Асимптотика фундаментальных решений уравнения штурма–Лиувилля по спектральному параметру Текст научной статьи по специальности «Математика»

Отметим, что теоремы 1 и 2 являются неулучшаемыми, поскольку границы для величины k — показатели сходимости соответствующих рядов ap и ст^, граница для величины k в теореме 3 является наилучшей на сегодняшний день, поскольку точного значения показателя сходимости ряда при r > 1 не найдено. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 16-01-00-071.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

2. Архипов Г.И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орлов. гос. ун-та, 2013.

3. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.

4. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter (de Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 39), 2004.

5. Чубариков В.Н. Кратные полные рациональные арифметические суммы от значений многочлена // Докл. РАН. 2018. 478, № 1. 22-24.

6. Архипова Л.Г., Чубариков В.Н. Показатель сходимости особого ряда одной многомерной проблемы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 5. 68-71.

Поступила в редакцию 20.06.2018

УДК 517.928 + 517.984

АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ПО СПЕКТРАЛЬНОМУ ПАРАМЕТРУ

В.Е. Владыкина1

Рассматривается уравнение Штурма-Лиувилля

— (r2y')' + py' + qy = A2p2y, x £ [a, b] С R,

где A2 — спектральный параметр, r и p — положительные функции, а p и q — комплекс-нозначные. Получено асимптотическое представление фундаментальной системы решений по параметру A ^ то в полуплоскостях Im A ^ const и Im A ^ const при следующих условиях на коэффициенты:

p £ Li[a,b], q £ W2-1[a, b], p, r £ W11[a,b], p'u,r'u,pu £ Li[a, b], где u = j qdx,

первообразная здесь понимается в смысле обобщенных функций.

Ключевые слова: уравнение Штурма-Лиувилля, асимптотики решений с большим параметром.

We consider the Sturm-Liouville equation

—(r2y')' + py' + qy = A2p2y, x £ [a, b] С R,

where A2 is a spectral parameter, r and p are positive functions while p and q are complex-valued ones. An asymptotic representation for the fundamental system of solutions with respect to the spectral parameter A ^ то is obtained in the half-planes Im A ^ const and Im A ^ const under the following conditions on the coefficients:

p £ Li[a, b], q £ W—^a, b], p, r £ W^a, b], p'u, r'u,pu £ Li[a, b], where и = j qdx,

and the antiderivative is understood in the sense of distributions.

1 Владыкина Вероника Евгеньевна — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: vika-chan@mail.ru.

Key words: Sturm-Liouville equation, asymptotics of solutions with large parameter. Рассмотрим уравнение Штурма-Лиувилля

—(r2y')' + py' + qy = A2p2y, x € [a, b] С R, (1)

где A2 — спектральный параметр, r и p — положительные функции, а p и q — комплекснозначные. Предположим, что

p € Li[a,b], q € W2-1[a,b], p, r € AC[a,b], (2)

а также

p'u, ru,pu € L1[a, b], где u = J qdx, (3)

первообразная здесь понимается в смысле обобщенных функций.

Представления для асимптотических решений дифференциальных уравнений с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами по спектральному параметру в секторах комплексной плоскости были получены впервые в работах Г.Д. Биркгофа [1, 2]. Впоследствии эти результаты обобщались. В работе А.М. Савчука и А.А. Шкаликова [3] впервые были получены аналогичные формулы для уравнения Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением q первого порядка сингулярности, таким, что его первообразная в смысле распределений u = J q dx лежит в пространстве L2[a, b]. Эти формулы были установленны в полосе | Im A| ^ r. В работе [4] удалось обобщить этот результат и получить асимптотические представления в полуплоскостях Im A ^ const и Im A ^ const для уравнения Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением q первого порядка сингулярности и абсолютно непрерывным весом p. Цель данной заметки — ослабить условия на коэффициенты (1). Кроме того, в [4] рассматривался только случай r = 1.

Настоящая работа является дополнением к статье [4], обозначения из которой мы будем использовать. С подробным списком литературы по теме заметки также можно ознакомиться в [4].

