О предполных классах автоматов с операцией суперпозиции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

73

УДК 511

О ПРЕДПОЛНЫХ КЛАССАХ АВТОМАТОВ С ОПЕРАЦИЕЙ СУПЕРПОЗИЦИИ

Д. Н. Бабин1

Для автоматов с операцией суперпозиции предъявлен замкнутый класс, не вкладывающийся ни в один максимальный.

Ключевые слова: конечный автомат, суперпозиция, замкнутый калсс.

For automata with a superposition the author presented a closed class not embedded in any maximal one.

Key words: finite automaton, superposition, closed class.

Известно, что в классе автоматов с операцией суперпозиции любая полная система бесконечна [1, 2], имеется континуум предполных классов [3] и полна система двухместных автоматов [4].

Пусть E2 = {0,1}, P2 — множество булевых функций вида g : En ^ E2, E|° — множество всех сверхслов из нулей и единиц. Функция вида

f : (ET ^ (E2°°)m

называется автоматной функцией (a-функцией), которая задается рекуррентно соотношениями

' qi(i) = q0i, qs(i) = q0s,

qi(t + 1) = 0i(qi(t),..., qs(t), ai(t),..., a„(t)), ...

qs(t + 1) = 0s(qi(i), • •. ,qs(t),ai(t),... ,a„(t)),

bi(t) = ^i(qi(t),..., qs(t), ai(t),..., a„(t)),

, bm(t) = фm(qi(t),..., qs(t), ai(t),..., a„(t)).

Вектор q(t) = (qi(t),..., qs(t)) задает состояние a-функции f в момент t, (q0i,... q0s) — ее начальное состояние, буквы a(t) = (ai(t), a2(t),..., an(t)) и b(t) = (bi(t), b2(t)..., bm(t)) — входная и выходная буквы в момент t, а a(1)a(2)... , b(1)b(2)... — входное и выходное сверхслова соответственно. Вектор-функции ф = (0i,..., фs) и ф = (ф^..., фт) называются функцией переходов и выходной функцией соответственно, а шестерка

(En,E2s,Em, ф, ф, qo)

— автоматом, порождающим функцию f.

Класс всех a-функций обозначим через P. В этом классе обычным образом введем операции суперпозиции автоматных функций [5]:

' (nf)(xi,X2, . . . ,Xn) = f(Ж2,Жэ, . . .,Xn,Xi), (ef )(xi,x2, ...,Xn) = f (X2,Xi ,X3, ... ,!n), < (rof )(xi,x2, ...,Xn) = f (ЖЬЖ3, . . .,Xn),

(f )(xi, X2, ...,Xn) = f (xi, X2, . . . , Xn+i),

, (f * g)(Xi ,X2, . . .,Xm+n-i) = f (g(Xi, . . .,Xm ),Xm+i, . . .,Xm+n-i).

Автоматы, имеющие одинаковые автоматные функции, называются эквивалентными.

Пусть R С P, обозначим через [R] множество a-функций, эквивалентных получающимся из R с помощью операций суперпозиции. Класс автоматных функций R называется замкнутым, если R = [R].

1Бабин Дмитрий Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d.n.babin@mail.ru.

74

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

Класс автоматных функций R называется предполным, если R С P и для любой автоматной функции f </ R выполнено [{/} U R] = P.

Автоматную функцию Go, задаваемую уравнениями

q(1) =0>

q(t + 1) = a(t)> b(t) = q(t)>

назовем автоматной функцией "задержки", здесь a(t)> q(t)> b(t) € E2. Автоматную функцию To, задаваемую уравнениями

( (91(1)>92(1)) = (0, 0),

(qi(t + 1)> 92(t + 1)) = (ai(t)> a2(t)) при (ai(t)> a2(t)) = (0, 0) и (ai(t)> a2(t)) = (1> 1)>

< (qi(t + 1)>q2(t + 1)) = (qi(t)>q2(t)) при (ai(t)>a2(t)) = (0> 1)>

(qi(t + 1)> 92(t + 1)) = (q2(t), qi(t)) при (ai(t)> a2(t)) = (1> 0)>

l(bi(t)>b2 (t)) = (9i(t)>92(t))>

назовем автоматной функцией "триггер". Здесь (ai(t)>a2(t))> (qi(t)>q2(t))> (bi(t)>b2(t)) € (E2)2.

Константной автоматной функцией назовем автоматную функцию, выдающую одно и то же периодическое выходное сверхслово на всех входных сверхсловах. Класс константных автоматных функций обозначим через K. Имеет место

Теорема. Не существует предполного класса автоматных функций, содержащего замкнутый класс [K U P2 U{G0,T0}].

Доказательство теоремы опубликовано в работе [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

2. Алешин С.В. Алгебраические системы автоматов. М.: МАКС Пресс, 2016.

3. Кудрявцев В.Б. О мощностях множеств предполных классов некоторых функциональных систем, связанных с автоматами // Докл. АН СССР. 1963. 151, № 3. 493-496.

4. Бабин Д.Н. О полноте двухместных автоматных функций относительно суперпозиции // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 4. 423-431.

5. Мальцев А.И. Итеративные алгебры и многообразие Поста // Алгебра и логика. 1966. 5, № 2. 5-24.

6. Бабин Д.Н. Класс автоматов с суперпозициями, не расширяющийся до предполного // Интеллектауальные системы. Теория и приложения. 2016. 20, № 4. 162-173.

Поступила в редакцию 21.03.2018

УДК 532.5.013

К ДВИЖЕНИЮ ПЛАВЯЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЫ О. О. Иванов1

Рассматривается движение одиночной плавящейся сферической частицы в собственном расплаве. Выведена формула для реактивной силы, возникающей при обтекании плавящейся частицы. Для определения функции изменения радиуса решена автомодельная задача плавления для неподвижной частицы в покоящемся расплаве. В предположении малости числа Рейнольдса выявлено, что существует некоторое критическое значение разности температур частицы и расплава, разделяющее ускоряющееся и замедляющееся движения частицы.

Ключевые слова: плавление, реактивная сила, перегретый расплав.

The motion of a melting spherical particle in own melt is considered. A formula for the thrust appearing during flow around the melting particle is derived. The self-similar melting

1 Иванов Олег Олегович — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivanov@imec.msu.ru.