Об одном семействе классов монотонных функций многозначной логики, не имеющих конечного базиса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2013. Т. 6, № 3. С. 97-108

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 519.716.2

Об одном семействе классов

монотонных функций многозначной логики,

не имеющих конечного базиса

Д. Ю. Панин

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Аннотация. В работе исследуются свойства классов функций многозначной логики монотонных относительно частично упорядоченных множеств ширины два.

Ключевые слова: многозначная логика; монотонные функции; конечный базис; континуальные цепи.

1. Введение

Из работ Э. Поста [9, 10] следует, что каждый замкнутый класс буле-

вых функций имеет конечный базис. В многозначной логике построены

примеры замкнутых классов, не являющихся конечно порожденными

(см. [6]). Известно, что каждый предполный класс в Р^ при к < 7

имеет конечную порождающую систему (см. например [8]). В работе [14]

приводится пример частично упорядоченного множества ^8, состоящего из восьми элементов, такого что М?8 (предполный класс функций монотонных относительно Q8) не является конечно порожденным. В

[3] определяется семейство А всех частично упорядоченных множеств Q ширины 2, таких, что класс М? не имеет конечной порождающей системы (см. также [1, 2]). В данной работе продолжаются исследования в этом направлении. А именно, для каждого множества Q из семейства А строится класс М?, такой, что 1) любой замкнутой класс А, удовлетворяющий соотношению М? С А С М?, не является конечно порожденным, 2) найдется континуальная (по включению) цепь из замкнутых классов А, таких, что М? С А С М?. Кроме того, в работе рассматривается некоторый класс монотонных функций, не

имеющий конечного базиса. Для множества всех одноместных функций из рассматриваемого класса приводится критерий полноты.

2. Определения и вспомогательные утверждения

Будем обозначать через А семейство всех конечных частично упорядоченных множеств с наименьшим и наибольшим элементами. Наибольший и наименьший элементы элементы множества P € А будем обозначать через 0 и 1 соответственно. Шириной частично упорядоченного множества P называется максимальное число попарно несравнимых элементов из P. Будем обозначать через А2 подсемейство семейства А, состоящее из всех множеств, ширина которых не превосходит 2.

Пусть Q,P — частично упорядоченные множества, ^ С Q, / — некоторое отображение Q ^ P. Ограничением / на $ будем называть отображение ^ P, совпадающее с / на всех элементах множества ^ (обозначение /).

Следуя работе [1], введем определение двойного квадрата. Пусть P — некоторое частично упорядоченное множество, а и Ь несравнимые элементы множества P. Элементы а и Ь называются 1-несравнимыми, если они несравнимы и не имеют точной верхней грани. Элементы а и Ь называются 2-несравнимыми, если они 1-несравнимы и найдутся две их минимальные верхние грани, являющиеся 1-несравнимыми. Пусть Х\,Х2 € P, элементы х\ и Х2 1-несравнимы. Обозначим через У1 и у2 две минимальные верхние грани элементов Х1, Х2. Будем обозначать множество {у1,у2} через 8Ир(Х1,Х2). Будем говорить, что элементы а1 ,а2,Ь1,Ь2,с1 ,с2 из множества P образуют двойной квадрат, если элементы а1 и а2 2-несравнимы, {Ь1,Ь2} = 8Пр(а1,а2), {с1,с2} = вйрфиЬ).

Путь У произвольное множества из А2, содержащее шестерку элементов а, а,в,в ,1,1', образующих двойной квадрат. Положим У = {0, а, а,в, в, 1,, 1}. Будем обозначать через МР замкнутый класс всех функций к-значной логики, монотонных относительно У, где к = |Р|. В дальнейшем в обозначении МР будем опускать индекс У и использовать обозначение М.

