CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 2 Физико-математические пауки 2009
УДК 519.716.5
О НЕКОТОРЫХ ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ САМОДВОЙСТВЕННЫХ ЧАСТИЧНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
В. Б. Алексеев
Аннотация
Пусть Я - класс полностью определенных функций от любого числа переменных, определенных и принимающих значения в множестве Ек = {0,1,,к — 1} и самодвойственных относительно заданной подстановки на Ек , и иусть Я* - множество всех частично определенных к-значт1х функций, доопределимых до функций из Я. В работе для случая, когда подстановка распадается в произведение циклов одинаковой длины, описаны все замкнутые (относительно суперпозиции) классы, содержащие Я и содержащиеся в Я*.
к
класс, самодвойственная функция.
В статье рассматриваются функции от любого числа переменных, заданные на множестве Ек = {0,1,..., к — 1} и принимающие значения в этом же множестве (такие функции называют к-значными функциями). Пусть Р/~ - множество всех к
суперпозиции, а Р* — множество всех к-значных частично определенных функций с операцией суперпозиции (имеется в виду, что Рк С Р*). В статье рассматриваются некоторые классы в Р*, замкнутые относительно суперпозиции, и строится фрагмент решетки замкнутых классов в Р* , связанных с понятием самодвойствен-ности.
Введем основные понятия. Через Е^ мы обозначаем множество всех наборов а = («1, длины п с элементами из Ек. Тот факт, что функция
f (ж1,..., хп) из Р* те определена на н аборе « = (а1,...,а„), мы будем записывать в виде f («) = *. Если для функции /(х1?..., хп) из Р* существует функция #(х1,..., хп-1) из Р,* такая, что для любого набора « = («]_,..., ап) выполняется равенство f (а1?..., ап) = #(«1,..., ап-1) (если одна часть равна *, то и другая равна *), то перемен пая хп называется фиктивной переменной функции / (х1,..., хп), и говорят, что функция ^(х1, ...,хп_1) получается из / (х1,..., хп) изъятием фиктивной пер еменной хп, а функция f (х1,...,хп) получается из д(х1,..., хп_1) добавлением фиктивной иеременной хп. Аналогично определяется фиктивность любой переменной.
Значение формулы /(^1(ж),..., #т(х)) па некотором наборе определяется обычным образом с дополнительным условием: если значение хотя бы одной функции на этом наборе равно *, то значение всей формулы также равно *.
В дальнейшем мы будем рассматривать только классы функций, содержащие тождественную функцию /(х) = х (так называемые клоны). В этом случае под операцией суперпозиции можно понимать многократное применение следующих операций: произвольное переименование переменных, включая отождествление:
добавление; или изъятие фиктивных переменных у любой имеющейся функции: подстановку нескольких имеющихся функций от одних н тех же переменных вместо всех переменных любой имеющейся функции. Проблемы выразимости одних функций через другие тесно связаны с понятием замкнутого класса.
Определение. Класс функций называется замкнутым, если при применении операции суперпозиции к любым функциям из этого класса получаются снова функции из этого же класса.
Все замкнутые классы в Р2 описаны Постом - их счетное число. Известно, что замкнутых классов в Р^ континуум для всех k > 3, а в Р* - континуум для всех k > 2. Однако некоторые фрагменты решетки замкнутых классов удается описать. Р
содержатся только в одном другом замкнутом классе - Pk). В Рк* все предполные классы для k = 2 описаны Р.В. Фрейвалдом [1], для k = 3 - Б.А. Ромовым [2], для произвольного k - Ло Чжукаем [3]. Предполных классов в Р^ конечное число при k
k
ций является замкнутым классом в Р*.Известно, что класс Pk всех всюду опреде-k
из Р*, а именно: он содержится в замкну том классе Рк U {*}, где {*} - множество всех нигде не определенных функций от любого числа переменных, который, в свою очередь, содержится только в замкнутом классе Р^.
