Проблема Варинга-Гольдбаха Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)

УДК 511.336

ПРОБЛЕМА ВАРИНГА-ГОЛЬДБАХА

Е. А. Бурлакова (г. Орел)

К числу центральных задач современной аддитивной теории чисел относятся, как известно проблемы Варинга и Гольдбаха. Проблема Гольдбаха была впервые сформулирована в 1742 году в письме Гольдбаха к Эйлеру. В этом письме Гольдбах высказал гипотезу о том, что всякое нечетное число большее или равное 9 есть сумма трех нечетных простых. Теорема И. М. Виноградова, доказанная в 1937 году, установила существование такого представления для всех достаточно больших натуральных чисел [1].

Проблема Варинга впервые сформулирована в работе [2]. В ней утверждается, что всякое натуральное число является суммой четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней и т. д., или в более общем виде, для фиксированного числа k ^ 2 существует целое g(k), зависящее только от k,такое, что всякое натуральное число является суммой g неотрицательных k-ых степеней. Существование величины g(k) для любого натурального k ^ 2 было доказано Д. Гильбертом [3]. Позднее Г. Харди и Дж. Литтлвуд разбили эту проблему на два существенно разных случая, выделив в качестве более важного тот из них, в котором представляемое число N неограниченно возрастает. Количество слагаемых вида xn, достаточных для существования таких представлений, в этом случае они обозначили через G(n). Дальнейшие исследования в данной теме были направлены на получение новых верхних оценок функции G(n).

Результат, полученный Г. Харди и Дж. Литтлвудом с помощью их кругового метода и оценок тригонометрических сумм по методу Г. Вейля, состоял в оценке вида G(n) << n2n. Принципиальные улучшения в этом направлении были сделаны И.М.Виноградовым на основе его метода, опубликованного в 1934 году. Последняя из полученных им оценок величины G(n) имеет вид

G(n) ^ 2n(1 + o(1)) lnn.

Данная оценка приведена в монографии [4].

В 1937 году в работе «Некоторые обилие теоремы, относящиеся к теории простых чисел» [5] И. М. Виноградов рассмотрел задачу о представлении рас-

Nk pn, где р-простое число. При этом еще предполагалось, что для числа представлений I(n,k,N) имеет место асимптотическая формула вида

I(n,k,N) « Nk-1(lnn)-kK(n)(a + o(1)),

kk K(n) = Г (1 + - )кГ-1( -), nn

где Г(s) - есть гамма-функция Эйлера, а величина а = cr(n, k, N) есть «особый ряд» данной аддитивной задачи.

Данный результат соединил в себе проблему Варинга и проблему Гольдбаха. Его доказательство стало возможным после получения И. М. Виноградовым оценок тригонометрических сумм Вейля с степенным понижением.

Дальнейшее направление исследований по данной тематике связано с улучшением верхних оценок величины r(n). Здесь наилучший на сегодняшний день результат принадлежит И. М. Виноградову и формулируется в виде оценки

r(n) ^ 2n2(2 lnn + lnlnn + 5).

Его вывод содержится в главе 9 [4].

k

ная выше асимптотическая формула для I(n, k, N) не всегда обеспечивает существование представлений N в виде сумм слагаемых вида pn в количестве k

c

для чего требуется выполнение дополнительных арифметических условий разрешимости указанных в частности в [8]. В то же время существование для этой аддитивной проблемы функции V(n), аналогичной функции G(n) в проблеме Варинга, до сих пор не установлено.

Данная статья посвящена доказательству утверждения о том, что для лю-nN быть представлено в виде слагаемых вида pn, где р - простое число, взятых в k

k ^ V(n),

V( n) n

n V( n)

ствами: существует с = с (n) с условием,, что всякое целое N ^ с представляется в форме

N = рП + ... + рП, (1)

где pi, ...,рт- простые числа, причем, число слагаемых r удовлетворяет неравенству r ^ V(n).

Схема доказательства теоремы в основном соответствует рассуждениям И.

G ( n)

«Избранные труды»[6] с. 278. Кроме того, используются условия разрешимости для системы уравнений варинговского типа в простых числах, указанные в докторской диссертации В. Н. Чубарикова [7] лемма 21 с.98.

