CC BY
102. Evey R.J. Applications of pushdown-store machines // Proc. AFIPS Fall Joint Computer Conference. Vol. 24. Las Vegas, 1963. 215-227.
3. Кудрявцев В.Б., Алешин C.B., Подколзин A.C. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.
4. Бабин , I. 11. О полноте двухместных о.д.-функций относительно суперпозиции // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 4. 86-91.
5. Бабин Д.Н. Класс автоматов с суперпозициями, не расширяющийся до предполного // Интеллект, системы. 2016. 20, вып. 4. 155-166.
6. Иванов И.Е. Улучшение нижней оценки на максимальную длину периода выходной последовательности автономного автомата с магазинной памятью // Интеллект, системы. 2016. 20, вып. 4. 174-187.
7. Иванов И.Е. Оценка длины периода выходной последовательности для автономного автомата с магазинной памятью с однобуквенным магазином // Интеллект, системы. 2017. 21, вып. 1. 106-140.
Поступила в редакцию 04.10.2017
УДК 519.716.32
НЕЯВНО ПРЕДПОЛНЫЕ КЛАССЫ И КРИТЕРИЙ НЕЯВНОЙ ПОЛНОТЫ В ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКЕ
М. В. Старостин 1
Рассматривается проблема неявной полноты в трехзначной логике. Дано описание системы всех неявно предполных классов и сформулирован соответствующий критерий неявной полноты.
Ключевые слова: неявная выразимость, трехзначная логика, предполные классы.
The problem of implicit expressibility in the three-valued logic is considered. The system of all implicitly maximal classes is described. The corresponding criterion of implicit completeness is formulated.
Key words: implicit expressibility, three-valued logic, maximal classes.
Понятие неявной выразимости было введено А. В. Кузнецовым как одно из обобщений выразимости по суперпозиции [1]. Говорят, что функция явно выразима над системой Е, если она выразима посредством суперпозиций над системой Е U {х}. Множество всех явно выразимых над Е функций называется явно замкнутым классом, и обозначается через Е(Т,). Нетрудно показать, что Е действительно является оператором замыкания [2].
Функция f(x\,... ,хп) называется неявно выразимой над системой Е, если существуют такие функции Ai, Bi € Е(Т,), г = 1,..., т, что система уравнений
{Ai(xi,x2, ...,xn,z)= Bi(xi,x2, ■ ■ -,xn,z), A2{x !,x2, ...,xn,z) = B2(xi,x 2, .. .,xn,z),
Am(xi, x2,..., xn, z) — Bm(xi, x2, ■ ■ ■, xn, z)
эквивалентна уравнению
z — f (x i,..., xn).
Множество всех функций, неявно выразимых над системой Е, называется неявным, расширением, Е и обозначается через /(Е). Операция неявного расширения является оператором замыкания в Р2 [3], однако при k ^ 3 в Pk есть примеры таких систем функций, что /(/(E)) ф /(Е).
Система функций в Pk называется неявно полной, если ее неяное расширение совпадает с Pk-Система функций называется неявно предполной, если она не является неявно полной, но становится
1 Старостин Михаил Васильевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: murmolQbk.ru.
таковой при добавлении к системе любой, не лежащей в ней функции. (Подробнее об используемых в работе понятиях и обозначениях см. [1-8].)
Все неявно предполные классы в Р2 были описаны О.М. Касим-Заде в [4]. Это классы То, Т\, Ь, Б, Т>, К (обозначения следуют [9]). Кроме того, им же был получен критерий иного рода: система функций в Р2 неявно полна тогда и только тогда, когда ее явное замыкание содержит в себе класс М монотонных функций. Соответственно М является единственным минимальным по включению неявно полным классом в Р2. Аналогичный критерий неявной полноты для Рз получен Е.А. Ореховой в работе [10]: найдены все 27 минимальных неявно полных классов.
В настоящей работе представлен критерий неявной полноты в Рз в терминах неявно предполных классов. Введем обозначения, необходимые для формулировки результата.