Далее, следуя [1], введем понятия зигзага и Т-множества, а также определим множество К(и) и частичную функцию (см. также [14]). Пусть Q — произвольное частично упорядоченное множество, ^ С Q, /' : Q, ^ У'. Последовательность Хт,...,Хт/ различных элементов Q будем называть зигзагом для /' в Q, если выполняются следующие условия:

a) т = 0 или т = 1, т' > т + 2, 0,1 € М;

b) Хт, Хт/ € Q/, Хг € Q\Q, для всех г = т + 1,...,т' — 1;

С) /\хт) = в, /'(Хт,) = в';

¿) Х2г > х2г-1 для всех 2І, т < 2І < т';

е) Х2г > Х2г+1 для всех 2І, т < 2І < т';

!) для каждого 2І, т < 2І < т', найдутся У,У' є Q' (У = У'), такие

что У, У' > Х2г, /'(У) = 7, /'(У') = У;

g) для каждого 2І + 1, т < 2І + 1 < т', найдутся Z,Z' є Q' ^ = Z'), такие что Z, Z' < Х2г-1, /'^) = а, /'^') = а';

Величину Ь = т' — т + 1 будем называть длиной зигзага.

Пусть п > 1. Частично упорядоченное множество К = {А, А,Б,Б', С1,..., Сп, С', 0]_,..., 02п+1} будем называть Т-множеством ранга п, если выполняются следующие условия:

1) элементы А и А' несравнимы, А, А' < 02г+1 для каждого І = 0,...,п;

2) выполняются неравенства Б > О1 и Б' > 02п+1; элемент Б не сравним ни с одним из элементов 02,..., 02П+1; элемент Б' не сравним ни с одним из элементов О1,..., 02п;

3) 02г > 02г+1, 02г-1 для каждого І = 1,...,п; 02г не сравним с О^

для всех і є{1,..., 2п + 1}\ {2І — 1, 2І, 2І + 1};

4) Сг > 02г, С' > 02г для каждого І = 1,... ,п; Сг не сравним с О^

для всех і є{1,..., 2п + 1}\ {2І — 1, 2І, 2І + 1};

5) Сг не сравним с Б, Б', С' для каждого І = 1,...,п; С' не сравним с Б, Б'.

Пусть п > 3, £ = {А, А', Б, Б', Съ..., Сп-2, С' ,01,..., О2П-3} — Т-множество ранга п — 2. Определим множества £о, £1, £2 следующим образом. Положим

£о = {А,А',Б,Б',С1,...,Сп-2,С'}, £1 = £ \{Б'}, £2 = £ \{Б}.

Обозначим через Т набор (а, а' ,Ь,Ь' ,с1,...,сп, с') длины п+5, элементы которого принадлежат множеству Р. По этому набору для каждого І = 1,...,п, определим отображение /г : £0 ^ Р: /г(А) = а, /г(А') = а', /г(Б) = Ь, /г(Б') = Ь', /г(С) = с', /г(С^) = , где ^ = І + і — 1(шоё п),

І = 1,...,п — 2.

Обозначим через К0 множество таких наборов Т из Рп+5, что для каждого І = 1,...,п отображения /г\£1, /г\£2 можно монотонно доопределить на £. Далее, для каждого і = 1,... ,п обозначим через множество таких наборов из Ко, что отображение /^ можно монотонно доопределить на £. Наконец, обозначим через К(п) множество таких наборов Т из К0, что Т є К^ для некоторого і из множества {1,...,п}.

Пусть п > 3. Обозначим через Р2п подмножество множества Р2п, состоящее из следующих наборов длины 2п:

а = (а, ...,а), а' = (а',. ..,а'),

Д=(А_^/3,11_;^1), Д' = (/^Х^^1),

П П П П

71 = (1,7.7.-- • ,іЛ,$,1, ■■■,1,13'),

п п

72 = (7) 1) 7) • • • ,1,0Л, ^,1, ■■ ■ ,1,і),

пп г і

И = (!,■■■,!,1,1,---,1,1,---,1,в, 1,в, !,■■■,!),

7га = ('7; • • • , 7; 1, А 7, • • • , 1, Р'А), І = (У, • • • , У)-

пп

Другими словами, для каждого і, і = 2,...,п — 1, наборы 7г определяются следующим образом: 7і[і] = 7г [і + п] = 1, 7г[і + п — 1] = в', 7г[і+п + 1] = в, 7АІ] = 7 для всех остальных значений і, і є{1,---, 2п}.

