Задача о полноте S-множеств детерминированных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

57

УДК 519.719

ЗАДАЧА О ПОЛНОТЕ Б-МНОЖЕСТВ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ

В. А. Буевич, М. А. Подколзина

Одной из важных проблем, рассматриваемых в математической кибернетике, является проблема полноты для функциональных систем. Функциональная система представляет собой множество функций и множество операций над этими функциями. Проблема полноты для функциональных систем состоит в описании всех таких подмножеств функций, используя которые с помощью операций функциональной системы можно выразить все принадлежащие ей функции.

Классическими примерами функциональных систем служат к-значные логики, с одной стороны, и функциональные системы автоматных функций — с другой. Отличительной чертой этих функциональных систем является возможность с их помощью аппроксимировать функции, принадлежащие произвольным функциональным системам: к-значные логики за счет увеличения числа к аппроксимируют логики любой значности, а функциональные системы автоматных функций с конечной памятью и ограниченным временем вычислений могут аппроксимировать все последовательностью функциональные системы [1].

Кроме того, аппроксимационный подход к изучению функциональных систем дискретных функций обладает еще одной важной особенностью. Он позволяет аппроксимировать операцию обратной связи через операцию суперпозиции. Таким образом, с аппроксимационной точки зрения изучение функциональных систем дискретных функций сводится к изучению двух центральных моделей — к-значных логик с операциями суперпозиции и функциональных систем автоматных функций с конечной памятью, ограниченным временем вычислений и также с операциями суперпозиции. Тем самым эти две модели являются ключевыми в теории функциональных систем дискретных функций.

Для функциональной системы Рк (для к-значных логик) основная проблема в теории функциональных систем — проблема полноты — была решена. Усилиями многих авторов (Е. Пост, С. В. Яблонский, А. В. Кузнецов, А. И. Мальцев, Ло-Чжу-Кай, И. Розенберг и др.) были последовательно в явном виде построены все предполные классы в Рк, образующие минимальную критериальную систему для распознавания полноты систем функций к-значных логик. Важно отметить, что для явного задания множества предполных классов в Рк был использован аппарат сохранения функциями к-значных логих отношений. Именно на этом пути И. Розенбергом было проведено завершающее построение множества всех предпол-ных классов в к-значных логиках [2].

В данной работе проблема полноты рассматривается для любых к > 2 и т > 1 в функциональной системе Р'Т, элементами которой являются детерминированные функции, определенные на словах длины т, составленных из букв алфавита Ек = {0,1,...,к - 1}. Заметим, что каждая такая функция может быть "вычислена" конечным автоматом за первые т тактов его работы.

Пусть М С РТ. Замыкание множества М относительно этой операции обозначим [М].

Определение. Пусть к > 2, т > 1, М С РТ. Множество М называется полным в РТ, если [М] = РТ.

Известно [3-5], что критерий полноты в РТ может быть сформулирован в терминах предполных в РТ классов. В [3] с использованием аппарата сохранения отношений для любого к > 2 описаны все предполные классы в РТ при т = 1, т.е. в Рк, а в [4] с ипользованием того же аппарата описаны все предполные в РТ классы для любых к > 2, т > 1.

Определение. Пусть к > 2, т > 1. Пусть /(х1,...,хп) € РТ. Детерминированную функцию (д.ф.) /(х1,... ,хп) назовем S-функцией, если в любом состоянии вычисляющего ее автомата реализуется функция к-значной логики, не выпускающая ни одного значения из множества Е .

Пусть М С РТ. Множество М назовем S-множеством, если любая д.ф. из М является S-функцией.

Определение. Пусть к > 2, т > 1. S-множество N С РТ называется S-предполным классом в РТ, если N не является полным в РТ, но для любой S-функции / € N замыкание множества Nи{/} совпадает

с РТ.

S-предполные классы в РТ, так же как и предполные классы в РТ, могут быть описаны с использованием аппарата сохранения отношений. Для всякого к > 2 при т = 1 множество всех S-предполных классов описано в [5]. Интерес представляет аналогичное описание для любых к > 2, т > 1.

Определение. Пусть к > 2, т > 1. Пусть I € {1,... ,т}, Н > 1, Е\(Н) = Екк х ... х Екк. Произвольное

н

непустое подмножество Я С Ек(Н) называется отношением, заданным на Екк, а число Н — арностью этого отношения.

58

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

Определение. Пусть к > 2, т > 1, Ь € {1,...,т}, Н > 1. Д.ф. /(х},...,хп) из Р£ сохраняет отношение п с Е (Н), если для любой совокупности (а},..., а..., (аП,..., а'П) элементов из П набор (/(а},..., аП),..., /(а\,..., а'П)) также принадлежит П. Множество М С сохраняет отношение П, если каждая д.ф. из М сохраняет это отношение.

