О проблеме Варинга в простых числах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

61

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. О числе целых точек в области трех измерений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. 27, № 1. 3-8.

2. Chamizo F, Iwaniec H. On the Sphere Problem // Rev. mat. ibero-amer. 1995. 11, N 2. 417-429.

3. Bombieri E, Iwaniec H. Some mean-value theorems for exponential sum // Ann. Scuola norm. super. Piza. 1986. 13, N 4. 473-486.

Поступила в редакцию 28.03.2008

УДК 511.3

О ПРОБЛЕМЕ ВАРИНГА В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ Е. А. Бурлакова

К числу центральных задач современной аддитивной теории чисел относятся, как известно, проблемы Варинга и Гольдбаха. Проблема Гольдбаха была впервые сформулирована в 1742 г. в письме Гольдбаха к Эйлеру. В этом письме Гольдбах высказал гипотезу о том, что всякое нечетное число > 9 есть сумма трех нечетных простых. В теореме И. М. Виноградова, доказанной в 1937 г., установлено существование такого представления для всех достаточно больших натуральных чисел [1].

Проблема Варинга впервые сформулирована в работе [2, с. 204-205]. В ней утверждается, что всякое натуральное число является суммой четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней и т.д. или в более общем виде для фиксированного числа k > 2 существует целое g(k), зависящее только от к, такое, что всякое натуральное число является суммой g неотрицательных k-х степеней. Существование величины g(k) для любого натурального к > 2 было доказано Д. Гильбертом [3]. Позднее Г. Харди и Дж. Литлвуд разбили эту проблему на два существенно разных случая, выделив в качестве более важного тот из них, в котором представляемое число N неограниченно возрастает. Количество слагаемых вида xn, достаточных для существования таких представлений, в этом случае они обозначили через G(n). Дальнейшие исследования в данном направлении были подчинены получению новых верхних оценок функции G(n).

Результат, полученный Г. Харди и Дж. Литлвудом с помощью их кругового метода и оценок тригонометрических сумм по методу Г. Вейля, состоял в оценке вида G(n) ^ n2n. Принципиальные улучшения в этом направлении были сделаны И. М. Виноградовым на основе его метода, опубликованного в 1934 г. Последняя из полученных им оценок величины G(n) имеет вид G(n) < 2n(1 + о(1)) ln n. Данная оценка приведена в монографии [4].

В 1937 г. в работе [5] И. М. Виноградов рассмотрел задачу о представлении растущего натурального числа N фиксированным количеством k слагаемых вида pn, где p — простое число. При этом еще предполагалось, что для числа представлений I(n, k, N) имеет место асимптотическая формула вида

I{n,k,N) ъ т-1(\ъп)~кК{п){(т + о{1)), К{п)= r(l + -)kT-1(-),

nn

где r(s) есть гамма-функция Эйлера, а величина а = a(n,k,N) есть "особый ряд" данной аддитивной задачи.

Данный результат соединил в себе проблему Варинга и проблему Гольдбаха. Его доказательство стало возможным после получения И. М. Виноградовым оценок тригонометрических сумм Вейля по простым числам со степенным понижением.

Дальнейшее направление исследований по данной тематике связано с улучшением верхних оценок величины r(n). Здесь наилучший на сегодняшний день результат принадлежит И. М. Виноградову и формулируется в виде оценки r(n) < 2n2(2lnn + lnlnn + 5). Его вывод содержится в [4, гл. 9].

Следует сказать, что при фиксированном значении параметра k приведенная выше асимптотическая формула для I(n, k, N) не всегда обеспечивает существование представлений N в виде сумм слагаемых вида pn в количестве k, поскольку для этого необходимо, чтобы особый ряд а был отличен от нуля, для

62

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

чего требуется выполнение дополнительных арифметических условий разрешимости, указанных, в частности, в [6, 7]. В то же время существование для этой аддитивной проблемы функции V(n), аналогичной функции G(n) в проблеме Варинга, до сих пор не было установлено.

Данная статья посвящена доказательству утверждения о том, что для любого натурального n всякое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде слагаемых вида pn, где р — простое число, взятых в количестве к, и при этом выполняется оценка сверху типа к < V(n), где функция V(n) зависит только от показателя степени n.

Теорема. Для каждого натурального N существует число V(n) со свойствами: существует число c = c(n) с условием, что всякое целое N > c представляется в форме N = рП + ... + Р'П, где pi,...,pr простые, r < V(n).

Схема доказательства теоремы в основном соответствует рассуждениям И. М. Виноградова при оценке функции G(n) в проблеме Варинга в [8, гл. 4, с. 278]. Кроме того, используются условия разрешимости для системы уравнений варинговского типа в простых числах, указанные в докторской диссертации В.Н. Чубарикова [6, лемма 21, с. 98].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // Докл. АН СССР. 1937. 15, № 6-7. 291-294.

2. Waring E. Meditationes algebraicae. Cambridge, 1770. 204-205.

3. Hilbert D. Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen // Math. Ann. 1909. 67. 281-300.

4. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

5. Виноградов И.М. Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел // Тр. Тбил. матем. ин-та. 1937. 3.

6. Чубариков В.Н. Многомерные проблемы теории простых чисел: Докт. дис. М., 1985.

7. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. О числе слагаемых в аддитивной проблеме Виноградова и ее обобщениях // Актуальные проблемы: Тр. IV Междунар. конф. "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула, 10-15 сентября 2002. Тула: Изд-во ТГПУ, 5-38.

8. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

Поступила в редакцию 28.03.2008

УДК 511.3

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ А. Г. ПОСТНИКОВА ДЛЯ ОЦЕНКИ КОРОТКИХ СУММ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ПО СДВИНУТЫМ ПРОСТЫМ ЧИСЛАМ

А. А. Копанева

В работе 1938 г. И. М. Виноградова [1] впервые была рассмотрена задача об оценке суммы символов Лежандра, распространенной на значения "сдвинутых" простых чисел, т.е. чисел х вида х = р + а, где р — простое число и (а,д) = 1. Здесь через ц обозначено простое число, являющееся модулем символа Лежандра.

В указанной работе была получена нетривиальная оценка таких сумм при условии, что верхняя граница N промежутка суммирования по р удовлетворяет неравенству N > N0 = д3+е, где е > 0 произвольно. В работе [2] И. М. Виноградов дал существенное усиление этого результата. Он распространил его на все характеры Дирихле по простому модулю ц и понизил величину порядка параметра N до значения

N = д0,75 + е .

В 1970 г. А. А. Карацуба в работе [3] еще более усилил результат работы [1], доказав его со значением

Щ = д0,5+е.

Если вместо простого модуля ц в данной задаче рассматривать модуль к, являющийся высокой степенью простого числа Q, то использование формулы А. Г. Постникова, выражающей значение характера Дирихле через тригонометрическую функцию от многочлена с рациональными коэффициентами, позволяет получить существенно более сильные результаты. В частности, при фиксированном значении Q и