О ЧИСЛЕ S-ПРЕДПОЛНЫХ КЛАССОВ В ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ PτK Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. № 1

61

Краткие сообщения

УДК 519.719

О ЧИСЛЕ Б-ПРЕДПОЛНЫХ КЛАССОВ ИОНАЛЬНОЙ СИ

М. А. Подколзина

В ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ РТ

Пусть к ^ 2, т ^ 1 и РТ — функциональная система, элементами которой являются детерминированные функции, определенные на словах длины т, составленных из букв алфавита Ек = {0,1,... ,к — 1}, а операциями — операции суперпозиции. Заметим, что каждая функция из РТ может быть "вычислена" конечным автоматом за первые т тактов его работы. Пусть М С РТ и [М] — замыкание множества М относительно операции суперпозиции. Множество М С РТ называется полным в РТ, если [М] = РТ. Существуют конечные системы, полные в РТ. Поэтому критерий полноты в РТ может быть сформулирован в терминах предполных в РТ классов, число которых конечно и которые образуют минимальную критериальную систему для распознавания полноты множеств функций из РТ [1—4]. Множество N называется предполным в РТ классом, если [ЭД] = РТ, но для любой функции ф N [ЭД и {/}] = РТ. С использованием аппарата сохранения отношений множество всех предполных в РТ классов описано в [5]. Однако это описание оказалось довольно сложным. В связи с этим в [1, 2] рассматривалась задача о полноте в РТ так называемых S-множеств, состоящих только из S-функций — детерминированных функций, вычисляемых конечными автоматами, в каждом состоянии которых реализуется функция к-значной логики, принимающая все к значений. По аналогии с общим случаем в [3-5] вводится понятие S-предполного в РТ класса и показано, что произвольное S-множество является полным в РТ тогда и только тогда, когда оно целиком не содержится ни в одном из S-предполных в РТ классов. В [1, 2] для любых к ^ 2, т ^ 1 представлено описание всех S-предполных в РТ классов. Оказалось, что совокупность отношений, классы сохранения которых совпадают с S-предполными, распадается на шесть семейств: 2(к,т), 0(к,т), N(к,т), I(к,т), Ь(к,т) и V(к,т). Семейство 2(к,т) состоит из унарных отношений; отношения, принадлежащие семействам 0(к,т), N(к,т), I(к,т) и V(к,т), бинарны, а отношения, принадлежащие семейству Ь(к,т), имеют арность, равную четырем. Заметим, что каждый б'-предполный в РТ класс является в то же время одним из предполных классов в РТ, однако описание б'-предполных классов значительно проще, чем описание всех предполных классов в РТ, полученное в [4]. В данной работе представлена асимптотика р(к,т) числа S-предполных в РТ классов при фиксированном к ^ 2 и при т, стремящемся к бесконечности. Из теорем 1-4, доказанных в [1, 2], следует, что разные S-предполные классы являются классами сохранения разных отношений из объединения семейств 2(к,т), 0(к,т), N(к,т), I(к,т), Ь(к,т) и V(к,т). Поэтому задача об оценке числа р(к, т) сводится к оценке числа отношений, принадлежащих этим семействам.

Пусть pz(к,т), ро(к,т), рм(к,т), р1 (к,т), рь(к,т), ру(к,т) — числа попарно неизоморфных отношений в семействах 2(к,т), В(к,т), N(к,т), I(к,т), Ь(к,т), V(к,т) соответственно. Нетрудно видеть, что

ТТ

рz (к,т) = ^(2к — 2)* г-1,рп (к,т) = £(Ф(к) — 1)к-1 — т, г=1 г=1

где Ф(к) — число всех нетривиальных разбиений множества Ек при к ^ 3.

Пусть к = РП1 Рп2 ... РП3, где р1,...,р3 — простые числа. Тогда

рм (к,т ) = ЕЕ(^ (к))к —

г=1

где Qpi (к) — число подстановок, которые определены на множестве Ек и которые разлагаются в произведение циклов одинаковой простой длины Рг, причем никакая из этих подстановок не является степенью другой.

Пусть к ^ 5, к = (р1,... ,рг)т, р — число попарно не совпадающих делителей числа т, включая само это число. Тогда

Т

р1 (к, т)= р£(к!)к 1-1. г=1

62

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. № 1

Из определения семейств Ь(к, т) и V(к, т) следует, что если к = рт, к ^ 5, р — простое число, то

т

Рь(к,т ) = ^(к!)к

т

\кг-1

t=l

а если k ^ 2, то

т

pv (к,т ) = J2(k\f-1. t=i

Легко показать, что при т —> œ и к ^ 5

~,к п\кт-1 „ /и /ifs/ ил 1\кт-1

PZ(к,т) - (2к - 2)к -l,pD(к,т) - (Ф(к) - 1)

s

PN(к,т) - ^(QPi(к))кТ-1,P!(к,т) - р(к!)

кт-1 „ /,„ „пл\кт-1

Qpi (к))

i=l

кт — 1 „ П„ п„\\кт-1

рь(к, т) - (к!)к -1,PV(к, т) - (к!)к

Известно [4], что если к ^ 5, то 2к — 2 < к !, Ф(к) — 1 < к !, Qpi < к !, поэтому при к ^ 5

имеем

р(к,т) - (р + 2)(к!)к .

Как отмечено в [3], для любых Яг £ Ь(3,1), Я2 £ Ь(3,1), Яз £ Ь(4,1), Я4 £ Ь(4,1) справедливы равенства Б(и (Яг)) = Б(и (Я2)), Б (и (Яз)) = Б (и (Я4)). Таким образом, имеет место Теорема. Пусть т —► то. Тогда

р(2,т) - 3 • 22Т_1, р(3, т) - 3 • 63Т_1, р(4,т) - 244Т,

а если к ^ 5, то р(к, т) — (р + 2)(к!)кТ .

Для сравнения заметим, что в общем случае [6] при к = 2 число р(2,т) предполных классов в Рк асимптотически равно

22^-3+(!1о§2С+!)2- + 1

1

где с является пределом при т —► оо сходящейся последовательности (7(т))зт, такой, что 7(0) = 16

9

7(т + 1) = 72(т) — А. С точностью до седьмого знака с = 2,1716917....

4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Буевич В.А., Подколзина М.А. О полноте S-множеств детерминированных функций // Тез. докл. 9-го Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения". М., 2007

2. Буевич В.А., Подколзина М.А. Критерий полноты S-множеств детерминированных функций // Математические вопросы кибернетики. Вып. 16. М.: Наука, Физматлит, 2007. 191-238.

3. Кудрявцев В.Б. О свойствах S-систем функций к-значной логики // Elektron. Informationsverarb. und Kybern. 1973. 9, N 1/2. 8-105.

4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1980.

5. Буевич В.А. О т- полноте в классе детерминированных функций // Докл. РАН. 1992. 326, № 3. 399-403.

6. Буевич В.А. Условия А-полноты для конечных автоматов. Ч. 2. М.: Изд-во МГУ, 1987.

Поступила в редакцию 22.02.2008