Определение. Пусть f€ Р*. Областью определенности функции f (х1,..., xn) будем называть множество наборов D(f) = {a|f (а) = *}. Пусть f (х1;..., xn) € Р^ и #(х1?..., xn) € Рк . Будем говорить, что g является доопреде-ff
В работе [4] были рассмотрены некоторые фрагменты решетки замкнутых классов в Р2*, а именно замкнутые классы, содержащие какой-либо из 5 предполных классов алгебры логики. Установлено, что для каждого из предполных классов алгебры логики, кроме класса линейных функций, существует ровно 9 замкнутых классов из Р2*, содержащих данный класс (включая его самого), а между классом полностью определенных булевых линейных функций и классом функций из Р2*, дооиределимых до линейных, имеется континуум замкнутых классов. Расшире-
Р2
Р2 Р
В. Strauch, D. Lau, L. Haddad, I. Rosenberg. Изложение этих результатов можно найти в монографии D. Lau [5].
В настоящей работе рассматривается алгебра Рь* ив ней изучается фрагмент F (S, S*) решетки замкнутых классов между классом S всех полностью определен-k
S* Р * S
Определение. Пусть а - произвольная подстановка на множестве = = {0,1,..., k — 1}. Функция f (x1,...,xn) из Рк называется самодвойственной относительно подстановки а, если f(a(x1),...,a(xn)) = a(f (х1,..., xn)). В дальнейшем, если х = (х1,..., xn), то через а(х) будем обозначать набор (а(х1),... ,а(х„)).
Sk
а S*
Р * S S
Ниже мы полностью опишем фрагмент F(S, S*), состоящий из всех замкнутых классов в Р* , лежащих между классами S и S*, при некоторых ограничениях на а
В работе [6] этот фрагмент был полностью описан (без доказательств) для случая подстановки х + 1 (mod k). В частности, оказывается, что число классов в
k
более общие подстановки, а именно любые подстановки, распадающиеся на циклы одинаковой длины то. Оказывается, что фрагмент F(S, S*) при этом опять остается конечным, а его структура зависит только от длины циклов, на которые распадается подстановка, и не зависит от числа циклов (в работе [7] рассмотрен то
то
F(S, S*)).
Докажем сначала два общих утверждения о замкнутых классах в Р* .
Лемма 1. Пусть G С Рк, G - замкнутый класс и G* множество всех функций из Р*, доопределимых до функций из G. Тогда G* - замкнутый класс в
Р*
Р
Доказательство. 1) Пусть f (x1,...,xn) € G*. Тогда для f существует доопределение f 7(хь..., х„) € G. Пусть функции g(yb ..., y„) и g7(yb ..., y„) получены из f и f7 одним и тем же переименованием переменных. Тогда g7 является доопределением функции g, и g7 € G в силу замкнутости класса G. Отсюда g € € G*, то есть G* замкнуто относительно переименования переменных.
2) Пусть f (х1,... ,xn) € G* и xn - фиктивная переменная функции f. Пусть функция g(x1,..., xn-1) получается из f изъятием х„. Поскольку xn - фиктивная переменная функции f, то существует ее доопределение f7(x1,...,xn) € G, в котором переменная xn - фиктивная. Пусть функция g7(x1?... , xn-1) получается из f 7(х1,..., xn) изъятием х„. Тогда g7 является доопределением функции g, и g7 € G в силу замкнутости класса G. Отсюда g € G*, то есть G* замкнуто относительно изъятия фиктивной переменной. Аналогично доказывается замкнутость G* относительно добавления фиктивных переменных.
3) Пусть h(X) = f (g1(x),... , gm(X)), где все gj € G* и f (yb ... ,ym) € G* . Тогда в G существуют функции f 7(y1?..., ym) € G, gj(x) € G, j = 1,..., то, являющиеся доопределением функций f (y ]_,..., ym), gj (x),j = 1, ...,то. При этом функция h7(x) = f 7(g7(x),..., gm(x)) является доопределением функции h и лежит в G в силу замкнутости G. Следовательно, h € G*. Получаем, что класс G* замкнут относительно суперпозиции.