Далее, обозначим через <72п частичную функцию, зависящую от 2п переменных, определенную на множестве Р2п следующим образом:

¿р2п(а) = а, <72п (а') = а',

7п (в)= в, 7п (в')= в',

<72п(7і) = ••• = <72п(7п) = 7, 72п(У) = V.

Согласно [1] справедливы следующие три леммы.

Лемма 1. Пусть Q — произвольное частично упорядоченное множество, ^ С Q, f' : ^ ^ Р'. Тогда монотонное доопределение отображения на множество Q существует тогда и только тогда, когда отображение f' монотонно ив Q не существует зигзага для f'.

Лемма 2. Пусть п > 4. Тогда для всех значений к < п/2 множество

К(п) сохраняется всеми функциями из М от к переменных.

Лемма 3. Частичная функция <7п монотонна на множестве Р2п, и в Р2п не существует зигзага для <7п.

3. Отсутствие конечного базиса у некоторых классов монотонных функций

Пусть 1 < г < п, Т С Р. Будем обозначать через Мт(п) множество всех функций /(х\,..., хп) из множества М, таких, что для любого набора (¿1,..., 5п) из Тп выполнено равенство /(¿1,..., 5п) = 5^ Положим и = {0,1}, V = Р \ и. Определим множества М(п) и М(п) следующим образом. Положим

п

М (п) = М, (п) П Ми(п), М(п) = У М*(п), Ме = У М(п).

{ =1 п>1

В этом разделе будет доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть А — произвольный замкнутый класс, такой, что Ме С А С М. Тогда А не является конечно порожденным.

Для доказательства теоремы 1 нам потребуется несколько определений. Пусть Ь = 2п + 3, и = и*\{(0,... , 0), (1,... , 1)}, у = V*. Определим множества Ш, У<, У> следующим образом. Положим

Ш = У {(91,...,92п, 0,1,а)},

(Я1,-,Я2п)еР^

у< = и и м, у> = и и м.

\£У \£У

Лемма 4. Множества У<,У>,и,Ш попарно не пересекаются.

Доказательство. Докажем, что У< не пересекается с остальными множествами. Пусть У< П У> = 0, а Л — произвольный набор из множества У< П У>. По определению множества У< найдется набор Л € у, такой, что Л < Л. Аналогично, найдется набор /Л из множества у, такой, что /Л < Л. Пусть 1 < г < Ь. Тогда из определения частичного порядка "<"следует, что выполнено неравенство / < л, < л,. Так как /, Xi € V, то из определения частичного порядка Р следует, что лi € V. Таким образом, Л € у. Получили противоречие, так как из определения множества У< следует, что Л / 'У. Поэтому У< П У> = 0.

Пусть У< Пи = 0,аЛ — произвольный набор из множества У< Пу .Из определения множества У< следует, что найдется набор Л = (Л1,.. .,\г) из множества у, такой, что Л < Л. Из определения множества и следует, что лi € {0,1}, Лi € V. Так как лi < Л,,,, то л, = 0. Таким образом, л = (0,..., 0). Получили противоречие с тем, что (0,..., 0) € и. Поэтому У< П II = 0.

Пусть У< П Ш = 0. В этом случае получаем противоречие с тем, что л*-1 = 1, в то время, как л*-1 < Л*-1, Л*-1 € V.

Аналогично доказывается, что У> не пересекается с множествами Ш и и.

Осталось доказать, что множества Ш и и не пересекаются. Пусть л — произвольный набор из множества Ш. По определению л* = а, поэтому ш фи. Лемма доказана. □

Лемма 5. Пусть п > 3. Тогда существует функция Н € Ме от 2п + 3 переменных, не сохраняющая множество К(п).

