Замкнутые классы, содержащие класс однородных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

В.Б. Ларионов, В.С. Федорова2

ЗАМКНУТЫЕ КЛАССЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КЛАСС ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ*

Описывается структура и основные свойства надрешетки класса однородных функций fc-значной логики для любого к ^ 2.

Ключевые слова: многозначная логика, однородная функция, надструктура.

Хорошо известно [1], что решетка замкнутых относительно операции суперпозиции классов функций fc-значной логики для любого к ^ 3 содержит континуальное число классов. В силу невозможности ее исчерпывающего описания представляется интересным изучение различных подмножеств этой решетки. Ранее одним из авторов была описана структура всех классов, содержащих произвольный класс самодвойственных функций [2]. В данной работе с использованием схожей техники изучается надструктура класса однородных функций.

1 ООО "Атес Медика Софт", ведущий разработчик, к.ф.-м.н., e-mail: VitalyBLarionovQyandex.ru

2 Факультет ВМК МГУ, мл. научн. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: fedorovavsQcs.msu.ru

* Работа выполнена при поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 20092013 годы.

Обозначим через /•.'/, множество {0,1,..., А; — 1}.

Определение 1. Функция f(x\,... ,хп) называется функцией k-значной логики (k ^ 2), если она определена на и все ее значения принадлежат /•,'/,.

Будем использовать следующие стандартные обозначения. Множество всех функций fc-значной логики обозначим Р^. Для любого подмножества А из Р^ через [А] будем обозначать замыкание относительно операции суперпозиции (для функций везде далее будет идти речь именно об этом типе замыкания).

Определение 2. Для данного класса А надструктурой будем называть множество классов, строго содержащих класс А.

Пусть на множестве /•.'/, задана некоторая подстановка а.

Определение 3. Функция fc-значной логики f(x\,... ,хп) называется самодвойственной относительно подстановки а, если выполнено следующее тождество:

/(жь ...,хп)= бг_1(/((т(ж i),.. .,(т(жп))),

где через с-1 мы обозначаем подстановку, обратную к а.

Известно [3], что множество всех функций из /'/■• самодвойственных относительно а, является замкнутым классом. Обозначим этот класс через Sa.

Определение-!. Замкнутый класс функций, равный пересечению всех классов самодвойственных функций, называется классом однородных функций. Будем обозначать указанный класс через Sk-

Определение 5. Пусть р(хi,...,xm) — некоторый предикат, определенный на Е™, /(у 1,..., у„) — функция из множества Р^. Будем говорить, что функция f(yi,..., уп) сохраняет предикат р(х 1,..., хт), если для любых п наборов щ = (ац,..., ßjTO), г € {1,..., п}, удовлетворяющих предикату р, набор /(ац,... ,ап i), • • •, f(aim, • • •, а,пт) также удовлетворяет предикату р. По определению будем считать, что тождественно ложный предикат сохраняет любая функция.

Обозначим через Ро1(р) множество функций, сохраняющих предикат р. Для произвольного множества функций А через Inv А обозначим множество предикатов, каждый из которых сохраняет любая функция из А.

На множестве предикатов вводятся следующие операции: конъюнкция, отождествление переменных, добавление квантора существования по какой-либо переменной (проекция). Для произвольного множества предикатов Р через [Р] будем обозначать замыкание относительно указанных операций. Подробное определение этих операций можно найти в [4] и [5]. Следующие утверждения взяты из [4] и [6] соответственно.

Лемма 1. Если pi € [рг], то Pol (рг) С Pol(pi).

Л е м м а 2. Пусть р = ... &рто, где предикаты pi, ■ ■ ■ ,рт не имеют общих переменных. Тогда

т

Poip=pi Poipj.

г= 1

Пусть А и В — произвольные непустые подмножества /•.'/. одинаковой мощности. Обозначим через Fab множество всех различных взаимно однозначных отображений множества А во множество В. а через F— объединение множеств Fab для всевозможных пар подмножеств А и В указанного вида. Для / € Fab обозначим /)/ Л. '// Л U IL

Для произвольного отображения / € F^ обозначим через Rf(x 1,^2) предикат, истинный на всех парах (а,/(а)), где а € D(f), и только на них.