Лемма доказана. □
G С Р G G
у>(х) = х. Пусть G* - класс всех функц ий из Р*, доопределимых до фун кций из G, G С B С G* и B - замкнутый класс. Тогда если f (х1;..., xn) € B, h(x1,..., xn) € € G*, D(h) = D(f), mo h € B (здесь D(h) и D(f) - области определенности hf
Доказательство. По условию в G содержится функция p(x1 ,х2) = х1. Так как h(x1,...,xn) € G*, то существует функция h7(x1?..., xn) € G, являющаяся доопределением функции h. Рассмотрим функцию h77(x1 ,...,xn) = = p(h7 (х1,..., xn), f (x1,..., xn)). Так как p € B h7 € B, f € B и B - замкнутый класс, то h77 € B. При этом D(h77) = D(f) = D(h) и на этой области определенности h77 совпадавт с h7, а значит, и с h. Следовательно, h77(x1,..., xn) = h(x1?..., xn) и h £ В. Лемма доказана. □
Таким образом, если О - замкнутый класс в , то для описания любого замкнутого класса В между О и О* достаточно указать все возможные области определенности у функций из В.
Пусть к = т • д и зафиксирована некоторая подстановка а на множестве Е = = {0,1,..., к — 1}, которая распадается в произведение д независимых циклов длины т. Очевидно, что ат — тождественная подстановка и а® не является тождественной подстановкой при 0 < г < т. Пусть Б - множество всех полностью к
а, и Б * — множество всех функ ций из Р* , дооиределимых до фун кций из Б. Из-Бт Б является предполным в [8].
Ниже мы полностью опишем фрагмент Р(Б, Б*), состоящий из всех замкнутых классов в Р*, лежащих между классами Б и Б *, для подстановок указанного выше типа.
Определение. Пусть М - произвольное непустое семейство подмножеств из множества Рт = {0,1,..., т — 1} (в М может входить и пустое подмножество). М
рованной выше подстановки а, распадающейся в прозведение д циклов длины т), если для любого подмножества {г 1, г2,..., гя} € М и любого мем {*! + г2 + + ^’,..., гя + .?} € М (сложение по модулю т).
Определение. Пусть / (ж1,...,ж„) € Б *. Тогда чер ез М/ обозначим семейство подмножеств из множества Рт = {0,1,..., т — 1}, удовлетворяющее двум условиям:
1) для любого набора а = (а1?..., ап) множество {г|г € Рт, /(а®(а)) = = /(а®(а1), . .. ,а®(ап)) = *} принадлежит М/;
2) для любого подмножества А из М/ существует набор а = (а1?..., ап) такой, что множество {г|г € Рт, /(а®(а1), . .., а®(ап)) = *} = А.
Если в п. 2) мы вместо набора а = (а1?..., ап) возьмем набор а5' (а) = = (а5(а1),..., а5(ап)), то вместо подмножества А = {г1? г2,..., гя} получим подмножество А — {^’} = {г1 — г2 — ^’,..., гя — ^’} (вычитание по модулю т). Следовательно, М/ — циклически инвариантно.
М
множества Рт = {0,1,..., т — 1} (в М может входить и пустое подмножество). Тогда через и(М) обозначим множество всех функций /(ж1?... ,ж„) из Б* таких, что М/ С М.
Так как М/ циклически инвариантно, то имеет смысл рассматривать толь-
М М1 С М2
и(М1) с и(М2).
Пусть Р (Б, Б*) - множество всех замкнутых клас сов между Б и Б * . Основной результат настоящей статьи следующая теорема.
Теорема. При любом к для любой подстановки а на Р^, распадающейся в
т
чек), фрагмент Р(Б, Б*) содержит конечное число замкнутых классов и все эти классы взаимно однозначно (с точностью до порядка ашгаемых) представляются в виде и (М1) и и (М2)и- • •ии (Мя), где М1; М2,..., Мя - семейства подмножеств из Рт, удовлетворяющие условиям:
1) каждое М® циклически инвариантно и вместе с любыми двумя подмножествами содержит и их объединение;
2) ни одно М® не содержится в другом М5-;
5) ровно для одного г выполняется 0 € М®;
4) Уг,.? 34 УА, В : (А € М®, В € М5 А и В € М4).