Множество всех д.ф., сохраняющих некоторое отношение П, обозначим через и(П).

Рассмотрим шесть семейств отношений — семейства 2(к,т), В(к,т), N(к,т), I(к,т), Ь(к,т) и V(к,т).

Семейство 2(к,т) = 0 для любых к > 2,т > 1. Унарное отношение П принадлежит семейству 2(к,т) тогда и только тогда, когда П С Ет для некоторого Ь < т, причем при т > 2,Ь > 2 имеет место следующее: для любого а € Е|-1, а = (а(1),... ,а(Ь — 1)), существуют а(Ь) € Ек,а'(Ь) € Ек, такие, что а(Ь) = а'(Ь), (а(1),... , а(Ь — 1), а(Ь)) принадлежит, а (а(1),... , а(Ь — 1), а1 (Ь)) не принадлежит П.

Семейство В(к,т) = 0 для любых к > 3,т > 1. Бинарное отношение П принадлежит семейству В(к,т) тогда и только тогда, когда П С Е£(2) для некоторого 1 < Ь < т, П является определенным на Е£ отношением эквивалентности, причем имеет место следующее. Существует принадлежащий П набор (а}, а2), такой, что а}(1) = а2(1),... , а}(Ь—1) = а2(Ь—1). Кроме того, для любого а € Е£ существует элемент а' € Е£, такой, что а(Ь) = а'(Ь), набор (а, а') не принадлежит П и а(1) = а'(1),..., а(Ь — 1) = а'(Ь — 1) при т > 2,Ь > 2.

Семейство N(к,т) = 0 для любых к > 2,т > 1. Бинарное отношение П принадлежит семейству N(к,т) тогда и только тогда, когда П С Е£(2) для некоторого 1 < Ь < т, существует определенная на Е^ подстановка а я, которая разлагается в произведение циклов одинаковой простой длины р > 2 и график которой совпадает с П, причем если т > 2,Ь > 2 и набор (а},а2) принадлежит П, то а}(1) = а2(1),... ,а}(Ь — 1) = а2(Ь — 1). Таким образом, для любого (а, ая(а)) € П а € Е£ и а2 = ая(а}) для всякого набора (а},а2) из П.

Пусть к > 2,т > 1. Пусть £ — множество всех подстановок (перестановок), определенных на Ек. Пусть Ь € {1,...,т} и Ф£ — совокупность отображений множества Е£ в £, такая, что р(а) = р(а') при Ь = 1 для любых р € Ф£,а € Ек, а' € Ек, а р(а) = р(а') при т > 2,Ь > 2 для любых р € Ф£,а € Е£, а' € Е£, если а(1) = а1 (1),..., а(Ь — 1) = а'(Ь — 1). Подстановку, которую отображение р € ставит в соответствие элементу а € Е£, обозначим через а^(а).

Семейство I(к,т) = 0 для любых к > 5,т > 1. Пусть Н > 5,т > 1,к = Нт. Бинарное отношение П принадлежит подсемейству 1^(к,т) семейства отношений I(к,т), если для некоторых 1 < Ь < т, р € Ф£ имеет место следующее: П С Е£(2), набор (а}, а2) принадлежит П тогда и только тогда, когда для любого г (1 < г < т) 1-е компоненты чисел а^(а1 )(а}(Ь)),а^(а1 )(а2(Ь)) при разложении их по степеням числа Н различны, причем а}(1) = а2(1),... , а}(Ь — 1) = а2(Ь — 1) при т > 2,Ь > 2. Семейство отношений I(к,т) есть объединение семейств ^(к^), взятое по всем Н > 5, таким, что Нт = к,т > 1.

Пусть к = рт, где р — простое число, р > 2,т > 1. Пусть С = (Ек, — произвольная элементарная абелева р-группа. В каждой такой группе всякий ненулевой элемент имеет порядок р. Пусть т > 1.

Семейство В(к,т) = 0 для любого т > 1, если к = рт, где р — простое число, р > 2,т > 1. Отношение П, арность которого равна четырем, принадлежит семейству Ь(к,т), если для некоторых Ь (1 < Ь < т), р € Ф£ имеет место следующее: П С Е£(4), набор (а}, а2, аз, а4) принадлежит П тогда и только тогда, когда а^)(а}(Ь)) ф а^(а1)(а2(Ь)) = а^(а1)(аз(Ь)) Ф а^(а1 )(а4(Ь)), причем а}(1) = а2(1) = аз(1) = а4(1),... ,а}(Ь — 1) = а2(Ь — 1) = а3(Ь — 1) = а4(Ь — 1) при т > 2, Ь > 2.

