О числе целых точек в сфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

59

1) Пусть R е W(k,T),R' е W(k,T) \ N(k,T),R = R'. Тогда S(U(R)) = S(U(R')).

2) Пусть R е N(k,T), R' е N(k,T). Тогда равенсто S(U(R)) = S(U(R')) равносильно тому, что одна из подстановок ur и ur , графики которых образуют отношения R и R' соответственно, является степенью другой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

2. Rosenberg Y. La structure des fonctions de plusieure variables sur un ensemble fini // C.r. Acad. sci. Paris. 1965. 3817-3819.

3. Кудрявцев В.Б. О свойствах S-систем функций k-значной логики // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1973. 9, N 1-2. 8-105.

4. Буевич В.А., Подколзина М.А. Критерий полноты S-множеств детерминированных функций // Матем. вопросы кибернетики. Вып. 16. М.: Наука, Физматлит, 2007. 191-239.

5. Буевич В.А. О T-полноте в классе детерминированных функций // Докл. РАН. 1992. 326, № 3. 399-403.

Поступила в редакцию 22.02.2008

УДК 511.3

О ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК В СФЕРЕ Л. Г. Архипова

Одной из важных проблем аналитической теории чисел является задача оценки остатка в асимптотической формуле для величины T(а), выражающей количество целых точек, лежащих внутри шара радиуса а при а ^ то. Функцию T(а) можно рассматривать как число решений диофантова уравнения вида x2 + y2 + z2 < а2. Здесь неизвестные x,y,z принимают целые значения и параметр а > 0 равен радиусу шара.

Асимптотическая формула для величины T(а) записывается в виде

4 о Т(а) = -тта + R,

3

где остаток R = R(o,) является некоторой функцией от а, имеющей меньший порядок роста, чем главный член, при а ^ то. Задача оценки порядка функции R(o,) носит название проблемы шара. Ее история начинается с работ И. М. Виноградова, опубликованных в 30-х гг. прошлого века. Если же учитывать тесную связь данной задачи с поставленной К. Гауссом проблемой нахождения асимптотики среднего значения числа классов чисто коренных форм, то начало исследований в данном направлении следует отнести к работе Липшица и Мертенса, опубликованной еще в 1865 г.

В 1963 г. И. М. Виноградов в [1] получил оценку вида R = аз (In а)6, которая оставалась наилучшей вплоть до работы Ф. Чамизо и Х. Иванца [2], опубликованной в 1995 г. В данной работе была получена новая оценка остатка R вида R <С аг+е, где ö = Щ и е > 0 сколь угодно мало. Несколько позднее Д. Р. Хпс-Браун получил оценку того же типа, но со значением ö = Щ. Целью настоящей статьи является доказательство следующей теоремы.

Теорема. В принятых выше обозначениях справедлива оценка

, N 1Г I ,

R(a) < а и+е.

Другими словами, значение 5 = Щ, полученное Ф. Чамизо и X. Иванцом, а также значение 5 = , найденное Д.Р. Хис-Брауном, улучшается здесь до значения 5 = Следует заметить, что легко построить возрастающую последовательность чисел а, таких, что а2 является натуральным числом

60

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

и при этом R(a) ^ а, что соответствует значению 5 = 1. Гипотезу о том, что для всех а > 0 равенство 5 = 1 действительно имеет место, называют "проблемой шара".

Метод доказательства нашей теоремы состоит в некоторой модификации схемы рассуждений работы [2]. Указанную схему в грубой форме можно описать следующим образом. Обозначим через r(n) число решений диофантова уравнения x2 + y2 + z2 = n, а через ro (n) — количество "примитивных" решений того же уравнения, т.е. решений с условием (x,y,z) = 1. Тогда величину T(а) можно записать в виде

T(a) = ^ r(n).

n<a2

Из теории квадратичных форм известно, что имеют место равенства

п 1

{-т), Го(п) = СпК~4:п) = -а2 п

= r0(n) = cnh(-4n) =-спл/пЬ(1,Хп), п> 1,

d2 \n

где h(-4n) — число классов дивизоров для отрицательного дискриминанта —4n; L(s, Хп) есть L -функция, соответствующая характеру %n(m) = (^f), т.е. L(l,Xn) = Em=i т(~т)> и

если n = 0, 4, 7 (mod 8); если n = 3 (mod 8); если n = 1, 2, 4, 6 (mod 8).

Г

Cn = <16,

I 24,

Выражения величины Го(п) через Ь(1,Хп) можно подставить в формулу для Т(а) и использовать данное представление для оценки остатка Я(а), что, вообще говоря, и делается в работе [2]. Заметим, что данный прием давно известен. В частности, его использовал И. М. Виноградов в одной из своих работ в 1918 г. Однако авторы работы [2] предложили новый вариант рассуждений. Они проводят процедуру "сглаживания" суммы по п, после чего оценка остатка Я(а) сводится к оценке "двойных" сумм характеров 5 от символа Якоби вида

5= Е Е

М<п<М+К т^И

где ап, вт — произвольные комплексные числа, а промежутки изменения переменных суммирования т и п определяются через параметры рассматриваемой проблемы.