Определение 6. Замкнутые классы функций Sf = Pol(Rf), где / € F}., будем называть классами квазисамодвойственных функций, а сами функции, входящие в указанные классы, — квазисамодвойственными функциями. Отметим, что, согласно данному определению, все классы самодвойственных функций [3] (в случае Df = Ek, f — не тождественная подстановка), а также класс Р^ (в случае Df = Ef,, f — тождественная подстановка на Е^) являются классами квазисамодвойственных функций. Если / — тождественная подстановка на Df, где Df ф /•,'/,.. то Sf — предполный центральный класс [6].

Зафиксируем некоторое число к ^ 3. Пусть S = {ai,..., Cfci} — множество всех подстановок на /•.'/,.

Отметим, что Sk = П = П Ra = P°1 ({R<n •,■■■•, R<jk< })• Обозначим множество {Rai, • • •, R<rk, }

ae s o-e E

через Rs ■ Окончательно получаем Sk = Pol Rs ■

Лемма 3. Для любого предиката р € [Rs] справедливо Sk С Polp.

Доказательство. Пусть R = Rai &¿Ra2 & ... &¿Rakl, где конъюнкция строится без отождествления переменных, о\,..., — все подстановки на /•.'/,. По лемме 2 справедливо Pol R = Р| Pol Ra = Sk ■

ae s

Заметим, что из предиката R подходящей проекцией переменных можно получить любой предикат Rat, откуда Rs С [R],

Получаем, что для любого предиката р G [Rs] справедливо р G [R], откуда из леммы 1 следует Sk С Polp.

Л е м м а 4. Пусть замкнутый класс А содержит класс Sk- Тогда для любого предикатар G Inv А справедливо р G [Rs]-

Доказательство. Снова рассмотрим предикат R из доказательства леммы 3. Справедливо Sk = Poli? С А, откуда Inv А С Inv Pol i? (см. [4]). Обозначим через d(x i,x2) предикат, являющийся двухместной диагональю (d(a,b) = TRUE тогда и только тогда, когда а = Ь). Отметим, что d G [Í2] (d(x i,x2) = Re(x i,x2), где е — тождественная на /•.),■ подстановка). С учетом сказанного из [4] следует Inv Pol i? = [ií], откуда Inv А С [i?]. По построению предиката R справедливо R G [-Rs]-

Получаем, что для любого р G Inv А справедливо р G [-Rs]-

Л емма 5. Любой класс квазисамодвойственных функций Sf, где f G Fab, \А\ф k — 1, содержит класс однородных функций.

Доказательство. Пусть класс квазисамодвойственных функций Sf удовлетворяет условию леммы. Если Sf является классом самодвойственных функций, утверждение леммы следует из определения класса однородных функций. Поэтому далее будем считать, что \А\ < к — 1.

Обозначим множество С = А. Тогда \С\ > 1. Пусть g — некоторая подстановка на множестве С, такая, что для любого а € С справедливо д(а) ф а. Обозначим через a i подстановку на множестве /•.'/.. такую, что ai (а) = а, если а £ А, и ai (а) = д(а), если a G С. Пусть — некоторая подстановка на множестве /•.'/,.. являющаяся доопределением отображения /.

Справедливо соотношение i?/(жi, жг) = R<Jl (xi, xi)&¿Ra2 (xi, жг), откуда Rf G [Rs]- Для завершения доказательства остается воспользоваться леммой 1.

Пусть предикат р реализуется над Rs формулой F. Везде далее будем считать, что в формуле F вынесены вперед все кванторы существования. Сопоставим F ориентированный граф G(F) по следующему правилу: между множеством вершин G(F) и множеством переменных F (учитываем и свободные, и связанные) существует взаимно однозначное соответствие. Вершину, соответствующую переменной ж, пометим символом "ж", если переменная ж свободная, и "Зж", если связанная. Данную вершину для краткости изложения будем обозначать vx. В графе G(F) есть ориентированное ребро (vx,vy) с пометкой "(7¿" тогда и только тогда, когда в формуле F содержится запись Rai(y,x).

Отметим, что по графу формулы G(F) формула F с вынесенными вперед кванторами существования восстанавливается однозначно.

Определение 7. Путем из вершины vi в вершину г>2 в ориентированном графе G будем называть любую последовательность ребер вида

(wi,w2), (w2,w3),..., (wm,v2)},

вершины и ребра в которой могут повторяться. Ориентация ребер указанной последовательности может быть любой. Замкнутым путем называется путь, в котором первая и последняя вершины совпадают.

