CC BY
30
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 156, кн. 3 Физико-математические науки
2014
УДК 519.716
О ПОРОЖДАЮЩИХ СИСТЕМАХ В КЛАССАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
О.С. Дудакова
Аннотация
Рассмотрена задача о конечной порожденности предполных классов монотонных функций к-значной логики. Для семейства всех частично упорядоченных множеств с наименьшим и наибольшим элементами таких, что для любых двух элементов x и у существует sup(x,y) или inf(x,y), установлено, что соответствующие классы монотонных функций являются конечно-порожденными.
Ключевые слова: функции многозначной логики, замкнутые классы, предполные классы монотонных функций в Pk .
Известно, что все предполные классы функций к-значной логики, за исключением классов монотонных функций, являются конечно-порожденными, кроме того, при к < 7 все предполные классы монотонных функций к-значной логики также являются конечно-порожденными [1, 2], а начиная с к = 8 существуют предполные классы монотонных функций, не имеющие конечного базиса [3] (см. также [2]); полного описания конечно-порожденных предполных классов монотонных функций к настоящему времени не получено. В ряде работ (см., например, [4-7]) приводятся различные достаточные и необходимые условия конечной порожденности классов монотонных функций. В работах автора [8-11] получен критерий конечной порожденности для предполных классов функций, монотонных относительно частично упорядоченных множеств ширины 2, а также условия существования конечных порождающих систем специального вида для ряда других семейств классов монотонных функций. В работе [12] изучены свойства подклассов предполных классов функций, монотонных относительно множеств ширины 2.
В настоящей работе продолжены исследования в этом направлении. Найдено семейство частично упорядоченных множеств таких, что соответствующие предполные классы монотонных функций к -значной логики являются конечно-порожденными.
Пусть Д - частичный порядок на множестве Ek = {1,2,..., к}. Положим P = (Ek, Д). Будем рассматривать только такие частично упорядоченные множества, которые имеют наименьший и наибольший элементы. Через Мр будем обозначать класс всех монотонных функций над множеством P (отметим, что при указанных ограничениях на структуру частичного порядка класс Мр является предполным [13]).
Функцию А(хо, xi,..., xk) будем называть функцией выбора1, если для каждого набора (i,ai,... ,ak) € Pk+1 выполняется равенство
А(i, a1, . . . , ak) ai. (1)
1 Функция выбора является обобщением мультиплексорных булевых функций (см., например, [14, гл. 10]).
49
50
О.С. ДУДАКОВА
Легко видеть, что если замкнутый класс функций к-значной логики содержит все константы 1, 2,... ,к и функцию выбора, то он является конечно-порожденным. Отметим также, что если P - частично упорядоченное множество, содержащее хотя бы одну пару сравнимых элементов, то A(xo, xi,..., xk) £ Mp .
Положим
P\ = {(a, bi,..., bk) e Pk+i | если i ^ j, то bi ^ bj }.
Легко видеть, что функция А монотонна на множестве P\. Назовем монотонной функцией выбора функцию v (xo,xi,... ,xk) из Mp, совпадающую на множестве P\ с функцией A(xo,xi,... ,xk). Нетрудно показать, что если класс Mp содержит монотонную функцию выбора, то он является конечно-порожденным.
Пусть ai и a2 - элементы множества P, не сравнимые относительно частичного порядка ^. Элемент b e P называется верхней гранью элементов ai и a2, если выполняется неравенство ai, a2 ^ b. Верхняя грань b элементов ai и a2 называется минимальной верхней гранью этих элементов, если не существует такой верхней грани c элементов ai и a2, что c = b и c ^ b. Верхняя грань b элементов ai и a2 называется точной верхней гранью этих элементов (sup(ai, a2)), если для любой верхней грани c элементов ai и a2 выполняется неравенство b ^ c. Аналогичным образом определяется нижняя, максимальная нижняя и точная нижняя грани элементов ai и a2 (точная нижняя грань обозначается через inf(ai, a2)). Через IPI будем обозначать число элементов множества P. Положим wp =max JJ|, где максимум берется по всем антицепям J множества P; величину wp будем называть шириной множества P. Положим hp = max II|, где максимум берется по всем цепям I множества P; величину hp будем называть высотой множества P.