Дальнейшие рассуждения, касающиеся вывода теоремы разобьем на несколько шагов.

1. Числа вида и. Обозначим через к величину

1п 20п2(2 1п п + 1п1п п + 5)

к =

— 1п(1 — V)

V = 1,Р =

п

+ 1

Положим

Рт = [0,25Р],Р2 = [0,5Р11-"],...,Рк = [0,5РкЦ].

Пусть величины р8 пробегают значения простых чисел лежащих соответственно в промежутках [Р8,2Р8 — 1]. Взяв такое-л ибо б = 1,2, ...,к, положим

и = рП +... + рП.

И рассмотрим совокупность (и8 )> состоящую из всех и8.

Методом индукции нетрудно показать, что числа совокупности (и8) не выходят ИЗ пределов рп и (2Рт)п и не равны между собой, причем разность между большим и меньшим из соседних по величине чисел больше пР п-1. Действительно, наше утверждение верно для совокупности (и)) так как °на состоит из чисел

РП,..., (2Р1 — 1)п, (2Р1)п.

Пусть теперь наше утверждение верно ДЛЯ совокупности (и) И пусть и' И и// - два соседних по величине числа этой совокупности. Рассмотрим числа

и\и/ + ...,и/ + (2Р8+1 — 1 )п,и//. (2)

Здесь имеем

(и/ + р;+1) — и/ = р;+1 > пР1'+11,

(и/ + (р,+1 +1 )п) — (и/ + РП+1) > пр;-; ,

(Р 8+1 = Р 8 + 1 , ..., 2Р 8+1 — 2) ,

и// — (и/ + (2Р8+1 — 1 )п) > пРП-1 — (2Р8+1 )п > пРП+11.

Значит числа (2) не выходят из пределов и/ , и// и не равны между собой, причем разность между большим и меньшим из соседних по величине чисел больше пР п-1. Поэтому наше утверждение верно И ДЛЯ совокупности (и8+1).

р

помощью асимптотического закона в арифметических прогрессиях, оценивается снизу величиной порядка

Р(1-^)8-1 р(1-^)8- 1

>>

1п Р п 1п Р

Поэтому число различных значений ик оценивается снизу величиной порядка Т, где

р1+(1—у) + ... + (1-•у)к -1 рп—П-(1—

1пк Р = 1пк Р

Т >> ---------------------------:------------------- = --------------:----------- >> РП 20п 1пп (П }П Р) к >> рп 20п 1пп '

1 .к п к т* ^ >

где е - сколь угодно м^о, а константа в знаке << зависит от п и е. Точно такой

Т

Положим далее

Ра = У~ 1

__ у е2таи

и

Є2ПІарП.

0,25Р<р<Р

Обозначим через т некоторое фиксированное натуральное число, удовлетворяющее условию т > 6п. Тогда количество 1^) представлений растущего натурального N в виде

N = + ... + рт + сіі + d2,

где числа Лі и Л; принимают те же значения, что и определенные выше числа ик, может быть записано в виде интеграла

—Т 1 +1

Т(^ =

—'

где т = Рп-\

Промежуток интегрирования разобьем на интервалы трех классов следующим образом.

Представим каждое число а в виде

(а,р) = 1,0 < а< р,р < Рп-\

Пусть е- любое число из промежутка 0 < е < 0,001,1 = 1п Р . Точку а отнесем к классу 1а, если выполнено условие < е1£, |6| < е1£.

К классу 1Ъ отнесем точки, не являющиеся точками класса 1 и удовлетворяющие условиям

р < Р0’2^, |6| < Р\

Наконец, к классу 2 отнесем все оставшиеся точки.

Дальнейший ход рассуждений сводится к выделению главного члена асимптотической формулы для величины 1^) из части интеграла распространенно-1

2 1Ъ

Нам потребуется следующая лемма И. М. Виноградова в оценке тригонометрических сумм Sa.

Лемма 1. В принятых выше обозначениях положим для точек класса 1а

△ = l9eQ-0’5v+e,

или также

△ = l9e|6|-°>5v,

если |6| > 1.

Для точек класса 1Ъ, взяв е3 = 2е, положим

△ = q-°>5v+£3 ,

если Q > el£,

если |6| > el£.

