этой ситуации В.Б. Кудрявцев предложил использовать разрешимость автоматной полноты как инструмент для исследования базисов функций, а именно исследовать на полноту (A-полноту) системы вида Ф U v, где Ф — замкнутый класс функций из P2 (его конечный базис), а v — конечная система автоматных функций. Автором была построена классификация базисов в P2 по их способности гарантировать разрешимость полноты конечных систем автоматов. Оказалось, что класс является сильным точно тогда, когда в классе Ф содержится функция x ф y ф z либо функция xy U xz U yz [8]. Некоторые обобщения исследуемой задачи для Pk, k > 2, содержатся в [9].

Все обозначения взяты из [2, 10].

Определения и результаты. Пусть E2 = {0,1}, P2 — множество булевых функций вида g : ЕП ^ E2, E|° — множество всех сверхслов из нулей и единиц. Функция

f : (Е2°Г ^ (Е200)m,

1Бабин Дмитрий Николаевич — доктор физ. мат. наук, проф. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d.n.babin@mail.ru.

которая задается рекуррентными соотношениями

' qi(1) = q0i,

qs(1) = q0s,

qi(t + 1) = 0i(íi(í),..., ís(í), ai(t),..., an(t)), ...

qs(t + 1) = 0s(qi(t),..., qs(t), ai(t),..., an(t)), bi(t) = ^i(qi(t),..., qs(t), ai(t),..., an(t)),

, bm(t) = фm(qi(t),..., qs(t), ai(t),..., an(t)),

называется автоматной функцией (a-функцией).

Вектор q(t) = (qi (t),..., qs(t)) задает состояние a-функции f в момент t, (q0i,..., q0s) — ее начальное состояние, буквы a(t) = (ai(t), a2(t),..., an(t)) и b(t) = (bi(t), b2(t),..., bm(t)) — входная и выходная буквы в момент t, а a(1)a(2)... ,b(1)b(2)... — входное и выходное сверхслова соответственно. Вектор-функции ф = (0i,...,0s) и ф = (^i,...,^m) называются функцией переходов и выходной функцией соответственно, а шестерка (En, E|, Em, ф, ф, qo) — автоматом, порождающим функцию f.

Класс всех a-функций обозначим через P. В этом классе обычным образом введем операции суперпозиции и обратной связи для автоматных функций [10]. Автоматы, имеющие одинаковые автоматные функции, называются эквивалентными.

Пусть R С P, обозначим через [R] множество a-функций, эквивалентных получающимся из R с помощью операций суперпозиции и обратной связи. Класс автоматных функций R называется замкнутым, если R = [R]. Множество v называется полным, если [v] = P. Проблема полноты для P состоит в описании всех полных множеств v. Класс автоматных функций R называется пред-полным, если R С P и для любой автоматной функции f ^ R выполнено [{f} U R] = P.

Пусть т — натуральное число, f (xi,..., xn) — некоторая автоматная функция, fт : (ET)n ^ (ET )m — ограничение этой функции на множество слов длины т. Скажем, что a-функции f (xi,..., xn) и g(xi,...,xn) т-равны, если fт = gT. Обозначим через [v]т множество всех a-функций, т-равных получающимся из v с помощью операций суперпозиции и обратной связи, а через [v]a — множество П^i[v]т. Известно [6], что результат применения обратной связи т-равен т применениям суперпозиции. Множество v называется т-полным, если [v]т = P. Множество v называется A-полным, если [v^ = P при всех т. Проблема A-полноты для P состоит в описании всех A-полных множеств v. Очевидно, что полное множество v является A-полным.

Заметим, что для построения классификации (А-классификации) Поста нет необходимости исследовать все замкнутые классы булевых функций, достаточно найти верхние слабые классы и нижние сильные классы. Это вытекает из следующих утверждений.

Утверждение 1. Пусть Fi С F С P2. Если не существует алгоритма, по конечному множеству v С P решающего вопрос о полноте (А-полноте) множества F U v, то не существует и алгоритма, решающего вопрос о полноте (А-полноте) множества Fi U v.

Утверждение 2. Пусть Fi С P2, а F2 С P2 — двойственный к нему класс. Если не существует алгоритма, по конечному множеству v С P решающего вопрос о полноте (А-полноте) множества Fi U v, то не существует и алгоритма, решающего вопрос о полноте (А-полноте) множества F2 U v.

На рисунке белыми кружками показаны сильные классы, а черными — слабые. Выделены жирным шрифтом нижние сильные классы L4 = [x ф y ф z], D2 = xy U xz U yz и верхние слабые классы

F4 ' F8 ' S6 j P6 j O9. Имеет место

Теорема [8]. Проблема полноты (A-полноты) системы ФUv, Ф С P2, разрешима точно тогда, когда функция x ф y ф z € Ф либо функция xy U xz U yz € Ф.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logik // Ann. Math. Stud. 1941. 5.

2. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966.

3. Кудрявцев В.Б. О мощностях множеств предполных классов некоторых функциональных систем, связанных с автоматами // Докл. АН СССР. 1963. 151, № 3. 493-496.

4. Кратко М.И. Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания полноты для конечных автоматов // Докл. АН СССР. 1964. 155, № 1. 35-37.

5. Летичевский А.А. Условия полноты для конечных автоматов // Вычисл. матем. и матем. физ. 1961. 4, № 1. 702-710.

6. Буевич В.А. Условия A-полноты для автоматов. М.: Изд-во МГУ, 1986.

7. Бабин Д.Н. Разрешимый случай задачи о полноте автоматных функций // Дискретн. матем. 1992. 4, № 4. 41-56.

8. Бабин Д.Н. О классификации автоматных базисов Поста по разрешимости свойств полноты и А-полноты // Докл. РАН. 1999. 367, № 4. 439-441.

9. Бабин Д.Н. О классификации базисов в Pk по разрешимости проблемы полноты для автоматов // Фунд. и прикл. матем. 2010. 15, № 3. 33-47.

10. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

Поступила в редакцию 20.04.2018

УДК 511

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ О СРЕДНЕМ В.Н. Чубариков1

Найдены асимптотики для средних значений полных рациональных тригонометрических сумм по модулю, равному степени простого числа. Для многочленов от одной переменной эти асимптотики неулучшаемы по степени осреднения этих сумм.

Ключевые слова: аддитивная задача, асимптотика числа решений системы сравнений, особый ряд, показатель сходимости.

Asymptotics for mean value of complete rational trigonometric sums modulo a power of a prime number are obtained. For polynomials of one variable these asymptotics are not improvable in the degree of averaging of those sums.

Key words: additive problem, asymptotics for the number of solution to a system of comparisons, singular series, convergence exponent.

Метод И. М. Виноградова оценок тригонометрических сумм Г. Вейля в своей основе содержит теорему о среднем значении таких сумм [1-6]. Здесь мы рассмотрим подобную теорему о среднем

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubarik1@mech.math.msu.su.