Рассмотрим семейство Si частично упорядоченных множеств:
Si - семейство, состоящее из всех множеств P с наименьшим и наибольшим элементами таких, что для любых двух элементов a,b e P в P существует по крайней мере один из элементов sup(a, b) и inf(a, b).
Основным результатом настоящей работы является следующая
Теорема 1. Если P e Si, то в классе Mp содержится монотонная функция выбора.
Для доказательства теоремы 1 введем ряд определений и докажем несколько вспомогательных утверждений (леммы 1-4).
Частично упорядоченному множеству P можно сопоставить два ориентированных графа. Граф G(P): вершинам графа соответствуют элементы множества P и для каждой пары u, v вершин графа ориентированное ребро (u, v) существует тогда и только тогда, когда для соответствующих элементов множества выполняется неравенство и У v и не существует элемента z такого, что u У z У v. Граф G(P) (транзитивное замыкание графа G(P) ): вершинам графа также соответствуют элементы множества P и для каждой пары u, v вершин графа ориентированное ребро (u, v) существует тогда и только тогда, когда для соответствующих элементов множества выполняется неравенство и У v.
Рассмотрим произвольное частично упорядоченное множество Q с частичным порядком <. Пусть Q! С Q, f' - монотонное отображение Q' ^ P. Элемент X e Q\Q' назовем зигзагом длины 1 для отображения f', если не существует монотонного доопределения f' на элемент X. Множество элементов Xi,... ,Xn e e Q\Q', образующих связный подграф в графе G(Q), назовем зигзагом длины n для отображения f', если никакое его подмножество из n-1 элементов не является зигзагом длины n - 1 и при любом монотонном доопределении отображения f' на любой из элементов Xi,..., Xn оставшиеся элементы образуют зигзаг длины n — 1
О КЛАССАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ В Pk
51
или несколько зигзагов меньшей длины. Отметим, что введенное здесь понятие зигзага обобщает понятие зигзага из работы Г. Тардоша [3].
Рассмотрим элемент X G Q \ Q'. Положим f*(X) = {f '(У) | Y G Q',Y < X}, f * (X) = {f '(У) I Y G Q',Y > X}. Через f*(X) обозначим множество максимальных элементов множества f*(X), через f *(X) - множество минимальных элементов множества f * (X).
Лемма 1. Пусть Q - произвольное частично упорядоченное множество, Q' С Q, f' - монотонное отображение Q' ^ P. Доопределение отображения f' до монотонного отображения f : Q ^ P существует тогда и только тогда, когда в Q нет зигзагов для f'.
Утверждение следует из определения зигзага.
Лемма 2. Пусть Q - произвольное частично упорядоченное множество, Q' С Q, f' - монотонное отображение Q' ^ P, P G Si. Тогда в Q не существует зигзагов длины 2 для f'.
Доказательство. Предположим, что Xi,X2 - зигзаг длины 2 для отображения f'. По определению зигзага элементы Xi и X2 сравнимы, пусть без ограничения общности X1 > X2 . Положим f*(X1) = B = {bi,... ,bn}, f *(Xi) = C =
= {ci,...,cm}, f* (X2) = A = {ai,...,as}, f *(X2) = D = {di,...,di}. Нетрудно показать, что из монотонности отображения f' и определения зигзага следует: m, k > 2, bi Р Cj для всех i, j, ai Р Cj для всех i, j, ai Р dj для всех i, j, A П D = = 0, A П C = 0, B П C = 0, среди остальных пар множеств возможны непустые пересечения.
Так как элемент Xi не является зигзагом длины 1 для f' , то существует монотонное доопределение отображения f' на элемент Xi , то есть найдется элемент xi G P такой, что ai, bj Р xi Р ct для всех возможных i, j, t. Рассуждая аналогично для X2, получим, что найдется элемент x2 GP такой, что ai Р x2 Р dj, ct для всех возможных i, j, t. Далее рассмотрим отображение f'' : Q' U {Xi,X2} ^ ^ P такое, что f'' |д/ = f'. Для того чтобы задать значения f ''(Xi) и f''(X2), рассмотрим три возможных случая.
1. Выполняется неравенство xi ^ x2. Тогда положим f ''(Xi) = f ''(X2) = xi. Очевидно, что отображение f'' монотонно.
2. Выполняется неравенство xi ^ x2. Тогда положим f ''(Xi) = xi, f ''(X2) = = x2 . Очевидно, что отображение f'' монотонно.