Доказательство теоремы мы разобьем на ряд лемм.
Лемма 3. -Если набор семейств подмножеств М1,М2,...,МЯ удовлетворяет условию 4), то для любых г1, г2,..., гр существует 4 такое, что для любых подмножеств А1, А2,..., Ар из Рт выполняется импликация:
А1 € М®1, А2 € М®2, . . ., Ар € М®р =^ А1 и А2 и • • • и Ар € М^.
Доказательство. Проведем индукцию по р. При р =1 утверждение очевидно. При р = 2 утверждение совпадает с условием 4) и выполняется по условию леммы. Пусть утверждение выполняется при р = ц, докажем, что тогда оно выполняется и при р = ц + 1. Рассмотрим произвольные индексы *1, *2, - -., гд+1 ■ По предположению индукции существует 41 такое, что для любых подмножеств А1, А2,..., Ад из Рт выполняется импликация:
А1 € М®1, А2 € М®2,..., Ад € М®? =^ А1 и А2 и • • • и Ад € Ме1 - (1)
По условию 4) для пары 41, ц + 1 существует индекс 42 такой, что выполняется импликация:
А € Мп, В € М®?+1 =^ А и В € М^2. (2)
Из (1) и (2) получаем, что для любых подмножеств А1, А2, ..., Ад+1 из Рт выполняется импликация:
А1 € М®1, - - - , Ад € М®ч , Ад+1 € М®,+ 1 =^ А1 и • • • и Ад и Ад+1 € М42 -
Следовательно, утверждение леммы выполняется и при р = ц + 1, и лемма доказана. □
Лемма 4. Пусть набор семейств подмножеств М1,М2,---,М8 ш Рт удовлетворяет условиям 1) и 4). Тогда класс и(М1) и и(М2) и • • • и и(Мя) зам,кнут относительно суперпозиции.
Доказательство. Пусть функция /(х1, - - -, жп) € и(М1)ии(М2)и • •ии(М8).
Тогда существует такое, что / (ж1,---,ж„) € и (М^ ), то ес ть М/ С М5-. Если функция д получается из / переименованием переменных без отождествления, то, очевидно, Мд = М/. Если д получается из / переименованием переменных с отождествлением, то Мд С М/. В любом случае Мд С М^ и д € и(М^). Пусть д(ж1, - - -, жп_1) получается из / изъятием фиктивной переменной жп. Пусть а = (а1,---, ап) - произвольный набор и 3 = (а1, - - -, ап-1). Тогда д(а®(/?)) = = /(а®(а)) и {г|г € Рт, /(а®(а)) = *} = {г|г € Рт,д(аг(/3)) = *}. Следовательно, Мд = М/ и д € и (М^). Аналогично показывает ся, что и (М5-) замкнуто относительно добавления фиктивных переменных.
Пусть теперь ^(ж) = / (д^ж), - - -, др(ж)), где вс е д5- € и (М1) и и (М2) и ••• и
и(М8) и /(у1, - - -, ур) € и(М1) и и(М2) и • • • и и(Мя). Это означает, что для всех ^ существует М®з. такое, что Мд С М^., и для / существует М; такое, что М/ С М;. По лемме 3 существует М4 такое, что выполняется импликация:
А1 € М®1, - - -, Ар € М®р, Ар+1 € М; =^ А1 и • • • и Ар и Ар+1 € Ме- (3)
Докажем, что тогда ^(ж) € и(М4). Рассмотрим произвольный набор а = = (а1, - - -, ап). Так как все д5- € Б* (по определению множеств и(М)), то для
каждой функции д? существует доопределение д?, лежащее в классе Б. Пусть д? (а) = в? при всех ]. Тогда д? (а®(а)) = а® (в?) при всех ] и г. Поэтому
р ^
{г|г € £т,Н(а®(а)) = *} = У {г|г € Ет, д? (а®(а)) = *} € Ет,/(а®(/5)) = *}.