Доказательство. Положим Г' = Ш и У< и У> и И. Определим отображение д : Г' ^ Р' следующим образом. На наборах г = (д1,..., д2п, 0,1,а) из множества Ш положим д(го) = <Л2п(д1,...,д2п). На наборах Л = (Л1,...,Л*) из множества И положим д(Л) = Л*. Положим д(Л) = 0, если Л € У<, и д(Л) = 1, если Л € У> .По лемме 4 множества Ш, У<, У>, и не пересекаются, поэтому отображение д определено корректно.

Покажем, что отображение д монотонно. Пусть 5,е — произвольные наборы из множества Г', такие, что 5 < Л. Докажем, что выполнено неравенство д(°) < д(Л). Если ° € У>, то из определения множества У> следует, что Л € У>. Поэтому д(Л) = 1,д(Л) = 1 и неравенство д(°) < д(Л) выполнено. Если Л € У<, то д(Л) = 0, поэтому неравенство д(°) < д(Л) выполнено для всех е. Аналогичным образом, рассматриваются случаи Л У< и Л У> .

Если Л € Ш, Л € Ш, то неравенство д(Л) < д(Л) следует из монотонности функции ¡р2п.

Если Л € и, Л € и, то верны соотношения:

д(5) = < е* < д(Л).

Если же Л € и, Л € Ш, то из определения множеству Ш следует, что е* = а. Так как € {0,1}, то = 0. Поэтому д^) = = 0

и неравенство д(°) < д(Л) выполнено. Аналогично разбирается случай Л € Ш, е € и. Таким образом, отображение д монотонно.

Положим Г = Р*\ у. Очевидно, что Г' С Г. Докажем теперь, что для функции д не существует зигзага в Г. Предположим противное. Пусть в Г найдется зигзаг Хт,..., Хгп/ для функции д. Определим множество В следующим образом. Положим

в = {хт,хт} и {г^ка и {^+1,^+1}.

lm<2i<lm/ lm<2i+1<lm/

На наборах из множеств и, У<, У> функция д принимает только значения 0 или 1. Поэтому из определения зигзага следует, что В С Ш.

Обозначим через Н множество всех наборов Л = (Л1, ..., Л*) из множества Р*, таких, что Лг-2 = 0, Л*_;1 = 1, Л* = а. Пусть т < г < т'. Докажем, что X, € Н. Из определения зигзага следует, что найдутся наборы Л,/1 из множества В, такие, что Л < X, </. Так как Л, / € Н, то X, € Н.

_ Определим отображение^ : Н Р*_3 следующим образом. Пусть

Л = (¿1,..., ¿*), положим г]^) = (¿1,..., ¿*_з).

Нетрудно видеть, что пХ-т,),...,^^^) — зигзаг для (552n в Р2п. Это противоречит следствию 3, из которого следует, что для ¡Л’2п не существует зигзага в Р2п. Таким образом, для функции д не существует зигзага в Г. Поэтому по лемме 1 частичную функцию д можно доопределить до монотонного отображения до на Г.

Определим функцию Н(х1 ,...,х*) на множестве Р* следующим образом. Пусть Л = (Л1 ,...,Л*) € Р*. Если Л € у, то положим Н(Л) = Л*. Если же Л € Г, то положим Н(Л) = д0(Л).

Докажем, что Н — монотонная функция. Пусть ¿Л, еЛ — произвольные наборы из Р*, такие, что Л < л. Если 5,е € Г, то из монотонности и определения функции Н следуют соотношения:

Щ) = д(Л) < д(е) = Н(е).

Если 5 € у, е € Г то из определения множества У> следует, что е € У>. Поэтому Н(е) = 1, и неравенство Н(°) < Н(е) верно. Аналогично рассматривается случай 5 € Г, Л € у. Если же Л € у, Л € у, то из неравенства ¿Л < еЛ и определения функции Н следуют соотношения:

Н(8) = ¿* < е* = Н(е).