3. Элементы xi и x2 несравнимы. В силу условия P G Si в P существует по крайней мере один из элементов sup(xi,x2), inf(xi,x2). Если в P существует sup(xi,x2), то положим f''(Xi) = sup(xi,x2), f''(X2) = x2 . Если sup(xi,x2) не существует, то существует inf(xi,x2), и тогда положим f ''(Xi) = xi, f ''(X2) = = inf(xi, x2). В обоих случаях легко видеть, что отображение f'' монотонно.
Таким образом, во всех возможных случаях существует монотонное доопределение отображения f' на элементы Xi и X2 , а это противоречит тому, что Xi , X2 -зигзаг для f'. Лемма доказана. □
Лемма 3. Пусть Q - произвольное частично упорядоченное множество, Q' С Q, f' - монотонное отображение Q' ^ P, P G Si. Тогда для f' не существует зигзагов длины n > 2 .
Доказательство. Для n = 2 утверждение выполнено по лемме 2. Предположим, что в Q найдется зигзаг длины n, n > 3, для f', пусть он состоит из элементов Xi,..., Xn . Пусть Xi - такой элемент, что граф, образованный остальными элементами X2,... ,Xn, связен (легко видеть, что в связном графе всегда
52
О.С. ДУДАКОВА
существует элемент, после удаления которого граф остается связным (см., например, [15, гл. 3]). Рассмотрим произвольное монотонное доопределение f на элемент Xi, то есть монотонное отображение f : Q' U Xi ^ P. По определению зигзага элементы X2,... ,Xn образуют зигзаг длины n — 1 для f . Продолжая аналогичное доопределение, получим, что существует монотонное отображение fn-2 : Q' U {X1,..., Xn-2} ^ P, для которого Xn-i,Xn - зигзаг длины 2. Это противоречит лемме 2. Таким образом, лемма доказана. □
Далее будем рассматривать частично упорядоченное множество P из семейства Si, \P\ = k. Частичной функцией выбора назовем функцию X'(xo, xi,. .., xk) : P\ ^ P, заданную соотношением (1). Напомним, что функция X' монотонна на своей области определения.
Лемма 4. На множестве Pk+i не существует зигзага длины 1 для функции X'.
Доказательство. Пусть для частичной функции X' существует зигзаг длины 1 в pk+1. Обозначим этот элемент через X = (x0, x1,..., xk), X G Pk+1 \P\ . Из определения зигзага длины 1 следует, что \X*(X)\ > 2, |X*(X)| > 2. Пусть a, b G X*(x), c, d G X*(x). Очевидно, что a ^ c, d и b ^ c, d, элементы a и b несравнимы, элементы c и d несравнимы. Из определения зигзага длины 1 следует, что не существует такого элемента e G P, что a, b ^ e ^ c, d.
Далее, найдется четверка наборов из множества P\ : X = (ao, ai,..., ak), X = = (Хо, Xi, ...,Xk), X = (Y0,Yi, ...,Yk), X = (So, Si, ...,Sk) таких, что выполняются следующие условия:
a) a, X ^ X ^ X, X;
b) X'(a) = a, X'(X) = b, X'(X) = c, X'(X) = d.
Пусть ao = i, Хо = j, Yo = m, So = l, xo = r (где i, j, m, l, r G {1,... ,k}). Из условия а) следует, что выполняются неравенства i, j ^ r ^ m, l. В силу определения множества Р\ и функции X' (см. условие b)) выполняются следующие соотношения: a = ai ^ ar, b = Xj ^ Xr, c = Ym ^ Yr, d = Si ^ Sr. Кроме того,
в силу условия а) выполняются неравенства ar, Xr ^ xr ^ Yr, Sr.
Таким образом, существует элемент xr G P, для которого выполняются неравенства a,b ^ xr ^ c,d, что невозможно в силу проведенных ранее рассуждений. Следовательно, зигзага длины 1 для частичной функции X' в Pk+i не существует.
Лемма доказана.
□
Доказательство теоремы 1. Необходимое утверждение следует из лемм
1, 3, 4.
Следствие 1. Если P G Si, то класс Мр является конечно-порожденным.