Для произвольного пути S в графе определим величину L(S), являющуюся подстановкой на /•.'/. и характеризующую указанный путь. Для пути, состоящего из одного ребра (vi,v2) с пометкой положим L({(vi,v2)}) = ai, L({(v2,vi)}) = а'1. Для пути S = {(wu w2), (w2, w3),..., (wm-i, wm)} положим

L(S) = L({(wm-i,wm)})L({(wm-i,wm-2)}) ... L({(wi,w2)}).

Непосредственно из определений графа формулы и величины L следует утверждение.

Л е м м а 6. Пусть предикат р реализуется над Rs формулой F с графом G(F). Тогда для любого набора а, такого, что р(а) = TRUE, и для двух произвольных вершин графа vyi, vy2, соединенных путем S, и таклщ что переменные yi, у2 приняли на наборе а значения Ь и с соответственно, справедливо с = (L(S))(b).

Для произвольной вершины vy графа формулы G(F) через Ту обозначим множество элементов a G Ef,, таких, что справедливо а = (L(S))(a) для любого замкнутого пути S, проходящего через вершину vy.

Лемма 7. Пусть предикат р реализуется над Rs формулой F с множеством свободных переменных {xi,... ,хп} и со связным графом G(F). Пусть между любыми двумя вершинами vXi, vXj в Gp существует путь Sij, такой, что L(Sij) = оц, i,j Е {1,...,п}. Тогда р(а) = TRUE тогда и только тогда, когда для некоторого i Е {1,... п} справедливо:

1) a,i Е TXi;

2) aj = (Jij(ai) для любых j Е {1,..., п}.

Доказательство. Пусть набор а таков, что р(а) = TRUE. Предположим, что для некоторого г справедливо щ ^ TXi. Это означает, что существует замкнутый путь S, проходящий через вершину vXi, такой, что L(S) = а и а(щ) ф щ. Получаем противоречие с леммой 6. Справедливость соотношения a,:¡ = вытекает непосредственно из леммы 6.

Пусть теперь набор а таков, что перечисленные в лемме два условия выполнены. Покажем, что р(а) = TRUE.

Пусть i — число из {1,..., п}, для которого выполняются условия леммы. Рассмотрим произвольную вершину vy графа G(F). Поскольку указанный граф связный, то существует путь Si от вершины vXi до Vy. Пусть L(Si) = oí. Присвоим переменной у значение b = ci(a¿). Пусть S2 — некоторый путь из vXi в vy, отличный от Si, и L(¿>2) = Покажем, что b = <Т2т.е. найденное значение b не зависит от выбора пути. Соединением путей Si и S2 можно получить замкнутый путь S3, проходящий через вершину vXi. При этом L(S3) = 020Т1 ■ Поскольку a¿ G TXi, то стгоТЧ0«) = a¿; откуда ai (а) = (72 (о) • В силу доказанного и второго условия леммы все переменные Xj, j Е {1,...,п}, при данном присвоении примут значения aj.

Покажем, что на присвоенных значениях каждый сомножитель Ra(y¡,yj) формулы F будет истинен, т.е. р(а) = TRUE. Предположим, что при проведенном выше присвоении переменные y¡, yj приняли соответственно значения b¡ и bj. Это означает, что из вершины vXi существуют пути S', S" до вершин vVl, vVj соответственно, при этом L(S') = a', L(S") = а" и b¡ = а'(щ), bj = a"(ai). Сомножитель Ra(yi,yj) формулы F соответствует ребру (vVl,vyj) графа G(F), L({(vyi,vyj)}) = а. Соединением указанного ребра с путями S' и S" получим замкнутый путь S, проходящий через вершину vXi, такой, что L(S) = a"~laa'. Из щ Е TXi следует а"~1аа'(щ) = щ, откуда аа'(щ) = а"(щ) или a(bi) = bj. Получаем, что Ra(bi,bj) = TRUE.

Теорема . Подструктура класса однородных функций состоит только из классов квазисамодвойственных функций Sf, где f Е Fab, ф к — 1, и их пересечений.

Доказательство. То, что указанные в формулировке теоремы классы входят в надструктуру класса однородных функций S, было доказано в лемме 5. Покажем далее, что никакие другие классы не содержатся в указанной надструктуре.

Рассмотрим некоторый класс А, содержащий S. Возьмем произвольный предикат р из множества InvA По лемме 4 выполняется р Е [i?s]- Обозначим через F формулу, реализующую р над множеством Rs, G(F) — ее граф. Рассмотрим вначале случай, когда G(F) связен.

