Об одной теореме о среднем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Утверждение 1. Пусть F\ С F С P2. Если не существует алгоритма, по конечному множеству v С P решающего вопрос о полноте (А-полноте) множества F U v, то не существует и алгоритма, решающего вопрос о полноте (А-полноте) множества F\ U v.

Утверждение 2. Пусть F\ С P2, а F2 С P2 — двойственный к нему класс. Если не существует алгоритма, по конечному множеству v С P решающего вопрос о полноте (А-полноте) множества F\ U v, то не существует и алгоритма, решающего вопрос о полноте (А-полноте) множества F2 U v.

На рисунке белыми кружками показаны сильные классы, а черными — слабые. Выделены жирным шрифтом нижние сильные классы L4 = [x ф y ф z], D2 = xy U xz U yz и верхние слабые классы F4, F8, S6, Pß,Og.

Имеет место

Теорема [8]. Проблема полноты (A-полноты ) системы Ф U v, Ф С P2, разрешима точно тогда, когда функция x ф y ф z € Ф либо функция xy U xz U yz € Ф.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logik // Ann. Math. Stud. 1941. 5.

2. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966.

3. Кудрявцев В.Б. О мощностях множеств предполных классов некоторых функциональных систем, связанных с автоматами // Докл. АН СССР. 1963. 151, № 3. 493-496.

4. Кратко М.И. Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания полноты для конечных автоматов // Докл. АН СССР. 1964. 155, № 1. 35-37.

5. Летичевский А.А. Условия полноты для конечных автоматов // Вычисл. матем. и матем. физ. 1961. 4, № 1. 702-710.

6. Буевич В.А. Условия A-полноты для автоматов. М.: Изд-во МГУ, 1986.

7. Бабин Д.Н. Разрешимый случай задачи о полноте автоматных функций // Дискретн. матем. 1992. 4, № 4. 41-56.

8. Бабин Д.Н. О классификации автоматных базисов Поста по разрешимости свойств полноты и А-полноты // Докл. РАН. 1999. 367, № 4. 439-441.

9. Бабин Д.Н. О классификации базисов в Pk по разрешимости проблемы полноты для автоматов // Фунд. и прикл. матем. 2010. 15, № 3. 33-47.

10. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

Поступила в редакцию 20.04.2018

УДК 511

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ О СРЕДНЕМ В.Н. Чубариков1

Найдены асимптотики для средних значений полных рациональных тригонометрических сумм по модулю, равному степени простого числа. Для многочленов от одной переменной эти асимптотики неулучшаемы по степени осреднения этих сумм.

Ключевые слова: аддитивная задача, асимптотика числа решений системы сравнений, особый ряд, показатель сходимости.

Asymptotics for mean value of complete rational trigonometric sums modulo a power of a prime number are obtained. For polynomials of one variable these asymptotics are not improvable in the degree of averaging of those sums.

Key words: additive problem, asymptotics for the number of solution to a system of comparisons, singular series, convergence exponent.

Метод И. М. Виноградова оценок тригонометрических сумм Г. Вейля в своей основе содержит теорему о среднем значении таких сумм [1—6]. Здесь мы рассмотрим подобную теорему о среднем

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubarik1@mech.math.msu.su.

для полных рациональных тригонометрических сумм вида

(ж) Ml \ ^ ^ ^s^

ж=1 s=1

Тогда среднее среднее значение N(pm) имеет вид

S(pm;f(x)) = = = т"

pmn-1 pm1 -1

N (pm) = p—mn Е E ^ E |S (pm; f (x))|2k.

max(mn,...,mi}^m an=0 ai=0

(an ,p) = 1 (ai,p) = 1

Положим t = max{m1,..., mn}. Находим

m p4 —1 p4 —1

n (pm)=p—mnEE •••E

t=0 an=0 ai =0 (an ,...,ai ,p)=1

m a™ x + ... + a 1 x

2fc

P

2fcm—mn

m p4 —1 p4 —1 ...

t=0 an=0 ai=0 (an ,...,ai ,p)=1

tq i t. an%n + ...+aix P D \ P > ;

2fc

= pm(2k—n)CT(pm).

(1)

Запишем все рациональные коэффициенты многочлена в экспоненте суммы как дроби со знаменателем рт. Получим

pm—1 pm—1 N(pm)=p—1^ e ^ E

an =0 ai =0

'g(x) = E

s=1

что равно числу решении следующей системы сравнении:

Х1 + ... + xfc = y1 + + yfc (mod pm),

х™ + ... + хП = у™ + ... + уП (mod pm),

где неизвестные Х1,..., , у1,..., принимают значения из полной системы вычетов по модулю pm. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть n ^ 2, m — натуральные числа, p > n — простое число. Тогда при 2k >

n(n+1) I -I

—1 + 1 и m —> oo имеем

N (pm) = pm(2k—ra)(ap + O(mnp((m—1)/ra)(0'5ra(ra+1)+1—2k))),

где

p4—1 p4—1

ap = 1 + E A(p'), A(p') = E .. ^ Ip—W; (a™xn + ... + a1x)/p4)|

t\ |2fc

t=1

an=0 ai =0 (an ,...,ai,p)=1

S(p'; (a™xn + ... + a1x)/p') = E e

pn

2tu-

x=1

Доказательство. Так как ряд ap сходится при 2k >

ri(ri+l) 2

+ 1 и

A(pt) ^ n2fc(tp)™p((t—1)/™)(0,5n(n+1)+1—2fc)

(см. [4, с. 69]), то из формулы (1) имеем

N (pm) = pm(2k—raV(pm) = pm(2k—n)(ap + O(mnp((m—1)/ra)(0'5ra(ra+1)+1—2k))).