Рассмотрим еще одно семейство частично упорядоченных множеств S2, состоящее из всех множеств P с наибольшим и наименьшим элементами, для которых выполняется следующее условие: для любой пары несравнимых элементов ai и a2 , не имеющих на P точной верхней грани, и для любой верхней грани c элементов ai и a2 , не сравнимой с некоторой минимальной верхней гранью b этих элементов, в P существует sup(b, c).
Нетрудно показать, что имеет место следующее
О КЛАССАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ В Pk
53
Предложение 1. Выполняется включение Si С S2 . Если P G S2 \ Si, то wP > 3, hP > 7, \P\ > 13 .
На рис. 1 приведен пример минимального (по ширине, по высоте и по числу элементов) множества из семейства S2 \ Si.
В работе [11] приводится следующее необходимое условие существования монотонной функции выбора.
Теорема 2. Пусть P - произвольное частично упорядоченное множество. Если класс Мр содержит монотонную функцию выбора,, то P G S2 .
Из теорем 1 и 2 и предложения 1 можно получить следующее утверждение.
Следствие 2. Пусть P - частично упорядоченное множество такое, что h(P) < 6. Класс Мр содержит монотонную функцию выбора тогда и только тогда, когда P G Si.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-01-00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения» (проект «Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).
Summary
O.S. Dudakova. On Finite Generating Subsets in Monotone Clones of Many-Valued Logic.
The problem of existence of finite generating systems in maximal clones of monotone functions of many-valued logic is considered. It is proved that if a finite bounded poset contains sup(x, y) or inf(x, y) for every two elements x and y, then the clones of all monotone functions in this poset is finitely generated.
Keywords: functions of many-valued logic, clones, maximal clones of monotone functions of Pk.
Литература
1. Lau D. Bestimmung der Ordnung maximaler Klassen von Funktionen der k -wertigen Logik // Z. math Log. und Grundl. Math. - 1978. - Bd. 24. - S. 79-96.
2. Lau D. Function algebras on finite sets: a basic course on many-valued logic and clone theory. - Berlin: Springer, 2006. - 668 p.
54
О.С. ДУДАКОВА
3. Tardos G. A not finitely generated maximal clone of monotone operations // Order. -1986. - V. 3. - P. 211-218.
4. Demetrovics J., Hannak L., Ronyai L. Near unanimity functions and partial orderings // Proc. I4th Int. Symposium on Multiple-Valued Logic (Winnipeg, Manitoba, Canada, May 29-31, 1984). - 1984. - P. 52-56.
5. Demetrovics J., Hannak L., Ronyai L. On algebraic properties of monotone clones // Order. - 1986. - V. 3. - P. 219-225.
6. Baker K., Pixley A. Polynomial interpolation and the Chinese remainder theorem for algebraic systems // Math. Z. - 1975. - V. 143. - P. 165-174.
7. Zadori L. Series parallel posets with nonfinitely generated clones // Order. - 1993. -V. 10. - P. 305-316.
8. Дудакова О.С. О классах функций k-значной логики, монотонных относительно множеств ширины два // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. - 2008. - № 1. -
С. 31-37.
9. Дудакова О.С. О конечной порожденности замкнутых классов монотонных функций в Pk // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия Физ.-матем. науки. - 2009. - Т. 151, кн. 2. -
C. 65-71.
10. Дудакова О.С. О порождающих системах специального вида для предполных классов монотонных функций k-значной логики // Материалы XVI Междунар. конф. «Проблемы теоретической кибернетики» (Н. Новгород, 20-25 июня 2011 г.). - Н. Новгород: Изд-во Нижегор. гос. ун-та, 2011. - C. 145-147.
11. Дудакова О.С. О существовании порождающих систем специального вида в классах монотонных функций k -значной логики // Материалы VIII Молодежной науч. шк. по дискретной математике и ее приложениям (М., 24-29 окт. 2011 г.). - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. - Ч. 1. - C. 27-29.
12. Панин Д.Ю. Критерии полноты для некоторых классов монотонных одноместных функций в Pk // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. - 2013. - № 3. -
С. 57-61.
13. Мартынюк В.В. Исследование некоторых классов в многозначных логиках // Проблемы кибернетики. - М.: Наука. - 1960. - Т. 3. - C. 49-60.
14. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 416 с.
15. Харари Ф. Теория графов. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 296 с.
Поступила в редакцию
31.07.14
Дудакова Ольга Сергеевна - кандидат физико-математических наук, доцент механико-математического факультета, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия.
E-mail: [email protected]