Основная теорема. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям (2) и (3). Тогда Vs > 0 фундаментальные решения задачи (1) представимы в виде

уф, А) = -L ехр Q jT £ ± *А jT (1 + Ых, А)) • (4)

Здесь функции аналитические в полуплоскости П+ = {A € C| Im A ^ — s} при |A| > R и

|<£+ (x, A) | + (x, A)| = o(1) при |A| ^ то, A € П+,

'равномерно по x € [a, b]. Асимптотики (4) можно почленно дифференцировать, если вместо производной рассматривать квазипроизводную

уЩ = у' — Ых)-у, где h = — dx.

r rp

А именно

У11\х, А) = ехр Q jT J ± i\ J* ^ (1 + грф, А)), (5)

где функции ф± обладают тем же свойством, что и функции . Утверждение теоремы сохраняется, если вместо полуплоскости П+ рассматривать полуплоскость П_ = {A € C| Im A ^ s}.

В случае r = 1,p € L2 [a, b] утверждение теоремы доказано в работе [4]. Наша цель — доказать эту теорему в более общих предположениях.

Доказательство. Проведем формальные преобразования уравнения. Имеем

—r2y'' — 2rr'y' + py' + qy = A2p2y,

Используя стандартную замену

г =

РЮ г(£)

(6)

получим

-у;;+

ь

\ г р г гр/ р2 У

рШ г(е)

(7)

Рассмотрим функцию

а(г) = /

Р2№

где первообразная берется по переменной г в смысле теории распределений. Заметим, что а € Ь2[0,Л]. Действительно, по условию (2) имеем и = / д(ж) € Ь2[а, Ь]. Тогда

и

гР/1

и \ г гр)х р

их

гр

игх

г2р

иРх

гр2 / Р Р

г

9

2

игх

гр2

рхи

Р3'

(8)

Функция и/рг € ^[а, Ь], поскольку является произведением функции из ¿2 и ограниченной измеримой функции. В силу замены (6) имеем и/рг € .¿2[0,Л], поэтому левая часть последнего равенства принадлежит Ж-^0, Л]. Так как рХи, г^и € ^ [0,Л] по условию (3), то

+ ^ еЬг^Щ сИ^О,/*]. гр2 р3 2

Отсюда следует, что д/р2 € Ж2-1[0,Л], а значит, а € .¿2[0, Л]. Введем квазипроизводную

и перепишем уравнение (7) в виде

У[1] = у' - ау

(9)

г/г р г гр / \ \ г р г гр/ '

Обозначим

/ = — Г—V • — — 2— + —,

\г/; р г гр

5 =

г/г р г гр,

Очевидно, что / € ¿1[0,Л,]. Покажем, что 5 € ¿1[0,Л,]. Это следует из условий (2), (3). Единственное, что остается проверить, — утверждение

г/ г

—а, - • -а € Ьь

г г р

Для доказательства этого факта достаточно показать, что р£а € ¿1[0, Л,] и г[а € ^[0, Л]. Действительно, аналогично (8) имеем

Р^ = Р* / ^ = / + / = ^ + /

гр

^ж.

(11)

В силу (3) и (6) первое слагаемое в правой части (11) лежит в ^[0, Л], это же справедливо и для второго слагаемого, поскольку оно представимо как произведение функции из ^[0, Л] и функции из ЭДг11[0, Л] = АС[0, Л]. Аналогично получим, что г[а € ¿1[0,Л]. Следовательно, д € ¿1[0,Л]. Уравнения (9) и (10) эквивалентны системе уравнений

у .,[1]

Л

Д1]

где Л =

а

-А2 + д/-

а

X

1

Здесь коэффициенты /,д € ^ [0; € [0; Л,]. Повторяя дальнейшие рассуждения из работы [4], проведем метод вариации постоянной, выберем константы и сделаем замену

(у« = Со',Ш • * = * (12)

В результате получим систему уравнений для новых функций:

Э=0 +А (::)+в (:;ь <«,

Здесь

t

z2J ~ 2 J \а + ¡л,'1 g f -a) \z2(0 J

0

RW_! Г ( e-W-V {a-g) - <т)\ fZl(0\ rlp

b\z2) 2 J {-e-^-O(a-^g) - a) ) U(0/

Перепишим уравнение (13) в виде

3 = (1 (0 + r( *)• т = (1-л>-4>.