Теорема 1 доказана.

m

Утверждение следующей теоремы 2 основано на сходимости ряда а'р при 2k > s + r + ... + n (см. [3, с. 71, теорема 5]).

Теорема 2. Пусть 1 ^ s < r < ... < n,m — натуральные числа, количество чисел s,r,... ,n равно l, причем l < n, и пусть p > n — простое число, Ni(pm) — число решений системы сравнений

' x\ + ... + xsk = yS + ... + ysk (mod pm), x\ + ... + xk = y[ + ... + yk (mod pm),

хП + ... + xk = yn + ... + y'k (mod pm),

где неизвестные x1, . . . , xs, y1,... ,ys принимают значения из полной системы вычетов по модулю pm. Тогда при 2k > s + r + ... + n и m ^ то имеем

Nl(pm) = pm(2k-l)(a'p + O(mnp((m-1 )/n)(s+r+...+n—2k))),

pt- 1 pt- 1 pt- 1

a'p = 1 + Ё Ai(pf), A (p*) = Z ...^ Z Ip-^ (p*; anxn + ... + ar xr + asxs)|2k,

t=1 an=0 ar =0 as=0

(an,...,ar,as,p)=1

Pl

S(p"; (anxn + ... + arxr + asxs)/pt) = ^ e

x=1

Наконец, сформулируем теорему о среднем для полных кратных рациональных тригонометрических сумм вида

Р"

e p ,

X1 = 1 X1 = 1

ni nr

где F(x1,...,xr) = ... a(t1,...,tr)x11 ...xrr — многочлен с целыми коэффициентами,

tl =0 tr =0

a(0,..., 0) =0, причем все коэффициенты многочлена в совокупности просты с p. Количество коэффициентов многочлена F(x1,..., xr) равно m = (n1 + 1)... (nr + 1).

Среднее значение N (ps; r) этих сумм представляет собой число решений системы сравнений

2k

Y,(-1)jx1j ■■■xtrrj = 0 (mod ps) j=1

(0 ^ t1 ^ n1,..., 0 ^ tr ^ nr ,t1 + ... + tr ^ 1),

где неизвестные x1j ,...,xrj ,j = 1,..., 2k, принимают значения из полной системы вычетов по модулю ps.

Тогда N(ps; r) = ps(2kr-m+1)a(ps; r), где

p4—1

p4—1

a

-tr a I t F (x1, ■ ■ ■ , xr)

p s[p-,r;-,-

2k

(ps; r) = Z E ■■■ Z

t=0 a(n1.....nr)=0 a(0,...,1)=0

(a(ni.....nr ) ,...,a(0,..., 1) ,p) = 1

Положим n = max {n1,... ,nr}. Тогда при 2k > nm ряд ap(r) = lim a(ps; r) сходится (см. [3, с. 81, теорема 7]).

Теорема 3. При 2k > nm и s ^ справедлива асимптотическая формула

N(ps; r) = p2kr-m+1(ap(r) + o(1)),

где

a

p4—1 p4 -1 (r) = ...

t=0 a(ni.....nr)=0 a(0,...,1)=0

(a(ni ,...,nr ),...,a(0,...,1),p)=1

p-trs( t F(xh_12xIl pt

2k

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2019. № 1

57

Отметим, что теоремы 1 и 2 являются неулучшаемыми, поскольку границы для величины k — показатели сходимости соответствующих рядов op и ap, граница для величины k в теореме 3 является наилучшей на сегодняшний день, поскольку точного значения показателя сходимости ряда op(r) при r > 1 не найдено.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 16-01-00-071.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

2. Архипов Г.И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орлов. гос. ун-та, 2013.

3. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.

4. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter (de Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 39), 2004.

5. Чубариков В.Н. Кратные полные рациональные арифметические суммы от значений многочлена // Докл. РАН. 2018. 478, № 1. 22-24.

6. Архипова Л.Г., Чубариков В.Н. Показатель сходимости особого ряда одной многомерной проблемы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 5. 68-71.

Поступила в редакцию 20.06.2018

УДК 517.928 + 517.984

АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ПО СПЕКТРАЛЬНОМУ ПАРАМЕТРУ

В.Е. Владыкина1

Рассматривается уравнение Штурма-Лиувилля

— (r2y')' + py' + qy = А2р2у, x £ [a, b] С R,

где А2 — спектральный параметр, r и р — положительные функции, а p и q — комплекс-нозначные. Получено асимптотическое представление фундаментальной системы решений по параметру А ^ то в полуплоскостях Im А ^ const и Im А ^ const при следующих условиях на коэффициенты:

p £ Li[a,b], q £ W2-1[a,b], р, r £ W11[a,b], р'и, r'u,pu £ Li[a, b], где u = j qdx,

первообразная здесь понимается в смысле обобщенных функций.

Ключевые слова: уравнение Штурма-Лиувилля, асимптотики решений с большим параметром.

We consider the Sturm-Liouville equation

—(r2y')' + py' + qy = А2р2у, x £ [a, b] С R,

where А2 is a spectral parameter, r and р are positive functions while p and q are complex-valued ones. An asymptotic representation for the fundamental system of solutions with respect to the spectral parameter А ^ то is obtained in the half-planes Im А ^ const and Im А ^ const under the following conditions on the coefficients:

p £ Li[a, b], q £ W2-1[a, b], р, r £ W^a, b], р'и, r'u,pu £ Li[a, b], where и = j qdx,

and the antiderivative is understood in the sense of distributions.

1 Владыкина Вероника Евгеньевна — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: vika-chan@mail.ru.