Таким образом, функция Н монотонна. По построению функции Н выполняется соотношение к £ Ше. Лемма доказана. □

Доказательство теоремы 1. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1 из работы [3]. Для полноты изложения приведем его здесь полностью.

Пусть Е — конечное множество монотонных функций из А. Найдется такое число к, что все функции из Е будут существенно зависеть не более чем от к переменных. Зафиксируем п > 2к и рассмотрим множество К(п). По лемме 2 множество К(п) сохраняется всеми функциями от к переменных из множества М. А так как Е С А С М, то множество К(п) сохраняется всеми функциями из множества Е. По лемме 5 найдется функция / из Ме, не сохраняющая Я. В силу того, что Ме С А, получаем, что / € А. С другой стороны, / € [Е] и поэтому [Е] = А. Теорема доказана.

4. Континуальная по включению цепь классов монотонных

В этом разделе будет доказана следующая теорема, из которой следует, что множество всех классов А, таких что Ме С А С М имеет мощность континуум (см. также [7, 12, 13]).

Теорема 2. Существует семейство множеств А\ (Л Є [0; 1]), таких, что

1) для любого Л Є [0; 1] выполняется соотношения Ме С А\ С М,

2) для любых Л, ц Є [0; 1], таких, что Л < л, выполняется включение АЛ С А,и;

Пусть п > 2. Определим множества А, В С Рп следующим образом. Множество В содержит все наборы длины п, содержащие ровно п — 1 элемент в' и 1 элемент в. Множество А состоит из всех наборов а длины п, таких, что найдется набор Ь из множества В, для которого выполняется равенство а < Ь. Очевидно, что все элементы множества В попарно несравнимы, поэтому А П В = 0. Определим функцию фп(х\,... ,хп) следующим образом:

Лемма 6. При всех п > 2 функция фп принадлежит множеству М.

Доказательство. Предположим, что фп € М. Тогда существуют наборы п,у € Рп, такие, что и < V и фп(и) > фп(у). Из определения функции фп следует, что значения фп(и) и фп(у) принадлежат множеству

Пусть фп(у) = а, фп(и) € {в,^}. Тогда V € А. Из определения множества А следует, что существует набор г € В, такой, что V < г. Так как и < V, то и < г. Таким образом, и € А — противоречие с соотношением фп(и) = а.

Пусть фп(у) = в, фп(и) = 7. Тогда V € В. Так как и < V, то и € А. Поэтому фп(и) = а — противоречие с равенством фп(и) = 7. Лемма доказана. □

Следуя работе [6] (см. также [5]) рассмотрим последовательность функций Хі : {0,1, 2} ^ {0,1, 2} (і = 2, 3,...):

функций, содержащих Ме

{а, в, 7}.

1, если найдется номер ] € {1,..., п}, такой, что х1 = ••• = х^_1 = х^+1 = ...хп = 2,

хэ = 1;

0, в остальных случаях.

Положим $о = и{х,}, где объединение берется по всем индексам г > 2. Согласно [6] имеет место следующая лемма.

Лемма 7. При всех г > 2 выполнено соотношение х, € [$о \ {х,}].

Положим У = {в, в',!}. Рассмотрим последовательность функций ф, : У, ^ У, (г = 2, 3,...), заданных следующим образом:

Положим $ = и{ф,}, где объединение берется по всем индексам г > 2.

Очевидно, что для каждого г > 2 функция ф, совпадает с функцией X,, с точностью до переобозначений: 7 = 0, в = 1, в' = 2. Поэтому легко видеть, что справедлива лемма, аналогичная лемме 7.

Лемма 8. При всех г > 2 выполнено соотношение ф, € [$ \ {ф,}].

Пусть /(х1,.. .,хп) € М, Z С Р, п > 1. Ограничение функции /(х1,...,хп) на множество Zn будем для краткости обозначать через /\%. Пусть М' С М. Положим М'\% = и{/^}, где объединение берется по всем функциям / из множества М'.