Для суммы Б при К < N 2 в работе [2] методом сглаживания получена оценка со степенным понижением, которая оказывается ключевой при выводе окончательной оценки остаточного члена К(а). Заметим еще, что уточнение этой оценки, данное Д. Р. Хис-Брауном, позволило ему получить усиление результата работы [2].

Изменение в схеме рассуждений, предложенное нами, состоит в том, чтобы применить данную процедуру не к сумме ^ 1 = ^п<а? г(п) = Т(а), а к сумме ^2 вида

Е2 = Е r(n)e

2iria^/n — 1

n

n<A

к оценке которой при подходящем выборе значения параметра А = Д(а) может быть сведена оценка остатка Я(а). После преобразований, проводимых по схеме, подобной описанной выше, оказывается, что основной вклад в оценку величины ^2 вносит сумма 50, похожая на сумму 51 вида

* = Е

О27гм0г _ —1/2

e v ■ n

n<A

Использование оценок тригонометрических сумм 5о по методу Бомбьери-Иванца [3] позволяет получить окончательную оценку остатка Я(а), сформулированную в условии теоремы.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.Н. Чубарикову за научное руководство.

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №5

61

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. О числе целых точек в области трех измерений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. 27, № 1. 3-8.

2. Chamizo F., Iwaniec H. On the Sphere Problem // Rev. mat. ibero-amer. 1995. 11, N 2. 417-429.

3. Bombieri E, Iwaniec H. Some mean-value theorems for exponential sum // Ann. Scuola norm. super. Piza. 1986. 13, N 4. 473-486.

Поступила в редакцию 28.03.2008

УДК 511.3

О ПРОБЛЕМЕ ВАРИНГА В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ Е. А. Бурлакова

К числу центральных задач современной аддитивной теории чисел относятся, как известно, проблемы Варинга и Гольдбаха. Проблема Гольдбаха была впервые сформулирована в 1742 г. в письме Гольдбаха к Эйлеру. В этом письме Гольдбах высказал гипотезу о том, что всякое нечетное число > 9 есть сумма трех нечетных простых. В теореме И. М. Виноградова, доказанной в 1937 г., установлено существование такого представления для всех достаточно больших натуральных чисел [1].

Проблема Варинга впервые сформулирована в работе [2, с. 204-205]. В ней утверждается, что всякое натуральное число является суммой четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней и т.д. или в более общем виде для фиксированного числа k > 2 существует целое g(k), зависящее только от к, такое, что всякое натуральное число является суммой g неотрицательных k-х степеней. Существование величины g(k) для любого натурального к > 2 было доказано Д. Гильбертом [3]. Позднее Г. Харди и Дж. Литлвуд разбили эту проблему на два существенно разных случая, выделив в качестве более важного тот из них, в котором представляемое число N неограниченно возрастает. Количество слагаемых вида xn, достаточных для существования таких представлений, в этом случае они обозначили через G(n). Дальнейшие исследования в данном направлении были подчинены получению новых верхних оценок функции G(n).

Результат, полученный Г. Харди и Дж. Литлвудом с помощью их кругового метода и оценок тригонометрических сумм по методу Г. Вейля, состоял в оценке вида G(n) ^ n2n. Принципиальные улучшения в этом направлении были сделаны И. М. Виноградовым на основе его метода, опубликованного в 1934 г. Последняя из полученных им оценок величины G(n) имеет вид G(n) < 2n(1 + о(1)) ln n. Данная оценка приведена в монографии [4].

В 1937 г. в работе [5] И. М. Виноградов рассмотрел задачу о представлении растущего натурального числа N фиксированным количеством k слагаемых вида pn, где p — простое число. При этом еще предполагалось, что для числа представлений I(n, k, N) имеет место асимптотическая формула вида

I{n,k,N) ъ т-1(\ъп)~кК{п){(т + о{1)), К{п)= r(l + -)kT-1(-),

nn

где r(s) есть гамма-функция Эйлера, а величина а = a(n,k,N) есть "особый ряд" данной аддитивной задачи.

Данный результат соединил в себе проблему Варинга и проблему Гольдбаха. Его доказательство стало возможным после получения И. М. Виноградовым оценок тригонометрических сумм Вейля по простым числам со степенным понижением.

Дальнейшее направление исследований по данной тематике связано с улучшением верхних оценок величины r(n). Здесь наилучший на сегодняшний день результат принадлежит И. М. Виноградову и формулируется в виде оценки r(n) < 2n2(2ln n + lnlnn + 5). Его вывод содержится в [4, гл. 9].

Следует сказать, что при фиксированном значении параметра k приведенная выше асимптотическая формула для I(n, k, N) не всегда обеспечивает существование представлений N в виде сумм слагаемых вида pn в количестве k, поскольку для этого необходимо, чтобы особый ряд а был отличен от нуля, для