?=1
Из импликации (3) следует, что это множество содержится в семействе М. Получаем, что М^ С М4, откуда, то оиределению, Н € и (М4). Таким образом, класс и(М1) и и(М2) и • • • и и(Мя) замкнут относительно суперпозиции. Лемма доказа-
Успленпем леммы 2 для О = Б являются следующие леммы.
Лемма 5. Если В - замкнутый класс, Б С В С Б* и /(ж1;... ,ж„) € В, то и(М,) С В.
Доказательство. Пусть ^(у1,...,у8) € и (М/ ). Все наборов из
Е можно разбить на кя/т непересекающихся групп по т наборов вида {/?;, а(/?;), а2(/?;),..., ат—1 (/5г)} зафиксировав кя/т наборов /3;. Построим функции д1(у1,..., уя),..., дп(У1,..., Уя) по следующему правилу. Рассмотрим один из фиксированных выше наборов 5; • Пусть для него {г|г € Ет, Н(а®(5;)) = *} = = А Так как /г(у 1,..., ) € и(М/), то А € М/, п, следовательно, существует
набор а = (а1,...,ап) € такой, что {г|г € Ет,/(а®(а)) = *} = А. Положим дг (а® (в3;)) = а®(аг) при вс ех г и г. Анадогично определим все дг для всех наборов 3; . Тогда в се дг € Б. При этом
/(д1(а®(/?;)), .. .,д„(а®(Д))) = /(а®(аД . .. ,а®(а„)) = * Н(а®(Д)) = *.
то есть области определенности функций /(д1(у1,..., уя),..., дп(у1,..., уя)) и Н(у1,..., ) совпадают. Так как все дг € Б С В, / € В и В - замкнутый класс,
то /(д1(у1,..., у8),..., дп(у1,..., уя)) € В. Тогда по лемме 2 и Н € В. Лемма доказана. □
Определение. Через М/ будем обозначать семейство всех подмножеств из Ет, каждое го которых является объединением нескольких подмножеств из М/ (замыкание М/ относительно объединения). Так как М/ С М/, то и(М/) С
С и (М/).
Лемма 6. Ео/ш В - замкнутый класс, Б С В С Б* и /(ж1;... ,ж„) € В, то и(М/) С В.
Доказательство. Пусть Н(у1;... ,уя) € и (М / ). Пусть наб оры /?; зафиксированы как в предыдущей лемме. По условию для каждого 5; имеем: {г|Н(а®(5;)) = = *} = А1 и А2 • • • и , где все А? € М/. Выбрав максимальное £ по всем 3;, будем считать, что £ для всех 5; одинаково - для этого достаточно продублировать некоторые А?.
Определим функции д?(у1?..., уя), ] = 1, 2,..., £. Рассмотрим один из фиксированных выше наборов 3;. Положим {г|д?(а® (5;)) = *} = А? и д? (у1,...,уя) = У1 та остальных наборах а® (5;). Так поступим для каждого /;. Тогда каждая функция д? € и(М/) и, следовательно, д? € В по лемме 5. Функция р(ж1,...,ж„) = х1 € Б и, следовательно, р € В. Так как В - замкнутый
класс, то р(д1(у1,... ,у8),.. .^дДуь ... ,у8)) € В и для любого /5; имеем {г|г € € Ет,р(д1(а®(3)),... ,д4(а®(/?;))) = *} = А1 и А2 • • • и А4, то есть области определенности функций р{д\{у\, ...,у3),...,д^у1,...,у3)) и 1г(у1, ...,у3) совпадают. Тогда по лемме 2 и 1г £ В. Лемма доказана. □
Лемма 7. Если В - замкнутый класс, Б С В С Б*, то В = и и(М/).