Нетрудно убедиться в справедливости следующих лемм.

Лемма 9. Пусть Z С Р, к > 2, /1, ...,/к — произвольные функции из М, такие, что /1 € [{/2,...,/к}], и для каждого г € {1,...,к} выполняется соотношение 1т(/,) С Z. Тогда

Лемма 10. Пусть Н С М, еі — селекторная функция. Тогда справедливо равенство [Н и {еі}] = [Н] и [{еі}].

Доказательство теоремы 2. Пусть п — некоторый изоморфизм между множествами Q и {2, 3,...}, где Q — множество всех рациональных чисел на отрезке [0; 1]. Пусть Л Є [0; 1]. Будем обозначать через 0>Л множество всех рациональных чисел д из 0>, таких, что д < Л. Положим

Очевидно, что Ме С А\. Из леммы 6 и соотношения Ме С М следует, что А\ С М. Таким образом, пункт 1 доказан.

Докажем пункт 2. Пусть Л, / € [0; 1], Л < /. Из соотношения Е\ С следует, что А\ С А^. Пусть р — произвольное рациональное число, такое, что Л < р < /. Положим г = п(р). Рассмотрим функцию ф,. Докажем, что ф, / А\, откуда и будет следовать пункт 2. Предположим

в, если (хі,...,хі) Є В; ^, в остальных случаях.

fl\z Є [{f2\z, ..., /к\е }].

РЛ = У {Фж(q)}, АЛ = [РЛ и Ме].

<9\

обратное. Пусть ф, € [ЕлиМе]. Положим У = {в, в', 7}. Из леммы 9 следует, что ф,\у € [(ЕлиМе)\у]. Очевидно, что (ЕлиМе)\у = Ел\уиМ\у. Нетрудно видеть, что если д € Ме, то д\у — селекторная функция. Поэтому из леммы 10 следует, что [Ел\у и Ме\у] = [Ел\у] и [Ме\у]. Из определения функции ф,, следует, что ф,\у € [Ме\у]. Поэтому ф,\у € [Ел\у]. Так как, для любого I > 2 функция ф1\у равна функции ф\, то Ел\у С ($ \ {ф,}). Таким образом, мы получили, что ф, € [$ \ {ф,}] — противоречие с леммой 8. Теорема доказана.

Отметим, что способом, аналогичным указанному в [11], с помощью функций ф, можно построить пример антицепи мощности континуум из классов А, таких, что Ме С А С М.

5. Критерий полноты для некоторых классов одноместных

функций

Пусть п > 3. Положим Q = {0,а1 ,Ь1,...,ап,Ьп, 1}, ао = Ь0 = 0, ап+1 = Ьп+1 = 1. Множество Ді = {аі} и {Ьі}, где 0 < і < п + 1, будем называть і-м слоем.

Введем на элементах множества Q отношение частичного порядка < следующим образом:

1) єі < £] для всех єі, Є3, таких, что єі Є Ді, Є Д;, 0 < і < і < п;

2) є < є для всех є Є Q;

3) других сравнимых элементов нет.

Будем обозначать через М^ множество всех функций /(х1,... ,Хк), к > 0, из множества М®, таких, что для любого элемента 5 из множества Q выполняется неравенство /(5,.. .,5) < 5. Очевидно, что М? С М% С М ?, поэтому из теоремы 1 следует, что класс М? не является конечно порожденным. Будем обозначать через Е множество всех одноместных функций из класса М?. Далее будет сформулирован критерий полноты для систем функций из множества Е.

Пусть є Є Q \ {0,1}. Через с(є) будем обозначать элемент из Q, не сравнимый с элементом є. Цепью длины т, 1 < т < п + 2, будем называть последовательность элементов Ь0, Ь1,Ь2,..., Ьт-1 Є Q, таких, что для всех і = 0,...,т — 1 элемент Ьі принадлежит і-му слою (т. е. множеству Ді). Через С будем обозначать множество всех цепей.

