CC BY
30
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1399-1400
УДК 531-539.3
РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ С2-ПОТЕНЦИАЛОВ. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
© 2011 г. Ф.А. Богашов, С.И. Хомутецкая, Л.О. Шарова
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
sharovaluyda@list.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
В качестве примера применения теории С2-потенциалов к решению задач механики деформируемого твердого тела получено решение пространственной задачи Дирихле для шара. Сформированы принципы С 2-потенциалов.
Ключевые слова: комплексные матрицы С2, условия аналитичности, решение гармонических уравнений в С2, приложение к трехмерным задачам механики деформируемого твердого тела.
Наиболее эффективными из всех известных методов решения двухмерных задач математической физики, в частности температурных, являются методы, основанные на теории аналитических функций одной комплексной переменной С1-по-тенциалов. Для решения трехмерных задач до последнего времени такого аналога не существовало, так как не было самой основы — адекватной теории комплексных С2-потенциалов [1—5].
1. Базис пространств Я3'4 и С2. Изоморфизм Гамильтона—Кэли
Для размерностей п > 3 показано [3], что закон построения базисных элементов оказывается недостаточным (неполнота представления).
Базис пространства Я4 по Гамильтону может быть представлен элементами [3]
{е, У, к,/}, (1)
изоморфными по Кэли комплексным матрицам Паули—Дирака [4]:
' 1 0Л / . 7
e = , J =
0 1 0
V V
0
l =
к =
0 1
1 0
v у
—
к =
X1 + l%2 X3 + IX4
X3 + 7X4
(4)
где хт, т = 1,4, — текущие декартовы координаты точки пространств Я4 и С2.
3. Условие аналитичности комплексных матричных С2-функций в Б е С2
Обобщенная на пространство С2 теорема Коши [6—9]
|ф(к, к^к = 0,
Г
определяющая критерий аналитичности функций ф(к, к) в области Б и Г , приводит к записи условий аналитичности
в пространстве Я3'4 в пространстве С2
дФ1 дФ2 дФ3 дФ4 = 0
Эх1 дх2 дх3 дх4
Эф2_ +Эф!_ Эф4 + Эф3 = 0
Эх1 dx2 dx3 Эх4 Эф3 Эф4 Эф1 Эф2
- + -
- + -
= 0,
»1 = 0. (5)
(2)
2. Представление переменной Гамильтона в базисах (1), (2)
В базисах (1), (2) переменная Гамильтона записывается соответственно
к = х1е + х2 у + х3к + х41, (3)
Эх1 дх2 дх3 дх4
Эф4— Эф3 +Эф2 +Эф! = 0 Эх1 Эх2 Эх3 Эх4
4. Однородные аналитические полиномы в области Бе С2 [5, 8]
В комплексном пространстве С2 дф/дк Ф 0, поскольку согласно (5) дк/дк Ф 0 , дк/дк Ф 0 .
X
1
1400
Ф.А. Богашов, С.И. Хомутецкая, Л. О. Шарова
Теперь роль простейших аналитических ^-функций играют однородные аналитические полиномы степени п:
Pn ( к, к) ap Kn-pKp, ap = Re ap.
p =0
(6)
В [8, 9] приведено построение однородных аналитических полиномов произвольной степени п:
ед =Ко, Рх(*> = Зк+к,
P2(^) = 5к2 + 2кк+ к2.
(7)
5. Приложение теории С2-потенциалов к решению температурной задачи Дирихле для шара Б единичного радиуса
Воспользуемся изложенными в пп. 1—4 результатами. Пусть к и t — комплексные радиусы-векторы (4) любой точки внутри шара и его поверхности (контура Г). Требуется решить задачу Дирихле:
|ДТ (к, к) = 0, Т\г = Т а, 7) = / (^ /),
У к |< 1, ке Б, 111= 1, t е Г, где / ^, t) — заданная на поверхности (пространственном контуре) функция.
Общим решением трехмерного гармонического уравнения (8) в комплексном пространстве С2 является
Т(к, к) = ф(к, к) + ф(к, к) = 2 Яе ф(к, к), (9) где ф(к, к) — произвольная аналитическая функция (С2-потенциал), что обобщает двумерный аналог формулы Гаусса для пространства С1. Зададим температурный режим на поверхности шара Б Т| Г = /^, 0 . Пусть
/(^ 1) = 1 +11 + 2t2, Г : t12 + t22 = 1, t3 = 0,(10)
то есть с поверхностного температурного шва Г идет прогревание тела шара Б.
Выведем общее решение (9) на поверхность шара | t | = 1. Тогда задача Дирихле (10) редуциру-
ется в граничную задачу теории С2-функций
2Re , t) = f(t, t), (11)
которая с учетом (9)-(11) имеет алгебраический характер.
Приходим к окончательному решению задачи (8) в конкретном виде:
T(x1,Х2,Х3) = 3 + Х1 +1(x2 + Х32 -2x12).
Список литературы
1. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. С. 412.
2. Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. С. 395.
3. Гамильтон У Р. Избранные труды. М.: Наука, 1994. С. 560.
4. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970. С. 712.
5. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. 3-е изд. М.: Наука, 1984.
6. Богашов Ф.А. О представлении пространственных задач теории упругости в функциях комплексных переменных. Сообщение 1 // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. Межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1989. Вып. 41. С. 110-118.
7. Богашов Ф. А. Описание пространственных задач теории упругости с помощью аналитических функций переменной Гамильтона. Сообщение 2 // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. Межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1990. Вып. 44. С. 46-55.
8. Богашов Ф. А. Структура пространственных аналитический функций и формирование обобщенных функций Эри // Прикладн. проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. / Нижегород. ун-т, 1991. Вып. 47. С. 15-26.
9. Богашов Ф.А., Угодчиков А.Г. Развитие методологии Мусхелишвили применительно к решению пространственных задач теории упругости. Ч. I // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций: Научн. тр. Н. Новгород, 1993. Вып. 1. С. 11-24.
THE DEVELOPMENT OF THE THEORY OF MATRIX COMPLEX С2-POTENTIALS. APPLICATIONS TO MECHANICS OF DEFORMABLE SOLIDS
F.A. Bogashov, S.I. Homutetskaya, L. O. Sharova
As an example of the application of theory of ^-potentials to the solution of problems of mechanics of deformable solids, a solution of a spatial Dirichlet problem for a sphere is obtained. The principles of ^-potentials are formulated.
Keywords: complex matrixes C2, conditions of analyticity, the decision of the harmonious equations in C2, appendix to three-dimensional problems of mechanics of a deformable firm body.