Пусть xi,...,xn — все свободные переменные формулы F. Поскольку граф G(F) связен, то существуют пути S2, ■ ■ ■, Sn от вершины vXl до вершин vX2, ■ ■ ■, vXn соответственно. Обозначим aj = L(Sj), А = TXl. Отметим, что множество А не может быть мощности к — 1 (поскольку никакая подстановка не может иметь в точности к — 1 неподвижный элемент).

Если местность п предиката р равна единице, то по лемме 7 получаем р(а) = TRUE тогда и только тогда, когда а Е А. В этом случае Ро1(р) либо совпадает с Р^ (если А = Е^), либо является предполным центральным классом. При этом Polp = Poli?/, где / — тождественное отображение множества А в себя, \А\ ф к — 1. Таким образом, Polp является классом квазисамодвойственных функций.

Пусть теперь п = 2. По лемме 7 получаем р(а, b) = TRUE тогда и только тогда, когда а Е А и Ь = а2(а). Получаем, что р = Rf, где / — взаимно однозначное отображение, определенное на множестве А и совпадающее на нем с подстановкой т.е. Polp — класс квазисамодвойственных функций.

Остается случай п > 2. Обозначим предикаты

Pi(xi,xi) = 3yi, . . . ,yn-2p(xi,yi, . . .,Уг-2,Хг,Уг-1, . . . ,у„_2),

где i Е {2,...,п}. Получаем, что G \р), откуда G [Rs]- Предикаты попадают в уже рассмотренный случай (граф формулы, реализующей можно получить из графа Gp перепомечиванием вершин, поэтому указанный граф будет связным), т.е. классы Polp¿ являются классами квазисамодвойственных функций. Рассмотрим предикат р'(хi,.. .,хп) = р2(хi , Ж2)&Рз(ж1, Жз)& . . . &¿Pn (xi,xn).

Пусть набор а таков, что р(а) = TRUE. Получаем, что все p¿(ai,a¿) = TRUE, откуда р'{а) = TRUE. Обратно, пусть р'{а) = TRUE, следовательно, все p¿(ai,a¿) = TRUE. Отсюда имеем, что а\ G А, щ = <Ti(ai) для всех i € {2, ...,п}. По лемме 7 получаем, что р(а) = TRUE. Окончательно имеем р' = р.

Итак, мы получили представление

р(хi, • • • ; Х'П ) =Р2(Х 1 , Ж2)&Рз(ж1, Жз)& . . . &¿Pn (xi i Xri) ■

Обозначим через t предикат, равный конъюнкции предикатов • • • -,Рп без отождествления переменных. Из последнего соотношения следует, что р G [t] (р получается из t отождествлением переменных). С другой стороны, из pi € \р) следует, что t € \р). По лемме 1 получаем, что Polp = Poli. По лемме 2 класс Poli, а значит, и Polp является пересечением классов Polp¿, т. е. классов квазисамодвойственных функций.

Пусть теперь Gp — несвязный граф. Каждая компонента связности Gp очевидным образом задает свой предикат, для которого справедливы приведенные выше рассуждения. Предикат р является конъюнкцией (без отождествления переменных) указанных предикатов. Опять получаем [6], что Polp — некоторое пересечение классов самодвойственных и квазисамодвойственных функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Янов Ю.И., Мучник A.A. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // ДАН СССР. 1959. 127. № 1. С. 44-46.

2. Ларионов В.Б. О положении самодвойственных fc-значных функций в решетке замкнутых классов // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ. Вып. 6. М.: Изд. отдел ф-та ВМК МГУ; МАКС Пресс, 2009. С. 90-105.

3. Яблонский С. В. Функциональные построения в fc-значной логике // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова. 1958. 51. С. 5-142.

4. Боднарчук В.Г., Калужнин В. А., Котов В.Н. и др. Теория Галуа для алгебр Поста// Кибернетика. 1969. № 3. С. 1-10; № 5. С. 1-9.

5. Марченков С.С. Замкнутые классы булевых функций. М.: Физматлит, 2000.

6. Яблонский С. В., Гаври лов Г. П., НабебинА.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: Изд. дом МЭИ, 1997.

Поступила в редакцию 24.06.11

CLOSED CLASSES CONTAINED THE CLASS OF TOTALLY PERMUTATION INVARIANT FUNCTIONS

Larionov V. B., Fedorova V. S.

The structure and main properties of the lattice of closed classes contained the class of totally permutation invariant functions of fc-valued logic are given for any k ^ 2.

Keywords: multivalued logic, totally permutation invariant function, lattice.