/ ев
Доказательство. Так как / € и(М/),то В С у и(М/). Обратное включе-
/е-в
пне вытекает из леммы 6. □
Лемма 8. Пусть М - семейство подмножеств из Ет и пусть М циклически инвариантно. Тогда существует функция / € и(М) такая, что М/ = М.
М А1 , . . . , Ар
бое п так, чтобы к”/т > р, и определим функцию /(ж1?... ,ж„) следующим образом. Пусть все к” наборов из Е” распадаются на к”/т непересекающпхся групп по т наборов {5д,а(5д ),а2(ад),..., ат-1(ад)}, д = 1, 2, ...,к”/т. Для каждого 5д, д = 1, 2,... , р положим {г|/(аг (ад)) = *} = Ад. На всех оставшихся наборах положим /(Ж1,...,Ж”) = Х1. Тогда / € Б* и М/ = М (мы учли циклическую инвариантность М). При этом по определению / £ II(М). □
Лемма 9. Если В - замкнутый класс, Б С В С Б*, то существует конечное число семейств подмножеств М1;..., Мя из Ет, удовлетворяющих условиям 1),
2), 4) теоремы, для которых В = и(М1) и • • • и и(Мя).
Доказательство. Так как все М/ в лемме 7 - семейства подмножеств множества Ет = {0,1,...,т — 1} и т фиксировано, то среди них есть лишь конечное число различных семейств подмножеств М1,..., М^. При этом В = = и(М1) и • • • и и(М^). № определеппя и(М) очевидно, что если М® С М?, то и(М®) С и(М?). Пусть М1,..., Мя - те семейства подмножеств среди М1,..., М^, которые не содержатся в других семействах подмножеств из этого списка. Тогда В = и(М1) и • • • и и(Мя). При этом семейства подмпожеств М1,..., Мя удовлетворяют условию 2) теоремы. Так как для каждого М? существует функция / € В С С Б*, для которой М? = М/, то каждое М? удовлетворяет условию 1) теоремы, поскольку М/ циклически инвариантно, а М/ является смыканием М/ относительно объединения подмножеств. Осталось показать, что семейства подмножеств М1,..., Мя удовлетворяют условию 4) теоремы.
Рассмотрим произвольные М® и М?. Так как М® и М? циклически инвариантны, то по лемме 8 существуют функции /(ж1,...,жп) € и(М®) и д(у1?...,у;) € € и (М?) такие, ч то М/ = М® и Мд = М?. При эт ом / € В и д € € В. Пусть р(х1 , х2) = х1. Рассмотрим функцию Н(ж1? . .., у1? . .., у;) = = р(/(х1,..., X”), д(у1?... , у;)) • Так как р € Б С В и В - замкнутый класс, то Н € В = и(М1) и • • • и и(М8). Следовательно, найдется £ такое, что Н € и(М4), то есть М^ С М4. Пусть А € М®, В € М?. Тогда существуют наборы а = = (аь.„,а”) € Е” и 3 = (/1,..., /;) ^€ Е; такие, что {г|/(аг(5)) = *} = А и {г|д(аг(3)) = *} = В Тогда {г|Н(аг(а, 5)) = *} = {г|Н(аг(а), аг(в)) = *} = А и В. Отсюда А и В € М^ С М4, и условие 4) теоремы выполняется. Лемма полностью доказана. □
Доказательство теоремы, а) Пусть выполняются условия 1) 4) теоремы. Тогда по лемме 4 класс и(М1) и • • • и и(Мя) замкнут. По определению, и(М) С С Б* для любо го М. Поэтому и (М1) и • • • и и (Мя) С Б *. Для любой функции
f (ж1,... ,xn) G S имеем Mf = {0}. Поэтому если 0 G M, то S С U(M). Тогда из условия 3) вытекает, что S С U(M1) U • • • U U(Ms), то есть U(M1) U • • • U U(Ms) -замкнутый класс, принадлежащий фрагменту F(S, S*).