△ = Q-°,5v+e3 |^|-°,5v+e3 , 2

△ = P-pi , p! = 1

20п2(21п п + 1п 1п п + 5)

Тогда имеем

Р

<< - Д.

<< е

Доказательство этой леммы есть прямое следствие теоремы 2 [4] с. 132. Проведем разбиение промежутка интегрирования по а в интеграле 1^) на три подмножества. К первому множеству Дц отнесем все точки а промежутка [—Р-п+\ 1 — Р-п+Ч, которые могут быть представлены в виде

а

а = — + г,

Я

где (а, я) = 1,0 < а< я,я < 1п п А < 1 00

1а 1Ъ

Н6 входят в Д11.

К третьему подмножеству Д2 отнесем точки класса 2 леммы 1.

В соответствии с этим разбиением величину 1^) можно представить в виде

!(^) = 111 + 112 + 12.

Здесь величина 1ц представляет собой часть интеграла I распространенного на точки а класса Дц, 112 - на точки а класса Д12, а 12 - на точки а класса Д2 ■

2. Оценка величины 12. Имеем

|I2| =

1

SmQ0.e-2™aNda

02

< max |Sa|m 02

|Qa|da = T max |Sa|m. 0 °2

Далее для оценки величины Б а воспользуемся леммой 1, а для величины Т полученной раньше оценкой. Учитывая, что Р-п^ << 1 , будем иметь

|12| << ТР(1-Р1 )т1-т = Т^-11-тТ-1 Р-р1 <<

<< Т ^-11-тТ-1РтР-П+ 20п2 (2 1п п + 1п 1п п + 5) +£^Р-20п 2 (2 1п п + 1п 1п п + 5) =

= КР-П^ -4и2 (2 1пп+ 1п1пп + 5) +£ << КР-5(п),

при условии, ЧТО

К = Т ^-11-тТ-1Рт,

5 = (5п2(21п п + 1п 1п п + 5))-1

и

е < 0,15.

Требуемая оценка величины |12| получена.

3. Оценка величины 112. ПодмножесТВО Д12 состоит из окрестностей и ( -) рациональных точек вида а с у^^^ям и 0 < а < Я, (а, я) = 1,1пА N <

0,2^ ГГглтж 1 I { а\ пП™Птт,т,тй поп,,,тг> — Р-П+У

Я < Р . При этом окрестности и ^ имеют постоянный радиус 5 о = Р

а

единообразная оценка вида

где г —

-—а

|БаI << Я-0’4"Р(1 + №)-0’4^(1п Р)-1,

е

Очевидно, для величины 112справедлива оценка вида

11121 < С =

■1о2

£ £

1пАМ<-<Р-°>2^ 0<а<-,(а,-)=1

|Бт11 д^|аг.

-60

В последнем интеграле используется обозначение а = - + г.

Далее имеем И < Т2

’(1 + №)0’4™аг.

1^<< И Т. Т2( ь^)

1пАМ<-<Р-0’2^ 0<а<-,(а,-)=1

т Г60

0

Но так как т > 6п, то ут = П > 6. Следовательно, 1 — 0,4^т < —1,4 и

1112|<<Т ^ ^ £ я-1’4 <<

1пА М<-<Р-0’2^

^-1 Г

\1п Р )

(1п N)

-0,4

<<

<< К(1п ^-0’4.

4. Выделение главного члена из интеграла Іц. Подмножество О.ц.

ПО которому проводится интегрирование В І11, состоит го окрести остей и ^ ^

радиуса 60 = Р-п+^ при условии, что я пробегает все натуральные числа, не превосходящие значения 1пА N и при фиксированном я числитель а меняется в пределах 0 < а < я, прпчем (а, я) = 1.

Известно, что в этом случае для суммы имеет место асимптотическая формула вида

Б* = ?(а,я)Э(г) + 0(Ре-с^).

Здесь

а

На,я) =

а = — + г,

я

1

Ф(я)

г

„2-т.ахп

е ч

0<х<Ч,(х,ч)=1

0(г) =

Р е2пг^хп

dx,

2 1п X

I = 1п Р с > 0 - некоторая постоянная.