Заметим, что семейства отношений 2(к,т),В(к,т),N(k,т)^(к,т) и Ь(к,т) совпадают с семействами отношений, с помощью которых в [2] описываются все S-предполные классы в к-значных логиках.

Семейство V(к,т) = 0 для любых к > 2,т > 2. Бинарное отношение П принадлежит семейству V(к,т), если для некоторых Ь < т, р € Ф£ имеет место следующее: П С Е£(2), набор (а},а2) принадлежит П тогда и только тогда, когда либо а}(Ь — 1) = а2(Ь — 1), а}(Ь) = а2(Ь), либо а}(Ь — 1) = а2(Ь — 1) и существует элемент а € Ек, такой, что а} (Ь) = а^(а1) (а), а2 (Ь) = а^(а2)(а), причем а}(1) = а2 (1),. ..,а}(Ь — 2) = а2(Ь — 2) при т > 3, Ь > 3.

Пусть к > 2,т > 1, Ш(к,т) — объединение семейств 2(к,т), В(к,т), N(к,т), I(к,т), Ь(к,т) и V(к,т).

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть к > 2,т > 1. Произвольное S-множество ММ С является полным тогда и только тогда, когда М не сохраняет ни одного отношения П из Ш(к,т).

Теорема 2. Пусть к > 2,т > 1. Пусть N — произвольный S-предполный класс в . Тогда существует отношение П € Ш(к,т), такое, что N = 5(и(П)).

Теорема 3. Ь Пусть к > 2,т > 1. Пусть П € Ш (к,т). Тогда множество Б (и (П)) образует, S-предполный класс в .

Теорема 4. Пусть к > 2,т > 1. Имеют место следующие утверждения.

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №5

59

1) Пусть R е W(k,T),R' е W(k,T) \ N(k,T),R = R'. Тогда S(U(R)) = S(U(R')).

2) Пусть R е N(k,T), R' е N(k,T). Тогда равенсто S(U(R)) = S(U(R')) равносильно тому, что одна из подстановок ur и ur , графики которых образуют отношения R и R' соответственно, является степенью другой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

2. Rosenberg Y. La structure des fonctions de plusieure variables sur un ensemble fini // C.r. Acad. sci. Paris. 1965. 3817-3819.

3. Кудрявцев В.Б. О свойствах S-систем функций k-значной логики // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1973. 9, N 1-2. 8-105.

4. Буевич В.А., Подколзина М.А. Критерий полноты S-множеств детерминированных функций // Матем. вопросы кибернетики. Вып. 16. М.: Наука, Физматлит, 2007. 191-239.

5. Буевич В.А. О T-полноте в классе детерминированных функций // Докл. РАН. 1992. 326, № 3. 399-403.

Поступила в редакцию 22.02.2008

УДК 511.3

О ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК В СФЕРЕ Л. Г. Архипова

Одной из важных проблем аналитической теории чисел является задача оценки остатка в асимптотической формуле для величины T(а), выражающей количество целых точек, лежащих внутри шара радиуса а при а ^ то. Функцию T(а) можно рассматривать как число решений диофантова уравнения вида x2 + y2 + z2 < а2. Здесь неизвестные x,y,z принимают целые значения и параметр а > 0 равен радиусу шара.

Асимптотическая формула для величины T(а) записывается в виде

4 о Т(а) = -тта + R,

3

где остаток R = R(o,) является некоторой функцией от а, имеющей меньший порядок роста, чем главный член, при а ^ то. Задача оценки порядка функции R(o,) носит название проблемы шара. Ее история начинается с работ И. М. Виноградова, опубликованных в 30-х гг. прошлого века. Если же учитывать тесную связь данной задачи с поставленной К. Гауссом проблемой нахождения асимптотики среднего значения числа классов чисто коренных форм, то начало исследований в данном направлении следует отнести к работе Липшица и Мертенса, опубликованной еще в 1865 г.

В 1963 г. И. М. Виноградов в [1] получил оценку вида R = аз (In а)6, которая оставалась наилучшей вплоть до работы Ф. Чамизо и Х. Иванца [2], опубликованной в 1995 г. В данной работе была получена новая оценка остатка R вида R <С аг+е, где ö = Щ и е > 0 сколь угодно мало. Несколько позднее Д. Р. Хпс-Браун получил оценку того же типа, но со значением ö = Щ. Целью настоящей статьи является доказательство следующей теоремы.

Теорема. В принятых выше обозначениях справедлива оценка

, N 1Г I ,

R(a) < а и+е.

Другими словами, значение 5 = Щ, полученное Ф. Чамизо и X. Иванцом, а также значение 5 = , найденное Д.Р. Хис-Брауном, улучшается здесь до значения 5 = Следует заметить, что легко построить возрастающую последовательность чисел а, таких, что а2 является натуральным числом