Пусть функция /(х1,...,хп) € Рз сохраняет подмножество {0,1}. Рассмотрим функцию /(ж1,... ,хп) € Р2, такую, что /(й) = /(й) для любого набора а € Функцию / будем называть булевым ограничением функции / на подмножество {0,1}. Пусть 21 — замкнутый класс булевых функций. Через Х^0'1^ обозначим множество функций в Рз, таких, что их булевы ограничения на {0,1} принадлежат классу 21. Множества функций, двойственные Х^0'1^ относительно подстановки
0 1 2
а b с
где а, Ъ и с — попарно различные элементы из Es, будем обозначать через
Наборы а = (сх\,..., ап) и ß = (ß\,..., ßn) называются эквивалентным,и относительно разбиения {0,1}{2}, если для любого г от 1 до п или щ, ßi € {0,1}, или оц = ßi = 2. Такое отношение эквивалентности порождает разбиение куба на классы эквивалентных наборов, которые мы будем называть блоками. Заметим, что каждый блок состоит из 2т наборов для некоторого т € [1,..., п].
Рассмотрим функцию f(x 1,... ,хп) € Рз, сохраняющую разбиение {0,1}{2}. На каждом блоке она либо тождественно равна 2, либо принимает значения из множества {0,1}. Тем блокам, на которых / принимает значения из {0,1}, можно естественным образом сопоставить булевы функции / от т переменных. Такие функции мы будем называть булевым ограничением функции / на блок. Пусть 21 — замкнутый класс булевых функций. Тогда через Х^0'1^2^ обозначим множество всех функций, сохраняющих разбиение {0,1}{2}, таких, что их булевы ограничения на все блоки (на которых эти ограничения определены) принадлежат классу 21. Аналогично множества функций, двойственные относительно подстановки
0 1 2
а b с
где а, Ъ и с — попарно различные элементы из Е3, будем обозначать через
Можно показать, что множества функций и являются замкнутыми классами в
Рз [11].
Говорят, что функция ¡{х\,х2, • • •, хп) сохраняет матрицу
(öll 0,12 Ö21 Ö22
аи\
Ö21
\as 1 as 2 ... astj
если для любых, быть может, повторяющихся столбцов этой матрицы
faijA i aij2\
fl2 Л a2j2 1
\asjiJ \asj2/
/ацЛ
a2 j,
\asjnJ
столбец
//(«1л п)\
/(«1 л
\f(asjl ) ) • • • )
также является столбцом той же матрицы. Множество всех функций, сохраняющих некоторую матрицу А, является замкнутым классом и называется классом, сохранения матрицы А. 'Введем следующие обозначения:
рс — класс сохранения матрицы
W'c — класс сохранения матрицы
R'c — класс сохранения матрицы
где а, Ъ и с — попарно различные элементы множества {0,1,2}. Последний класс рассматривался в работе [10].
Функции fc-значной логики f(x\,... ,хп) и д(х\,...,xs) называются перестановочным,и, если для любых значений переменных Xij € Е^ (г = 1, 2,... , щ j = 1, 2,..., s) выполняется соотношение
g(f(xn,..., Xni), f(xi2, хп2), f(xis,..., xns)) =
= f(g(xn, . . . ,Хи),д(х21, ■ ■ .,x2s), ■ ■ -,g(xnl, ■ ■ -,Xns)).
Множество всех функций, перестановочных с некоторой функцией /, называется централизатором, [2] функции / и является замкнутым классом.
Обозначим через DMi(KMi),i € 1,2,3, централизатор функции тах(х,у) (тт(ж,у)) относительно порядков 0 -< 1 2, 1 -< 2 -< 0, 2 -< 0 -< 1. Такие классы рассматривались А.Ф. Данильченко в работе [12].
Обозначим через iJi класс квазилинейных функций в Рз [13]. Понятие квазилинейной функции введено Г.А. Бурле [14], который определял ее как функцию h, представимую в виде
h(xi,x2,...,xn) =g(fi(xi) ф f2(x2) ф ... ф fn(xn)),
где д, f\,..., fn — одноместные функции, а ф обозначает сложение по модулю 2. Недостающие обозначения классов функций в Рз можно найти в [7].