Доказательство этого утверждения содержится в диссертации [7] лемма 16 с.87.

Заметим также, что если |г| > г0 = N-1(1n N)5A, то из леммы 1 вытекает справедливость оценки вида

Р

|Ба1 <<^ (1 + 2^-0’4\

1п Р

Поэтому, полагая Ба = Б(а), = (^(а), будем иметь

и( а)

отп2 е—2таа^ хае

dа =

*20

"20

5т«*■

dz+

+0

(ПіРр)

г-0’4™Т 2&&) =

'20 —^0

)

їїт(а, я)Эт(г)е-2п1(ч +^2 я + ^ dz+ +0(Рте-стл/1Т 2 гс)+

(Ш T2^) =

■* zo

Fm(a,q) ^ e2niq(ui +u2—N) Dm(z)e2niz(ui +u2-N)dz + Rb

U1 ,U2 -Zo

где

(A) T2| ()p)

(i)

(zN) , mdz <<

zo

<< ^ hPH T2N-1(zoN)-0’4vm <<

<< ( T2N—1 (in N)—7A = K(ln N)—7A

in P

так как 1 — 0,4vm < -1,4 .

Суммируя по всем точкам q указанного выше вида, приходим к равенству

1ll = X ^ ^ Fm(a, q)e2™a(ui +u2—N)-

ul ,u2 q<lnA N 0<a<q,(a,q)=1 ■zo

Dm(z)e2niz(ui +u2 -N)dz + R2 = 1з + R2,

—zo

где величины I3, R2 очевидным образом определяются последним равенством, причем

R2 << K(lnN)—77A Y_ Y- 1 << K(lnN)—5A.

q<lnA N 0<a<q,(a,q)=1

Таким образом, имеем

I(N) = I3 + R2 + 0(K(ln N)—0’4) + 0(KP—5(n)) = I3 + 0(K(ln N)—0,4).

В силу определения величин Ui и U2 при любых их фиксированных значениях разность N — ui — U2 имеет тот же порядок, что и параметр N. Поэтому

a, q dz

I3

из главы 9 [4] или [7] с. 89-94. Тогда получим

I3(N)= Y_ ff(Ni)H(Ni)+ 0(K(lnN)—0’4).

ui ,U2

Здесь N1 = N — Ui — U2, а величины cr(Ni) и H(Ni) представляют собой сингулярный ряд и сингулярный интеграл, удовлетворяющие равенству

H(N ) = ((г(1 + v))m+0 (innN)) Nmv—1

1 V г(mv) V lnN )) (inNl/n)m’

а(^) = £ ^ ?т(а,я)е-2п^.

4=1 0<а<4,(а,4)=1

5. Исследование особого ряда. Справедливо следующее утверждение

а(^) = а = ]^[ ар, р

где ар = Иша_^+«-,раф-т(ра)Ш(ра,т).

Здесь параметр р пробегает множество всех простых чисел, а через Ш(ра, т) обозначено число решений сравнения

хП + ... + хт = ^(т^ра), (3)

1 < Хк < ра, (хк, р) = 1,1 < к < т.

Доказательство см. [7] с.96 лемма 19.

Далее нам потребуется еще одно утверждение, касающиеся оценки снизу произведения П1 вида П1 = Пр>2-пар(^).

Лемма 2. Существует абсолютная постоянная с0 > 0, такая, что П1 > с0 для всех чисел N-1 вида

N1 = N — и1 — и2.

Доказательство аналогично выводу теоремы 6 [7] с. 109.

Оценим теперь снизу величину ар в случае когда р < 2п. Докажем, что для таких р при любом натуральном а найдется постоянная ср >0, для которой выполняется оценка вида

Ш(ра,т) > Срра(т-1).

Для этого рассмотрим сначала случай когда N1 = т^т^р"0), где а0- произвольное фиксированное натуральное число. Если а < а0, то в качестве решения

х1 = 1, ... , хт = 1.

Если же а > а0, то будем искать решение системы (3) в виде

Хк = 1 + Укрп,

где величина п = п(р, п)определяется из условия рп < п < рл+1, переменные ук при к = 2,..., т могут принимать произвольные целые значения, а неизвестная у 1 определяется таким образом, чтобы набор х1,...,хк был решением сравнения (3).