Пусть є Є Q, / Є Е, О С Q. Положим

= {/ Є Е \ /(5) = 5 для всех 5 Є Щ.

Будем обозначать через ^1 множество всех функций д из Е, для которых найдутся номер к, 2 < к < п, и цепь О длины к — 1, такие, что выполнены следующие условия: д Є £п, д(Дк) = Дк-1.

Пусть О = (ш0,... ,Шк) — цепь длины к + 1, где 0 < к < п + 1. Определим функцию фп, положив

Положим ^2 = и{фп }, где объединение берется по всем цепям длины не больше чем п + 2.

Согласно [4] имеет место следующий критерий полноты для множества Е.

Теорема 3. Пусть Б С Е. Система Б является полной в Е тогда и только тогда, когда Б1 и Б2 С Б.

1. Дудакова О. С. Об одном семействе предполных классов функций fc-значной логики, не имеющих конечного базиса / О. С. Дудакова // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. - 2006. - Вып. 2. - C. 29-32.

2. Дудакова О. С. О классах функций fc-значной логики, монотонных относительно множеств ширины два / О. С. Дудакова // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. - 2008. - Вып. 1. - C. 31-37.

3. Дудакова О. С. О конечной порожденности предполных классов монотонных функций многозначной логики / О. С. Дудакова // Мат. вопр. кибернетики. -М. : Физматлит, 2008. - Вып. 17. - C. 13-104.

4. Панин Д. Ю. Критерии полноты для некоторых классов монотонных одноместных функций в Pk / Д. Ю. Панин // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. - 2013. - Вып. 3. - С. 57-61.

5. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. -М. : Высш. шк., 2008.

6. Янов Ю. И. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса / Ю. И. Янов, A. A. Мучник // Докл. АН СССР. - 1959. -Т. 127, № 1. - С. 44-46.

7. Demetrovis J. Construction of large sets of clones / J. Demetrovis, L. Hannak //

Zeitschr. f. Math. Logik und Grundlagen. d. Math. - 1987. - Vol. 33. - P. 127-133.

8. Function algebras on finite sets: а basic course on many-valued logic and clone theory / D. Lau. - Berlin : Springer, 2006. - 668 p. - (Springer Monographs in Mathematics).

9. Post E. L. Introduction to a general theory of elementary propositions / E. L. Post // Amer. J. Math. - 1921. - Vol. 43, N 3. - P. 163-185.

10. Post. E. L. The two-valued iterative systems of mathematical logic / E. L. Post // Annals of Math. Studies. - Princeton Univ. Press, 1941. - Vol. 5.

11. Poschel R. Funktionen- und Relationenalgebren / R. Poschel, L. A. KaluZnin. -Berlin. 2191979.

12. Salomaa A. On the heights of closed sets of operations in finite algebras /

A. Salomaa // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. AI. - 1965. - Vol. 363. - 12 p.

c(wi-1), если 5 = wi, где 2 < i < k; 0, если k > 1 и 5 = Wi.

5, в остальных случаях.

Список литературы

13. Salomaa A. On some algebraic notions in the theory of truth-functions /

A. Salomaa // Acta Phillos. Fennicae. - 1965. - Vol. 18. - P. 193-201.

14. Tardos G. A not finitely generated maximal clone of monotone operations /

G. Tardos // Order. - 1986. - Vol. 3. - P. 211-218.

D. Yu. Panin

A family of clones of monotone functions from multi-valued logic that are not finitely generated.

Abstract. The properties of clones of functions which are monotone with respect to a partially ordered set of width two are investigated.

Keywords: multi-valued logic; monotone functions; finite basis; chains of continuum cardinality.

Панин Дмитрий Юрьевич, аспирант, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 119991, Москва, Ленинские горы, 1 (pank.dm@gmail.com)

Panin Dmitry, Lomonosov Moscow State University, 1, Leninskie gory, Moscow, 119991, postgraduate student, (pank.dm@gmail.com)