То есть

Здесь

¡0 = Ш + Ц Tk Ш + (1 - T)" Ш ■ (£) = (1 - A)-1 ( 1 )■ <">

(i-^"I(0 = uw)+o(""I)- (15)

, e 2

Тогда, действуя, как в [4], получим

= (eS)) (1 + °(1)) ПРИ И ^ Re/X ^ (16)

Вернемся к исходной переменной:

? / ?

2 2.) \ \г{х(1))) I р{х{1)) р гр) 2 г 2 .] гр х

о о

? ?

1 1 Р 1 I Р Р 7 1 7 Р 7 1 ! Р 7 = —т--тгН— / —• — ах = —т--тг + - / -^ах.

2 г 2 у гр г 2 г 2 у г2

оо

Тогда с помощью (12)—(16) мы получим представления (4) и (5) для решения Повторяя рассуждения, получим аналогичное представление для решения у_.

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда РНФ, № 17-11-01215.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solution of certain linear differential equations containing parameter // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. 9, N 2. 219-231.

2. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problem of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. 9, N 4. 373-395.

3. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. Моск. матем. о-ва. 2003. 64. 159-212.

4. Shkalikov A.A., Vladykina V.E. Asymptotics of the solutions of the Sturm-Liouville equation with singular coefficients // Math. Notes. 2015. 99, N 5. 891-899.

Поступила в редакцию 22.06.2018

УДК 531.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СПОСОБА УКЛАДКИ СЛОЕВ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ПЛЕТЕНИЯ

НА ЗАЩИТНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОСЛОЙНОЙ ТКАНЕВОЙ ПРЕГРАДЫ

А. П. Беляев1

Исследуется влияние типа плетения тканых композитов на характер низкоскоростного (до 350 м/с) пробивания многослойных пакетов ткани из арамидных волокон. Учитываются геометрические особенности полотняного и саржевого плетения; при этом принимаются во внимание экспериментальные данные, согласно которым нити основы и утка могут иметь различные упругие и предельные свойства. При моделировании учитываются также существенные различия в параметрах межслойного трения для тканей различных типов плетения. На основе натурных экспериментов по пробиванию четырех- и десяти-слойных тканых пакетов верифицированы модели пробивания полотна и исследованы задачи пробивания для комбинированных преград с различным взаимным расположением тканей полотняного и саржевого плетения 3/3. Показано, что некоторые способы укладки с чередованием слоев указанных плетений способствуют улучшению защитных свойств многослойной тканевой преграды.

Ключевые слова: тканые композиты, арамидные нити, межслойное трение, тип плетения, трансверсальное сжатие, поперечные упругие модули.

The work is devoted to the investigation of the influence of the weaving type in woven composites on the results of low-speed (up to 350 m/s) penetration for multi-layer woven barriers of aramid fibers. The geometric features of plain and twill types of weaving are modelled in details. According to the obtained experimental data, the elastic properties and strength limits for the warp and weft threads can be different. These experimental results are also taken into account in modelling as well as the significant differences in the interlayer friction parameters for fabrics of different weaving types. The computer models for the penetration of plain fabrics were verified on the basis of the fulfilled full-scale experiments on the penetration of four- and ten-layer woven barriers. The penetration problems for combined obstacles with different mutual arrangement of plain and twill 3/3 fabrics were investigated. It is shown that some methods of packing, assuming alternation of layers of plain and twill 3/3 weave improve the protective properties of the multilayered fabric barrier.

Key words: woven fabrics, aramid yarns, interface friction, weaving pattern, transversal compression, transversal elastic moduli.

Введение. Защитные преграды из композиционных материалов широко используются как в средствах индивидуальной защиты, так и в корпусных элементах авиационной техники. Такие преграды, как правило, представляют собой многослойный пакет, включающий слои арамидной ткани с различными типами плетения и укладки.

Выбор материалов слоев тканых преград, их толщин и взаимного расположения является нетривиальной оптимизационной задачей, требующей не только натурных испытаний, но и разработки

1 Беляев Антон Павлович — асп. каф. теории пластичности мех.-мат. ф-та МГУ; инженер лаб. 206 НИИ механики МГУ, e-mail: Belyaev.anton.pav@gmail.com.