Его можно переписать в виде

(1 + = N -(1 + У2РЛГ - ... -(1 + утрл)п(тсара).

Раскрывая скобки и выполняя очевидные преобразования, будем иметь

п п(п — 1 ) 2 2п 1 + пу, рп + ^^-----У?р2п + ... =

= N1 — (1 + ПУ2РП + п(п2— 1} у2р2п + ...)(тсара). (4)

Определим параметр ш как точную степень числа р, делящего п.

Заметим, что степень простого р, на которую делится число сПргп при г > 2 всегда превосходит значение т+ш. Кроме того, имеем сравнение N,=m(modpа). Поэтому при а0 > п + шсравнение (4) является следствием сравнения

у, = (^(N1 — 1 —((1 + У2РТ —... — (1 + утрт — П(П2— 1) У;p2n)))(modp“-n-“).

Здесь ЧИСЛО П2 Определяется ИЗ условий п = п,рш И П2П, = 1 (т^ра-Г|-ш). Приведенные выше рассуждения показывают, что если придавать значения переменным у к с ус ловием (у к, р) = 1 при всех к = 2,..., т, то будут получаться различные решения системы (3), если только вычеты укрп будут различаться по модулю ра.

Таким образом при а>а0 = п+ш будет получено не менее (р—1)т-гр(а—,)(т-,) различных решений сравнения (3). Другими словами имеет место оценка

Ш(ра,т) > ^1 — р(«-п-1)(т-1) = ^1 — р-т(л+,)ра(т-1) = срра(т-1),

при ср = ^1 — Р^ р-т(п+,) и всех а > п + ш + 1.

Отсюда имеем

ар = 11ш раф-т(ра)Ш(ра,т) > 11ш рар-(а-,)т(р — 1)-тСрра(т-,) =

а—^ а—> +оо

рт

=ср (р—V > Ср'

Если переменная ар то всем р < 2п, то получим

По = П а — р > ]^[ Ср >0.

р<2п р<2п

Таким образом, окончательно имеем

а(N,) = ^[ а — р = ]^[ а — р а — р = ПоП, > ПоСо = с, >0.

р р<2п р>2п

Заметим, что полученное значение с, те зависит от порядка величины N1 и найдено при единственном условии, что N1 = т^т^р"0), где р пробегает все значения простых чисел и а0 = п + ш + 1.

Если обозначить через B произведение всех простых чисел не превосходящих 2n, то последнее условие, очевидно, является следствием сравнения N = m(modBo) , где Bo = B2n

Разобьем теперь все значения, которые принимают числа N i = N — ui — U2

Bo

больше всего членов. Ясно, что в ней будет не меньше чем T2B-1 членов и для каждого из них будет выполняться сравнение N1 = m0(modB0), m0 - некоторое фиксированное натуральное число. Накладывая на указанное выше значение параметра m > 6n дополнительное условие m = m0(modB0 )> мы приходим к неравенству ci > 0, откуда следует, что а > 0, что и завершает доказательство теоремы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // Докл. АН СССР. 1937. Т. 15. № 6-7. С. 291-294.

[2] Waring Е. Meditationes algebraicae. Cambridge. 1770. P. 204-205. Ср. Dickson L. E. History of the theory of numbers. V. 2. New York, 1934. P. 717-729.

[3] Hilbert D. Beweis fer die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen. Math. Ann. 67. 1909. P. 281-300.

[4] Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

[5] Виноградов И. М. Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел // Труды Тбилисского математического ин-та. Т. 3. 1937.

[6] Виноградов И. М. Избранные труды. М., Изд-во АН СССР. 1952. С. 428-433.

[7] Чубариков В. Н. Многомерные проблемы теории простых чисел. Дисс. на соискание ученой степени д. физ.-мат. наук. МГУ им. Ломоносова, М. 1985.

[8] Архипов Г. П., Чубариков В. Н. О числе слагаемых в аддитивной проблеме Виноградова и ее обобщениях // IV Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула, 10-15 сентября, 2002, с.5-38.

Орловский Государственный Университет. Получено 10.09.2008.