б) Пусть B - произвольный замкнутый класс, принадлежащий фрагменту F(S, S*). Тогда то лемме 9 B можно представить в виде B = U(Mi) U • • • U U(Ms), где Mi, M2,..., Ms удовлетворяют условиям 1), 2), 4) теоремы. Покажем, что тогда выполняется и условие 3). Так как B принадлежит фрагменту F(S, S*), то S С B. Пусть f - любая функция из S. Тогда Mf = {0}. Так как f G B, то существует i такое, что f G U(M®), то есть Mf С Mi и 0 G M®. Допустим, что существуют два семейства подмножеств Mi и Mj такие, что 0 G Mi и 0 G Mj. Тогда для них существует Mt, удовлетворяющее условию 4). При этом для любых A G Mi, B G Mj выполняется: AU0 = A G Mt и 0UB = B G Mt. Отсюда Mj С Mt, Mj С Mt.^a i = t = j по условию 2). Следовательно, условие 3) выполняется, то есть выполняются все условия 1) 4).
в) Докажем единственность представления. Пусть одни и тот же замкнутый класс B имеет два представления B = U(M1) U • • • U U(Ms) = U(Mi) U • • • U U(M/), где каждый из наборов семейств подмножеств Mi, M2,..., Ms и Mi, M2,..., M/
M1
условию 1), то по лемме 8 получаем, что существует функция f G U(Mi) такая, что Mf = Mi. При этом f G B, и, следовательно, существует j такое, что f G U(Mj). Это означает, что Mf С Mj, то есть Mi С Mj. Аналогично получаем, что существует q такое, что Mj С Mg, откуда Mi С Mq. Тогда то условию 2) имеем q = 1 и Mi С Mj С Mi, то есть Mj = Mi. Таким образом, для любого семейства подмножеств из одного набора найдется совпадающее с ним семейство подмножеств из второго набора и наоборот, то есть наборы семейств подмножеств Mi, M2,..., Ms и Mi, M2,..., M/ совпадают (с точностью до порядка подмножеств).
Теорема полностью доказана. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты X- 09-01-00701 и 07-01-00154).
Summary
V.B. Alekseev. Он Some Closed Classes of Self-dual Partial Many-valued Functions.
Let S be a class of fully defined functions of any number of variables that are defined and take values in the set Ek = {0,1,... ,k — 1} and та self-dual under given permutation on Ek ■ Let S* be the set of all partially defined k-valued functions that can be extended to functions SS in S* are described for the case when permutation is the product of non-intersecting cycles of the same length.
k
Литература
1. Фрейвалд P.В. Критерий полноты для частичных функций алгебры логики и многозначной логики // Докл. АН СССР. 1966. Т. 167. С. 1249 1250.
2. Ромов Б.А. О максимальных подалгебрах алгебры частичных функций многозначной логики // Кибернетика. 1980. Т. 1. С. 28 35.
3. Lu Czukai. The completeness theory of partial many-valued logic functions // Acta Math. Sinica. 1984. V. 27. P. 676 683 (па кит. яз.). = Jlo Чж.укай. Теория полноты для частичных функций многозначной логики // Киберпет. сб. М.: Мир. 1988. Вып. 25. С. 142 161.]
4. Алексеев В.Б., Вороненко А,А, О некоторых замкнутых классах в частичной двузначной логике // Дискр. матем. 1994. Т. 6, Вып. 4. С. 58 79.
5. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. A basic course on many-valued logic and clone
theory. Springer. 2006. 668 c.
6. Алексеев В.Б. О некоторых замкнутых классах частичных многозначных самодвойственных функций // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. 15 меж-дупар. копф. / Под ред. Ю.И. Журавлева. Казань: Отечество. 2008. С. 5.
7. Haddad L., Lau D., Rosenberg I.G. Intervals of partial clones containing maximal clones // J. Automata, Language and Combinatorics. 2006. V. 11, No 4. P. 399 421.
k
им. В.А. Стеклова. 1958. Т. 51. С. 5 142.
Поступила в редакцию 16.02.09
Алексеев Валерий Борисович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой математической кибернетики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Е-шаП: уЬа1еЫеелвгатЫег. ги