Теорема. Система Е С Р3 неявно полна тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни, в одном, из следующих 54 неявно предполных классов: S, L, T€Qtо, Т£ьо, Те2,о, „{0,1} „{0,1} „{0,1} „{0,1} „{0,2} „{0,2} „{0,2} „{0,2} „{1,2} „{1,2} „{1,2} „{1,2} „{0Д}{2} v(0,l}{2} ^S ' ^К ' D ' L ' ^S ' ^К ' D > L ' ^S ' ^К ' D ' L ' ^T0 ' ^Ti ' „{0,1}{2} „{0,1}{2} „{0,1}{2} „{0,2}{1} „{0,2}{1} „{0,2}{1} „{0,2}{1} „{0,2}{1} „{1,2}{0} „{1,2}{0} ^К ' D ' L ' To ' ^Ti ' ^К ' D ' L ' To ' ^Ti '
E^'2}{0}, E£'2}{0}, Ep^, DMhKMi, DM2, KM2, DM3, KM3, Ue0iUe2C\UWl, UW2(\UWo, ^£l,2,£0 П ^eo,2,en F2, R'0, R[, R'2, Wq, W[, Теод,0 П ^£0,l,£2 П О.Ъ O,2,0 П ^£0,2,£l П
О,2,0 П ^£1,2,£0 ПОДСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кузнецов A.B. О средствах для обнаружения невыводимости или невыразимости // Логический вывод. М.: Наука, 1979. 5-33.
2. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.
3. Касим-Заде О.М. О неявной выразимости булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 2. 44-49.
а Ъ а а Ъ Ъ
а Ъ а Ъ а Ъ с
а Ъ с с с с
'а Ъ а Ъ а Ъ с
а Ъ а Ъ с с с
\а Ъ с с а Ъ с
'а Ъ а Ъ с с г
а Ъ с с а Ъ с
а Ъ с с с с
4. Касим-Заде О.М. О неявной выразимости в двузначной логике и криптоизоморфизмах двухэлементных алгебр // Докл. РАН. 1996. 348, № 3. 299-301.
5. Касим-Заде О.М. Об одной метрической характеристике неявных и параметрических представлений булевых функций // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Физматлит, 1996. 133-188.
6. Касим-Заде О.М. О неявной полноте в /г-значной логике // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 9-13.
7. Яблонский C.B. Функциональные построения в /г-зпачпой логике // Сборник статей по математической логике и ее приложениям к некоторым вопросам кибернетики. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
8. Яблонский C.B., Лупанов О.Б. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. М.: Наука, 1974.
9. Касим-Заде О.М. О сложности параметрических представлений булевых функций // Математические вопросы кибернетики. Вып. 7. М.: Физматлит, 1998. 85-160.
10. Орехова Е.А. Об одном критерии неявной полноты в трехзначной логике // Математические вопросы кибернетики. Вып. 12. М.: Физматлит, 2003. 27-74.
11. Орехова Е.А. О критерии неявной шефферовости в трехзначной логике // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2003. 10, № 3. 82-105
12. Данильченко А.Ф. О параметрической выразимости функций трехзначной логики // Алгебра и логика. 1977. 16, № 4. 397-416.
13. Орехова Е.А. Об одном критерии неявной полноты в /г-значной логике // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. 77-90.
14. Бурле Г.А. Классы /г-зпачпых функций, содержащие все функции одной переменной // Дискретн. анализ. 1967. № 10. 3-7.
Поступила в редакцию 27.10.2017
УДК 539.3
НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ТИПА МАКСВЕЛЛА ДЛЯ РЕОНОМНЫХ МАТЕРИАЛОВ: СТАБИЛЬНОСТЬ ПРИ СИММЕТРИЧНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЖЕНИЯХ
А. В. Хохлов1
Продолжено аналитическое исследование нелинейного определяющего соотношения типа Максвелла для реономных материалов с двумя материальными функциями: комплекса моделируемых им реологических эффектов, индикаторов (не)применимости, способов идентификации и настройки. Рассмотрены свойства отклика на произвольную периодическую программу нагружения, получен критерий его периодичности (отсутствия рэтчетин-га). Найдено условие, при котором нелинейная модель Максвелла адекватно описывает эффект стабилизации и замыкания петли гистерезиса в случае симметричных циклических нагружений; показано, что оно зависит лишь от одной материальной функции и совместимо с моделированием разносопротивляемости материала.
Ключевые слова: нелинейная наследственность, скоростная чувствительность, симметричные циклические нагружения, пластическая деформация, циклическая стабильность, рэтчетинг.
The analytic study of the nonlinear Maxwell-type constitutive relation with two arbitrary-material functions is continued to reveal its capabilities, applicability scope, and techniques of identification and tuning. General properties of the model response to an arbitrary periodic loading program are considered. A criteria for periodicity of strain evolution (and for the lack of ratcheting) is obtained. A condition is derived for simulation of cyclic stability under symmetric cyclic loadings, i.e., the effect of hysteresis loops stabilization after a number of cycles and
1 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: andrey-khokhlovQya.ru.
